Cùng tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đồng Nai để các em ôn tập lại các kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. Tài liệu đi kèm đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em thi tốt!
Trang 1Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
Môn Toán
Th i gian làm bài: 150 phútờ Ngày thi 29/3/2019
(Đ thi này g m 1 trang có 5 câu) ề ồ
Câu 1. (4,5 đi m) ể
1) Cho (x, y) là nghi m c a h phệ ủ ệ ương trình 1
x y m
− = +
− = + (v i m là tham sớ ố
th c). Tìm m đ bi u th c ự ể ể ứ P x = 2 + 8 y đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
2) Gi i h phả ệ ương trình
1 1
− = − (v i x, y thu c R).ớ ộ
Câu 2. (4,5 đi m) ể
1) Gi i phả ương trình x4 − 9 x3 + 24 x2 − 27 x + = 9 0 (x R)
2) Cho ba s th c dố ự ương a, b, c. Ch ng minh:ứ
3 4
b c a + + + a b b c c a + +
Câu 3. (4,5 đi m) ể
1) Cho a, b, c là ba s nguyên khác 0 th a ố ỏ 1 1 1
a b c = + Ch ng minh r ng: abc chia ứ ằ
h t cho 4.ế
2) Tìm s các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 nguyên t cùng nhau v i ố ớ 999
Câu 4. (2 đi m) ể
s h ng và ố ạ B = 2 + 3 + 4 + + 100 là t ng c a 99 s h ng.ổ ủ ố ạ
Tính A + B
Câu 5. (4,5 đi m) ể
Trang 2H tế
Trang 3HƯỚNG D N GI IẪ Ả
Câu 1. (4,5 đi m) ể
1) Cho (x, y) là nghi m c a h phệ ủ ệ ương trình 1
x y m
− = +
− = + (v i m là tham sớ ố
th c). Tìm m đ bi u th c ự ể ể ứ P x = 2 + 8 y đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Gi i: ả
2
( m R) 1
y m
=
∀
= −
Ta có:
( )
2
8 4 8( 1) 4 8 8
2 2 12 12
m
D u “=” x y ra khi 2m + 2 = 0 ấ ẩ m = − 1
Giá tr nh nh t c a P là 12 khi m = 1ị ỏ ấ ủ
2) Gi i h phả ệ ương trình
1 1
− = − (v i x, y thu c R).ớ ộ
( )
2
2 1 1
Đ t ặ x y S
xy P
− =
=
2
2
Trang 4( ) ( ) ( ) ( )
2
3
1
2
5 3 2 0
P
=
( )
2
2
1
2
1 0
5 5 2 0 (vn)
S P
S
−
=
+ =
0 1
P S
=
= −
0 1 1
1
x y
x y
x
=
=
− = −
= −
Câu 2. (4,5 đi m) ể
1.Gi i phả ương trình x4 − 9 x3 + 24 x2 − 27 x + = 9 0 (x R)
Gi i: ả x4 − 9 x3 + 24 x2 − 27 x + = 9 0 (*)
V i x = 0, ớ (*) 0x+9=0 (phương trình vô nghi m.ệ
V i x ớ 0, chia 2 v c a phế ủ ương trình (*) cho x2
2 2
2
2
2
3
3 0
3 3 3 6 0
3 6 0
x x
x
+ − =
+ − =
2.Cho ba s th c dố ự ương a, b, c. Ch ng minh:ứ
3 4
b c a + + + a b b c c a + +
Gi i:ả
3 4
Trang 5( ) ( ) ( ) 0
Luôn đúng vì a, b, c là các s dố ương. D u b ng x y ra khi a = b = c.ấ ằ ẩ
Câu 3. (4,5 đi m) ể
1) Cho a, b, c là ba s nguyên khác 0 th a ố ỏ 1 1 1
a b c = + Ch ng minh r ng: abc chia ứ ằ
h t cho 4.ế
Gi i:ả
Cách 1:1 1 1
( ) (1)
bc a b c
TH1: N u a là s nguyên ch n, suy ra ế ố ẵ a b c ( + ) 2 M , theo (1)Suy ra: b.c 2 M
V y abc chia h t cho 4ậ ế
TH2: N u a là s nguyên l V i b và c là hai s cũng l thì: ế ố ẻ ớ ố ẻ b c + M 2 a b c ( + ) 2 M
Mà a b c không chia h t cho 2 (vì a, b, c đ u l ). Suy ra mâu thu n.ế ề ẻ ẫ
V y trong hai s , b, c t n t i ít nh t 1 s ch n.ậ ố ồ ạ ấ ố ẵ
+ V i b ch n, mà a l nên c ch n (vì b.c ch n nên a(b+c) ch n suy ra c ch n, vì ớ ẵ ẻ ẵ ẵ ẵ ẵ
a l )ẻ
Suy ra abc chia h t cho 4 ế
+ V i c ch n, tớ ẵ ương t abc chia h t cho 4ự ế
Cách 2: 1 1 1 bc a b c ( ) abc=a (b+c) (2)2
Ta th y a, b, c không th đ u là s l vì n u vây thì abc là s l , còn b+c là s ch n.ấ ể ề ố ẻ ế ố ẻ ố ẵ
V y trong 3 s t n t i ít nh t 1 s ch n.ậ ố ồ ạ ấ ố ẵ
N u a ch n thì aế ẵ 2 chia h t cho 4, t (2) suy ra abc chia h t cho 2.ế ừ ế
N u b ch n, do a l nên b + c ch n (vì abc ch n) suy ra c ch n. V y abc chia h t cho ế ẵ ẻ ẵ ẵ ẵ ậ ế 2
Tương t cho trự ường h p c ch n.ợ ẵ
2.Tìm s các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 nguyên t cùng nhau v i 999.ố ớ
Gi i: ả
Cách 1: Dùng hàm le:Ơ
Trang 6S các s nguyên dố ố ương không vượt quá m và nguyên t cùng nhau v i m làố ớ
( ) m m 1 1 1
Ta có: 999 3 373 (999) 999 1 1 1 1 648
3 37
ϕ
Có 648 s nguyên t cùng nhau v i 999 và không vố ố ớ ượt quá 999
Vây có 649 s nguyên t cùng nhau v i 999 và không vố ố ớ ượt quá 1000
Cách 2:
G i A là s các s nguyên dọ ố ố ương không vượt quá 1000. Suy ra A = 1000
B là s các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 mà không nguyên t cùng nhau ố
v i 999.ớ
C là s các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 nguyên t cùng nhau v i 999ố ớ
Ta có: 999 3 37 = 3
B = (S các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 và chia h t cho 3) – (S các s ế ố ố nguyên dương không vượt quá 1000 và chia h t cho 37 mà không chia h t cho 3)ế ế
+ S các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 và chia h t cho 3 là:ế
999 3 1 333
+ S các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 và chia h t cho 37 là:ế
999 37 1 27
37
+ S các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 và chia h t cho c 37 và 3 (chia h t ế ả ế cho 111) là:999 111
1 9 111
+ S các s nguyên dố ố ương không vượt quá 1000 và chia h t cho 37 mà không chia h tế ế cho 3 là:27 9 18 − =
Suy ra B = 333+ 18 = 351. V y C= A – B = 1000 – 351 = 649ậ
Câu 4. (2 đi m) ể
s h ng và ố ạ B = 2 + 3 + 4 + + 100 là t ng c a 99 s h ng.ổ ủ ố ạ
Tính A + B
Gi i:ả
Trang 7( 2 1 ) ( 2 3 2 ) ( 3 4 3 ) 98 99 ( 98 ) ( 99 100 99 )
1 2 3 4 99 99 100
và B = 2 + 3 + 4 + + 100
100 100 1 999
Câu 5. (4,5 đi m) ể
Cho tam giác ABC ngo i ti p đạ ế ường tròn (I). G i D, E l n lọ ầ ượt là hai ti p đi m ế ể
c a AB, AC v i đủ ớ ường tròn (I). Bi t ba góc ế ﾷ BAC ABC BCA , ﾷ , ﾷ , đ u là góc nh n. ề ọ
G i M và N l n lọ ầ ượt là trung đi m c a hai đo n BC và AC.ể ủ ạ
1)Ch ng minh: 2AD = AB + AC – BCứ
2)Ch ng minh r ng ba đứ ằ ường th ng BI, DE, MN đ ng quy.ẳ ồ
Gi i:ả
a) G i F là ti p đi m c a BC v i đọ ế ể ủ ớ ường tròn (I)
Theo tính ch t 2 ti p tuy n c t nhau ta có:ấ ế ế ắ
AD = AE; BD = BF; CE = CF
Suy ra: AB + AC – BC = (AD + DB) + (AE+ CE)
– (BF + CF)
1 2
1
S
M
N
F
E D
I A
b) G i S là giao đi m c a BI và MN. Ta c n ch ng minh: D, E, S th ng hàng.ọ ể ủ ầ ứ ẳ
Th t v y: ậ ậ
Do MN là đường trung bình c a tam giác ABC nên MN//ABủ
1
(hai goc so le trong);
=
Suy ra tam giác MBS cân t i M nên MB = MS = MC.ạ
Tam giác BSC có đường trung tuy n SM=1/2BC nên tam giác BSC vuông t i S.ế ạ
Ta có:
T giác IECF và IESC là các t giác n i ti p (đứ ứ ộ ế ường tròn đường kính IC)
Nên 5 đi m I, E, S, C, F cùng thu c để ộ ường tròn đường kính IC
Trang 8L i có tam giác ADE cân t i Aạ ạ
180
90
AED ADE = = − = − = B C + (2)
T (1) và (2) suy ra ừ ﾷSEC=ﾷAED mà A, E, C th ng hàng nên D, E, S th ng hàng.ẳ ẳ
V y ba đậ ường th ng BI, DE, MN đ ng quy.ẳ ồ
Cách khác: G i P là giao đi m c a DE và BI. Đi ch ng minh M, N, P th ng hàng.ọ ể ủ ứ ẳ