Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 6: Thế lưu. Trong chương này ta tập trung nghiên cứu dòng lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động thế trên mặt phẳng xOy, các ví vụ dòng chảy thế từ đơn giản (dòng thẳng đều, điểm nguồn, hút,… đến phức tạp hơn (lưỡng cực, dòng bao quanh trụ tròn…).
Trang 1Dòng chảy có thế ⇔∃ϕ/thoả đ.k (1)⇔ 0
x y y
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
∂
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
∂
y
u x
=
∂
∂
−
∂
∂
⇔rot(u)=0
dòng chảy phẳng, lưu chất lý tưởng không nén được chuyển động ổn định
Giới hạn:
I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1 Hàm thế vận tốc:
Ta định nghĩa hàm ϕ sao cho:
θ
∂
ϕ
∂
=
∂
ϕ
∂
=
∂
ϕ
∂
=
∂
ϕ
∂
r
1 u
; r u hay y
u
; x
Trường véctơ u là trường có thế khi: ∫B
A
ds
ur chỉ phụ thuộc vào hai vị trí A và B
Ta có:
B A B
A
B A
B A
) 1 ( thoả tồntại y
B
B
A
d
) dy y
dx x ( ds u )
dy u dx u ( ds
u
ϕ
− ϕ
= ϕ
=
∂
ϕ
∂ +
∂
ϕ
∂
= +
=
∫
∫
∫
⇒
∫
∫
ϕ
r r
chỉ phụ thuộc vào giá trị hàm thế tại A và B.
Rõ ràng từ chứng minh trên, ∫B
A ds
ur
Vậy:
(1)
A
B
n
u
u n
u s
0 dy u dx u 0
dϕ= ⇔ x + y =
2 Phương trình đường đẳng thế:
3 Ý nghĩa hàm thế vận tốc: ΓAB =ϕB −ϕA Γ =∫B
A s
AB u ds là lưu số vận tốc
4 Tính chất hàm thế:
u x
u
2
2 2
2 y
∂
ϕ
∂ +
∂
ϕ
∂
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
∂
∂ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
∂
∂
⇔
=
∂
∂ +
∂
∂
⇔ Hàm thế thoả phương trình Laplace
Trang 25 Hàm dòng:
Khi dòng chảy lưu chất không nén được tồn tại, thì các thành phần vận tốc của nó
thoả ptr liên tục :
r u
; r
1 u hay x
u
; y u
/ 0
y
u x
u
r y
x y
x
∂
ψ
∂
−
= θ
∂
ψ
∂
=
∂
ψ
∂
−
=
∂
ψ
∂
= ψ
∃
⇔
=
∂
∂ +
∂
∂
θ
ψ gọi là hàm dòng Như vậy ψ tồn tại trong mọi dòng chảy,
còn ϕ chỉ tồn tại trong dòng chảy thế
6 Hàm dòng trong thế phẳng:
y x
0 y y x
x
0 y
u x
u
2
2 2
2 x
∂
ψ
∂ +
∂
ψ
∂
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
ψ
∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ
∂
∂
∂
−
⇔
=
∂
∂
−
∂
∂
Vậy trong dòng thế thì hàm ψ thoả ptr Laplace
7 Đường dòng và ptr:
x
dy y 0
dx u dy
∂
ψ
∂ +
∂
ψ
∂
⇔
=
−
x
y
O
n
n x
n y
dx dy
ds
α
(-dx=ds.sinα)
Như vậy trên cùng một đường dòng thì giá trị ψ là hằng số
8 Ý nghĩa hàm dòng:
Ta có:
∫
∫
∫
∫
∫
ψ
− ψ
= ψ
=
∂
ψ
∂
−
∂
ψ
∂
=
−
=
α +
α
= +
=
=
=
B A
A B B
A
B A
y x
B
B
B
A
B A n AB
d dx x
dy y dx u dy u
ds sin u ds cos u ds n u ds n u ds n ds u
Vậy: qAB =ψB −ψA
9 Sự trực giao giữa họ các đường dòng và đường đẳng thế:
0 ) u ( u ) u ( u y y x
ψ
∂
∂
ϕ
∂ +
∂
ψ
∂
∂
ϕ
∂
Suy ra họ các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau
10 Cộng thế lưu:
2 1
2 1
+ ψ + ψ
= ψ
+ ϕ + ϕ
= ϕ
11 Biễu diễn dòng thế:
với z = x+iy = e iα
Thế phức f(z): f(z) = ϕ + iψ
dx
d iu u dz
df
y
=
Để biểu diễn dòng chảy thế, ta có thể biễu diễn riêng từng hàm dòng và hàm thế, ta
cũng có thể kết hợp hàm dòng với hàm thế thành một hàm thế phức như sau::
Trang 3II CÁC VÍ DỤ VỀ THẾ LƯU
x O
y
ϕ=0 ϕ=1 ϕ=2 ϕ=3
ϕ=-1 ϕ=-2 ϕ=-3
ψ=0 ψ=1 ψ=2 ψ=3
ψ=-3 ψ=-2 ψ=-1
V 0
α
1 Chuyển động thẳng đều: từ xa vô
cực tới, hợp với phương ngang một góc
α
ux = V0cosα; uy= V0sinα
dψ = uxdy - uydx
ψ = V0ycosα - V0xsinα + C
Chọn:ψ=0 là đường qua gốc toạ độ
⇒C=0
Vậy: ψ = V0ycosα - V0xsinα
Tương tự: ϕ= V0xcosα + V0ysinα
Biễu diễn bằng hàm thế phức:
F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)
= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)
= az với: a=(V0cosα -iV0sinα) là số phức; z=x+iy là biến phức
2 Điểm nguồn, điểm hút:với lưu lượng q tâm đặt tại gốc toạ độ
(q>0:điểm nguồn; q<0:điểm hút).
⇒ Họ các đường dòng là những đường thẳng qua O.
) y x ln(
4
q )r ln(
2 q
1 r khi 0 chọn
; C )r ln(
2 q
dr r 2
q dr u d ru dr u d dr r d
2 2
r r
+ π
= π
= ϕ
⇒
=
= ϕ +
π
= ϕ
⇒
π
=
= θ +
= θ θ
ϕ
∂ +
∂
ϕ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= θ π
= ψ
⇒
= θ
= ψ +
θ π
= ψ
⇒
θ
= θ +
−
= θ θ
ψ
∂ +
∂
ψ
∂
= ψ
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
θ
x
y arctg 2
q 2
q
0 khi
0 chọn
; C 2
q
d ru d ru dr u d dr
r
d
0
u 2 r
q
u
r r
r=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
= π
= π
=
+ π
= θ + π
=
+ π
= π
= ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= θ π
= ψ
θ
θ
z ln a z ln 2
q ) re ln(
2 q
) e ln r (ln 2
q ) i r (ln 2
q ) z (
) y x ln(
4
q ) ln(
2 q
x
y arctg 2
q 2
q
i
i
2 2
ϕ
ψ=0
ψ=(q/4)
ψ=q/2
ψ=3q/
4
Ghi chú:
Trường hợp điểm nguồn (hút) có tâm đặt tại một vị trí khác gốc toạ độ, ví dụ đặt tại
A(x 0 ; y 0 ) thì trong công thức tính hàm dòng (hoặc thế vận tốc), tai vị trí nào có các biến x
phải thay bằng (x=x 0 ) ; tại vị trí nào có biến y phải thay bằng (y-y 0 ).
Trang 43 Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc Γ=∫ =
C
const ds
ur
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
= π
Γ
−
= π
Γ
−
=
θ + π
Γ
−
=
− θ π
Γ
=
+ π
Γ
−
= π
Γ
−
= ψ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
Γ
= θ π
Γ
= ϕ
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= π
Γ
=
=
θ
θ
z ln a z ln 2
i )
re ln(
2 i
) i r (ln 2
i )
r ln i ( 2 ) z ( f
) y x ln(
4 ) r ln(
2
x
y arctg 2
2
const r
2 u
0 u
i
2 2 r
O
ψ
ϕ=0
ϕ=Γ/4
ϕ = Γ/2
ϕ=3Γ/4 Γ>0: xoáy dương
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;
Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
Tương tự, ta có trên đây là xoáy đặt tại O(0,0)
Muốn biễu diễn cho xoáy có tâm đặt tại điểm
bất kỳ, ta cũng thực hiện như trong phần ghi
chú của điểm nguồn, hút.
4 Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng qđặt cách nhau một
đoạn ε vôâ cùng nhỏ (cho ε→0 với điều kiện εq→m0, là moment lưỡng cực)
Ví dụ ta xét trường hợp nằm trên trục hoành:
Tìm hàm dòng:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − ε π
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ε
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ε + +
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ε
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ε + π
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
− ε + π
= θ
− θ π
= ψ + ψ
= ψ
2
2 2
h n h
n
y 4 x
2 x y 2 x
y arctg 2
q
2 x
y 2 x
y 1
2 x
y 2
x
y
arctg 2
q
2 x
y arctg 2
x
y arctg 2
q ) (
2 q
Khi ε→0 tử số trong dấu arctg tiến tới 0 nên ta có thể viết:
2 2 0 2
2 2 2
2
y 2
m y
4 x
y 2
q y
4 x
2 x y 2 x y 2
q
+ π
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
ε
− π
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − ε π
=
ψ
Trang 5+q -q
ψ
Tìm hàm thế vận tốc:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −ε
ε +
π
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − ε
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ε π
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+ π
= ϕ + ϕ
= ϕ
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 h
n
y 2 x
x 2 1
ln 4
q y
2 x
y 2
x ln 4 q
y 2 x ln y
2 x ln 4 q
2
x x ) x 1 ln( + = − 2 + và bỏ qua các số hạng bậc cao vô cùng bé, ta có:
0 khi
y x
x 2
m y
2 x
x
2 2
q
2 2 0 2
+ π
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − ε
ε π
= ϕ
Vậy tóm lại, đối với chuyển động lưỡng cực thì:
z
1 2
m ) sin i (cos r
sin
cos 2
m r
sin i
cos 2
m
)
z
(
r
cos 2
m y x
x 2
m
r
sin 2
m y
x
y 2
m
0 2
2 0 0
0 2 2
0
0 2
2 0
π
= θ + θ
θ +
θ π
= θ
− θ π
=
θ π
= + π
=
ϕ
θ π
−
= + π
−
=
ψ
5 Dòng chảy quanh nửa cố thể:
Là chồng nhập của chuyển động thẳng đều ngang (U0)+ nguồn tại gốc toạ độ (q)
θ π + θ
= π
+
=
ψ
π + θ
= +
π +
=
ϕ
2
q sin
r u ) x
y ( arctg 2
q y
u
r ln 2
q cos
r u ) y x ln(
4
q x
u
0 0
0
2
Điểm dừng A:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
⇔
= + π
=
∂
ϕ
∂
π
−
=
⇔
= + π +
=
∂
ϕ
∂
⇔
=
=
⇔
=
⇑
0 y 0
y x
y 2 4
q y
u 2
q x
0 y x
x 2 4
q u
x
0 u
; 0 u
0
u
A 2
2
0 A
2 2 0
yA xA
A
A
Trang 66 Dòng chảy quanh cố thể dạng Rankin
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + π
+
=
ψ
+
−
+ + π
+
=
ϕ
a x
y arctg a
x
y arctg 2
q y u
y ) a x (
y ) a x ( ln 4
q x u
o
2 2
2 2 o
Có hai điểm dừng A và B:
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
+ π
±
=
⇔
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− π +
⇔
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
− + π +
⇔
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
− + +
+ π
+
=
∂
ϕ
∂
=
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
− + + π
=
∂
ϕ
∂
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
=
2 0 2
2 0
0
2 2 2
2 0
2 2 2
2
y x
a u
aq x
0 a x
a 4
q u
0 ) a x (
2 ) a x (
2 4
q u 0 y thế
0 y ) a x (
) a x ( 2 y
) a x (
) a x (
2 4
q u x
0 y 0 y ) a x (
y 2 y
) a x (
y
2 4
q y
0 u
0 u 0
u
Là tổ hợp của dòng chuyển động thẳng
ngang đều (u0) + nguồn (+q) + hút(-q)
Trong đó điểm nguồn và hút nằm trên
trục hoành, cách nhau một đoạn 2a hữu
hạn,
u 0
+q -q
2a
7 Dòng chảy quanh trụ tròn (Γ=0)
Xétø tổ hợp của chuyển động thẳng đều, nằm ngang (u0)+lưỡng cực (m0)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ π
− θ
=
θ π
− θ
= + π
−
+
=
ψ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ π + θ
=
θ π + θ
= + π
+
=
ϕ
2 0
0 o
0 o
2 2
0 o
2 0
0 o
0 o
2 2
0
o
r u 2
m 1 sin r u r
sin 2
m sin r u y x
y 2
m
y
u
r u 2
m 1 cos r u r
cos 2
m cos r u y x
x 2
m
x
và
0
0
u 2
m r
π
=
0
0
u 2
m R
π
=
bằng đường tròn
Do không có sự trao
đổi lưu chất giữa
đường dòng ψ=0
0
0
u 2
m r
π
=
Thay đường tròn
thì bản chất dòng chảy vẫn không đổi
Ta có hình ảnh của dòng chảy bao quanh trụ tròn
(trụ không xoay)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− θ
= ψ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + θ
= ϕ
2
2 o
2
2 o
r
R 1 sin r u
r
R 1 cos r u
Trang 7) θ sin 4 1 ( 2
u ρ
tr
¾Tìm phân bố vận tốc trên mặt trụ r=R:
C D
u C = -2u 0
u D = 2u 0
p A = p B = ρu 0 /2
p C = p D = -3ρu 0 2 /2
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
θ
−
= θ
∂
ϕ
∂
=
⇒ θ
=
ϕ
0 u
sin u 2 r
1 u cos
R
u
2
r
0 R
r 0
¾Tìm hai điểm dừng trên mặt trụ:
π θ 0
θ 0
⇒có hai điểm dừng A B trước và sau mặt trụ
¾Tìm hai điểm có giá trị vận tốc lớn nhất trên mặt trụ:
0 D
0 C
max
u 2 u
; u
2
3
; 2 u
u
=
−
=
π
= θ
π
= θ
⇔
=
có giá trị vận tốc lớn nhất
¾Khảo sát phân bố áp suất rên mặt trụ:
Áp dụng P.Tr NL trên đường dòng ψ=0 từ điểm xa vô cực đến điểm trên mặt trụ:
2
u p
2
u
tr
2
+
=
ρ
+
u
θ sin u 4 1 ( 2
u ρ ) u
u 1 ( 2
u ρ
0
2 2 0
2 0 2
0
2 tr
2
=
dư tr
Tại A, B: p p u220
B A
ρ
=
=
Tại C, D:
2
u 3 p
D D
ρ
−
=
= Do biểu đồ phân bố áp suất đối xứng qua ox lẫn oy nên
tổng lực tác dụng lên mặt trụ trong trường hợp này = 0
Nhận xét:
7 Chuyển động quanh trụ tròn xoay (Γ≠0):
Bao gồm chuyển động quanh trụ tròn + xoáy tự do (Γ +)
r ln 2 r
R 1 sin r u
2 r
R 1 cos r u
2
2 o
2
2 o
π
Γ
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− θ
=
ψ
θ π
Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + θ
=
ϕ
¾Phân bố vận tốc trên mặt trụ :
π
Γ + θ
−
=
2 R
1 sin
u 2 u
; 0
Vì r = R nên
suy ra:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→ π
>
Γ
→ π
= Γ
→ π
<
Γ
⇒ π
Γ
= θ
⇔ π
Γ
= θ
⇔
=
dừng điểm 0 Ru 4
dừng điểm 1 Ru 4
dừng điểm 2 Ru
4 Ru
4
sin R
2 sin u 2 0 u
0 0 0 0
0
¾Phân bố áp suất trên mặt trụ :
2
u p
2
u
tr
2
+
=
ρ
+
π
Γ θ
1
2 0
R sin
u
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
=
2
0
2 0 2
0
2 tr
2 0
Ru π 2
Γ θ
sin 2 1 2
u ρ ) u
u 1 ( 2
u ρ
p dư tr
Giả sư û p∝=pa
¾Lực tác dụng trên mặt trụ:
0 2
0 tr
F =− θ θ=−ρΓ
Phương y:
-Ỉ Lực nâng Jukovs
Lưu ý :
0 d sin 2
0 n
∫π θ θ =
Trang 8Γ/2πRu 0 =2
Γ/2πRu 0 =3
Γ/2πRu 0 =1
F y
Các trường hợp xoáy Γ>0
y
| Γ | /2πRu =3
Stagnation Point
r Γ
F y
| Γ | /2πRu 0 =1
Stagnation
Point
y
r Γ
| Γ | /2πRu 0 =2
Stagnation Point
y
r Γ
Các trường hợp xoáy Γ< 0
Trang 9Ví dụ 1:
Chuyển động thế của chất lỏng hai chiều trên mặt phẳng nằm ngang xoy với
hàm thế vận tốc ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính bằng m, ϕ tính bằng
m2/s
1 Tìm a, b
2 Tìm độ chênh áp suất giữa hai điểm A(0,0) và B(3,4), biếtb khối lượng
riêng lỏng bằng 1300kg/m3
Giải:
Từ hàm thế vận tốc ϕ = 0,04x3+ axy2 + by3 ta có:
2 y
2 2
y u
; ay x 12 , 0 x
∂
ϕ
∂
= +
=
∂
ϕ
∂
= Các thành phần vận tốc phải thoả phương trình div(u)=0 nên:
0 by 6 x ) a 2 24 , 0 ( 0 by 6 ax 2 x 24 , 0 0 y
u x
∂
∂ +
∂
∂
Vì div(u)=0 đúng với mọi điểm nên thế (x=0; y=1) vào ta được b = 0
(x=1; y=0) vào ta được a = -0,12
Vì đây là chuyển động thế nên p.tr Ber đúng cho hai điểm bất kỳ A và B, ta có:
⇔
− ρ
=
−
⇔ +
ρ
=
+
) u u ( ) p p ( 2
u p 2
u
A
2 B B
A
2 B B
2
A
A
⇒ uA=0; uB = ((0,12*32-0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2= 3 m/s
2 2
2
) 3 ( 1300
∆
Ví dụ 2:
Giải:
) x y ( 2
1 ) y , x
ϕ
x
y
Dòng chảy thế uốn cong một góc 900 với hàm thế vận tốc
được cho như sau:
(x,y tính bằng m).Tìm lưu lượng phẳng qua đường thẳng nối
hai điểm A(1,1) và B(2,2)
y y u
; x x
∂
ϕ
∂
=
=
∂
ϕ
∂
=
) y ( C yx x
y u
x = − y ⇒ ∂ψ = − ∂ ⇒ψ = − +
∂
ψ
∂
const xy
const )
y ( C x ) y ( ' C x u
∂
ψ
∂
s / m 3 1
* 1 2
* 2
A B
⇒
Trang 10Áp suất dư trên mặt trụ bằng:p ρ 2 u ( 1 4 sin 2 θ )
2
=
dư tr
F y
dF
θ
0 Rd ) cos(
) sin 4 1 ( 2
u )
cos(
pds dF
F
0
2
2 0
0 0
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ θ
− θ
− θ
ρ
−
= θ θ
− θ
ρ
−
=
⇒
θ θ θ
−
−
ρ
−
= θ
−
=
=
⇒
∫
∫
∫
∫
π
π π
π
2
2 0
0
2
2 0 y
0
2
2 0
0 0
y y
d ) sin(
3 )) (cos(
d ( cos 4 ( 2
u R d
) sin(
) 3 cos 4 ( 2
u R
F
Rd ) sin(
)) cos 1 ( 4 1 ( 2
u )
sin(
pds dF
F
3
u R 5 3
4 3 3
4 3 2
u R cos
3
4 cos 3 2
u R F
2 0
2 0
0 3
2 0 y
ρ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− +
ρ
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
ρ
−
=
⇒
π
Giải:
Ví dụ 3:
Gió thổi qua mái lều dạng bán trụ R=3m với
V=20m/s, không khí có khối lượng riêng
bằng 1,16 kg/m3 Tìm lực nâng tác dụng lên
1m bề dài lều
Để tìm lực nâng Fy tác dụng lên 1m bề dài lều, trên bán trụ ta chon một vi phân
diên tích ds, tìm lực dF tác dụng lên ds, sau đó chiếu dF lên phương y →dFy Và tích
phân (dFy) trên toàn bán trụ
N 2320
F y =
⇒
Giải:
Ví dụ 4:
Một xi lanh hình trụ tròn di chuyển trong
nước với vận tốc u0 không đổi ở độ sâu
10m Tìm u0 để trên bề mặt xi lanh không
xảy ra hiện tượng khí thực , biết nước ở 200C A B
C D
u C = -2u 0
u D = 2u 0
p A = p B = ρu 0 2 /2
p C = p D = -3ρu 0 /2
Ở 200C áp suất hơi bão hoà của nước : pbh= 0,25m nước
Để trên bề mặt xi lanh không xảy ra hiện tượng khí thực
thì ptrutđ > pbh= 0,25m nước
⇒ p tru ck < 9,75m nước hay ptru dư > - 9,75m nước
Áp suất dư nhỏ nhất trên mặt tru (nếu trụ di chuyển trên mặt thoáng )ï, như ta đã
biết, tại vị trí C và D, bà bằng: p C = p D = -3ρu 0 2 /2
Suy ra, vận tốc tối đa mà trụ có thể di chuyển được để không có hiện tượng khí thực
xảy ra trên mặt trụ phải giải từ bất p.tr :
p C = p D = 10γ n -3ρu 0 2 /2
Vậy nếu trụ di chuyển ở độ sâu 10m thì :
P tru dư = 10γ n -3ρu 0 2 /2 > - 9,75 γ n
⇔ 3ρu 0 2 /2 < 19,75 γ n ⇔ u < 11,365 m/s
Trang 11Ví dụ 5:
Hai nửa xi lanh được nối với nhau và đặt trong trường
chảy đều có thế như hình vẽ Người ta khoét 1 lỗ nhỏ tại
vị trí góc α để cho không có lực tác dụng lên hai mối nối
Giả thiết rằng áp suất bên trong xi lanh bằng áp suất bên
ngoài xi lanh tại lỗ khoét Xác định góc α
Để cho không có lực tác dụng lên hai mối nối thì tổng lực Fx tác dụng lên mỗi nửa
mặt trụ phải bằng không
Do biểu đồ áp suất trên mặt trụ phân bố đối xứng qua trục ox, nên ta chỉ cần xét
tổng lực Fxtrên ¼ mặt tr Ta xét trên ¼ mặt trụ từ 0 đến π/2:
Áp suất dư trên mặt trụ:
) θ sin 4 1 ( 2
u ρ
tr
Trên ¼ mặt trụ ta chọn vi phân ds, gọi dFn là lực tác dụng lên ds từ bên ngoài mặt
trụ, ta có: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ
6
R u sin
3
4 sin 2
R u Rd
cos ) sin 4 1 ( 2
u F
2 0 2
/
0 3
2 0 2
/
0
2
2 0 nx
ρ
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
ρ
−
= θ θ θ
−
ρ
−
=
⇒
π π
∫
0
π/2
α
dF
dF x
θ
ds
[sin ] p R R
p Rd cos p ds p
2 /
0
2 /
0
π α
π α
π
=
Gọi pαlà áp suất tại lỗ khoét, ta có: ( 1 4 sin )
2
u
) sin 4 1 ( 2
R u
⇒
Ta có: Fnx + Ftx = 0
Suy ra:
3
1 sin
3
1 sin
3
4 sin
4
) sin 4 1 ( 2
R u 6
R u F
F
2 2
2
2 o
2 o tx
nx
= α
⇒
= α
⇒
= α
⇒
α
−
ρ
−
=
ρ
⇒
−
=
0
26 , 35
= α
Nhận xét:
Lực Fnx>0 hướng theo chiều dương⇒lực Ftxtừ bên trong mặt trụ phải hướng theo
chiều âm Như vậy, áp suất tại lỗ khoét phải là áp suất chân không
0 π/2
Trang 12I. Mở Đầu: Giới thiệu về môn học, các tính chất lưu chất, các lực tác dụng lên lưu
chất.
II Tĩnh học lưu chất: Nghiên cứu về lưu chất ở trạng thái tĩnh, các phương trình cơ
bản đặc trưng cho lưu chất ở trạng thái tĩnh, từ đó rút ra quy luật phân bố áo suất của các điểm trong môi trường lưu chất tĩnh, cũng như cách tính các áp lực của lưu chất lên một bề mặt vật (chương này có hai phần: tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối).
III Động học lưu chất: Nghiên cứu về chuyển động của lưu chất (không xét đến lực),
các phương pháp nghiên cứu, các loại chuyển động, định lý vận tải Reynolds về phương pháp thể tích kiểm soát, từ đó rút ra phương trình liên tục dựa vào nguyên lý bảo toàn khối lượng.
IV. Đông lực học lưu chất: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển động của lưu chất,
những phương trình vi phân đặc trưng cho lưu chất chuyển động, từ đó, cộng với ứng dụng nguyên lý bảo toàn năng lượng và biến thiên động lượng để rút ra những phương trình cơ bản động lực học (phương trình năng lượng, phương trình động lượng) và các ứng dụng của nó.
V. Dòng chảy đều trong ống: Trong chương này ta nghiện cứu hai phần: Phần 1 về
dòng chảy đều trong ống, phương trình cơ bản , phân bố vận tốc trong dòng chảy tầng, rối, các công thức tính toán tổn thất năng lượng trong dòng chảy Phần 2 về các tính toán trong mạng đường ống (từ ống đơn giản, nối tiếp song song đến một mạng ống vòng…)
VI. Thế lưu: Trong chương này ta tập trung nghiên cứu dòng lưu chất lý tưởng không
nén được, chuyển động thế trên mặt phẳng xOy, các ví vụ dòng chảy thế từ đơn giản (dòng thẳng đều, điểm nguồn, hút,… đến phức tạp hơn (lưỡng cực, dòng bao quanh trụ tròn…)
Giảng viên: TS Nguyễn Thị Bảy
1 Bài giảng Cơ Lưu Chất- và Các ví dụ tính toán - Nguyễn Thị Bảy (Bô môn Cơ Lưu Chất) Website: http://www.dce.hcmut.edu.vn/vi/giangvien/detail.php?id=45
2 Gíao trình Cơ lưu chất - Bộ môn Cơ lưu Chất
3 Bài tập Cơ lưu Chất – Nguyễn thị Phương – Lê song Giang ( BM Cơ lưu Chất )
4 Bài tập Cơ học Chất lỏng ứng dụng – Nguyễn hữu Chí, Nguyễn hữu Dy, Phùng văn Khương (có trong thư viện ĐHBK).
5 Solutions Manual Introduction to Fluid Mechanics _ Robert W.For, Alan T Mc Donald (Thư viện ĐHBKhoa)
6 Fundamental of Fluid mechanics–Phillip M Berhart, Richard J Gross, John I Hochstein Second edition, Addison –wesley Publising Company Inc 1985 (Thư viện ĐHBK)
7 Applied Fluid Mechanics- Robert L Mott , Fourth edition , Macmillian Publishing Company, 1990 (Thư viện ĐHBK)
8 Fluid mechanics – John Doughlas, Janusz M Gasiorek , John A Swaffiield Fourth edition, Prentice Hall, 2001
9 E-book : Fluid Mechanics , Frank M White , 1994
10 E-book : Shaum’s interactive Fluid mechanics – Giles R.V et al
Web: https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl Chean Chin Ngo, Kurt Gramoll Website : www.engin.umich.edu
12 2500 solved problems in Fluid mechanics and hydraulics Jak B Evett, Ph.D and Cheng
TÀI LIỆU THAM KHẢO