SKKN bất đẳng thức 2014 ban chinh 2

Lý do chọn lựa đề tài này là trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học gần đây, câu 6 có tính chất tổng hợp về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường khiến th

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CỔ LOA

- -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI :

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Lĩnh vực: Toán học (02) Tên tác giả: Trần Quốc Thép Giáo viên môn: Toán

Năm học: 2013 – 2014

I.PHẦN MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:………

2 Mục tiêu nghiên cứu:………

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:………

4 Các phương pháp nghiên cứu:………

II.PHẦN NỘI DUNG: 1 Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: ………

2 Cơ sở lý luận của đề tài: ………

3 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: ………

4 Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: ………

4.1 Nội dung nghiên cứu: ………

4.1.1 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4.1.2 Phương pháp S-P và áp dụng 4.1.3 Kĩ thuật chia đẳng cấp 4.1.4 Kĩ thuật dồn sang một biến 4.1.5 Kĩ thuật sử dụng các bất đẳng thức phụ 4.1.6 Dùng các phép thế đặc biệt 4.1.7 Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c) 4.1.8 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học 4.2 Kết quả nghiên cứu: ………

III.PHẦN KẾT LUẬN: 1.Kết luận và khuyến nghị: ………

2.Tài liệu tham khảo: ………

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

7

9

11

15

16

20

25

26

26

I PHẦN MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:

Trong toán học nói chung, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức, ngay từ đầu đã đặt dấu ấn quan trọng; chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn mà nó mang đến luôn thôi thúc con người tìm tòi, sáng tạo Tất cả những điều đó đã dệt nên một bức tranh tuyệt đẹp mang bản sắc riêng của bất đẳng thức trong toán học

Lý do chọn lựa đề tài này là trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học gần đây, câu 6 có tính chất tổng hợp về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường khiến thầy cô e ngại vì tính tổng hợp, độ khó của nó Tác giả mong muốn cung cấp một số kỹ thuật, thủ thuật giúp cho học sinh vượt qua nỗi

sợ đó

Điều vô cùng thú vị ở đây là các kiến thức được sử dụng hết sức đơn giản, nhưng những bài tập mới hết sức hay, hấp dẫn

2.Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu của tác giả là nghiên cứu các phương pháp sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Tác giả tập trung vào các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hàm số

3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Trình bày lại các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng

phương pháp hàm số

- Giới thiệu một số kinh nghiệm sử dụng phương pháp hàm số

- Nêu một số bài tập tổng hợp để vận dụng các kĩ năng

- Sử dụng sơ đồ tư duy để sáng tạo

4.Các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp phân tích: nghiên cứu toàn bộ các lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

- Phương pháp tổng hợp: tổng hợp các kiến thức về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trên mạng, trong các đề thi thử

- Phương pháp thực nghiệm: khi giảng dạy một bài toán tôi thấy rằng cần phải thử nghiệm cách dạy qua những lớp khác nhau thì mới rút ra những kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau

- Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ cũng như trên mạng intenet

II PHẦN NỘI DUNG

1.Lịch sử của vấn đề nghiên cứu:

Phương pháp hàm số, cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được các em nắm rất kĩ khi học thi tốt nghiệp, là một cơ sở để tác giả tập hợp các bài toán này Hơn nữa trong các kì thì gần đây, hầu hết các bài phân loại đều dung phương pháp hàm số Nếu được học vấn đề này rất có lợi cho học sinh khi đi thi, vì các bài toán về phương trình và hệ phương trình cũng dùng hàm số rất nhiều

2.Cơ sở lý luận của đề tài:

Cơ sở triết học: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn Đó là con đường biện chứng của quá trình tìm ra chân lý”

Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần tư duy Tự mình đề xuất được hướng giải quyết vấn đề

Yêu cầu của thực tiễn: Đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần sách giáo khoa mới Thực hiện lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy học

Phương pháp luận: tổng hợp những kiến thức đã biết, đã rõ để tạo ra những kiến thức mới,

3.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

Đa số học sinh và cả giáo viên rất ngại khi làm mảng kiến thức này, vì chứng minh bất đẳng thức, hay tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là tương đối khó Các tài liệu cũng đề cập về dạng toán cũng khá ít ỏi Hơn nữa, phương pháp sử dụng hàm số là mới lạ với học sinh Học sinh phải nắm rất chắc chắn các bất đẳng thức cơ bản, một số bất đẳng thức phụ, biết đánh giá Một điều quan trọng là học sinh thiếu phương pháp, giáo viên thì thiếu thời gian hoặc chưa đưa ra con đường tiếp cận hợp lý

4.Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu:

4.1 Nội dung nghiên cứu:

Quan điểm của tác giả là để các bài tập thể hiện phương pháp cũng như kinh nghiệm của mình! Hi vọng bạn đọc sẽ có những trải nghiệm thú vị khi đọc các bài toán sắp tới

4.1.1 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa:

( )max ( )

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có nhiều phương pháp nhưng trong sáng kiến này, ta đề cập chủ yếu đến phương pháp hàm số Sau đây là hai ví dụ ôn tập.

Ví dụ 4.1.1 Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: y0,x2 x y12 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: Axy x 2y17

ta có điều phải chứng minh

Qua hai ví dụ trên, bạn đọc dễ thấy rằng, việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thì phương pháp đầu tiên là tìm cách thế một

ẩn theo ẩn còn lại, sau đó đưa sang hàm số

4.1.2 Phương pháp S-P và áp dụng

Một phương pháp thường được sử dụng là dùng mối liên hệ giữa các biểu thức đối xứng Sx y P,  xy Từ điều kiện của đề bài ta rút tập xác định của biến S, P rồi ta sử dụng hàm số

Theo kinh nghiệm của bản thân tôi, phương pháp nên dạy ở lớp 10, khi học sinh học bất đẳng thức và hàm số bậc hai Sau này khi học 12, học sinh đã

có một cơ sở khá vững chắc ở lớp 10, lúc này ta cho kết hợp với hàm số

Ví dụ 4.2.1 Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện:  2 2

f S S  S  trên 1;2 ta có minA=

Vì vậy VT  4 Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4.2.5 (Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Cho x, y là hai số thực dương thỏa

mãn x3 + y3 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2( )

x y 

Bài tập tương tự

Đề thi khối D-2009: Cho x, y không âm thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức  2  2 

Khi học phương trình học sinh đã làm quen với khái niệm: phương trình đẳng

cấp, hệ phương trình đẳng cấp từ lớp 10, 11 Đó là khi bậc của , x y trong biểu thức như nhau Khi gặp các bài toán mà yêu cầu đề bài có dạng đẳng cấp với các biến, ta có thể chia rút bớt một biến ra để chỉ còn lại một biến Chẳng hạn ví dụ sau

Ví dụ 4.3.1 (Đề thi khối D-2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện xy y1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

263

Do vậy ta có điều kiện:0 1

Ví dụ 4.3.2 (Đề thi khối A-2013) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều

kiện (ac b)( c)4c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



Biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh Vậy g(S) đồng biến nên ta có

 min A = g(2) = 1 – 2 khi x = y = 1

4.1.4 Kĩ thuật dồn sang một biến

Ngay từ ví dụ mở đầu, ta thấy phương pháp thế giúp ta đưa bài toán hai biến thành một biến Mọi hướng biến đổi các bài bất đẳng thức dùng hàm số đều theo hướng này

Để dồn sang một biến nào đó ta thường dùng các bất đẳng thức :

Từ bảng biến thiên suy ra, A có giá trị nhỏ nhất là 108

25 khi

35

z z

Ví dụ 4.4.3 (Thi thử Chuyên Sư Phạm lần 5-2013) Cho x, y, z là các số thực

thỏa mãn: xy  z 0, x2  y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Px  y z

Giải

Đáp số : maxP  1khi x=y=z

Ví dụ 4.5.3 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x y x,  Tìm giá z

Khai căn hai vế ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4.5.4 Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn xy 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy maxP  5 khi x 2y4z

Nhận xét 4.3 Bất đẳng thức sau cũng hay được sử dụng

Chứng minh: bất đẳng thức trên tương đương với xy x  y2 1xy2 0

Ví dụ 4.6.2 Cho , ,a b c  , tìm giá trị nhỏ nhất của 0

43

Ta nhận xét rằng bậc của , ,a b c trong từng số hạng bằng nhau, vì vậy suy nghĩ

đầu tiên là chia đẳng cấp, để chuẩn hóa các biến

Lập bảng biến thiên ta có  

0

2min

Ví dụ 4.6.2 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn xy yz 1 xy.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

11

z

f z

z z

4.1.7 Kĩ thuật dồn sang biến t = f(a,b,c)

Ta không chỉ dồn sang một trong ba biến mà còn có thể chuyển sang biến là



4 2

Ta dễ thấy rằng sẽ dồn sang biến a b c

Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi, ta có

Ví dụ 4.7.6 (Thi thử Chuyên ĐH Vinh lần 1-2014) Cho x, y, z là các số thực

5 x  y z 6 xy yzzx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2 2

5

25

t

P t Xét hàm số  

4

22

Ví dụ 4.8.1 (HSG Hà Nội 2013) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nếu y 2 bất phương trình vô nghiệm Nếu y 2, y'0 x 3 / 3

Ta có bảng biến thiên sau

Ví dụ 4.8.3 Cho ,x y là các số thực thỏa mãn y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Ví dụ 4.8.4 (Đề thi ĐH khối A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều

kiện x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đến đây vì đề hỏi giá trị nhỏ nhất, ta nhận xét rằng 3x y  1, dấu bằng xảy ra khi

có x y Như vậy, có lẽ ta đánh giá hàm theo biến đối xứng với ,x y, chẳng hạn

t x y Theo bất đẳng thức trị tuyệt đối, đồng thời trong , ,x y z có 2 số không

âm hoặc không dương Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy  0, ta có

P 3x y 32y x 32x y  12[(x y)2 xy]



2 2

Hướng dẫn: Xem bài 4.7.2, đáp số: 1 / 2

Bài tập 2 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn aba b 3 Chứng minh rằng

Bài tập 7 (HSG Quảng Bình) Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

4.2 Kết quả nghiên cứu:

Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài, tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích nhiều cho học sinh trong việc học một bộ môn rất khó khăn, giúp các

em không còn “ngại ngần” giải toán bất đẳng thức nữa, các em đã giải khá tốt những phần liên quan đến bất đẳng thức; say mê học và giải bài tập Hiệu quả này đã động viên khuyến khích tôi rất nhiều Sau khi có bộ công cụ này, tôi thấy cần thời gian để tiếp tục nghiên cứu và cải tiến các kĩ thuật mới

Vì số ví dụ trong thực tế dạy học là rất nhiều, tác giả chỉ cung cấp một vài

ví dụ điển hình tiêu biểu từ dễ đến khó Các bạn có thể thấy trình tự sắp xếp trong cách dựng đó, mục đích chuyển từ dễ là khám phá đến bước cuối cùng là sáng tạo bất đẳng thức mới Tác giả hi vọng cách sắp xếp này giúp các thầy cô

dễ đọc và sử dụng Sau một quá trình tôi xin cung cấp một vài kết quả thực nghiệm ban đầu, với cách dạy mới và cũ tôi thu được một vài kết quả sau: với lớp thực nghiệm 12A1, dạy theo phương án mới và lớp đối chứng 12A2, dạy theo phương án truyền thống (2 lớp thuộc trường THPT Cổ Loa, Hà nội.) thông qua bài kiểm tra sau khi dạy xong

Trên tinh thần đó tôi đã cố gắng đã chọn lọc những bài tập những ví dụ đơn giản cùng hệ thống bám sát tinh thần đó

III PHẦN KẾT LUẬN 1/ Kết luận và khuyến nghị:

Sáng kiến kinh nghiệm đã đạt được một số kết quả như sau:

i) Trình bày các phương pháp cơ bản: phương pháp thế, dùng đối xứng SP, chia đẳng cấp

ii) Sử dụng các bất đẳng thức phụ, bất đẳng thức hình học, một số kinh nghiệm rút biến, giảm biến

iii) Sáng kiến đã trình bày một cách hệ thống các bài tập bất đẳng thức , tác giả cố gắng sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó

Tôi viết đề tài nhằm mục đích cùng trao đổi với các thầy cô dạy bộ môn toán về việc để sử dụng phương pháp hàm số trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Một lợi ích nữa giúp học sinh thành thạo trong giải toán bằng đạo hàm, nhất là mảng phương trình và hệ phương trình Vì kiến thức

và thời gian còn nhiều hạn chế nên chắc rằng tài liệu có thiếu sót, tôi chân thành đón nhận sự góp ý của Quý Thầy Cô Xin chân thành cảm ơn các thầy cô Tổ Toán trường THPT Cổ Loa đã đóng góp xây dựng hoàn thiện thêm sáng kiến

2 Tài liệu tham khảo:

1 Các bài giảng về bất đẳng thức Cô si _ Nguyễn Vũ Lương NXB Đại học quốc gia Hà Nội

2 Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacôpxki _ Nguyễn Vũ Lương NXB Đại học quốc gia Hà Nội

3 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý và áp dụng}, NXB Giáo Dục, Hà Nội

4 Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach Radmila Bulajich

Manfrino, José Antonio Gómez Ortega,Rogelio Valdez Delgado

5 Các bài tập trên Internet, các mạng http://forum.mathscope.org , các đề

thi HSG các tỉnh, Diễn đàn bất đẳng thức

6 Báo Toán học tuổi trẻ, các đề thi thử của các trường THPT trên cả nước

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Hà nội ngày 19 tháng 5 năm 2014

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Trần Quốc Thép

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2013 - 2014 I Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường THPT Cổ Loa

1 Tên đề tài: Một số kĩ thuật sử dụng hàm số để chứng minh bất đẳng thức trong kì thi đại học 2 Họ tên tác giả: Trần Quốc Thép 3 Chức vụ: Giáo viên

Tổ: Toán 4 Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài:

a) Ưu điểm: .

b) Hạn chế: .

5 Đánh giá, xếp loại:

Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THPT Cổ Loa thống nhất xếp loại:

Những người thẩm định:

Chủ tịch HĐKH

II Đánh giá, xếp loại của HĐKH Sở GD&ĐT

Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD & ĐT Hà Nội thống nhất xếp loại:

Những người thẩm định:

Chủ tịch HĐKH