chuyên đề hàm số hay luyện thi đại học

^^ Hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị Những vấn đề liên quan đến câu hỏi phụ §ång biÕn nghÞch biÕnTiÖm cËn... Trong chương hàm số thì em cần tìm hiểu 2 vấn đề chính, 2 vấn đ

CHƯƠNG HÀM SỐ

Để học được chương này tổng quát thì các em phải nắm vững được phần tổng quát, định hình xem là mình cần phải học những phần nào? Giờ anh sẽ vẽ một sơ đồ đơn giản để em thấy rõ hơn Đừng vội vàng gì cả, hãy dành thời gian nghiên cứu nó nhé ^^

Hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Những vấn đề liên quan đến câu hỏi phụ

§ång biÕn nghÞch biÕnTiÖm cËn

Giờ thì anh sẽ giải thích về sơ đồ này

Trong chương hàm số thì em cần tìm hiểu 2 vấn đề chính, 2 vấn đề này cũng là câu 1 trong đề thi đại học

Đó là:

- Khảo sát hàm sự biến thiên và vẽ đồ thị

- Những vấn đề liên quan đến câu hỏi phụ

Trong phần khảo sát anh chỉ nói đến 3 hàm số chính mà trong đề thi đại học sẽ cho Tương ứng với từng dạng hàm số thì các em sẽ làm theo các bước như anh đã ghi

Bài này thì không có gì khó khăn phải không nào?

Chỉ cần nhớ lại kiến thức: A xác định khi A  0

Áp dụng vào bài:

ĐK: 2x – 1  0  x  1

2 Vậy tập xác định D = 1

;2



 

( Tới đây thì các em nhớ lại kiên thức lớp 10 để lấy giao nhé!

Với x  -1 thì trên trục số ta lấy phần bên phải của -1 và bỏ phần bên trái của -1

- Trời ơi!! Sao cho khó quá vậy

- Tự nhiên đang làm dễ mà cho cái gì đâu á

Phân tích nãy giờ chủ yếu muốn nhấn mạnh học toán là phải cố gắng HIỂU chứ đừng có HỌC THUỘC quá mức nhé ! ^^

em hiểu như thế nào về ý nghĩa của nú

Nếu vậy nghĩa là hoặc x2 hoặc  1

x

2 tức là x khỏc 1 trong 2 giỏ trị đú đều được nếu vậy thỡ cú hợp

lý khụng?

Chắc chắn là khụng Vỡ theo lớ thuyếta xác định khi b0

b , b ở đõy là nguyờn cỏi mẫu khỏc khụng Mà mẫu của chỳng ta là một tớch 2 thừa số nờn muốn nú khỏc 0 thỡ tất cả cỏc thừa số đều phải khỏc 0

Nờn khi làm toỏn em cũng hóy cố gắng tư duy về vấn đề này Tuy nhỏ nhưng nú quan trọng lắm

Giải

Bài này em ỏp dụng 2 kiến thức

a xác định khi b>0 b

Vừa nhỡn vào là thấy x @@ Cú thể phỏn : “ ư… ảnh cho đề sai Tại vỡ x khụng xỏc định vỡ –x <

0 Mà hồi nóy ảnh ghi là a xỏc định khi a0 Khụng chấp nhận được  đề sai, khỏi làm ^^ ”

Hazz… Đừng nở lũng nào kết luận nhanh như thế em

VD2: Tìm đạo hàm của 3 2

y  x 3x 4x 2

Giải

2y' 3x 6x 4

Vấn đề rất cơ bản phải không!

Giờ anh sẽ nói qua hàm số thứ 2

(cx d)





LOẠI 3: ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN

Trong sách thường nói phần này là TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Năm lớp 10 em đã học sơ về nó phải không nào?

Để dễ hình dung hơn anh sẽ vẽ vài hình rồi em sẽ thấy thôi Sẵn tiện anh kết hợp luôn cái “Bảng biến thiên”

Trong H1 ta có điểm I là điểm cực tiểu phải không?

H2 ta có điểm I là điểm cực đại

Vậy trong H1 đâu là đoạn đồng biến? Đâu là đoạn nghịch biến? câu hỏi này cũng tương tự đối với H2 Em

có thể trả lời được không?

Để anh trả lời nhé!

Đồ thị H1 có 2 nhánh, cả hai nhánh này đều hướng lên , đồ thị H2 cũng có 2 nhánh nhưng 2 nhanh này lại hướng xuống  Mỗi đồ thị chúng ta sẽ quan sát từ trái qua phải

Với H1 thì từ  I là nghịch biến (đoạn xuống dốc), từ I  là đồng biến (đoạn lên dốc)

Với H2 thì từ  Ilà đồng biến (đoạn lên dốc), từ I là nghịch biến (đoạn xuống dốc)

Vậy tại sao đoạn lên dốc là đông biến và đoạn xuống dốc là nghịch biến? “Biến” ở đây nghĩa là gì

Câu trả lời là: ở đây mình đang xét đồ thị trong hệ tọa độ Oxy nên biến ở đây ý muốn ám chỉ là biến x, y Đồng biến ở đây nghĩa là cả 2 biến cùng tăng hoặc cùng giảm

Nghịch biến ở đây nghĩa là 1 biến tăng và 1 biến giảm

Để thấy rõ hơn em hãy quan sát H1, máy điểm anh lấy chỉ là minh họa

Xét điểm M12; 3M2 1; 2 x tăng y giảm.( nghịch biến)

Xét điểm M 3;3 2M 5; 104  x tăng y tăng.(đồng biến)

Từ đây sẽ có cái định nghĩa như sau:

1 Định nghĩa

Hàm số f(x) đồng biến trên K x ,x1 2K, x1x2f(x )1 f(x )2

Hàm số f(x) nghịch biến trên K x ,x1 2K, x1x2f(x )1 f(x )2

Đọc cái định nghĩa thì hơi khó hiểu, anh sẽ giải thích một tí

K ở đây muốn nói tới một cái khoảng nào đó mà của x thôi nha

Vd: Nhìn vào đồ thị H1 có thể nói K là  2; 1 hay  3;5 Cái này tùy vào đề cho

Tiếp theo anh sẽ nói sơ qua về “BẢNG BIẾN THIÊN”

Em muốn xây một cái nhà thì phải có một cái bảng vẽ về cái nhà Trong cái bảng vẽ sẽ có cái hình, có thông số,… rồi thọ mới dựa vào đó mà xây cho chuẩn Khi em vẽ đồ thị cũng vậy, cũng phải có bảng vẽ miêu tả đồ thị có hình dáng như thế nào, tên đó có thông số gì… Bản vẽ đó ở đây gọi là “BẢNG BIẾN THIÊN”

Cấu tạo của Bảng biến thiên:

f '(x) là đạo hàm của f (x)

x là nghiệm của f '(x) khi cho f '(x)=0 rồi giải

 

f x là hàm số ban đầu đề cho

Giờ anh sẽ giả sử có một đồ thị rồi mình vẽ Bảng biến thiên nhé

Giờ em hãy quan sát Tại M10; 4 , điểm này gọi là điểm cực tiểu

x  

f '(x)

 

f x

Tại M22; 0 , điểm này gọi là điểm cực đại

Nhìn lại cấu tạo của Bảng biến thiên thì em có muốn hỏi “x ở đây gồm những đứa nào “ không?

Câu trả lời rất đơn giản: x ở đây là các nghiệm của f '(x) và nó cũng là các giá trị của các điểm cực đại, cực tiểu

Giờ anh phát thảo qua nhé

Anh sẽ nói vấn đề chỗ f '(x)sao lại có dấu “ – “, “ + “ sau nha

Nhìn vào hàng thứ 3 em thấy hướng đi của mũi tên của nó không Có thấy giống với đồ thị không?

Tương ứng với x0 thì f 0  4, x 2 thìf 2 0

Nên anh nói Bảng biến thiên như một bảng vẽ kỹ thuật là vậy đó! Kekeke … ^^

1 Điều kiện cần

Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x)0, x I

b) Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x)0, x I

Để giải thích vấn đề này thì không có gì khó khăn Em hãy nhìn qua cái Bảng biến thiên hồi nãy

- Đoạn nào có dấu mũi tên đi lên là đoạn đồng biến Tương ứng với đoạn này ta thấy f '(x) có dấu

Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f '(x)0, x I (f '(x)= 0 tại một số hữu hạn điểm ) thì f(x) đồng biến trên I

b) Nếu f '(x)0, x I (f '(x)=0 tại một số hữu hạn điểm ) thì f(x) nghịch biến trên I

c) Nếu f '(x)0 thì f(x) không đổi trên I

Để giải thích cài này thật ra là ngược lại với cái trên thôi

a) f '(x)0 nghĩa là cái đoạn có dấu “+” thì em sẽ thấy dấu mũi tên đi lên  f x  đồng biến

b) f '(x)0 nghĩa là cái đoạn có dấu “-” thì em sẽ thấy dấu mũi tên đi xuống  f x  nghịch biến

c) Để giải thích cái này anh sẽ làm một ví dụ nhỏ

3 2 2 2 2

1

3 y'= f '(x) = x 2x 1

Bảng này là anh đang giả tưởng cho em dễ hiểu Để xét dấu f '(x) thì em căn cứ vào hàm số f '(x) Ở đây

f '(x) là hàm bậc 2 nên khi xét dấu sẽ là “ trong trái, ngoài cùng” “trong” ở đây là trong khoảng x ;x1 2 (giả sử x1<x2)

Vấn đề ở đây là x1, x2 là nghiệm kép, nhưng cứ tưởng tượng là phân biệt đi Đáng ra chỗ dấu “ – “ mũi trên

đi xuống nhưng do x1 trùng với x2 x1 x2 1 nên mũi tên đi tiếp và không bị gián đoạn

Cho nên f '(x)= 0 tại x =1  f x  không đổi dấu là vậy

x  1 1 

f '(x) + 0 - 0 +

f(x)

Giờ tưởng tượng 2 giá trị x1 ,x2 nhập lại làm 1 nhé vì tụi nó cùng một giá trị mà

Tóm lại với hàm f(x) = ax3 + bx2 +cx + d, khi f '(x) = 3ax2 + 2bx + c có nghiệm kép thì dấu của f '(x)không đổi khi đi qua nghiệm kép

Nếu không thật sự hiểu thì chịu khó nghiên cứu lại lần nữa sẽ có lợi cho em Đừng đọc sơ sơ rồi chuyển nhé

Tiếp theo là phần bài tập về dạng này

BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Với dạng toán về loại này em cứ áp dụng các bước rất bình thường bằng những kiến thức rất cơ bản không

có gì khó khăn

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2:

- Tính đạo hàm y’

- Cho y' 0 rồi tìm nghiệm

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Kết luận

+ Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

2 2

Cho y' = 0 6x 6x 0

x x 0

x( x - 1)=0

cái này em chỉ cần lấy từng giá trị

của x đã tìm được thế vào y Đừng

nhầ



Bảng biến thiờn

Vậy hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ;0 ; 1;  

hàm số nghịch biến trờn khoảng  0;1

Giải thớch:

y ' là hàm bậc 2 nờn em cứ xột dấu bỡnh thường

Em nhỡn vào hàng thứ 3 ( hàng của y), em cú thấy 2 cỏi  , + khụng? Vậy tại sao lại điền như vậy ?

Thật ra vấn đề nú đơn giản lắm Trờn hàng của x cũng cú  , + , vậy để biết y như thế nào thỡ em đi tỡm giới hạn của nú ( cỏi này năm 11 học rồi)

3

lim y lim (2x 3x 1) lim x 2

Em hóy nhớ lại kiến thức n

x

k

x

  (với k là hằng số)

(*) lim x 2 0 0 lim x 2

Vỡ x3 là mũ lẽ nờn em hóy tưởng tượng  3

 kết quả là số õm Suy ra   .2 (đõy chỉ là hỡnh thức minh họa cho em dễ hiểu thụi)

3

lim y lim (2x 3x 1) lim x 2

x  0 1 

y ' + 0 - 0 +

y 1 

 0

Đó là lý do tại sao anh điền vào bảng biến thiên như vậy Mà với dạng này em chỉ cần làm đơn giản như anh đã trình bày ( giới hạn làm ngoài nháp rồi điền vào thôi)

b) Bài vẫn áp dụng 4 bước như đã nêu

Để anh sẽ bảng biến thiên cho em dễ hình dung nhé!

Em thấy không, vì đâu có nghiệm nào của x nên hàng của x đâu cần điền Còn y' sẽ cùng dấu với hệ số a,

mà ở đây a < 0 suy ra y' mang dấu âm

Vậy tại sao y lại đi từ    nhỉ?

Cái này em chỉ cần tìm giới hạn như câu a)

( giải phương trình này em có thể bấm máy tính rồi ghi kết quả vào cũng được)

Phương trình bậc 2 mà có 1 nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm kép Anh đã hướng dẫn cách làm đối với nghiệm kép ở phần trước rồi Áp dụng làm nhé!

2y' = 0 3x 6x 3 0

 2

 x 1 0 x = -1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số luôn đồng biến trên D

d) y = x4 – 2x2 + 3

Tập xác định D = R

3 3

y' 4x 4x

Tới đây vẫn làm bình thường, nhưng lần này có 3 nghiệm và y' lần này là hàm bậc 3, mà em có còn nhớ cách xét dấu hàm bậc 3 không?

Ở phía ngoài cùng của bảng biến thiên sẽ cùng dấu với hệ số a và tiếp tục đan xen dấu vào trong cùng

Cũng tương tự câu trên anh tìm cái giới hạn cho em hình dung nhé!

2 4

2 4

x  -1 

y ' + 0 +

y 

-1

 x  -1 0 1 

y ' - 0 + 0 - 0 +

y  3 

2 2

Không có gì khó khăn phải không nào?

Giờ anh sẽ trình bày hoàn chỉnh để em dễ thấy nhé!

Trình bày:

y = x4 – 2x2 + 3

Tập xác định D = R

3

3

y' 4x 4x

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên những khoảng 1;0 ; 1;  

Hàm số nghịch biến trên những khoảng  ; 1 ; 0;1  

e) y  x4 2x32x 1

Tập xác định D = R

3 2

3 2

Để giải phương trình bậc 3 này thì cách đơn giản là bấm máy tính

Cách 1: Bấm máy tính

3 2

1 x

x 1

  









x  -1 0 1 

y ' - 0 + 0 - 0 +

y  3 

2 2

Đó là bấm máy, nếu muốn phân tích đưa về phương trình tích thì có 2 cách khác Cách đưa về phương trình tích nếu các em luyện tốt thì sau này giải phương trình sẽ rất tốt

Em tính b b c1, 1, 1 như anh chỉ rồi điền vào bảng nhé

Lưu ý: Tính làm sao để một lát ra d1 0 thì mới đúng nhé! Còn nếu d khác 0 thì nghiệm bị sai hoặc tính toán bị sai, chịu khó tính lại nha ^^

Sau khi điền đầy đủ cái bảng thì việc cuối cùng là viết f x  về dạng tích của bậc nhất là bậc 2 Viết như thế nào?

Vì f x  có nghiệm là x0 nên hàm bậc nhất sẽ là xx0

Hàm bậc 2 được viết như sau:  2 

1 1

ax b x c Như vậy hàm bậc 3 sẽ được biến đổi thành: f x   xx0  2 

1 1

ax b x c

Áp dụng sơ đồ hoocner cho bài này như thế nào ?

Ta thấy trong bảng c = 0 đúng không? Có thắc mắc chỗ này không?

Nguyên tắc của sơ đồ hoocner là phải liệt kê các hệ số của x từ mũ cao nhất tới mũ 0 Trong y ' thì hệ số

đi với x không có đúng không? Em cứ nghỉ là y ' đầy đủ sẽ là y' 4x36x20.x 2 Vậy có phải lúc này c = 0 không? Đừng thấy không có hệ số của x là không ghi nha ( với hệ số khác cũng vậy, nếu không thấy thì mặc định nó = 0)

Vậy từ cái bảng ở trên ta có    2 

y' x 1 4x 2x 2 Tóm lại mục đích của sơ đồ hoocner là hạ bậc của hàm bậc cao về bậc thấp Bậc cao bao nhiêu vẫn có thể

hạ xuống thấp được miễn là đa thức đó có nghiệm đẹp Còn nếu nghiệm lẻ thì dùng cách khác Phương pháp sơ đồ hoocner này rất thuận lợi trong việc đưa phương tình bậc cao về phương trình tích Ráng hiểu

và sử dụng hiệu quả phương pháp này nhé ! ^^

Cách 3: Chọn một nghiệm khi đã bấm máy ra, rồi thêm bớt để chuyển về dạng tích Anh sẽ chọnx1

Nên mình chỉ ghi gọn lại thôi

Giờ làm sao để phân tích ra được như vậy? Anh chỉ chia sẻ kinh nghiệm phần còn lại em hãy cố gắng tập cho quen

Anh chọn x0 1 thì anh cứ ghi xx0 cái đã rồi mình sẽ thêm bớt ở dấu ngoặc thứ 2 sau

Bước 1: xx0  x 1 

Bước 2: Em nhìn vào phương trình 3 2

Bây giờ tới bước lập bảng Nhưng khi xét dấu y’ em phải cẩn thận vì nó có một nghiệm kép là x1

Cách 1: Cái này anh làm giống lớp 10 cho dễ hiểu

Cách 2: như anh đã nói đáng ra y’ có 3 nghiệm nhưng trong đó có 2 nghiệm trùng nhau là 1 Vậy giờ mình giả sử nó có 3 nghiệm phân biệt x1 1

2

  , x2 1 ,x3 1 Lúc này em cứ lập bảng và xét dấu y’ ( hàm bậc 3) như thường Vị trí cuối phía bên tay phải sẽ cùng dấu với hệ số a và đi qua từng nghiệm cứ đan xen dấu

 

Giờ cứ nhập nghiệm kép lại giống như là tập hợp thế ở trong phim đó mà

Giờ anh cũng tìm giới hạn cho nhé

 

“ cái bài này cũng dễ mà, mà dễ thì thôi khỏi làm” ^^

Với cách nhìn của anh bài này không khó Nếu em khá thì vẫn suy nghĩ ra Còn nếu em chưa suy nghĩ ra hãy nhớ tới 4 bước và áp dụng nó triệt để

 

Giờ anh sẽ giải phương trình với y '0 mà điều kiện sẽ là x    ; 1 3;

Tại sao như vậy? Vì nếu x 1

Giờ giải phương trình

Hàm số nó có tập xác định D    ; 1 3; nên những khoảng nào không thuộc trong xác định thì bỏ

Bây giờ anh sẽ giải thích cái bảng

Như em đã thấy mình chỉ chọn khoảng trong tập xác định và tại 2 vị trí x 1 ,x3 làm cho y ' không xác định

Tại sao trong khoảng  ; 1 thì y ' âm?

Tại sao trong khoảng 3; thì y ' dương?

Giờ mình xét cái đoạn  ; 1 trước

Em hãy chọn một giá trị x bất kì trong khoảng này Nếu y '0 thì sẽ là dấu “-”, còn y '0 thì dấu “+”

Anh chọn x 2 thay vào

Tại sao lại là x 1 và x3

Vì nhìn vào bảng thì phía bên trái của 1 và phía bên phải của 3 mới xác định

Vậy là xong bước 3

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 3;

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1

Em thấy đó, dù bài nào thì hãy cố gắng áp dụng 4 bước với những gì đã được học

Vì lí do y '  0 x R\ 2 nên hàm số sẽ luôn đồng biến

Nhưng lần này em vẽ bảng biến thiên không phải vẽ 1 đường 1 mũi tên đi từ dưới lên trên Tại vì hàm số 2x 3

   (năm 11 đã được học về cách tính giới hạn loại này tử

và mẫu có x cùng bậc thì cứ chia cho cái cao nhất)

 

32

( tại sao lại là  ? đây là cách mà anh nháp Vì x 2 nghĩa là x nằm ở phía bên trái của 2 , điều này có thể nói là x 2 hay x   2 0 Mà em quan sát thấy cái tử là  1 0 , mẫu cũng 2 > 0 nên 2

thằng chia nhau sẽ dương Nên khi

x 2

1lim0

( vì x 2 là phía bên phải của 2 hay x   2 0 tử   1 0chia cho mẫu >0  sẽ là âm)

Em ráng học và chú ý vấn đề này vì những phần sau khi khảo sát hàm số em đỡ bị rối

Vậy là đã xong bước phân tích quá kĩ

Giờ anh trình bày

Nên hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và  2; 

 hàm số luôn nghịch biến trên D

Tới đây là em có thể kết luận rồi Nhưng anh sẽ đi tính giới hạn và vẽ cái bảng cho em thấy rõ hơn Trong bài thường thì mình đi tính giới hạn trước sau đó mới vẽ bảng biến thiên nhưng kinh nghiệm của anh cho thấy là mình cứ vẽ cái bảng, có gì điền cái đó Sau đó tính giới hạn rồi điền tiếp

Bây giờ cứ giả sử là anh đi tính giới hạn trước vậy Vì trong khảo sát hàm số là làm vậy mà

x x

x

21

13x 1

O O

y

x

x y

H4 H3

O O

Nhìn vào có thể đoán được đâu là các điểm cực trị phải không

Vậy cực trị là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị

f(x)f(x ), x  a;b \ x khi đó f x  được gọi là giá trị cực đại của f x 

b) x0là điểm cực tiểu của f x  nếu tồn tại khoảng  a;b D và x0 a;b sao cho

   

f(x)f(x ), x  a;b \ x khi đó f(x) gọi là giá trị cực tiểu của f x 

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f x  thì điểm x0; f x 0  được gọi là điểm cực trị của hàm

số f x 

Em đọc vào nguyên cái khái niêm này có hiểu gì không? Hay là đọc cho có đọc thôi?

Hồi đó học anh đọc mấy cái khái niệm này cũng không hiểu, có khi học thuộc lòng ấy chứ Nhưng thật ra vấn đề nó rất đơn giản Mấy cái hình vẽ anh vừa vẽ đã nói lên được phần nào Giờ anh sẽ vẽ cái hình khác chi tiết hơn tí

y

x O

b) Cũng tương tự câu a) nhưng với M21; 2  là điểm cực tiểu, vớix0 1 Chọn một khoảng a b; 

từ M4 M3, ta thấy không có điểm nào thấp hơn M2 nên M2 là điểm cực tiểu

c) Cái này thật chất chỉ đơn giản là:

Nhìn thấy M1 là điểm cực đạix0   1 f x 0 2 Mà f x 0 là gì ? Là tung độ của M1 Hay nói cách khác M1 có tọa độ x0;f x 0  chính là 1; 2 Cách hiểu tương tự cho M2 nhé

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f x  có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f ' x 0 0

Chú ý: Hàm số f x  chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1) Định lí 1: Giả sử hàm số f x  liên tục trên khoảng a b;  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng a b;   \ x0

a) Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi xđi qua x0 thì f x  đạt cực tiểu tại x0 b) Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi xđi qua x0 thì f x  đạt cực đại tại x0

2) Định lí 2: Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng a b;  chứa điểm x0, f '(x)0

và có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f ''(x)0 thì f x đạt cực đại tại điểmx0 b) Nếu f ''(x)0thì f x  đạt cực tiểu tại điểm x0

4.Quy tắc tìm cực trị

 Quy tắc 1: Dùng đinh lí 1

+ Tìm f '(x) + Tìm các điểm xi (i=1,2,3, ) mà tại đó có đọa hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm + Xét dấu f '(x): Nếu f '(x) đổi dấu khi x qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

 Quy tắc 2: Dùng định lí 2

+ Tìm f '(x)+ Giải phương trình f '(x)=0, tìm các nghiệm x i (i=1,2,3…) +Tìm f ''(x )i (i=1,2,3 )

Nếu f ''(x )i <0 thì hàm số đại cực đại tại điểm x i

Nếu f ''(x )i >0 thì hàm số đại cực tiểu tại điểm x i

Giờ anh sẽ nói sơ qua về phần lí thuyết này Nếu em học lí thuyết mà thuộc lòng thì sẽ không áp dụng tốt được và cũng không nhớ lâu mắc công sau này ôn lại từ đầu

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Với 1 hàm số f x  mà muốn có cực trị ( nói đơn giản là cực đại, cực tiểu) thì khi đạo hàm f x  mình sẽ được một hàm f '(x) , lúc này cho f '(x)0 và giải phương trình để tìm nghiệm Trong trường hợp này f 'phải có nghiệm thì hàm số f x  mới có cực trị Nghiệm của f '(x) gọi là x0 nên chắc chắn f ' x 0 0 Giống như lí thuyết phải không Anh sẽ ví dụ 1 bài nhé

 

f x phải có cực trị, mà điểm này là cực đại hay cực tiểu thì lát tính

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1

a) Vấn đề ở câu a) này không có gì phức tạp với x0 chính là nghiệm của f ' x 

Giả sử có bảng biến thiên

Mình có thể dễ dàng thấy nếu x đi qua x0 mà f(x) đi từ âm sang dương thì dấu mũi tên sẽ như trong bảng

và f x 0 chính là điểm cực tiểu tại x0

b) Ở câu này thì chỉ ngược lại với câu a)

Nhìn vào cái bảng có thể dễ dàng hiểu được ý nghĩa của câu b)

+ Tìm đạo hàm f ' x 

+ Cho f ' x 0 , tìm các nghiệm

Bước 3: Lập bảng biến thiên và xét dấu f ' x 

Quy tắc 2: Dùng định lí 2 để làm với các bước:

+ Nếu f '' x i 0 thì hàm số cực đại tại xi

+ Nếu f " x i 0 thì hàm số đại cực tiểu tại xi

Để nắm rõ những gì đã học thì anh sẽ cho ít bài tập cơ bản

Bài 1: tìm cực trị của các hàm số sau:

2

   e) yx44x25 f)

4 2

Cho y' 0 6x 6x 2 0

Chỉ cần áp dụng những bước rất cơ bản phải không Anh tin dạng bài này không làm khó được em Không tin thì hãy tiếp tục xem nhé cũng chỉ mấy bước rất cơ bản

b) yx32x22x 1

Tập xác định: DR

2

y'3x 4x 2

Cho y' 0 3x24x 2 0 ( bấm máy thấy vô nghiệm)

Vậy giờ làm sao nhỉ?

y ' vô nghiệm mà hệ số a  3 0 y '  0 x R

Ta có cái bảng cho dễ hình dung

Nhìn vào bảng thấy ngay hàm số không có cực trị ( cực đại, cực tiểu)

1 1

đi qua các nghiệm phân biệt sẽ đổi dấu)

25

1 2 3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại xcd 0, ycd 5

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại ct ct

Vậy hàm số đạt cực đại tại cd cd

1 2

x 2 -x 4x 0

x 0