Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn Các phép biến đổi bất phương trình Kí hiệu D là tập các số thực thoả mãn điều kiện của bất phương trình Px < Qx... Các dạng phương trình
Trang 1PHẦN ĐẠI SỐ
A LÝ THUYẾT
I Kiến thức cơ bản:
1 Bất đẳng thức, bất phương trình
1.1 Tính chất của bất đẳng thức
a < b và b < c ⇒ a < c Bắc cầu
a < b ⇔ a + c < b + c Cộng hai vế bất đẳng thức với
một số
c > 0 a < b ⇔ ac < bc Nhân hai vế bất đẳng thức với
một số
c < 0 a < b ⇔ ac > bc
a < b và c < d⇒a + c < b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng
chiều
a > 0, c > 0 a < b và c < d ⇒ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng
chiều
n nguyên
dương
a < b ⇔ a2n+ 1 <b2n+ 1 Nâng hai vế của bất đẳng thức
lên một luỹ thừa 0< a < b ⇒ a2n <b2n
a > 0 a < b ⇔ a < b Khai căn hai vế của một bất
đẳng thức
a < b ⇔ 3 a < 3 b
1.2 Các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
x x x x
x > 0 , > , > −
a x a a
x ≤ ⇔ − ≤ ≤ (a > 0)
a x a
x ≥ ⇔ ≤ − hoặc x≥a
b a b a b
1.3 Bất đẳng thức Cô-si
) 0 , 0 (
+
ab
Đẳng thức ab =a2+b
xảy ra khi a = b
2 Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Các phép biến đổi bất phương trình
Kí hiệu D là tập các số thực thoả mãn điều kiện của bất phương trình P(x) < Q(x)
a Phép cộng
Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) ⇔P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
b Phép nhân
Nếu f(x) > 0, ∀x∈D thì P(x) < Q(x) ⇔P(x).f(x) < Q(x).f(x)
Nếu f(x) < 0, ∀x∈D thì P(x) < Q(x) ⇔P(x).f(x) > Q(x).f(x)
c Phép bình phương
Nếu P(x) ≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀x∈D thì P(x) < Q(x) 2 ( ) 2 ( )
x Q x
P <
3 Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b
x − ∞ −b a +∞
Trang 2f(x)=ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
4 Bất phương trình bậc nhất
Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax+by≤c(a2 +b2 ≠ 0 )
Bước 1: Vẽ ∆ :ax+by=c
Bước 2: Lấy một điểm M0(x0;y0) ∉ ∆ ( thường là gốc toạ độ O)
Bước 3: So sánh ax0 +by0 với c
Bước 4: Kết luận
Nếu ax0 +by0< c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M0 là miền nghiệm của
c
by
ax+ ≤
Nếu ax0 +by0> c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M0 là miền nghiệm của ax+by≤c
5 Dấu của tam thức bậc hai f(x) =ax2 +bx+c(a≠ 0 )
• ∆ < 0 thì với mọi x∈ ℜ, f(x) có cùng dấu với hệ số a
• ∆ = 0 thì f(x) = 0 với x b a
2
−
= , và với mọi x b a
2
−
≠ , f(x) luôn cùng dấu với
hệ số a
• ∆ > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1 ,x2(x1 <x2) và f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc ( −∞ ;x1) hay (x2; +∞ )
Ta có thể xét dấu tam thức bậc hai trường hợp ∆ > 0 như sau:
x − ∞ x1 x2
∞
+
c bx ax x
f( ) = 2 + + Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
6 Các số đặt trưng
6.1 Số trung bình cộng (x)
• Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
x n x n x k n k f x f x f k x k
N
x= 1 ( 1 1+ 2 2 + + ) = 1 1+ 2 2 + +
trong đó n , i f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x i
N là các số liệu thống kê (n1+n2+ +n k =N)
• Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
k k k
k n f c f c f c c
n c n c N
x= 1 ( 1 1+ 2 2 + + ) = 1 1+ 2 2 + +
trong đó c i,n i, f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i
N là các số liệu thống kê (n1+n2+ +n k =N)
6.2 Mốt (M0)
Trong bảng phân bố tần số, giá trị có tần số lớn nhất ta gọi là mốt của mẫu
và được kí hiệu M0
6.3 Số trung vị ( M e )
Sắp sếp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng):
Nếu N lẻ thì giá trị đứng thứ N2+1 được gọi là số trung vị
Trang 3Nếu N chẵn thì trung bình giá trị đứng thứ N2 và 1
N
là số trung vị
6.4 Phương sai ( 2
x
S )
• Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
2 2
2 1 1 2 2
2 2
2 1 1
2 1 n (x x) n (x x) n (x x) f (x x) f (x x) f (x x)
N
trong đó n , i f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x i; N là các số liệu thống kê (
N n
n
n1+ 2+ + k = ); x là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
• Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
2 2
2 1 1 2 2
2 2
2 1 1
2 1 n (c x) n (c x) n (c x) f (c x) f (c x) f (c x)
N
trong đó c i,n i,f i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của của lớp thứ i ; N là các
số liệu thống kê (n1+n2+ +n k =N); x là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
6.5 Độ lệch chuẩn ( S x)
2
x
x S
S =
II Phương pháp giải các bài toán thường gặp
B BÀI TẬP
Bài 1: Xét dấu của các biểu thức:
a ( ) 34 25
+
−
=
x
x x
+
−
−
=
x
x x
f
4
5 3 )
2
+
−
+
−
=
x
x x x f
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a 2x− 3 < 1 b − 3x+ 5 ≥ 2
c 5x− 4 ≥ 6 d 2x− 1 <x+ 3
e 3x− 2 > 2x+ 1 f x+ 2 > 3
Bài 3: Giải các bất phương trình:
2
1
3
1
−
≤
+
−
x
x
b 3 21≤2 −−21 +
+
x
x x
x
c 2 −1+x3+1> x2−3
x d ( 2x+ 3 ) 2 −x2 + 3 ≤ 3x2 − 2x
Bài 4: Giải các bất phương trình:
a 21≤2 5−1
1 1
1
−
<
x
c 1 24 < 3+3
+
+
x x
1
1 3
2
2
<
−
+
−
x
x x
Bài 5: Giải các bất phương trình:
a x2 − 3x− 4 > 0 b − 3x2 − 5x+ 2 ≤ 0
c − 16x2 + 3x− 2 ≤ 0 d 4x2 − 12x+ 9 ≤ 0
e x2 − 2006x+ 2005 ≤ 0 f 1938x2 − 68x− 2006 > 0
Bài 6: Giải các bất phương trình:
5 2
3
3 7
5
2
2
>
−
−
−
−
x
x
x
x
2 1
3 2
2
<
−
− +
x
x x
c (x− 3 )(x2 − 3x+ 2 ) ≥ 0 d (x+ 1 )(x2 − 6x+ 5 ) ≤ 0
Bài 7: Giải hệ bất phương trình:
Trang 4a
+
<
+
+
<
+
5 2
2
3
8
7 4
7
5
6
x
x
x
x
b
−
>
−
−
<
+
) 4 ( 2 2
14 3
2 15 3
1 2
x x
x x
Bài 8: Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
a
>
+
−
<
+
4 2
)1
(
2
1
3
2
y
x
y
x
b
≥
≥
≤ +
≤ + 0 ,0 8
18 3 2
y x
y x
y x
c
>
+
>
−
−
<
−
+
,0
1
2
0
1
0
3
x
y
x
y
x
d
<
− +
<
−
−
0 1
0 2
2
y x
y x
Bài 9: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
a x2 − 2 (m+4)x - 3m + 2 = 0
b −x2 − 3 (m− 7 )x+ 2m− 3 = 0
c (m− 2 )x2 + 2mx+ 3m− 4 = 0
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
a x2 − 2 (m− 1 )x+ 2m2 − 3m+ 2 = 0
b x2 − ( 3m− 1 )x+m2 − 3m+ 2 = 0
c (m− 4 )x2 + (m+ 1 )x+ 2m− 1 = 0
Bài 11: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
a ( 3m+ 1 )x2 − ( 3m+ 1 )x+m+ 4 = 0
b x2 − 2 (m− 1 )x+ 2m− 5 = 0
c (m− 1 )x2 + ( 3m− 2 )x+ 3 − 2m= 0
THỐNG KÊ
Bài 1: Cho tập hợp các số liệu thống kê sau:
0; 5; 3; 2; 10; 7; 3; 5; 3; 6; 7; 9; 9; 10; 3; 10
a Lập bảng phân bố tần số
b Tìm các số trung bình, mốt, số trung vị
c Tìm độ lệch chuẩn
Bài 2: Thống kê số hàng bán ra hàng ngày trong một tháng của một cửa hàng bán giày dép được cho trong bảng sau (đơn vị: đôi)
a Lập bảng phân bố tần số, tần suất
b Tính số trung bình cộng
c Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Trang 5Bài 3: Cho bảng số liệu thống kê
Năng suất lúa hè thu ( tạ /ha) năm 1998 của 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào
a Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất
b Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt
c Tính độ lệch chuẩn
Bài 4: Cho bảng số liệu thống kê
Thời gian (phút ) hoàn thành một bài tập Toán của mỗi học sinh lớp 10CB
20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6
25,3 21,5 23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1
21,3 24,2 22,0 23,8 24,1 21,1 22,8 19,5
19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2 23,5 23,9
22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7
a Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau:
[19 , 5 ; 20 , 5);[20 , 5 ; 21 , 5);[21 , 5 ; 22 , 5);[22 , 5 ; 23 , 5);[23 , 5 ; 24 , 5);[24 , 5 ; 25 , 5]
b.Tính số trung bình cộng
c Tính độ lệch chuẩn
Bài 5: Điều tra về số đĩa CD của 80 gia đình, điều tra viên thu được bảng tần số - tần suất sau:
[1 ; 10] [11 ; 20] [21 ; 30] [31 ; 40] [41 ; 50] [51 ; 60]
5 29 21 16 7 2
Cộng N=80
a Điền các số vào chổ trống ( ) ở cột tần suất
b Vẽ biểu đồ hình cột tần suất
c Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số
d Tính số trung bình cộng
Bài 6: Theo dõi trọng lượng của trẻ sơ sinh tại một bệnh trong một tuần lễ người ta được bảng số liệu sau:
Trọng lượng(kg) Số em trong nhóm
Trang 6[4 , 1 ; 4 , 4) 8 Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn
PHẦN HÌNH HỌC
B LÝ THUYẾT
PHẦN 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I Kiến thức cơ bản:
1 Định lí Cosin trong tam giác
Trong tam giác ABC đặt BC= a, CA= b, AB=c ta luôn có:
A bc c b
a2 = 2 + 2 − 2 cos
B ac c a
b2 = 2 + 2 − 2 cos
cos 2
2 2
c = + −
Từ định lí trên ta có các hệ quả sau:
bc
a c b A
2 cos
2 2
2 + −
=
ac
b c a B
2 cos
2 2
2 + −
=
ab
c b a C
2
Công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác
4
) (
m a = + −
4
) (
m b = + −
4
) (
m c = + −
2 Định lí sin trong tam giác
Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
R C
c B
b A
a
2 sin sin
(R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
3 Diện tích tam giác
Kí hiệu: h a,h b,h c lần lượt là đường cao của tam giác ABC ứng với các cạnh a, b, c
R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
2
c b a
p= + +
là nửa chu vi của tam giác
Diện tích của tam giác được tính theo các công thức sau:
Trang 7c b
ah S
2
1 2
1 2
=
B ac A bc C ab
2
1 sin 2
1 sin 2
1
=
=
.
;
abc
) )(
)(
p
II Phương pháp giải các bài tốn thường gặp
B BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC có ∧
A= 75 0, ∧
B=60 0, a=15 Tính ( chính xác đến 0,01)
a Độ dài các cạnh b, c
b Diện tích ∆ ABC và trung tuyến m a
Bài 2: Giải ∆ABC biết c=24, ∧
B=60 0, ∧
C=50 0
Bài 3: Cho ∆ABC có độ dài 3 cạnh là 9, 15, 18 Tính bk đtròn ngoại (nội) tiếp tam giác
Bài 4: Cho ∆ABC có c=24, b=32, a=40 Tính
a Các góc của tam giác
b Chu vi của tam giác
c Diện tích S của tam giác và trung tuyến m b
Bài 5: Cho ∆ABC
a Giải ∆ABC biết a=24, ∧
B=40 0, ∧
C=50 0
b Tính S, m a,h a ,R.r
Bài 6: Cho ∆ABC có BC= 20, AC=18, AB=12
a Tính diện tích tam giác
b Tính bk đtròn ngoại ( nội) tiếp tam giác
Bài 7: Cho tam giác ABC, biết a = 37, b = 20, c = 19.
a Tính các gĩc của tam giác
b Tính độ dài trung tuyến AM
c Tính S, h a , R, r
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I Kiến thức cơ bản:
1. Các dạng phương trình đường thẳng:
1.1 Phương trình tham số của đường thẳng
Giả sử đường thẳng ∆ cĩ vectơ chỉ phương u = (u1;u2) và đi qua M0(x0;y0) thì:
a) Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
)0 ,
2
1 0
≠+
ℜ∈
+=
+=
u u
t tu yy
tu xx
o
Trang 8b) Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆:
) 0 , ( 1 2
2
0 1
−
u u u
y y u
x x
1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: ax + by + c = 0
) 0 (a2 +b2 ≠
trong đó : Vectơ pháp tuyến của ∆ :n = (a;b)
Vectơ chỉ phương của ∆ :u= ( −b;a) hay u = (b; −a)
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆đi qua M0(x0;y0) và nhận vectơ n= (a;b) làm vectơ pháp tuyến là: a(x−x0) +b(y−y0) = 0
1.3 Một số dạng khác
1.3.1 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc
Phương trình đường thẳng ∆đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là:
)
0 k x x y
• Nếu ∆có vectơ chỉ phương u = (u1;u2) với u1 ≠ 0 thì hệ số góc của ∆ là:
1
2
u
u
k =
• Nếu ∆có hệ số góc là k thì ∆có một vectơ chỉ phương là: u =( k1 ; )
1.3.2 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
)
; ( );
;
(x A y A B x B y B
A
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
A B
A A
B
A
y y
y y x x
x x
−
−
=
−
−
1.3.3 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Nếu đường thẳng ∆ cắt Ox ,Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0;b) thì phương trình của ∆ là: + = 1
b
y a
x
(Phương trình theo đoạn chắn)
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng :: 00
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
∆
= + +
∆
c y b x a
c y b x a
tương đương với việc có nghiệm, vô nghiệm hay vô số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
= + +
= +
+
0
0
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
Với a2b2c2 ≠ 0 thì:
2
1 2
b
b a
a
cắt ∆ 2
2
1 2
1 2
c
c b
b a a
2
1 2
1 2
c
c b
b a a
3 Góc giữa hai đường thẳng
Trang 9Góc giữa 2 đường thẳng :: 00
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
∆
= + +
∆
c y b x a
c y b x a
có vectơ pháp tuyến
)
; ( );
;
( 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
) , cos(
) , cos(
b a b a
b b a a n
n
n n n n
+ +
+
=
=
=
∆
∆
4 Khoảng cách
4.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho hai điểm A(x A;y A),B(x B;y B)
2
)
4.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng ∆ :ax+by+c= 0 được
0 ; ) (
b a
c by ax M
d
+
+ +
=
∆
II Phương pháp giải các bài toán thường gặp
* Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆:
• Tìm vectơ chỉ phương của ∆ :u= (u1;u2)
• Tìm điểm M0(x0;y0) ∈ ∆
• Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
+
=
+
=
t u y y
tu x x
o 2
1 0
* Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆
+ Cách 1:
• Tìm vectơ pháp tuyến của ∆ :n= (a;b)
• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = 0
• Tìm điểm M0(x0;y0) ∈ ∆ ⇒ Tìm c
• Kết luận
+ Cách 2:
• Tìm vectơ pháp tuyến của ∆ :n= (a;b)
• Tìm điểm M0(x0;y0) ∈ ∆
• Viết phương trình ∆ theo công thức: a(x−x0) +b(y−y0) = 0
Chú ý:
• Nếu ∆ // ∆ ' thì phương trình đường thẳng ∆ ' :ax+by+c' = 0
• Nếu ∆ ⊥ ∆ ' thì phương trình đường thẳng ∆ ' : −bx+ay+c' = 0
hay ∆ ' :bx−ay+c' = 0
• Trục Ox có phương trình : y = 0
• Trục Oy có phương trình: x = 0
• Từ phương trình tham số của ∆, ta có thể suy ra phương trình tổng quát bằng cách khử tham số t giữa hai phương trình
B BÀI TẬP
Bài 1:Lập phương trình tổng quát đường thẳng d trong các trường hợp:
a Qua A(2,3) có vectơ pháp tuyến →=
n (1,-2)
Trang 10b Qua B( 3; -2) và có vectơ chỉ phương u = ( 4 ; 3 ).
c Qua C( 2;1) và song song với đường thẳng (d): 3x - 2y + 5 = 0
d Qua D(-1; 1) và vuông góc với đường thẳng
+−
=
−
=
∆
t y
t
x
2 3
2 :
e Qua M(2,2) và N(4,3)
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a ∆ đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = ( 3 ; 4 )
b ∆ đi qua điểm N(5; -2) và có vectơ pháp tuyến n = ( 4 ; − 3 )
c ∆ đi qua điểm P( 5; 1) và có hệ số góc k = 3
d ∆ đi qua hai điểm A( 3; 4) và B(4; 2)
Bài 3: Cho A(2,1); B(-3,5).
a Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB
b Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ( với O là gốc tọa độ)
Bài 4: a Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1,2), B(3,-4).
b Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 3x-4y+4=0.
Bài 5: Cho A(-4,2), B(2,-2), C(1,1).
a Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A và song song với đường thẳng BC
b Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC
Bài 6: Cho điểm A(1; -2) và đường thẳng ∆ : 3x−y+ 4 = 0
a Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với ∆
b Viết phương trình đường thẳng d'đi qua A và vuông góc với ∆
Bài 7: Cho tam giác ABC, biết các đỉnh A(2; 4), B(8; 8), C(13; 2).
a Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác
b Tính chu vi và diện tích của tam giác
c Viết phương trình tổng quát đường cao AH và đường trung tuyến AM
Bài 8: Cho d1 :x-3y+10=0 và d2: 2x+y-1=0
a Tìm giao điểm của d1 và d2
b Tính góc giữa d1và d2
Bài 9: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳ sau:
a d1: 4x− 10y+ 1 = 0 và d2:x+y+ 2 = 0
b d1: 12x− 6y+ 10 = 0 và d2: 2x−y+ 5 = 0
c d1: 8x+ 10y− 12 = 0 và
−=
+−
=
t y
t
x d
4 6
5
6 :
2
Bài 10: Tính khoảng cách các điểm đến các đường thẳng tương ứng sau đây:
a A(3; 5) và ∆ : 4x+ 3y+ 1 = 0
b B( 1;2) và ∆ : 3x− 4y+ 1 = 0
c C(-2;1) và ∆ : 3x− 5y+ 6 = 0
d D(-1; 3) và ∆ : 2x− 3y+ 1 = 0
Trang 11PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I Kiến thức cơ bản:
1 Đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là:
2 2
) ( : )
2 Phương trình đường tròn dưới dạng khai triển là:
) 0 (
0 2
2 :
) (C x2 + y2 − ax− by+c= a2 +b2 −c>
• (C) có tâm I(a; b)
• Bán kính R= a2 +b2 −c
3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của đường tròn (C) tâm I(a; b) có phương trình :
0 ) )(
( ) )(
(x0 −a x−x0 + y0 −b y−y0 =
II Phương pháp giải các bài toán thường gặp
1 Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Tìm tâm
và bán kính.
+ Cách 1: Đưa phương trình về dạng : x2 +y2 − 2ax− 2by+c= 0(1)
• Xét dấu biểu thức m = a2 +b2 −c
• Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I( a; b), bán kính
c b a
R= 2 + 2 −
+ Cách 2: Đưa về dạng: (x−a) 2 + (y−b) 2 =m (2)
Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I( a; b), bán kính R= m
2 Lập phương trình đường tròn
* Viết phương trình đường tròn (C)
• Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C);
• Tìm bán kính R của (C)
• Viết phương trình đường tròn ( C) theo dạng (x−a) 2 + (y−b) 2 =R2
Chú ý
+ (C) đi qua A,B ⇔IA2 =IB2 =R2
+ (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 ⇔d(I, ∆1) =d(I, ∆2) =R
* Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đi qua điểm A
• Phương trình đường tròn có dạng (x−a) 2 + (y−b) 2 =R2
• Đường tròn cần tìm có bán kính R = IA
• Kết luận
* Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C
• Phương trình đường tròn có dạng (C) :x2 +y2 − 2ax− 2by+c= 0
• Đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C
= +
−
− +
= +
−
− +
= +
−
−
+
⇔
0 2
2
0 2
2
0 2
2
2 2
2 2
2 2
c by ax y x
c by ax y x
c by ax y x
C C C C
B B B B
A A A A
• Giải hệ tìm a, b, c
• Kết luận
* Viết phương trình đường tròn đường kính AB
