24. De cuong on tap toan Giai tich 12 hoc ki 2

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm.. – Nắm vững phép tính vi phân.. Tìm nguyên hàm Fx của hàm số fx thoả điều kiện cho trước:... – Nếu bậc của Px

Trang 1

Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học tốn THPT

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

f x dx( ) F x( ) C, C  R

 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

2 Tính chất

 f x dx'( )  f x( )C   f x( )g x dx( )  f x dx( ) g x dx( )

 kf x dx( ) k f x dx k ( ) (  0)

3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 0dx C

 dx x C



1

x







 1dx ln x C



 e dx x e xC

ln

x

a



 cos xdx sinx C

 sinxdx cosx C



2

1

tan cos x dx x C





2

1

cot sin x dx  x C



 cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a( 0)

a





1 sin(ax b dx) cos(ax b) C a( 0)

a



mx n







1

ax b

a

 e ax b dx 1e ax b C a, ( 0)

a

    



 1 dx 1lnax b C

ax b  a  





cos (ax b)dx a ax b C



sin (ax b)dx a ax b C

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I NGUYÊN HÀM

Trang 2

4 Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Nếu  f u du( ) F u( ) C và uu x( ) có đạo hàm liên tục thì:

f u x u x dx ( ) '( ) F u x ( )C

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udv uv  vdu

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

– Nắm vững phép tính vi phân

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f x( ) x2–3x 1

x

4 2

f x

x



2

1 ( ) x

f x

x





d)

2 2 2

( ) x

f x

x



3

( )

f x

g) ( ) 2 sin2

2

x

f x  h) f x( ) tan 2x i) f x( ) cos 2x

k)

2 2

1 ( )

sin cos

f x

2 2

cos 2 ( )

sin cos

x

f x

 m) f x( ) 2sin 3 cos 2 x x

n) f x( )e xe x– 1 o)

2

cos

x

f x e

x



   

p) f x( )e3x1

Bài 2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a) f x( )  x3 4x 5; F(1) 3  b) f x( ) 3 5 cos ;  x F( ) 2 

c)

2

3 5

x



2

x



e)

3 2

1

x



x

g) ( ) sin 2 cos ; ' 0

3

f x  x x F  

 



h)

4 3 2

x

i)

3 3

2

( 1)

x



k) ( ) sin2 ;

x

f x  F 

 

Bài 3 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

Trang 3

a)   

 

2

f x x x F b) f x( )xcos ; ( ) 0x F  

c) f x( ) ln ; x F(2) 2 d) f(x) = (x + 4).ex ; F(2) = 5

e) f(x) = sin(  

2 6) ; F(



2

3 ) = -2 f) f(x) =



2

3

x ; F(4) = 1

g) f(x) = 2xlnx ; F(1) = -1 h) f(x) = 3x2 - 1  

4e x

x ; F(1) = 4e

i) Tính đạo hàm của hàm số : y = 

x

x , từ đó suy ra 1 nguyên hàm G(x) của f(x) = x(2 – lnx), biết G(1) = 2

Bài 4 Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

a) ( ) (4 5)

( ) (4 1)

x x





b) ( ) tan45 3 53 ( ) 4 tan 4 tan 3





c)   



( ) ( 3).

( ) ( 4).

x x

f x x e và tìm một nguyên hàm G(x) của f(x) biết G(2) = 5

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x thì ta đặt  ( ) '( ) tu x( ) dtu x dx'( )

Khi đó:  f x dx( ) = g t dt( ) , trong đó g t dt( ) dễ dàng tìm được

Chú ý: Sau khi tính g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x)

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

5

(3 2 )

dx x



d) (2x2 1)7xdx e) (x3 5)4 2x dx f)

2 5

x dx

x 

 g)  x2  1.xdx h)

2 3

3

5 2

x dx x



dx

x  x



k) sin4xcosxdx l)

5

sin cos

x dx x

2

tan cos

xdx x



f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2

x a t   t  hoặc x a cos ,t 0  t 

2 2

a x

tan ,

x a t   t  hoặc x a cot ,t 0  t 

Trang 4

n)

3

x

e dx

e 

x

e dx x

 q)

3

ln x

dx

x

1

x

dx

e 

tan 2

cos

x

e dx x

Bài 2 Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):

a)

2 3

dx

x



2 3

dx x



d)

2

4

dx

x



1

dx x



 g)

2

1

x dx

x



1

dx

x  x

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:

a) x.sinxdx b) xcosxdx c) (x2 5)sinxdx

d) (x2 2x 3) cosxdx e) xsin 2xdx f) xcos 2xdx

2

3 x

x e dx

k) xlnxdx l) ln xdx2 m) ln(x2 1)dx

n) xtan2 xdx o) x2cos2xdx p) x2cos2xdx

q) xln(1 x dx2) r) x.2x dx s) xlgxdx

VẤN ĐỀ 4 : Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )

( )

P x

f x

Q x



– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

Chẳng hạn: 1

x a x b   x a x b

( ). x

P x e dx

 P x( ).cosxdx P x( ).sinxdx P x( ).lnxdx

Trang 5

2

1

với b ac

x m







1

x a x b    x a    x b

a)

( 1)

dx

x x 

( 1)(2 3)

dx

x x

2 2

1 1

x dx x







d)

2 7 10

dx

x  x

2 6 9

dx

x  x

2 4

dx

x 



g)

( 1)(2 1)

x dx

x x

x dx

x  x

3

2 3 2

x dx

x  x



k)

2

dx

x x 

dx x





a) sin 2 sin 5x xdx b) cos sin 3x xdx c) (tan2x tan4x dx)

d) cos2

1 sin cos

x dx



g) 1 sin

cos

x dx x



3

sin cos

x dx x

 l) cos xdx3 m) sin xdx4

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )

b a

f x dx

b a

f x dxF b F a



 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

f x dx f t dt f u du F b F a

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

II TÍCH PHÂN

Trang 6

b a

S f x dx

2 Tính chất của tích phân



0

f x dx 

f x dx  f x dx

kf x dxk f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x dx f x dx f x dx

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì ( ) 0

b a

f x dx 



 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )

f x dx g x dx

3 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

( )

u b b

f u x u x dx f u du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác

định trên K, a, b  K

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:

b a

udv uv  vdu

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b a

vdu

 dễ tính

hơn

b

a

udv

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

b a

f x dxF b F a



Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm

Trang 7

– Nắm vững phép tính vi phân

Bài 5 Tính các tích phân sau:

2

1

3

) 1 2

2

1

1 3

x

2

1 2

1

dx x x

d)

2

1 2

x

dx x





 1

2 2

2 4 4

dx x

x

2 1

e

x x

 g)  

1

2 2

0

( 1)

x x dx k)

2 2 3 1

2

dx x



2 3 1

2

x dx

1 3 0

1 1

dx x

 





a)

2

1

x dx

5 2

dx

x 2   x 2

2

1

(x x x x dx)

d) 2

0 2

1

xdx

dx x



2 2

0 3 3

3 1

x dx x



0 x x  9dx





0

) 6 2

3

(2sinx 3cosx x dx )





0

sin 3x cos 2x dx







d) 4

2

0

tan

cos

x dx

x





4

3tan x dx





6

(2 cot x 5)dx





g) 2

0 1 sin

dx

x







h) 2

0

1 cos

x dx x









0

sin x.cos xdx





k)

3

2

6

(tanx cot )x dx







4 4 0

cos x dx





VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( )

b a

g x dx

Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( )  f u x ( ) '( )u x thì

( ) ( )

u b b

g x dx f u du

Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f x dx( )





Trang 8

Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)

thì ( )  ( ) '( ) ( )

f x dx f x t x t dt g t dt





g t( )  f x t ( ) '( )x t 

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 3 Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a)  

1

0

19 ) 1

1

2 3

0 (1 )

x dx x



1

0 2x 1

xdx

d)

1

2 0

1

x x dx

 e)  

2

2 3

0

1

x x dx f)

ln 2

0 1

x x

e dx e



 g)  

e

x

dx x

ln 2

h)  

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

Bài 4 Tính các tích phân sau :

a)0ln 2(e x 1) 2e dx b) x 1 

4 5 ln

dx

ln 2

0 1

x x

e dx

e 

1 (1 )

x





e) 1

0 2

x

e

dx

 f) 2 cos

0 e xsinxdx





g) 4

1

x

e dx x

1

1 ln

dx x





i

i)

1

ln

dx

x

 k) 01xe dx x2 m)

1 0

1

1 e x dx

 n)





1 2 0

1

1 x dx

Bài 3 Tính các tích phân sau :

1)







3

2 2

0

4

x





4 2 1

3

x x dx 3)





5 2

3 4

dx

x





3 2

2

1

dx





2 3 0

sin x.cosxdx 6) 





2 1

1

x dx x

f(x) có chứa Cách đổi biến

2 2

a x

sin ,

x a t   t  hoặc x acos ,t 0  t 

2 2

a x

tan ,

x a t   t  hoặc x acot ,t 0 t 

2 2

x a

 

a

t

 

a

t

 

 



Trang 9

7)





2

0

sin 3 sin 7x xdx 8)





3 0

cos cos3x xdx 9)





6 2 0

tan xdx

10)  

3

1

1 ln

dx







2 0

sin

1 3 cos

x dx

x 12)  

2 2

3 3

0 1

x dx x

13)





2

4

0 4

x

dx

x 14)





2 5 0

sin x.cosxdx 15)





6 5 0

cos xdx

16)





2

4

1

sin x dx 17)





2 2 sin 0

.sin 2

x

ln 2 3 0

1

x x

e dx e

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

a) 

4

0

2

sin



xdx

2

0

2 ) cos sin

(



xdx x



0

2cos xdx x

d)  

1

0

(1 x e x)dx e) 3 2

4

tan





f)   1

0

2 ) 2 (x e x dx

g) xe x dx



2

ln

0

h) x x dx

e



1

3

2

2 ) ln(x x dx

k)

2

3

1

(2x  ln )x dx

2

0 (x 1) cosxdx







Bài 2 : Tính các tích phân sau :

1)





0

.cos3

5 2

2 ln(x x 1)dx 3)





 cos

0

(e x x)sinxdx 4)





4

0

.tan

ln 2

2 0

(e x 1) dx 6)







0

(1 cos )

x x dx

( ).

b

x a

P x e dx

b a

P x xdx

b a

P x xdx

b a

P x l xdx



Trang 10

7)







2

0

(1 sin ).cosx xdx 8)  

2 2 1

ln

dx

2

2 0

(x 1)e dx x

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ

a)  

2

0

2 dx

2

0

2

dx x

2

0

2

3 2

d)

3

2

3

1



4 2 1

x  x dx

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác

a) 

4

0

cos

2

sin



xdx

4

0 tan



xdx c)  

2

01 3cos sin



dx x x

d) 

2

0

3

sin



0

2



0

2 3 cos x

g)





2

4 0

2 3

0 sin xcosxdx





2 0

sin cosx xdx

1 Diện tích hình phẳng

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Trục hoành

– Hai đường thẳng x = a, x = b

b a

S f x dx (1)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]

– Hai đường thẳng x = a, x = b

III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Trang 11

b a

S f x g x dx (2)

Chú ý:

 Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )

f x dx f x dx

 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm

được 2 nghiệm c, d (c < d)

Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx  f x dx  f x dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

– Hai đường thẳng x = c, x = d

d c

S g y h y dy

2 Thể tích vật thể

 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các

điểm a và b

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]

Thể tích của B là: ( )

b a

V S x dx

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)

sinh ra khi quay quanh trục Ox:

b a

V f x dx

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung

quanh trục Oy:

(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d

d c

V g y dy

Trang 12

VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Bài 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) yx24x6,y0,x 2,x4 2) y lnx,y 0,x 1,x e

3) y 1 lnx,y 0,x 1,x e

x



    4) yx3x và y = x – x2

5) y ln ,x y 0, x 1, x e

e

    6) yx3, y0,x 2,x1

7) y = x2-2 , y = -3x + 2 8) y = x2 – x + 3 , y = 2x + 1

9) y = x2 -12x + 36 , y = 6x – x2 10) y = lnx, x = 1

e, x = e , y = 0

11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 2 12 ) y = x2 + 2x, x –y +2 = 0

13) y = x +2 và y = x2 + x – 2 14) y = 4 –x2 và x = 3

15) y = 2 – x2 và y = -x 16) y = x3 – 1 và x = 2

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể

Bài 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

1) sin , 0, 0,

4

y x y x x 2) 1 3 2, 0, 0, 3

3

y x x y x x

3) sin6 cos6 , 0, 0,

2

y x x y x x 4) y x x, 4

5) yx31,y0, x 1, x1 6) yx2, y x

7)

,

9) sin , cos , ,

y x y x x x

10) (x 2)2y2  9,y 0 11) yx2 4x 6,y x2 2x 6 12) yln ,x y0,x2

13) y = 3x – x2 , y = 0 14) y = sin

2

x

, y = 0, x = 0, x = 

4 15) y = cosx, y = 0, x = 0 , x =  16) y = tanx, y = 0, x = 0, x = 

4 17) y = lnx, y = 0, x = e 18) y = sinx, y = 0, x = 0, x = 3

4 19) y = -x2 + 1, y = 0 20) y = xlnx, y = 0, x = e

21) y = (e +1)x, y = ( 1 + ex)x 22) y x y,  0, x 3

23) yx ln ,x y0, x1, xe

Trang 13

Thaygiaongheo - Video - Tài liệu học toán THPT

I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i 2

= -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Hai số phức bằng nhau

Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i

z = z’ ( '

'

a a

b b











3 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

4 Phép cộng và phép trừ các số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:







5 Phép nhân số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

zz  aa bb   ab a b i 

6 Số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên

Vậy z = a bi = a - bi

Chú ý: 10) z = z (z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau

20) z.z = a2 + b2

*) Tính chất của số phức liên hợp:

(1): zz

IV SỐ PHỨC

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	9,06 MB