Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai Chia sẻ: hathieudao | Ngày: 09062014 Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai” để giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH TRÁNH SAI LẦM VỀ
GIẢI TOÁN CĂN BẬC HAI
Họ và tên: Mai Xuân Hiếu
Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ KHTN Đơn vị; Trường THCS Mỹ Thủy
Lệ Thủy tháng 5 năm 2013
Trang 2I : PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài :
Trong giai đoạn hiện nay, với sự phát triễn mạnh mẽ của khoa học và kỷ thuật, với sự phát triễn toàn diện của xã hội, nền công nghiệp hóa, hiện đại hóa tiến nhanh trong từng ngày, nếu con người không kịp nắm bắt thì chỉ trong thời gian ngắn sẽ trở thành lạc hậu, do đó phải làm sao để tiến kịp khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới, theo kịp sự phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu Chính vì lẻ đó giáo dục yêu cầu giáo viên thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tăng cường trong đổi mới phương pháp, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy và học, lấy học sinh làm trung tâm, kích thích tính tự lập, độc lập sáng tạo bằng tư duy của chính học sinh, học sinh phải tự biết, tự nhận ra vấn đề, tìm hướng giải quyết vấn đề, không thụ động đợi chờ sự truyền tải của giáo viên Điều quan trọng là giáo viên phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai
Đối với môn toán lớp 9 chương I “ Căn bậc hai – Căn bậc ba” là phần kiến thức khá khó đối với học sinh, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào trung học phổ thông hầu như ở tỉnh nào cũng có câu về chương này, thường chiếm 1,5 đến 2,0 điểm Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về “Căn bậc hai- căn bậc ba” để vận dụng Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa
ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp đã nhiều năm tại trường THCS tôi nhận ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, do nhiều nguyên nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn học thành các quan hệ toán học, trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích Vì vậy khi dạy chương “Căn bậc hai - căn bậc ba” trong thời gian đầu năm học quả là có khó khăn, một phần các em chỉ biết sơ qua “ Căn bậc hai” nhờ khái niệm đơn giản ở lớp 7, thêm nữa một số em trong hè tự học hay học thêm ở một số giáo viên không thường dạy toán 9, họ chỉ đại loại không cụ thể nên học sinh bị nhiểu nhiều, thiếu sót, mất chính xác, khó điều chỉnh Mặt khác các dạng toán chương này học sinh dễ nhầm lẫn và thực hiện sai các phép tính, do đó giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc
vô cùng cần thiết và cấp bách, nó mang tính đột phá rất cao, giúp các em có một
sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để
Trang 3tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này
1.2.Phạm vi nghiên cứu:
a/ Phạm vi của đề tài:
Áp dụng trong toán 9 các trường THCS, nghiên cứu đưa ra biện pháp điều chỉnh “ Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai” toán 9.Tiền đề cho các em thi tuyển sinh mà Sở Giáo Dục Quảng Bình giới hạn cho câu 2,0 điểm Đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS nơi tôi đang giảng dạy 2 lớp : 9A và 9B
b/ Thời gian nghiên cứu: Kinh nghiệm các năm trước và năm học 2012 – 2013
II PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng
Những giờ dạy trên lớp rút kinh nghiệm từ các năm trước, qua kiểm tra miệng đầu giờ,qua luyện tập, ôn tập Giáo viên cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kỹ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác
Qua kiểm tra 2 bài 15 phút sau khi học xong bài 4 “ liên hệ phép chia và phép khai phương” của 55 em thuộc hai lớp 9A và 9B tại trường, tỉ lệ học sinh sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai khá cao
Lớp Số
lượng
Giỏi - Khá Tr bình Yếu Kém
Ghi chú
9A 30 10 33,3 9 30,0 6 20,0 5 16,7
9B 25 6 24,0 6 24,0 7 28,0 6 24,0
Tổng 16 29,1 15 27,3 13 23,6 11 20,0
Tôi hiểu rằng chất lượng này là điều đáng lo, tuy nhiên trong nhiều năm dạy Toán 9 thì tỉ lệ này xem như tạm được vì trong bài kiểm tra chương I – Đại
số 9 năm trước số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai chiếm
tỉ lệ 45,0%, năm 2010 có lớp chỉ đạt 30% trên TB
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai
là tương đối cao, việc chỉ ra những sai lầm của học sinh để các em tránh được khi giải bài tập trong những năm học tiếp theo là một việc vô cùng quan trọng
và cần thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, nhất là học sinh khối lớp 9
Nguyên nhân dẫn đến kết quả này là: Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để
Trang 4giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài
Một vấn đề nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu Học sinh phụ thuộc quá nhiều vào máy tính cá nhân để tính toán, mà trong chương này cần biết phân tích 1 số thành tích 2 số trong đó có số chính phương thì HS thường chịu Khi áp dụng khai phương 1 thương, 1 tích
HS thường lấy máy bấm nên kết quả chỉ là các số thập phân, số gần đúng, không đúng yêu cầu cần đạt Đặc biệt về sau sử dụng các phép biến đổi thì HS càng lúng túng khi cần tách số để thực hiện
Trong vận dụng để giải phương trình có chứa căn bậc hai thì càng khó khăn khi viết các biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương 1 tổng ( hiệu) để đưa ra ngoài, hoặc kỷ năng về giá trị tuyệt đối
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chư-ơng I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh th-ường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “ một số dạng thường sai lầm”
mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai 2.2 Các giải pháp
- Chương căn bậc hai – căn bậc ba nội dung kiến thức khá phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi Thậm chí một
số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức )
Vì vậy khi học chương này thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau :
a Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:
Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9 Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho 2
x a
Trang 5- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một
số âm ký hiệu là - a
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = a thì x ≥ 0 và 2
x a; Nếu x ≥ 0 và 2
x a thì x = a Ta viết x = a x 02
- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”
Ví dụ : Tìm các căn bậc hai của 16
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4
Ví dụ : Tính 16
* Lời giải sai: 16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16= 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :
16 = 4 và 16 = - 4
* Phân tích sai lầm : Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau
* Lời giải là: 16= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích
- So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a b a b
Ví dụ : so sánh 4 và 15
*Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào
vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ
đó học sinh sẽ đa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15)
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa
Trang 6Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16> 15 Vậy 4 = 16 > 15
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
- Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = a thì x ≥ 0 và 2
x a; Nếu x ≥ 0 và 2
x a thì x = a
Ví dụ : Tìm số x, không âm biết :
x = 15
*Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau :
Nếu x = a thì x ≥ 0 và 2
x a; vì phơng trình 2
x a có 2 nghiệm là x =
a và x =- a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
Do x ≥ 0 nên 2
x = 2
15 hay x = 225 và x = - 225
Vậy tìm được hai nghiệm là x 1 = 225 và x 2 = - 225
*Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 2
15 Vậy x = 225
- Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ : Tính - 25
* Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 25 là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau : - 25= 5
và - 5
*Lời giải đúng là : - 25 = -5
- Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 2
A = | A| Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi 2
A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
2
A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm
∙ Hằng đẳng thức : 2
A = | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương
Ví dụ : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được
*Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) :
Trang 7 8 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng - 8
*Lời giải đúng : 8 2= 64 và 64= 8
Mối liên hệ 2
a = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chắc chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ : Với 2
a = A thì A chắc chắc đã bằng a
Cụ thể ta có 5 2 = 25 nhưng 25= 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng
định được kết quả như ở trên
b Sai lầm trong tính toán và áp dụng :
- Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + x
* Lời giải sai : A= x + x = (x+ x + 1
4 ) - 1
4 = ( x +1
2)2 ≥ -1
4 Vậy min A = -1
4
* Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -1
4, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -1
4 Xảy ra khi và chỉ khi x = -1
2(vô lý)
* Lời giải đúng :
Để tồn tại x thì x ≥0 Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
Ví dụ : Tìm x sao cho B có giá trị là 16
B = 16x 16 - 9x + 4x9 + x 14 với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 + x 1 = 4 x 1
=>B 16 16 = 4 x 1
4 = x 1 42 = ( x 1 )2 hay 16 = ( x 1 )2
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
2) 16 = -(x+1) x = - 17
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15
và x2= - 17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không
Trang 8đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 + x 1 = 4 x 1 <=>16 = 4 x 1
4 = x 1 (do x ≥ -1)
16 = x + 1 Suy ra x = 15
- Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai
Ví dụ : Tìm x, biết :
(4- 17 ).2x 3(4 17 )
* Lời giải sai :
(4- 17 ).2x 3(4 17 ) 2x < 3
( chia cả hai vế cho 4- 17 ) x < 3
2
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn
đề gì Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai
* Lời giải đúng : Vì 4 = 16< 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có
(4- 17 ).2x 3(4 17 ) 2x > 3 x > 3
2
Ví dụ : Rút gọn biểu thức :
2 2
2
Bài toán này có 2 cách giải cách thứ nhất đưa biểu thức vào trong căn, căn thứ hai đưa biểu thức ra ngoài dấu căn Ở bài toán này nếu áp dụng cách giải đưa biểu thức ra ngoài dấu căn thì học sinh không mắc sai lầm nhưng khi áp dụng cách thứ 1 học sinh rất dễ mắc sai lầm đó là
Trang 9
2
Phân tích sai lầm: Học sinh không chú ý khi đưa biểu thức vào trong căn trong phép biến đổi A B A2Bchỉ đúng khi A, B không âm
*Lời giải đúng Với x>y thì:
Với x<y thì:
Vậy x0,y0,xy Thì 2
2 2
3
2
x y
Ví dụ : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M
:
a M
a a a a a với a > 0.a 1
* Lời giải sai :
:
a M
a a a a a =
:
M =
2
=>
M
a
Ta có M a 1
a
a a a , khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì a = 1 do đó a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức
Trang 10* Lời giải đúng :
M =
2
=>
M
a
Ta có M a 1
a
a a a , khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a > 0 Nếu min M = 0, khi và chỉ khi
a = 1(mâu thuẫn với điều kiện)
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1
Ví dụ : Khi rút gọn biểu thức:
2
2
* Lời giải sai x2 4x 4 x 22 x 2
1
* Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú
ý xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối
* Lời giải đúng:
1
x x
nÕu x -2 nÕu x -2 Như vậy bài toán sẽ có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện của biến
Ví dụ: Cho biểu thức 2 1 a a 1 a a
với a ≥0, a≠1
a Rút gọn biểu thức A
b Với giá trị nào của a thì A A
* Lời giải sai
Điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ 1