Bài giảng môn học Lý thuyết thông tin - Bùi Văn Thành

Bài giảng môn học Lý thuyết thông tin do Bùi Văn Thành biên soạn hướng đến giới thiệu tới các bạn về mã vòng; các tính chất của mã vòng; ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã;... Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.

BÀI GI NG MÔN H C Ả Ọ

n N u ế w =  a0a1…an–2an–1 là m t t  mã thì ộ ừ w(x) =  a0 + a1x + 

… + an–2xn ­ 2 + an–1xn ­ 1 là đa th c mã tứ ương  ng v i t  ứ ớ ừ

mã w.

n Ví dụ

n B ng sau đây trình bày m t mã vòng ả ộ C(7, 4)

Gi i thi u (tt) ớ ệ

n w(i), w(i)(x)

n w(i) là t  mã do d ch t  mã ừ ị ừ w i bit, và  w(i)(x) là đa th c mã ứ

tương  ng c a ứ ủ w(i). w(0) chính là w.

Gi i thi u (tt) ớ ệ

n w(i)(x) = xi * w(x) tuy nhiên n u  ế w(i)(x) có xp v i  ớ p ≥ n thì xp 

được thay b ng xằ p mod n.

n M c khác trên trặ ường GF(2) chúng ta có

xn + j = xj *  (xn + 1) + xj hay xn + j mod (xn + 1) = xj

n B  đ  13.1 ổ ề

w(i)(x) = [xi 

* w(x)] mod (xn + 1)

+ … + fr–1xr ­ 1 + xr

n T  đây suy ra đa th c mã ừ ứ g(x) + f(x) có b c nh  h n ậ ỏ ơ r, mâu 

thu n. Ch ng minh hoàn t t.ẫ ứ ấ

Các tính ch t c a mã vòng (tt) ấ ủ

n Kí hi u đa th c mã có b c nh  nh t là g(x)ệ ứ ậ ỏ ấ

g(x) = g0 +  g1x + … + gr–1xr ­ 1 + xr

Các tính ch t c a mã vòng (tt) ấ ủ

n Đ nh lý 13.3 ị

n M t đa th c ộ ứ v(x) trên trường GF(2) có b c ≤ ậ n – 1 là đa th c ứ

mã n u và ch  n u nó là m t b i s  c a ế ỉ ế ộ ộ ố ủ g(x). T c là nó có th  ứ ể

c a ủ q(x) và p + r ≤ n – 1. Do xi * g(x) v i 0 ≤ ớ i ≤ p là đa th c ứ

mã, nên v(x) là đa th c mã vì nó là m t t  h p tuy n tính c a ứ ộ ổ ợ ế ủcác đa th c mã.ứ

p i

i i

p i

i

q g

q

v

0 0

)(

*)

(

*)

(

*)()

Các tính ch t c a mã vòng (tt) ấ ủ

n Chi u ngề ược

n N u ế v(x) là đa th c mã thì chia ứ v(x) cho g(x)

v(x) = q(x) *  g(x) + r(x)

n Có 2k t  mã nên có ừ 2k   đa th c ứ q(x). Suy ra b c c a ậ ủ q(x) là   

 xi * g(x) =  q(x) * (xn + 1) + g(i)(x)

Ch n ọ i = k   

q(x) = 1 t cứ

xk * g(x) =  (xn + 1) + g(i)(x)

 xn + 1 = xk 

* g(x) + g(i)(x)

Do g(i)(x) là 

m t đa th c mã nên ộ ứ g(i)(x) là m t b i c a ộ ộ ủ g(x),   xn + 1 là 

m t b i c a ộ ộ ủ g(x). Ch ng minh hoàn t t.ứ ấ

Các tính ch t c a mã vòng (tt) ấ ủ

n Đ nh lý 13.6 ị

n N u ế g(x) là m t đa th c có b c ộ ứ ậ (n – k) và là ướ ố ủc s  c a (xn + 

1) thì g(x) sinh ra mã vòng C(n, k), hay nói cách khác g(x) là đa 

th c sinh c a m t mã vòng ứ ủ ộ C(n, k) nào đó

n Ch ng minh ứ

n Xét k đa th c ứ g(x), x * g(x), …, xk – 1 * g(x)

Các đa th c ứnày đ u có b c ≤ ề ậ n – 1

Các tính ch t c a mã vòng (tt) ấ ủ

n Theo B  đ  13.1 chúng ta cóổ ề

w(1)(x) = [x *  w(x)] mod (xn + 1)

D a vào bi u ự ể

di n c a ễ ủ v(x) và w(1)(x) chúng ta suy ra

x * w(x) = bn  – 1(xn + 1) + w(1)(x)

Do v(x) và 

(xn + 1) đ u là b i c a ề ộ ủ g(x) nên w(1)(x) cũng là b i c a ộ ủ g(x). Suy ra w(1)(x) cũng là đa th c mã. Hoàn t t ch ng minh.ứ ấ ứ

Ma tr n sinh ậ

n Ví dụ

n Tìm m t mã vòng ộ C(7, 4)

n Theo các tính ch t c a mã vòng suy ra đa th c sinh c a mã có ấ ủ ứ ủ

b c b ng ậ ằ 3 và là m t ộ ướ ố ủc s  c a x7 + 1. Phân tích đa th c ứnày ra th a s  chúng ta đừ ố ược

00

01

00

0

00

0

2 1

1

0

2 0

1 1

0

2 1

0

k

g g

g

g g

g

k n

g

g g

g g

g

g g

g g

G

k n

k n k

n

k n k

n

k n

k n

n k

Ví dụ

x7 + 1 = (1 + x)(1 + x + x3)(1 + x2 + x3)

n Ch n ch ng h nọ ẳ ạ

g(x) = (1 + x 

+ x3)

10

11

00

0

01

01

10

0

00

10

11

0

00

01

01

1

7 4

G

Mã vòng d ng h  th ng ạ ệ ố

n T  d ng h  th ng lo i ừ ạ ệ ố ạ 1 chúng ta có th  d ch vòng ể ị k bit đ  ể

bi n đ i sang d ng h  th ng lo i ế ổ ạ ệ ố ạ 2 và ngượ ạc l i

n Mã hóa thành t  mã h  th ng ừ ệ ố

n u(x) là thông báo, w(x) là t  mã h  th ng lo i ừ ệ ố ạ 2 tương  ng.ứ

xn–k * u(x) = 

q(x) * g(x) + a(x) w(x) = xn–k * u(x) + a(x) = q(x) * g(x)

10

11

00

0

01

01

10

0

00

10

11

0

00

01

01

11

00

0

11

10

10

0

11

00

01

0

01

10

00

1

) 7 4 (

ht G

Ma tr n ki m tra c a mã vòng ậ ể ủ

n Có m t cách khác đ  tìm ma tr n ki m tra c a mã vòngộ ể ậ ể ủ

xn + 1 = g(x) 

* h(x)

n h(x) được g i là đa th c đ i ng u c a ọ ứ ố ẫ ủ g(x). h(x) có b c ậ k

h(x) = h0 +  h1x + … + hkxk

n Ma tr n sau là m t ma tr n ki m tra c a mã vòngậ ộ ậ ể ủ

0 0

0 1

0 0

0

0 0

0

0 2

1

0 1

0 2

1 1

0 2

1

)

(

k n

h h

h

h h

h k

h

h h

h h

h

h h

h h

H

k k

k

k

k k

k k

k

n k

n

00

01

110

10

00

111

01

7 3

H

n Cho a là m t ph n t  khác ộ ầ ử 0 c a trủ ường GF(2m) có chu k  là ỳ

n, đa th c t i thi u ứ ố ể f(x) c a ủ a có b c là ậ m. Thì mã có ma tr n ậsau làm ma tr n ki m tra là m t mã vòng ậ ể ộ C(n, n – m), trong đó 

m i ph n t  trong ma tr n bên dỗ ầ ử ậ ướ ượi đ c thay th  b ng ế ằ

vect  ơ m thành ph n tầ ương  ng c a nó.ứ ủ

Hm n = [1 a  a2 … an – 2 an–1]

H n n a mã ơ ữvòng này có đa th c sinh chính là ứ f(x)

n Ví dụ

n Xét trường GF(24) và a có đa th c t i thi u làứ ố ể

f(x) = 1 + x + 

x4

n T  đây suy ra ma tr n ki m tra c a mã vòng (15, 11).ừ ậ ể ủ

n N u đa th c t i thi u c a ế ứ ố ể ủ a là f(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 thì a 

có chu k  là ỳ 5 và các ph n t  ầ ử 1, a,  , a4 được bi u di n nh  ể ễ ưsau

1 = (1000) a3 = (0001)

a = (0100) a4 = (1111)

a2 = (0010)

11

110

10

11

00

10

00

01

111

01

01

10

01

00

00

111

10

10

11

00

10

11

101

01

10

01

00

01

15

4

H

0 0

0

1 0

1 0

0

1 0

0 1

0

1 0

0 0

1

5 4

H

Mã BCH nh  phân ị

n Do Bose, Chaudhuri và Hocquenghem sáng l p ra.ậ

n Là mã vòng có kh  năng s a đả ử ược nhi u l i.ề ỗ

n Đ i v i các s  nguyên dố ớ ố ương m và t b t k  chúng ta s  xây ấ ỳ ẽ

Đ nh lý ị

n Đ nh lý 13.8 ị

n Cho a là m t ph n t  c a trộ ầ ử ủ ường GF(2m) có đa th c t i thi u ứ ố ể

là m t đa th c căn b n b c ộ ứ ả ậ m. Thì mã có ma tr n sau làm ma ậ

tr n ki m tra là m t mã vòng có kho ng cách Hamming ≥ ậ ể ộ ả 2t + 

1, trong đó m i ph n t  trong ma tr n bên dỗ ầ ử ậ ướ ượi đ c thay th  ế

b ng vect  ằ ơ m thành ph n tầ ương  ng c a nó.ứ ủ

) 1 )((

1 2 ( )

2 )((

1 2 ( )

1 2 ( 2 1

2

) 1 ( 5 )

2 ( 5 10

5

) 1 ( 3 )

2 ( 3 6

3

1 2

2

1

1 1 1

n t

n t

t t

n n

n n

n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Đ nh lý (tt) ị

n H n n a đa th c sinh ơ ữ ứ g(x) c a b  mã là đa th c b i s  chung ủ ộ ứ ộ ố

nh  nh t c a các đa th c t i thi u c a các ph n t  ỏ ấ ủ ứ ố ể ủ ầ ử a, a3, a5, 

1 1

2

2 2

2 1

2 1

1 1

1

r r

r r

r r

y y

y

y y

y

y y

y A

Ví dụ

n Cho m = 4, t = 2 chúng ta s  xây d ng m t mã vòng có chi u ẽ ự ộ ềdài t  mã là ừ 24 – 1 = 15 và có kho ng cách Hamming ả d ≥ 5. 

Vi c xây d ng s  d a vào trệ ự ẽ ự ường GF(24)

n G i ọ a là ph n t  có đa th c t i thi u là đa th c căn b n b c 4 ầ ử ứ ố ể ứ ả ậ

n Đây chính là trường GF(24) trong ví d    slide 250.ụ ở

n a có chu k   ỳ n = 2m – 1 = 15. Chúng ta có ma tr n ki m tra c a ậ ể ủ

b  mã nh  sau.ộ ư

n Thay m i ph n t  ỗ ầ ử ai b ng vect  ằ ơ 4 thành ph n tầ ương  ngứ

42 39

36 33

30 27

24 21

18 15

12 9

6 3

14 12

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

21

1

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a H

Ví d  (tt) ụ

111101111011110

101001010010100

110001100011000

100011000110001

111101011001000

011110101100100

001111010110010

111010110010001

H

n Trong trường h p đa th c t i thi u c a ợ ứ ố ể ủ a không ph i là đa ả

th c căn b n, chúng ta s  tìm đứ ả ẽ ược mã vòng có chi u dài ề n   

2m + 1, v i ớ n là chu k  c a ỳ ủ a.