Bài viết Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều trình bày việc thiết lập ước lượng Carleman mới để sử dụng cho việc chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài toán nguồn ngược đối với phương trình parabolic suy biến/kì dị một chiều.
Trang 1TÍNH ỔN ĐỊNH LIPSCHITZ TRONG BÀI TOÁN NGUỒN
NGƯỢC CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
SUY BIẾN / KÌ DỊ MỘT CHIỀU
Vũ Mạnh Tới
Trường Đại học Thủy lợi, email: toivm@tlu.edu.vn
1 ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Bài toán ngược trong phương trình đạo
hàm riêng bằng cách sử bất đẳng thức
Carleman được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà
toán học Imanuvilov và Yamamoto (xem
[3,5]) Cụ thể, các tác giả nghiên cứu tính ổn
định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược
cho lớp phương trình parabolic đều Gần đây,
các kết quả về tính ổn định Lipschitz trong
bài toán nguồn ngược cho các lớp phương
trình parabolic suy biến một chiều được
nghiên cứu bằng cách sử dụng bất đẳng thức
Carleman (được cải tiến so với bất đẳng thức
Carleman dung cho tính điều khiển được về 0
trong [1]) tương ứng (xem [2]) Trong [4],
các tác giả đã thiết lập ước lượng Carleman
để nghiên cứu tính điều khiển được về 0 cho
lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị
Các kết quả cho bài toán nguồn ngược cho
lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị
chưa được nghiên cứu
2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng ước lượng Carleman tương ứng
để đi nghiên cứu bài toán nguồn ngược
3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1 Đặt bài toán và phát biểu kết quả
chính
Cho T 0, ta xét bài toán
,
0
( , ), ( , ) (0,1) (0, ), (0, ) (1, ) 0, 0 1, (0, ),
(1) (0, ) (1, ) 0, 1 2, (0, ),
t
x
x
trong các giả thiết sau (xem lí giải trong [4] liên quan bất các đẳng thức Hardy):
Trường hợp dưới tới hạn:
2
(2) (1 )
4
Trường hợp tới hạn:
0, 2 \ 1 , 2 , .
Trong nghiên cứu này, ta sẽ xét bài toán (1) trong trường hợp dưới tới hạn, tức là khi
,0 (0,1)
định nghĩa như sau:
,0
,0
(0,1) (0,1) | (0) (1) 0 ,0 1;
(0,1) (0,1) | (1) 0 ,1 2,
,0
1/2
H
0
H u L H x u dx Miền xác định của toán tử P , được cho bởi
2
loc
x x
x
Ta có kết quả sau về tính đặt đúng và tính trơn của nghiệm
0 (0,1)
(0, ; (0,1))
gL T L cho trước, (1) có duy nhất nghiệm u thỏa mãn với mọi (0, )T ,
,
([0, ]; (0,1)) ( , ; ( )) ( , ; (0,1)).
Trang 2Hơn nữa, nếu 1 2
(0, ; (0,1))
gH T L , thì
,
([0, ]; (0,1)) ([ , ]; ( ))
([ , ]; (0,1)).
b) Với mọi u0D P( , ) và 1 2
(0, ; (0,1))
gH T L
cho trước, (1) nghiệm u thỏa mãn
,
(0, ; ( )) (0, ; (0,1)).
uC T D P C T L
Từ bây giờ trở đi, xét T0 (0, )T cố định, kí
hiệu Q T T0, 0,1 T T0 , Đặt T1: ( T0T) / 2
và với bất kì C 0 0, xét
0
( ) : (0, ; (0,1))|
( , ) ( , ) h.k ( , ) [0,1] (0, )
{
}.
t
G
Ta quan tâm tới bài toán nguồn ngược sau
cho (1): Với g x t( , ) G (C0), liệu ta có thể
khôi phục lại nguồn g từ dữ kiện đã biết
của u(., )T1 và các quan sát trên biên
u t x(1,.) | (T T0, )?
Hai định lí sau là các kết quả chính của
báo cáo này
Định lí 1 Cho u0L2(0,1) Khi đó, với mọi
0 0
C , tồn tại một hằng số
( , , , ) 0
CC T T C , sao cho với mọi
0
( )
gGC , nghiệm u của (1) trong trường
hợp dưới tới hạn sẽ thỏa mãn
2
1 ( ) (., ) ( ) (1,.) ( , ) .
Định lí 2 Cho u0L2(0,1) Cho trước
1
([0,1] [0, ])
RC T sao cho R x T ( , )1 0 với
mọi x [0,1] Giả sử rằng 2
0 (0,1)
u L Khi
đó, tồn tại hằng số CC( , T T R0, , ) 0 sao
cho với mọi 2
1 , 2 (0,1)
f f L , ta có
2
,
2 0
2
(., ) (., )
t x L T T
ở đó u1 và u2 là hai nghiệm của (1) trong
trường hợp dưới tới hạn tương ứng với
g f R và g2 f R2
Định lí 2 là hệ quả trực tiếp của Định lí 1
cho g: g1g2 và uu1u2 vì g thuộc vào
0
(C )
( , ) [0,1] [0, ]
: sup t( , ) / inf ( , ).
x
x t T
3.2 Ước lượng Carleman
Ta thiết lập ước lượng Carleman đối với nghiệm của bài toán
0
0 0
(0, ) (1, ) 0, 0 1, ( , ),
(3) (0, ) (1, ) 0,1 2, ( , ),
,
,
x
T
trong trường hợp dưới tới hạn
Cho cố định sao cho 0 2 , đặt
hàm trọng ( , ) :x t ( ) ( )t p x với
2 2
0
x
Ta thiết lập bất đẳng thức Carleman sau
0, 2 , 0 2
và ¡ Khi đó tồn tại C 0 và s0 s0(2 , ) 0, sao cho với mọi ss0, nghiệm w của (3) thỏa mãn
, 0
2 , 0
2 2 2
1 4
(4)
T T
T T
s
s x Q
T
x
x
Giả sử rằng 0, 2 \ 1 , 2 và
( )
Khi đó tồn tại C 0 và
0 0 (2 , ) 0,
s s sao cho với mọi ss0, nghiệm w của (3) thỏa mãn
, 0
2 , 0
2 2
max{0, } 1
( )
T T
T T
s x Q
T
x
trong đó
3
3
2 2
2
1
T T
s
Q s
s t
s
Chứng minh Thiết lập (4) và (5) được dựa
trên một số đánh giá và một số bổ đề trong [2] và sử dụng khéo một số đánh giá để có
Trang 3được đánh giá cho số hạng tích phân toàn cục
của w t cần thiết cho bài toán nguồn ngược
3.3 Chứng minh Định lí 1
Đặt wu t, ở đó u thõa mãn (1) Từ tính
thỏa mãn
0
0 0
(0, ) (1, ) 0, 0 1, ( , ),
(6) (0, ) (1, ) 0, 1 2, ( , ),
,
,1).
x
t
Trường hợp [0, 2), 0 2 , ¡
Áp dụng (4) trong Định lí 3 cho w thỏa
mãn (6), tồn tại C 0 và s0 s0(2 , ) sao
cho với mọi ss0, ta có
,
0
2
0
2
| 1 ( )
1
4
.
T T
T T
s
s x Q
T
x
Đầu tiên, từ tính chất hàm trọng, chú ý
t
wu , sử dụnggG (C0) và bất đẳng
,
0
1
2 2
1
1
2 ( , ) 2
1
0
| ( , ) |
| ( , ) |
T T
s
Q
s x T
C
s
ta thu được
2
0
1
2 0
| 1 ( )
0
1
T T
T
s x T
t x L T T
s
Sau một số tính toán và sử dụng bất đẳng
thức Young, ta thu được đánh giá
1
,
0
1
0
2 2 2
( , )
1
T T
s x T
s
s x Q
x
Từ đó ta có
1
2 0
1
2 ( , )
0
1
2 ( , ) 2
1 0
1
| ( , ) |
s x T
t x L T T
s x T
s
Vì w x T( , )1 u x T t( , )1 P u x T , ( , )1 g x T( , )1 và
chọn s đủ lớn để 1,
2
C
s và với sao cho 1
2 ( , )
, [0,1]
s x T
1 0
1
| ( , ) |
( ) (1,.)t x L T T (., ) D P .
g x T dx
Ta có
1
1
( , ) ( , ) t t( , )
T
g x t g x T g x d và vì
0
( )
gGC , khi đó với ( , )x t (0,1) ( , ) T T0 ,
, 0
1 0
T T
Q
g x t dxdtC g x T dx
Kết hợp hai bất đẳng thức cuối ta kết thúc chứng minh của Định lí 1 trong trường hợp
¡
Trường hợp [0, 2) \ {1}, 2 và
( )
hợp trước, với chú ý thay bởi việc sử dụng (4) ta sử dụng (5)
4 KẾT LUẬN: Bài báo đã thiết lập ước lượng Carleman mới để sử dụng cho việc chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài toán nguồn ngược đối với phương trình parabolic suy biến/kì dị một chiều
5 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2008), Carleman estimates for a class of degenerate parabolic
operators, SIAM J Control Optim 47, 1-19.
[2] P Cannarsa, J Tort and M Yamamoto (2010), Determination of source terms in a degenerate parabolic equation, Inverse Problems 26, 105003, 20 pp
[3] O.Yu Imanuvilov and M Yamamoto (1998), Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the Carleman estimate, Inverse Problems 14, 1229-1245 [4] J Vancostenoble (2011), Improved Hardy-Poincaré inequalities and sharp Carleman estimates for degenerate/singular parabolic
problems, Discrete Contin Dyn Syst Ser S 4,
761-790
[5] M Yamamoto (2009), Carleman estimates for
parabolic equations and applications, Inverse
Problems 25, 123013, 75 pp