Định lí Taket

Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho họcsinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức,giải phơng trình, chứng min

Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có thể ôn lại cho họcsinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức,giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác

Vận dụng định lý Talet vào giải toán ngoài việc học sinh đợc rèn luyện các kỹnăng toán học, chủ yếu còn đợc nâng cao về mặt t duy toán học Các thao tác t duynh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thờng xuyên đợc rèn luyện và phát triển.

2 Cơ sở thực tiễn.

Từ năm học 2001 – 2002 đến nay, tôi đã đợc giao nhiệm vụ giảng dạy bộmôn Toán 8 Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Taletvào giải bài toán của học sinh còn hạn chế Khi học về phần này, học sinh còn khókhăn:

- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng haymắc sai lầm

- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ,tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế

- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổibài toán, khai thác bài toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao

- Học sinh cha có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phơng phápqua từng bài toán, dạng toán

3 Kết luận khái quát.

Nhận thức rõ đợc vị trí và tầm quan trọng của chuyên đề: “Một số dạng bàitập ứng dụng định lí Talet” trong chơng trình Toán THCS Thông qua thực tếgiảng dạy kết hợp với một số sách viết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôinghiên cứu và thực hiện đề tài này

II –- Mục đích nghiên cứu

Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tợng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra

đợc một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: “Một số dạng bài tập ứng

dụng định lý Talet” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để

- Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tduy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,…

III - Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiêncứu:

Trong mỗi dạng bài tập đều có định hớng chung về cách giải, ở mỗi ví dụ

đều có bớc hớng dẫn tìm lời giải

Do trong điều kiện thực tế khi học về chuyên đề này học sinh đã đợc họcmột số chuyên đề có liên quan: Tỉ lệ thức, diện tích đa giác, bất đẳng thức hìnhhọc, … nên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này tôi không nhắc lại về các kiếnthức cơ bản để giải các dạng toán đó mà học sinh đợc vận dụng các kiến thức đóvào giải tóan

IV Phơng pháp nghiên cứu:

Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là:

- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo

Nh vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn

Trang: 2

*3 C¸c tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau:

2 §Þnh lý Talet trong tam gi¸c.

B' A' CD

AB =

D' C'

B' A' CD

AB =

D' C'

B' A' CD

AB =

D' C'

CD B' A'

AB =

CD

D' C' AB

B' A' =

AB

CD B' A'

D' C' =

) ' (

D' C' CD

B' A' AB D'

C'

D' C' B' A' CD

CD AB D'

C'

B' A' CD

B' A' CD

AB =

2.2 Định lý đảo.

Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh nàynhững đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại củatam giác

AB'

=

AC

AC' AB

' BC

C' B' B AB' = =

C' B'

B' A' BC

AB

=

'C' B"

'

AB' BC

B

’ C

’

B’

C’

B C

C' B'

B' A' BC AB

=

3.3 Hệ quả (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song)

- Nhiều đờng thẳng đồng quy định ra trên hai đờng thẳng song song những

II – Các dạng bài tập ứng dụng định lý Talet.

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng - tỉ số hai đoạn thẳng.

Định lý Talet cho ta mối quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng:

Cho nên muốn vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng hay tỉ sốhai đoạn thẳng ta thờng:

+ Ghép đoạn thẳng cần tính độ dài vào hệ thức của định lý Talet

’ B

’ B

’

C' A'

AC C' B'

BC BC

AB = =

O A

AB =

1 AB'

AB ≠

d

c b

a

=

C' B'

B' A' BC AB

=

+ Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số cần tính về các tỉ số hai đoạn thẳng đãbiết hoặc có thể tính đợc nhờ tính chất của tỉ lệ thức.

Ví dụ 1: ∆ABC nhọn có AC>AB, AC=45cm

Đờng cao AH Đờng trung trực của BC cắt cạnh AC tại N,

biết HB = 15 cm;HC = 27 cm

Tính CN = ?

* H

ớng dẫn tìm lời giải :

Theo giả thiết của bài toán có hai đờng thẳng nào song song cha?

áp dụng định lý Talet CN đợc ghép vào hệ thức nào?

Trong hệ thức đó: CI, CA, CH đã biết cha?

* Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán ta suy ra đợc hai đờng thẳng song

song: NI //AH bằng cách áp dụng định lý Talet thuận ta đã tính đợc NC

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh AD sao cho

, vẽ đờng thẳng MN song song với AB biết AB = 28, CD = 70

* H

ớng dẫn tìm lời giải :

Giả thiết của bài toán có các đờng song song: AB//MN//DC

Yêu cầu của bài toán tính MN = ? Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào định

lí nào của định lý Talet

Trang: 6

CH

CI CA

NC

= A

21

2 =

BC cm

CN CN

35 27

I

O P

Ta hãy tìm cách tạo ra các tam giác để vận dụng định lý Talet.

áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính đợc PM

Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2)

Kẻ AI//BC, I∈ DC, AI cắt MN tại P

Tứ giác ABNP là hình bình hành nên AB = PN

AB = 28Trong ∆ ADI: PM//AD áp dụng hệ quả định lý Talet ta có:

Theo giả thiết:

Mặt khác DI = DC – AB = 42

Suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN = 40 cm

Nhận xét: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác

Ví dụ 3: ∆ABC có AC = 3 AB Lấy D ∈ AB, E ∈ AC sao cho CE = BD, DEcắt BC tại K Tính

* H ớng dẫn tìm lời giải :

Bài toán yêu cầu tình tỉ số Giả thiết của bài toán cha cho ta có thể tính

đợc trực tiếp tỉ số Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số về các tỉ số đã biết

Muốn làm đợc điều đó ta cần vận dụng định lý Talet Nhng vấn để đặt ra làphải có đờng thẳng song song mới mong muốn vận dụng đợc định lý Talet, nhng

vẽ nh thế nào? Vẽ thêm đờng thẳng song song ở bài này cần đạt đợc 2 yêu cầu:

+ Tỉ số đợc chuyển thành một tỉ số mới mà tỉ số này có liên hệ với tỉ số

Từ (1) và (2) suy ra:

Nhận xét: ở Ví dụ 3 ta đã vẽ thêm đờng thẳng song song để có thể vận

dụng đợc định lý Talet và hệ quả

Ví dụ 4: ∆ ABC, lấy D BC, E AC, sao cho

AD cắt BE tại I Tính

* H ớng dẫn tìm lời giải :

Từ tỉ số cần tính và các tỉ số đã biết Ta vẽ thêm đờngthẳng song song: Qua D kẻ DM //BE, với M ∈ AC

EF KE

3

1 AC EC AC

2 EC

, 7

3

BC = AE =

BD

ID

AI

ID

5

2 EC

, 7

BD EC

EM = =

EM

AE ID

AI = 15

14 7

3 : 5

2 EC

EM : EC

AE EM

IDAI =

Ví dụ 5: ∆ ABC có ∠BAC = 120 o , AB = 6 cm, AC = 12cm, phân giác

∠BAC cắt BC tại D Tính AD.

* H ớng dẫn tìm lời giả i :

AD là phân giác góc BAC, mà ∠BAC = 120o nên ∠BAD =∠DAC = 60o

Sử dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: , nên ta vẽ thêm đờngphụ để tạo tam giác đều : DE//AB thì ∆ ADE đều, ta chuyển từ việc tính AD vềtính AE

+ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

+ Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet trong tam giác

+ Vẽ thêm đờng thẳng song song tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ

+ Trong thực hành đôi khi ta cần đặt một đại lợng cần tính là x, sau đó dùngcác biến đổi đại số để tìm x

2

1 A

AB

DC = =

C DB

cm x C

DE

4 12

x - 12 6

x A

CE

A B

C B

E D

Dạng 2: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng.

Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó.Nếu nh ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳngbằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lênlớp 8, học sinh sau khi học song về diện tích đa giác, nhất là định lý Talet thì lớpbài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú

2.1 Chứng minh a = b, b + d = mc(a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng, m làhằng số)

Để chứng minh a = b hay b + d = mc chúng ta đã biết khá nhiều cách làm:Tam giác bằng nhau, tính chất cộng đoạn thẳng, … ở đây chúng ta phân tích việcchứng minh hệ thức này theo lối sử dụng định lý Talet

+ Để chứng minh a = b ta chứng minh bằng cách chọn đoạn thẳng c mộtcách hợp lý

+ Để chứng minh b + d = mc ta chứng minh Sử dụng định lý Taletchuyển các tỉ số về các tỉ số mới để có thể thực hiện phép cộng và rútgọn

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD tại O Qua O kẻ

đờng thẳng d// AB, d cắt AD tại M, d cắt BC tại N Chứng minh OM=ON.

a =

m

= + c

d c b c

d , c b

AB

ON , AB

OM

AB

ON AB

OM =

DB

DO AB

OM =

CA

CO AB

ON =

C D

O

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (Đpcm)

* Khai thác bài toán: Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát hơn

ABCD là hình thang, có MN//AB//DC, M ∈ AD, N ∈ BC MN cắt BD, AClần lợt tại P và Q Chứng minh PM = QN

Chứng minh bài toán này hoàn toàn tơng tự nh VD1

Ví dụ 2: ∆ ABC, trung tuyến AD, điểm P di động trên cạnh BC, qua P

kẻ đờng thẳng d // AD, d cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N Chứng minh:

ON AB OM

2 AD

PN AD

PM

= +

AD

PN , AD PM

DC

BC AD

PN , BD

BP AD

BD

BP AD

PM

=

DC

BC AD

PN

=

2 BD

BC BD

PC BP DC

PC BD

BP AD

PN AD

P B

C D

O

* Nhận xét: Hệ thức cần chứng minh khá quen thuộc với học sinh , nhng

nếu làm theo các cách quen thuộc đã biết thì rất khó khăn, còn nếu vận dụng định

lý Talet một cách hợp lý thì vấn đề đợc giải quyết khá đơn giản và gọn gàng

2.2 Chứng minh hệ thức dạng và các dạng biến đổi a.d = b.c, a 2 = bc (với a, b, c, d là độ dài các đoạn thẳng).

Định lý Talet cho ta hệ thức: nên ngời ta thờng sử dụng định lýTalet vào chứng minh các hệ thức đoạn thẳng dạng : , a.d = b.c, a2 = bc,nhất là khi trong giả thiết cho ta các đờng thẳng song song

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, F ∈ AC, kẻ EF//DC, FG//BC , E ∈ AD,

G ∈ AB Chứng minh rằng AE.BG = DE.AG

* H ớng dẫn tìm lời giải :

Hệ thức cần chứng minh EA.BG = DE.AG 

giả thiết cho EF//DC nên:

* Nhận xét: Từ (1) theo định lý Talet đảo => EG//BD.

Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy 2 điểm D và E, một đờng thẳng

d 1 qua D cắt cạnh Oy tại F Đờng thẳng d 2 qua E và song song với d 1 cắt Oy tại G Đờng thẳng d 3 qua G và song song với EF cắt Ox tại H Chứng minh rằng OE 2 = OD.OH.

a =

d

c b

a =

d

c b

a =

BG

AG ED

EA

= FC

AF ED

EA =

FC

AF GB

AG =

FC

AF ED

EA

= FC

AF GB

AG =

GB

AG ED

AE =

OE

OH OD

OE

= OE

OH , OD OE

; OF

OG OD

OE

=

OF

OG OE

B

C

F E

Sử dụng định lý Talet chuyển các tỉ số về các tỉ số của các đoạn thẳng trêncùng một đờng thẳng rồi tìm cách cộng các tỉ số mới này Muốn vận dụng đợc

định lý Talet thì phải có các đờng thẳng song song trong nhiều trờng hợp ta phải

vẽ thêm đờng thẳng song song một cách hợp lý

Ví dụ 1: Tứ giác ABCD trong đó ∠B = ∠D = 90o Từ một điểm M trên ờng chéo AC kẻ MN ⊥ AB, MP ⊥ CD (N ∈ AB, P ∈ CD) Chứng minh :

đ-* H ớng dẫn tìm lời giải :

Nếu thực hiện phép biến đổi đại số ta đợc hệ thức:

MN AD + MP BC = AD BC

Rõ ràng các tích MN AD, MP BC cha nói nên một đại lợng hình học nào

để ta có thể làm trung gian cho việc chứng minh hệ thức

Giả thiết của bài toán đã cho ta đờng thẳng song song, nếu có, ta hãy tìmcách chuyển các tỉ số về các tỉ số trên cùng một đờng thẳng

OE =

OE

OH OF

OG =

OE

OH OD

OE

=

q

p d

c b

a

; d

c b

a

m

m + =

= +

d

c , b a

1 AD

MP BC

MN

= +

AD

MP , BC MN

AC

AM BC

MN =

AC

CM AD

MP

=

1 AC

CM AM AD

AP BC

C P

M D

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu bỏ điều kiện ∠B =∠ D = 90o thì các giảthiết khác phải thay đổi nh thế nào để hệ thức trên vẫn đúng?

Ví dụ 2: ∆ ABC, G là trọng tâm d là một đờng thẳng qua G cắt cạnh

AB, AC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng

Lời giải (theo hớng 2)

Qua B và C kẻ các đờng thẳng song song với d, các đờng thẳng này cắt AGtheo thứ tự tại E và F

Gọi D là giao điểm của AG với BC thì D là trung điểm của BC

AC AM

AB + =

AN

AC , AM AB

AM

AB AI AM

AI AM

AB AN

AC AM

AG

AE AF AG

AE AG

AF AN

AC AM

=> AE + AF = 3.AG (1)

AG

AE AN

AC =

=>

) 2 ( AG AN

I

- Hãy giải bài toán theo hớng vẽ đờng phụ số 1.

- G là điểm bất kỳ trên đoạn AD thì hệ thức của bài toán sẽ thay đổi nh thếnào?

Giả thiết cho CD là phân giác của góc ACB, nên

Nhng hai tỉ số cũng cha có cùng mẫu nh vậy ta phải tiếp tục biến đổi các

tỉ số này

M là trung điểm của AC

Ta chuyển các tỉ số về trên AC bằng cách qua D kẻ đờng thẳngsong song với BM cắt AC tại I khi đó:

Việc chứng minh CM- AI = IM đã rất đơn giản

AG AM

AB = AF

3 AN AN

AC

= + AB

AG

2 AM AN

AC AB AD

= +

1 BC QD

DB BC

DA AC

= DB

, QD

QC AD

1 MC

MA =

DB

, QD

QC AD

MI

AI - CM MI MI

CM DB QD

QC BC QD

C B

D F

Q

Lời giả i :

Qua D kẻ DI //BM, với I ∈ AC, I nằm giữa A và M

áp dụng định lí Talet vào các tam giác:

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ đờng phụ là AF//BM, F ∈ CD

Ví dụ 4: Cho ∆ ABC, điểm I thuộc miền trong tam giác, IA, IB, IC cắt

BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P Chứng minh rằng:

a)

b)

* H ớng dẫn tìm lời giải :

Các đờng thẳng AM, BN, CP đồng quy tại I Ta tìm cách chuyển các tỉ số

bằng cách qua A vẽ đờng thẳng song song với BC

* Lời giải:

Qua A vẽ đờng thẳng d//BC, d cắt NB, CP theo thứ tự tại E, F

a) áp dụng hệ quả định lý Talet:

AD AI

= MI QD

=

1 MI MI

MI DB

AD = AC

1 BC QD

QC

=

−AC

IM PB NC

NA + PA= IA

IM

2 PB NC

AC AB IA

+

= +

IM

, PB

, NC

NA PA IA

BC NC

NA = AE

BC PB

PA = AF

BC BC

PB NC

NA +PA= AE+AF = EF

IM IB BC

EF = EI = AI

N

C M

B

I P F

NA PA IA

= +

PB CN

2 BP CN

BP CN

AC + AB = AN+CN + AP+BP = + AN + PA

IM PB CN

AN PA IA

= +

1 CA BC AB

AK + BE+CF =

2 CA BC AB

DE

= +

AK CF

BC

MC AB

AK

=

BC

EM CB

CI CA

CF = =

1 BC BC BC BC CA BC AB

AK +BE+CF = MC+BE +EM = BC =

1 CA BC AB

AK + BE+CF =

AB

AH BC

FH

=

AB

BK AC

KM

=

2 AB AB

AB AB

AB AB AC BC

FH

=

+ +

+

=

+ + +

= +

B

A

D F

C M

I E

O K

H

Dạng 1:

Dạng 2:

ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng 2

Qua C kẻ CF //AD, F ∈ AB, ta có nhận xét gì về ∆ AFC?

Từ (1) và (2) suy ra ∆ AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC

áp dụng hệ quả định lý Talet vào ∆ BFC, AD//FC:

1 AD

1 < +

AC

1 AB

1 AD

1 > +

c

1 b

1 a

1 = +

1 c

a b

a c

1 b

1 a

1 = + <=> + =

c

c b a

b bc

c b a

1 c

1 b

1 a

1 = + <=> = + <=> = +

BF

BA FC

AD =

AC AB

AB AC

1 AB.AC

AC AB AD

A

F

C D

B

AC

1 AB

1 AD

1 < +

∆ AFC còn là tam giác đặc biệt gì khi ∠BAC khác 120o từ đó các hệ thức ởcâu a) thay đổi nh thế nào? Ta có thể vận dụng hệ thức ở câu a) vào chứng minhcác bất đẳng thức ở cầu b), câu c) không?

b) ∆ AFC cân (do ∠F = ∠ACF = ∠BAC/2) =>AF=AC nên: BF =AB + AC

∆ BFC có AD//FC =>

Do ∆ AFC cân tại A có góc ∠FAC > 60o => ∠F < 60o=> FC > AC nên :

(Đpcm)

c) Khi ∠BAC > 120o lập luận tơng tự ta cũng đợc

Khai thác bài toán ∆ ABC có BC = a, CA = b, AB = c, độ dài các đờng phângiác tơng ứng là la, lb, lc Chứng minh rằng:

a) la <

b)

Nhận xét: Hãy tìm cách biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng tỉ số

đoạn thẳng, từ hệ thức mới cho ta cách vẽ đờng phụ phù hợp,

Ví dụ 2: ∆ ABC, M ∈ BC, chứng minh:

MA.BC < MC AB + BM AC

* H ớng dẫn tìm lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng

minh đợc đa về dạng tỉ số :

Trong các tỉ số hai đoạn thẳng có sự xuất hiện các tỉ số gợi cho ta

vẽ đờng phụ nh thế nào? (từ M kẻ MN//AB, N ∈ AC)

(Đpcm)

AC AB

CF.AB AC

AB

AB BF

AB CF

1 AD

1 AB AC

AC.AB => < + +

>

AD

AC

1 AB

1 AD

1 > +

c b

2bc +

c

1 b

1 a

1 l

1 l

1 l

1

+ +

>

+ +

c b a

1 BC.MA

MB.AC BC.MA

MA

MN MA

AB AB

MN MA

AB BC

MC AB

MN BC

AC AC

AN MA

AC BC

MB AC

AN BC

1 MA

MA MA

AN MN BC.MA

MB.AC MA

AB BC

B

A

N

C M

Nhận xét: Đờng phụ MN//AB là một điểm quan trọng trong quá trình giải

về các tỉ số có sự xuất hiện của các đoạn thẳng PB, PC

Qua A kẻ AM//BC, M ∈ RP Khi đó

+ Ví dụ trên tơng ứng với phần thuận của định lí Mê-Nê-La-Uýt

+ Phần đảo của bài toán vẫn đúng, nó cho ta một cách chứng minh 3 điểmthẳng hàng

Ví dụ 4: ∆ ABC, O thuộc miền trong tam giác, AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại P, Q, R Chứng minh rằng:

* H ớng dẫn tìm lời giải :

Đẳng thức cần chứng minh giống với đẳng thức ta đã chứng minh đợc ở ví

dụ 3 chỉ có sự thay đổi về giả thiết từ 3 điểm thẳng hàng thành 3 đờng thẳng đồngquy, hãy áp dụng cách vẽ đờng phụ tơng tự nh ở ví dụ 3

Trang: 20

1 RB

AR QA

CQ PC

BP

=

PC BP

AR , AM

PC QA

QC

=

PB

AM RB

RA =

1 PB

AM AM

PC PC

PB RB

RA QA

QC PC

PB

=

=

1 RB

RA QA

QC PC

C P