Bài giảng Nghiên cứu thống kê: Chương 6 Ước lượng gồm các nội dung chính như: ước lượng điểm, ước lượng khoảng, ước lượng trung bình tổng thể, ước lượng tỷ lệ tổng thể,...
Trang 1CHƯƠNG 6
ƯỚC LƯỢNG
1
Trung bình khơng biết
Tổng thể Mẫu ngẫu nhiên
95% giá trị nằm giữa 40 &
60
Trung bình = 50 Tiến trình ước lượng
Mẫu
2
6.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM:
Một ước lượng tham số tổng thể được cho bởi một con số
thì được gọi làước lượng điểmcủa tham số tổng thể.
VÍ DỤ : cơng ty A cĩ hàng ngàn cơng nhân.
Thăm dị 100 cơng nhân của cơng ty nhận thấy
thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng
Sử dụng trung bình mẫu để ước lượng thu nhập
trung bình của cơng nhân cơng ty A
Ta nĩi thu nhập trung bình của cơng nhân cơng ty
đượcước lượng là 1,5 triệu đồng/tháng
3
THỐNG KÊ TỐN ĐÃ CHỨNG MINH :
E(S 2 ) = 2
DO ĐĨ KHI ĐÃ CĨ MẪU CỤ THỂ TA LẤY :
4
( )
E X
ˆ ( )
E P p
ˆ
Trang 26.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG :
Giả sử tổng thể chung cĩ chưa biết Căn cứ
vào mẫu gồm cĩ n đơn vị, ta đưa ra , là
các đại lượng ngẫu nhiên sao cho:
Với :
: độ tin cậy của khoảng ước lượng đĩ
: giới hạn tin cậy trên
: giới hạn tin cậy dưới
5
1
2
1
1
2
VÍ DỤ: Kiểm tra 50 bĩng đèn của một cơng ty,
thấy tuổi thọ trung bình là 1000 giờ
Sử dụng tuổi thọ trung bình mẫu (50 bĩng đèn) để ước lượng cho trung bình của tổng thể (bĩng đèn do cơng ty sản xuất) vớisai số
là 100 giờ
Ta nĩi tuổi thọ trung bình của bĩng đèn do cơng ty trên sản xuấttừ 900 đến 1100 giờ
6
6.2.1 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ :
Giả sử ta cĩ mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát được chọn
từ tổng thể cĩ phân phối chuẩn với chưa biết.Với độ
tin cậy cho trước, trung bình tổng thể được xác
định như sau:
Ta cĩ các trường hợp
a) n 30
+ PHƯƠNG SAI ĐÃ BIẾT:
+ PHƯƠNG SAI CHƯA BIẾT:
TA THAY BẰNG S 2 (PHƯƠNG SAI MẪU HIỆU
-z
2
1
2
b) n < 30 + PHƯƠNG SAI 2 ĐÃ BIẾT:
+ PHƯƠNG SAI 2 CHƯA BIẾT:
Trang 3(1-α)100%
80% 1.28
85% 1.44
90% 1.645
95% 1.96
98% 2.33
99% 2.58
99.8% 3.08
99.9% 3.27
TẮT-Phương sai của tổng thể
Chưa biết
Đã biết
Cỡ mẫu lớn (n > 30)
Cỡ mẫu nhỏ (n ≤ 30)
/ 2
n
n
/ 2
n s
x t
n
10
VÍ DỤ : ĐỂ ƯỚC LƯỢNG TUỔI THỌ TRUNG
BÌNH CỦA MỘT LOẠI SẢN PHẨM, NHÂN
VIÊN KỸ THUẬT CHỌN 40 SẢN PHẨM MỘT
CÁCH NGẪU NHIÊN TỪ KHO SẢN PHẨM.
KẾT QUẢ KIỂM TRA CHO THẤY TUỔI THỌ
TRUNG BÌNH LÀ 200 GIỜ; S 2 = 5776 GIẢ SỬ
RẰNG TUỔI THỌ CỦA SẢN PHẨM CÓ PHÂN
PHỐI CHUẨN, HÃY ƯỚC LƯỢNG TUỔI THỌ
TRUNG BÌNH CỦA SẢN PHẨM TRÊN VỚI ĐỘ
TIN CẬY LÀ 95%.
11
Hãy ước lượng chiều cao trung bình của một sinh viên nữ của trường này với độ tin cậy:
a) 95%
b) 99%
12
VÍ DỤ: Số sinh viên nữ ở trường Đại học XYZ là 1.546 sinh viên Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sinh viên nữ với các chiều cao như sau:
Chiều cao (cm)
Số SV 151–158 5 159–166 18 167–174 41 175–182 27 183–190 9
Trang 4 VÍ DỤ : Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính
của một quả cầu, cĩ đường kính trung bình là
4,38 cm và độ lệch chuẩn s = 0,06 cm Hãy
tìm khoảng tin cậy của đường kính thực với
độ tin cậy a) 95%; b) 99%
Cơngthức ước lượng:
a) 1 – = 0,95 = 0,05 t0,025(9) =
2,2622
Khoảng tin cậy(4,3348; 4,4252)cm
b) 1 – = 0,99 = 0,01 t0,005(9) =
3,250
Khoảng tin cậy(4,3150; 4,4450)cm
n 1, / 2 S
X t
n
6.3 ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ TỔNG THỂ:
Nếu là tỷ lệ các phần tử thỏa đặc tính cần nghiên cứu của một mẫu ngẫu nhiên cỡ n, khoảng tin cậy với độ tin cậy (1-) cho tỷ lệ p các phần tử cĩ đặc tính nghiên cứu của tổng thể là
ˆp
ˆ(1 ˆ) ˆ(1 ˆ)
n
n
Bài tốn: cần tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ p của
tổng thể thỏa mãn một đặc tính nào đĩ
14
15
VÍ DỤ: MỘT CÔNG TY KINH DOANH GAS THỰC
HIỆN MỘT NGHIÊN CỨU ĐỂ ƯỚC LƯỢNG TỶ
LỆ CÁC HỘ GIA ĐÌNH CÓ SỬ DỤNG GAS LÀM
CHẤT ĐỐT KẾT QỦA ĐIỀU TRA MẪU NGẪU
NHIÊN 50 HỘ GIA ĐÌNH CHO THẤY CÓ 35 HỘ
SỬ DỤNG GAS LÀM CHẤT ĐỐT VỚI ĐỘ TIN
CẬY 95% HÃY ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ HỘ GIA
ĐÌNH SỬ DỤNG GAS LÀM CHẤT ĐỐT.
16
Biết lương tháng của cơng nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy cĩ phân phối chuẩn Chọn ngẫu nhiên16 cơng nhân khảo sát
Cơng nhân gọi là cĩ thu nhập cao nếu lương tháng từ
2 triệu đồng trở lên Hãy lập khoảng tin cậy 95% cho
tỷ lệ cơng nhân cĩ thu nhập cao.
Lương tháng
0.8 1.0 1.2 1.3 1.5 1.7 2 2.3 2.5
Số cơng nhân
1 1 2 2 2 3 2 2 1
Ví dụ
Trang 5 VÍ DỤ :
Một mẫu thăm dò ý kiến của 100 cử tri được chọn
ngẫu nhiên tại một quận cho thấy có 55% trong số
này ủng hộ ứng cử viên A Hãy tìm khoảng tin cậy
tỷ lệ của tất cả các cử tri ủng hộ ứng cử viên A, với
độ tin cậy: a) 95%; b) 99%;
18
Gọi p là tỷ lệ của tất cả các cử tri tại địa phương này ủng hộ ứng cử viên A
Áp dụng công thức ước lượng:
a) Với 1 –= 95%z/2= 1,96
Vậy 0,4525 < P < 0,6475, hay p(0,4525; 0,6475)
b) Với 1 –= 99%z/2= 2,58
Khoảng tin cậy của p là: 0,4216 < P < 0,6784
/ 2
ˆ (1 ˆ )
p z
n
0, 55(1 0, 55)
0, 55 1, 96 0, 55 0, 0975
100
6.4 ƯỚC LƯỢNG KHÁC BIỆT TRUNG BÌNH 2
TỔNG THỂ
6.4.1 Trường hợp mẫu phối hợp từng cặp (không độc
lập):
Trong đó: là trung bình của 2 tổng thể
19
1
n
i
i
d
d
n
2
1
( )
1
n
i
i
d
d d
S
n
Là trung bình của n khác biệt (xi-yi)
Là độ lệch tiêu chuẩn của n khác biệt (xi-yi)
,
X Y
Ví dụ:Một công ty thực hiện biện pháp tăng năng suất lao động Số liệu NSLĐ của 10 công nhân trước và sau khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ như sau
20
Công nhân Năng suất lao động của công
nhân trước và sau khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ
Trước Sau
d x y
Trang 6B1: Gọi lần lượt là NSLĐ của công nhân trước và sau
khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ
B2: + Vì n=10<30 nên áp dụng công thức
Với độ tin cậy 95%
Từ số liệu tính được:
21
,
X Y
1 4.9
n i i
d d n
1
( ) 4.4833 1
n i i d
d d S
n
/2,n1 2.262
t
4,9 2, 262 4,9 2, 262
8,1069 1, 6931 1.6931 8,1069
X Y
B3: Kết luận : Vậy với độ tin cậy 95% có thể nói các biện pháp tăng NSLĐ đã làm tăng NSLĐ trung bình của 1 công nhân từ 1,6931 đến 8,1069kg/ngày
22
6.4.2 Trường hợp mẫu độc lập:
Trong đó: là trung bình của 2 tổng thể
là trung bình mẫu của 2 tổng thể
là phương sai của 2 tổng thể Trong trường hợp cỡ mẫu lớn ta có thể
dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh để thay
cho phương sai tổng thể (nếu chưa biết phương
X Y
2 2
,
X Y
,
x y
,
X Y
, 30
x y
n n
2 2 ,
x y
s s
Ví dụ : Một công ty nghiên cứu thị trường được thực hiện một cuộc khảo sát khách hàng của một chuỗi của hàng thực phẩm lớn để ước lượng sự khác biệt trong thời gian trung bình mỗi lần ghé cửa hàng của khách hàng nam và khách hàng nữ với độ tin cây là 95%.Nghiên cứu cho thấy phương sai của khách hàng nam là 11 phút và nữ là là 16 phút.Công ty chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng nam và 100 khách hàng nữa vào những thời điểm khác nhau ở các cửa hàng khác nhau trong chuỗi của hàng này để khảo sát.Kết quả là thời giant rung bình của khách nam tại cửa hàng là 34.5 phút còn thời giant rung bình của khách nữ là 42.4 phút.
24
Trang 7 B1: Gọi lần lượt là thời gian trung bình tổng thể tại
cửa hàng của khách nam và khách nữ
lần lượt là phương sai tổng thể thời gian tại cửa
hàng của khách nam và khách nữ
B2: + Xác định số liệu
+ Áp dụng công thức, tính toán
25
,
X Y
2 , 2
X Y
/ 2
34.5, 42.4; 11, 16
1 95% 1.96
Z
(34.5 42.5) 1.96 (34.5 42.5) 1.96
11.7056 4.0944
X Y
X Y
X Y
x y Z x y Z
B3: Kết luận : Vậy với độ tin cậy 95% trung bình khách hàng nữ mất nhiều thời gian tại cửa hàng hơn khách hàng nam từ 4.0944 đến 11.7056 phút
26