chuyên đề dãy số

Chuyên đề: dãy sốLoại 1: Cho dãy số an hãy viết số hạng của dãy.. Cho dãy số an cho bởi công thức: an=.. Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy.. Loại 2: Xác định công thức an của dãy an đợc x

Chuyên đề: dãy số

Loại 1: Cho dãy số (an) hãy viết số hạng của dãy.

1 Cho dãy số an cho bởi công thức: an= .

1

1 2

2 2





n

2 Dãy số (an) cho bởi:











2

1 15 ; 9

n n

n a a a

a a

Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy

Loại 2: Xác định công thức an của dãy (an) đợc xác định bởi công thức truy hồi.

1 Cho các dãy số sau:

(an) định bởi: an=

3 4

2

2













1 1

n n

n S a S

a S

 n  N

Xác định công thức Sn theo n

2 Tìm Un theo U1 và n biết rằng: a) Un=Un-1+2 (n2) b) Un = 2Un -1 +1 (n2)

c) Un+1= Un+3n (n1)

3 Cho dãy số an định bởi: 









a a

n

n 10 1 9 11

1 1

(n N)

Xác định công thức Un theo n

4 Cho dãy số (Un) xác định bởi: a) 







1

1 1

n

n U U U







U U

2 3

1 1

nN*)

5 Cho dãy số (an) định bởi: 











 1 2 2

1

2

2

; 1

n n

n a a a

a a

(n3)

Chứng minh rằng: an (

2

5

6 Cho dãy số (bn) định bởi: 











 1 2 2

1

2 1

n n

n b b b

b b

(n3)

Chứng minh rằng: bn < 6bn-2 ( n5)

7 Cho dãy số (Un) định bởi: 











2 1

2 3

3

; 2

n n

n U U U

U U

Chứng minh rằng: Un=2n+1

Loại 3: Chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm.

1 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) an= n n









 2 1 1

1 1

n

n b b b

2 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau cho bởi CT tổng quát:

3 Cho a là một số thực và a>1

Chứng minh rằng dãy số (Un) có số hạng tổng quát: Un = an + n

a

1

là một dãy tăng

4 Cho ('Un) xác định bởi: Un =

1

1



n +

2

1



n +…

n

n 

1

Chứng minh rằng: (Un) là tăng

) 1 (

) 2 (





n

n n

và (vn )xác định bởi: vn = U1.U2…Un

a Chứng minh (Un)tăng và (vn)giảm

b CMR: vn:

) 1 ( 2

2





n n

Loại 4: Chứng minh một dãy số bị chặn.

1 Xét tính bị chặn của dãy số (Un) xác định bởi CT tổng quát

a Un =

) 2 (

1



n

n (n1) b Un =

3

5

2 2



n

n .

c Un = (-1)n

1

2



n

n

3

1 2

1

n .

f Un=

) 2 (

1

4 2

1 3 1

1









n

n

2 Cho dãy số (Un) đợc xác định bởi:











2 1

1

1

n

U

U

CMR: (Un)bị chặn bởi -2 và 1

3 Cho dãy số (an) xác định bởi: 









1 1 1

n

a a

n N

CMR: 1a n

2

3









2 0

1 1

n

U U

(n1)

a Chứng minh rằng: Un <8

b Chứng minh rằng: dãy số (Un) tăng, suy ra (Un) là dãy số bị chặn

A - Lý thuyết: (SGK).

B - Bài tập: Một số dạng toán thờng gặp.

1 Cho 3 số dơng a, b, c lập thành một cấp số cộng CMR:

c) a2 + ab + b2 ; a2+ac +c2 ; b2+bc +c2 lập thành 1 cấp số cộng

2 Cho a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 CMR bộ 3số:

a

c

b 

1

;

a

c 

1

;

b

a 

1

b

c b

a

 ;

a c

b

 ;

b a

c

3 Xác định cấp số cộng (Un) biết:

a 











26 10

6 4

3 5 2

U U

U U U

b 



 35 19

9 5

U U

c 





 16 8

2

2 U U U

4 Cho cấp số cộng (an) có: 





 18 15

14 3

a a

Tính tổng 20 số hạng đầu tiên

5 Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết rằng tổng của chúng là 27 và tổng bình phơng bằng 293

6 Định 4 số biết chúng lập thành 1 cấp số cộng có tổng là -10 và tổng bình phơng của 4 số này là 70

7 Định 5 số biết chúng lập thành một cấp số cộng có tổng là 15 và tổng bình phơng của 5 số này bằng 35

8 Một cấp số cộng có 11 số hạng, tổng các số hạng là 176 Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó

9 Một cấp số cộng có số hạng thứ 54 là -61 và số hạng thứ 4 là 64 Tìm số hạng thứ 23

10 Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng:

11 Trong ABC nếu có:

a  tg

2

A

; tg

2

B

; tg

2

C

thì có:  cosA; cosB; cosC

b  cotg

2

A

; cotg

2

B

; cotg

2

C

thì có  a, b, c

c sinA sinB = 3sin2 2

C

thì 

a, c, b

d sin(B + C - A); sin (C + A - B); sin(A + B - C) thì có  tgA, tgB, tgC

12 CMR trong ABC nếu có: cotgA, cotgB, cotgC thứ tự lập thành cấp số cộng thì:

a2,b2, c2 cũng lập thành cấp số cộng

13 Cho  U1;U2;U3;…Un

CMR: S =

2

1

1

U

3

2

1

U

U +… +

n

n U

U .

1 1



=

n

U U

n

.

1 1



4 Cho hàm số: a) y = x3-3x2- 9x+m b) y = x3-3mx2+2m(m - 4)x+9m2 - m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm với các hoành độ lập thành cấp số cộng

A Lý thuyết:

B Bài tập: Một số VD cơ bản.

1 Cho 3 số dơng: a, b, c lập thành cấp số nhân

3

1

c b

a  ; ( )

3

1

ca bc

2.Ba số:

a

b 

2

;

b

1

;

c

b 

2

lập thành 

CMR: a, b, c lập thành

3 Cho 3 số a, b, c lập thành cấp số nhân CMR:

(a + b + c)(a - b + c) = a2+b2+c2 áp dụng: tìm 3 số liên tiếp của 1 cấp biết tổng = 14 và tổng bình phơng = 84





 0 135 15

6 3

U U

b)

















10

21

4

2

5 3

1

U

U

U U

U

5 Tìm 1 cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu là 15 và tổng bình phơng của chúng bàng 85

6 Tính tổng:

b S = 1+2.2+3.22+4.23+…+100.299

c S = 1+4.2+7.22+10.23+…+(3n-2).2n-1

d S = 1 + 11+ 111 +…+ 111…1 (n chữ số)

e S = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + … với -1 < a < 1

f Cho số thập phân tuần hoàn: A = 0,212121…

CMR: A =

33 7

******************** HÕt *******************

;