Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị. Bài toán này với điều kiện ban đầu y(0) 0 luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị. Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán. Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow.
Trang 1TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM KỲ DỊ CỦA MÔ HÌNH
TĂNG TRƯỞNG SOLOW
Nguyễn Văn Minh 1* , Nguyễn Văn Thảo 2 Nguyễn Thị Thu Hằng 1
1 Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh - ĐH Thái Nguyên
2 Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên
TÓM TẮT
Mô hình Solow nghiên cứu sự tăng trưởng kinh tế được mô tả bởi bài toán Cauchy của phương trình vi phân Bernoulli có nghiệm kỳ dị Bài toán này với điều kiện ban đầu y(0)0luôn luôn cho hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kỳ dị Người ta chỉ quan tâm tới nghiệm thường của bài toán Việc nghiên cứu sâu hơn về nghiệm kỳ dị chưa được quan tâm Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của các nghiệm, kể cả nghiệm kỳ dị, của mô hình Solow
Từ khóa: Bài toán Cauchy, phương trình vi phân, tăng trưởng kinh tế, mô hình kinh tế, mô hình
tăng trưởng Solow, trạng thái ổn địn h
Mô hình tăng trưởng Solow được mô tả bởi
bài toán Cauchy sau đây
0
(1.1) ( ) ( ( )) ( )
(1.2) (0)
Với ( ) ( )
( )
K t
k t
L t
là tỷ số vốn/lao động Biến
này biểu thị hàm lượng vốn tính bình quân
trên một đơn vị lao động s là hằng số dương
nhỏ hơn 1, biểu thị tiết kiệm cận biên là
hệ số tăng trưởng lao động 0 (0)
(0)
K k L
điều kiện ban đầu, biểu thị tỷ số vốn/lao động
tính tại thời điểm ban đầu
Nghiên cứu về định tính của bài toán
(1.1)-(1.2) đã được trình bày trong hầu hết các tài
liệu về toán kinh tế
Trong bài báo này ta quan tâm phân tích định
lượng và đặc biệt là tính không ổn định của
nghiệm kỳ dị của bài toán (1.1)-(1.2)
PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG
Xét trường hợp hàm sản xuất là hàm
Cobb-Douglas có dạng
1
Q t aK t L t a
Khi đó bài toán (1.1)-(1.2) được viết lại:
*Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com
0
(2.3) ( ) ( ) ( )
(2.4) (0)
k t k t s ak t
Phương trình (1.3) là phương trình Bernoulli Phương trình này luôn luôn có hai nghiệm, trong đó một nghiệm là nghiệm tổng quát, một nghiệm là nghiệm kỳ dị:
Nghiệm tổng quát
1 1 (1 )
ở đây c là hằng số tích phân
Nghiệm kỳ dị y0
Bài toán Cauchy (2.3)-(2.4) tùy theo giá trị của k0 mà bài toán có duy nhất nghiệm hay hai nghiệm, có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1 Nếu k0 0, bài toán (2.3)-(2.4) cho nghiệm duy nhất là:
1 1
0
Trường hợp 2 Nếu k0 0, bài toán (2.3)-(2.4) có hai nghiệm là:
1
1
2
k t
Trang 2Từ ý nghĩa của điều kiện ban đầu
0
(0)
(0)
K
k
L
, ta thấy khi k0 0, dẫn tới
K(0)=0
Ta xét giới hạn của (2.5) và (2.6)
1
t k t
1 1 (1 )
2
1
1
as
(2.8)
t
Từ hai giới hạn ở trên xuất hiện một vấn đề:
mô hình tăng trưởng Solow với điều kiện ban
đầu không có vốn, trạng thái của nền kinh tế
có thể rơi vào (2.7) hoặc (2.8) Một câu hỏi
được đặt ra: khi thời gian đủ lớn, k(t) tiến tới
đâu? Tiến tới (2.7) hay (2.8)?
Để trả lời cho câu hỏi trên, ta phải xét tính ổn
định theo nghĩa Liapunov của mỗi nghiệm
1( ); 2( ).
k t k t
ỔN ĐỊNH LIAPUNOV
Để dễ theo dõi, chúng tôi nhắc lại một số
khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định
Trong mục này chúng ta xét phương trình
( )
dy t
Y y t t
dt
Định nghĩa 3.1
a) Nghiệm không của phương trình (3.1) được
gọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu với
sao cho từ bất đẳng thức
|| (0) ||y , suy ra bất đẳng thức
|| ( ) ||y t t 0; ở đây, y(t) là ký hiệu
một nghiệm bất kỳ của (3.1), xác định bởi
điều kiện y(0)
b) Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm
cận theo nghĩa Liapunov, nếu nó ổn định và
lim || ( ) || 0
Định lý 3.1
Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc
trưng của xấp xỉ thứ nhất có phần thực âm thì
nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận
1
n i
j
dy
Nếu trong số các nghiệm của phương trình đặc trưng của xấp xỉ thứ nhất tồn tại dù chỉ một nghiệm có phần thực dương thì nghiệm không của hệ không ổn định
1
( , ), 1, ,
n i
j
dy
ỔN ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH SOLOW
( ) ( ) ( )
k t k t s a k t
Đặt
f k k s a k
Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2, ta được
1
2
''( ) ( 1)
Vì 0 1, f ''( )k 0 k 0, do đó
'( )
f k là hàm nghịch biến theo k Mà phương
trình
1
f k s a k có nghiệm
1 1
Từ lập luận trên ta thấy f k'( )0với
(0;1)
k và f(0)0; f '(0) Sau đây ta phân tích định tính bằng phương pháp mặt phẳng pha, muốn vậy, ta dựng hệ
trục tọa đồ đề các vuông góc Okf, trên mặt
phẳng tọa độ này ta vẽ đồ thị của hàm (4.1)
Định lý 4.1 Nghiệm k t1( ) 0 là trạng thái không ổn định của mô hình tăng trưởng Solow
Tiếp theo, ta khảo sát tính ổn định của trạng thái (2.6), muốn vậy, ta xét dấu của '
2
( )
f k :
1 1
1 1
(1 ) 1
(1 ) 1
t
t
sa
e
Trang 3Chuyển qua giới hạn
2
t f k t e
Điều này chứng tỏ '
2
( )
f k sẽ âm với t đủ lớn
Từ hình vẽ trên cho ta hình ảnh trực quan về
tính ổn định của trạng thái k2(t) và tính không
ổn định của trạng thái k1(t)
Định lý 4.2 Trạng thái
1
1 1
(1 ) 1
k t e
là trạng thái ổn định
Kết luận: Mô hình tăng trưởng Solow được
mô tả bởi phương trình vi phân dạng
Bernoulli (2.3) Phương trình này luôn luôn
cho hai nghiệm: một nghiệm tổng quát và một
nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy của phương
trình (2.3) với điều kiện ban đầu y(0)0
luôn luôn có hai nghiệm, trong đó nghiệm
(2.5) luôn là nghiệm không ổn định theo
nghĩa Liapunov Còn nghiệm (2.6) luôn luôn
là nghiệm ổn định theo nghĩa Liapunov
Từ đó ta rút ta khẳng định: mặc dù ban đầu doanh nghiệp không có vốn nhưng sau một khoảng thời gian nào đó sẽ thoát khỏi trạng thái tĩnh, và khi đó tỷ số đơn vị vốn trên một đơn vị lao động k(t)=K(t)/L(t) sẽ dần đến một giá trị gọi là giá trị tới hạn, đó là
1 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb ĐH và THCN
2 E A Barbasin (1973), Mở đầu Lý thuyết ổn định, Nxb KHKT
3 I V Matveev (1978), Các phương pháp tích phân phương trình vi phân, Nxb Mir
4 Kevin Lee, M Hashem Pesaran, Ron Smith
(1077), Growth and convergence in a multy-country empirical stochastic Solow mode;, Applied Econometrics, vol 12
SUMMARY
STABILITY OF SINGULAR SOLUTION IN SOLOW GROWTH MODEL
Nguyen Van Minh 1* , Nguyen Van Thao 2 , Nguyen Thi Thu Hang 1
1 College of Economics and Business Administration - TNU
2 College of Technology - TNU
Solow model researches the economic growth which is described by Cauchy problem of Bernoulli difference equation has the singular solution This proplem always has two solutions including a singular solution, in the case initial condition as y(0) = 0 Usually, the regular solution of the problem is only concerned In this paper, however, we research stability of solutions, including singular solution of Solow model
Keywords: Cauchy problem, differential equation, economic growth, model economy, Solow
growth model, steady state
Ngày nhận bài:15/8/2014; Ngày phản biện:3/9/2014; Ngày duyệt đăng: 15/9/2014
Phản biện khoa học: TS Phạm Hồng Trường – Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh - ĐHTN
*Tel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.com