Bài tập xác suất và thống kê

LỜI NÓI ĐẦUCuốn BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KẺ được biên soạn tiếp theo cuốn Lí thuyết xác suất và thống kẽ Nhà xuất bản Giáo dục • 1999 nhàm giúp sinh viên trong việc tự học.. Các bài tậ

ĐINH VĂN GĂNG

BÀI TẬP XÁC SỎẤT

Công ty CP Dịch vụ xuất bán Giáo dục Gia Định - Nhà xuất bán Giáo dục Việt Nam giữ quyển công bô' tác phẩm.

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KẺ được biên soạn tiếp theo cuốn Lí thuyết xác suất và thống kẽ (Nhà xuất bản Giáo dục • 1999)

nhàm giúp sinh viên trong việc tự học.

Về cơ bản, thứ tự các chương mục ở cuốn sách này giống như cuốn li thuyết, ở mỗi mục, hay chương khi không phân ra các mục nhỏ, đều có phần tóm tảt li thuyết, các vỉ dụ và sau đó là các bài íập.

Các bài tập mẩu dưới dạng vi dụ được giải chi tiết có những ghi chú thém khi cắn thiết Các bài tập phần lởn được hướng dần giải, còn một số

có chỉ dần hay đáp số Đ ể rèn luyện k ĩ nàng giải toán càc bạn sinh vién nên

cố gắng tự giải, khi thật cẩn hãy tham khảo phần trả lời để kiểm tra Các

bạn nên chú ỷ đến các lập luận trong lời giải ở các bài tập có dấu '

Chúng tòi xin cảm ơn Tiến s ĩ Vũ Thê Hựu đà góp ý kiến đóng gỏp để bản thảo được tốt hơn, cảm ơn Nhà xuất bản Giảo dục đà tạo điều kiện dể cuốn sách sớm tới tay bạn đọc

Xin được trân trọng cảm ơn và mong bạn đọc xa gắn góp ý bổ sung cho tài liệu được hoàn thiện.

TP Hó Chí Minh, tháng 4 nâ m 1999

T Á C GIẢ

C H Ư Ơ N G I

KHÔNG GIAN X Á C SU Á T

§1 ĐẠI SỐ CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

• Phép tỉìử được hiểu là sự thực hiện một số điều kiện Mỗi

phép thứ có gắn với một sò kết quả có thể xảy ra Ta kí hiệu các biên cò ngầu n h iê n có liên quan đến các phép thứ bởi các chữ cái

in hoa A, B, c , Với mỗi biến cố có liên quan tới một phép thử, ta phai k háng định được rằng: Khi một k ết quả nào đó cua phép thử được thực hiện thì nó xảy ra hay không xảy ra

• Ta gọi A, B là đồng nhất và viết A = B, nếu với mỗi kết quả

cua phép thứ chúng cùng xày ra hoặc cùng không xảy ra

• Sự không xuất hiện của A được coi ỉà sự xuất hiện của “đối

A*\ kí hiệu A' hay A

• Sự xuất hiện đồng thời của A, B được coi là sự xuât hiện cũa

A qĩao /i, ki hiệu A n B, hay AB.

• Sự không thể’ xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là biến

cô không th ế có, kí hiệu là ộ, hay V.

• A , ĩ ỉ đư ợc g ọ i là X ỉ i ì ì g k h ắ c n h a u n ô u A B ~ <ị>.

• Sự xuất hiện của ít n h ấ t một trong 2 biến cô A, B được coi là

sự xuất hiện của A hợp fì, kí hiệu A B Khi AB = (Ị) ta viết A + B thay cho A B

• Sự chác chán xuất hiện được coi là một biến cố, gọi là b ỉ ờ i ì co

chác c/ỉa/ỉ kí hiệu Q, hay ư.

• Nếu sự xuất hiện cũa A luôn kéo theo sự xuât hiện cLÌa B thi

ta nói A kéo theo B và kí hiệu A c B

Afi=i

nó Một biến cò khòng là phức hợp được gọi là biến cô sơ cấp Vậy

một biến cô phức hợp có th ể xuất hiện iheo nhiều cách khác nhau Biến cô sơ cấp chỉ xuất hiện theo một cách duy nhât Các biến cố

sơ cấp từng đôi xung khắc Tập hợp mọi biến cố sơ cấp của một

p h é p t h ử đư ợc g ọ i l à h h ô r t g g i a n c á c h i ê n c ô Hơ c ấ p T a c ù n g k í h i ộ u

nó là Q

• Khi không gian biến cố sơ cấp gồm hữu h ạ n p h ầ n tứ thì mỗi biến cò ngẫu nhiên A được biểu diễn một cách duy n h ấ t dưới dạng

tòng cũa một số (hữu hạn) các biến cô sơ cấp thích hợp với nó Các

hiến cô sơ cấp thường dược kí hiệu bởi chữ e, hay to Sô biến cô sơ cấp thích hợp với A được kí hiệu là n(A)

Một số kết quả của giải tích tô hợp:

• Cho 2 dãy hcnj hạn các phần tử ai, a-2, , 3n và bi, b-2, , b„v Số cặp(aj, bk) khác nhau từ hai dãy trên băng n X m Mở rộng, nếu xét k dãy với

số phần tử ở các dãy tương ứng là ĩii, 112, , Hk thì sò nhóm

k

í ) khác nhau thành lập t ừ k dãy đó bàng Ị~Ịnj

ị= \

• Số các hoán vỊ của dãy n phần tử bằng n!

• Cho tập hợp gồm n phần tử Mỏi tập con k phần tử

(1 < k < n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Sô tố hợp

châp k của n phần tứ bàng = , , ■

k ! ( n - k ) !

• Mỗi nhóm k phần tử có thể trùng nhau, không phán biệt thứ

tự cứa tập n phần tử được gọi là tổ hợp lặp chập k của n Sô tổ hợp

lập chập k của n ki hiệu (5 ' , khi đó, Q I = J

• Mỗi bộ k phần tử có thứ tự, rút từ tập n phần tử được gọi là

1 Xét p h é p thử gieo một xúc xắc 2 lấn Hãy mô tả không gian biến cố

s ơ c ấ p c ủ a p h ép thử này Tìm s ố n(A), n(B) với:

a) A; "Tổng sô nốt xuất hiện chia hết cho 3'’.

b) B: 'Trị tuyệt đòi c ủ a hiệu sổ nốt lá chẵn".

D: “Hai viên s a u trúng bia".

Hãy biểu diễn A, B c, D, A B, B\c qua c á c A,, (i = 1.2.3).

3 Xét p h é p thử; "b án không hạn c h ế sò đ ạ n vào một bia cho đ ế n khi lân d ấ u tiên trúng bia thi dửng" Hảy mỏ tà không gian biến cò sơ c ấ p tương ứng Hãy chỉ ra một hệ đáy đủ c á c biến cố.

Vậy A = |T,T‘T|; khi đó |A, ẤỊ là một hệ đầy đụ

4 Có bao nhíèu c á c h xép r quả c á u khác nh au v ào n hộp biết rẳng mỗi hộp có thể c h ứ a nhiéu c á u ?

5 Cho sơ đó m ột m ạ n g điện nhu hình vẻ Nó gốm ngắt điện K cá c

b ó n g đ è n Aị A2, A3 Việc mạng bị mất điện (B) chỉ có thể do hòng c á c

b) Cả 3 bóng đèn đều hong (Ai, A^, A.-ị xảy ra)

c) Bóng A;i và bóng Aị hỏng

d) Bóng A;ì và bóng A2 hồng

Vậy ta có biểu diễn: B = K u A1A2A3 u AiA.ịA/ A^AriAi''

6 Có bao nhiêu c á c h khác nhau đ ể rút c ù n g lúc 4 q u ả n bài từ một cồ

bàl 52 q u à n ? Có bao nhiéu c á c h khác nhau đ ể rút lẩn lượt 3 q u à n bái từ cổ

7 CÓ bao nhièu c á c h s ắ p 5 người vào ngổi trén một g hê dái s a o cho

có 2 người định trước luôn ngói cạnh nhau?

G I Á I

Coi hai người đó là A, B, vậy có hai cách để sắp A, B cạnh nhau là AB, BA Coi ràng AB là một “vị trí” còn lại 3 người khác ở các vị trí còn lại, vậy có 4! cách sắp 4 vị trí này Do đó sô cách sắp

5 người vào 1 ghế dài sao cho A, B luôn cạnh nhau là:

2 Với A B là các biên cò ngầu nhièn, trong điều kiện nào ta

5 Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 4 số, có th ể có bao nhiêu máy có các chừ sô khác nhau? Có bao nhiéu máy có sô 0 ở

cuối CÒII c á c c h ừ s ỏ c ò n lại đ ề u k h á c n h a u ?

6 Giái vò địch bóng đá quốc gia gồm 14 đội m ạnh được thi đảu theo thế thức hai lượt trên sân nhà và trên sân khách, ỉỉỏi phải tổ chức tống cộng bao nhiêu trậ n đấu? Tính cả lượt đi và lượt về mỗi đội phái đáu mấy trậ n ?

7 Một lõ hàng có N sản phấm tốt và n sản pháni xấu Chọn ngẫu nhién cùng lúc k sán phẩm Hãy tính số cách chọn k sản phám, trong dó có / sản phắin tốt, ớ đây 0 < / < k

8 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

9 Một lớp học có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nừ Có bao Iihịẻu cách chia đê trong mồi nửa lớp có 10 nani sinh và 10 nừ ísiiih?

10 Một tò sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nừ cần chia tổ

t h à n h 4 nhóm đều nhau Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có niộí nữ

11

§2 XÁC SUẤT

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

• Định nghĩa cố điển cùa xác suất: Nếu A là một biên cò ngầu nhiên có n(A) biên cỏ sơ cấp thích hợp với nó trong một khòng

gian biến cô sơ cấp gồm niQ) biến cô sơ cấp có củng kỉìủ năng xuất

hiện, thì tỉ sỏ PíA) = —— * (1) được ưọi là xác siiấỉ cua A.

- Các biến cỏ sơ cấp phải có cùng khá năng xuất hiện

• Định nghĩa xác suất bằng hình học (Butffon): Klii n(£2) vỏ

ìiạn, các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xuất hiện ta có thế dùng

định nghĩa theo quan điếm hình học đế tính xác suất

• Giả sử một điểm được rơi ngầu nỉìièn vào một nũén 1) với sô

đo là mes(D) A là một miền con nào đó cùa I) với sò do nies(A) Khi đó xác suất đế điểm rơi vào miền A dược xác định bới ti số:

nies(D)

ở đày số đo có thế là độ dài, diện tích hay t h ể tích tùy thuộc vào miền D được xét trên đường th ắ n g trong mặt phăng hay trong không gian ba chiều

• Hệ tiên đề (A N Koỉniogorov) của xác suất:

i Có niột tập Í-Ị ^ (ị) gọi la khổng qiaìì bĩCỉi co sơ cap Moi được gọi là một biỂn cỏ sơ cấp.

II Có một ơ -đ ạ i số <^4 các tập con cua íì Mồi A e được gọi

là một biến cô ngẫu nhiên.

III Với niỗi A € (lột tương ứng một sô thực P(A) > 0 gọi là

xàic siiàt cua A.

4) Nếu A c B thì P(A) < P(B)

5) VAe ri-4, có 0 < P(A) < 1 và P(A*^) = 1 - P(A).

6) Nếu dảv biến cò ngẫu nhiên lAn, n > 1| thỏa điều kiện

ú) , 3 An 3 A„^1 1';

u Aj^ = A thi P(An) P(A) (n~> x)

6’) Nếu dãy bièn cố Iigẫu nhiên lAn, n > li thòa điều kiện

B VÍ DỤ

1 Một hộp cò 100 tấm thẻ như nhau được ghi c á c s ố từ 1 đ ẻ n 100, Rút ngầu nhiẽn hai thè rói đặt theo thứ tụ tù trải q u a phải Tim xác s u ấ t đ ể

a) Rut được hai thé lập nén một số có 2 ch ữ sỏ

b) Rút đưỢc hai thẻ lặp n é n một só chia hết c ho 5.

GĨAÌ

a) A: "Hai th ẻ rút được lập nên một sỏ có 2 chữ s ố ' Dế rút

được 2 the ìú iư vậy ta chỉ có th ế rút 2 trong các thé mang các chữ

số 1, 2, , 9, nghía là n(A) =

Hiển nhiên n(Q) = và các biến sô sơ cáp của phép thứ

này cùng khả năng xuá't hiện í vì rút ngầu nhiên)

b) B: "Hai thé rút được lập nên một sô chia hết cho 5

Đè có biến cô sơ cấp thích hợp với B ta rút thẻ thứ hai một

cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số; 5, 10, 15, 20, , 95, 100, và

rút 1 trong 99 thẻ còn lại đ ặ t vào vị trí đầu Do đó n(B) = 99.20 Ta

có: n(Q) = A^ịịịị = 99.100, vậy theo (1):

GỈ ẢỈ

Đ ặt A: "người đó thực h iệ n được cuộc lién lạc" Điều đó có

n g h ĩa là người đó đã chọn đúng được hai sò cuôi khác nhau đó và

4 Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tót và 3 ống kém chât luộng C h ọ n

n g ảu nhién lán lượt khòng trà lại 2 ông Tìm xác su ất để:

a) c ả hal ông chọn được đ ẻ u tốt

b) chỉ ố n g thu ốc chọn ra đấu tiên là tốt

c) trong hai ố n g có it nhất một ống thu ốc tòl.

GI AỈ

Hộp thuốc có tòng cộng 5 + 3 = 8 (ỏng) Chọn ngẫu nhién lần lượt khòng tr ả lại 2 trong 8 ống nên các kết quả sơ câp có cùng khả náng xuất hiện và n(Q) = = 56

aì Đặt A: ”Cá hai ống thuốc chọn được đều tốt”, vặy n(A) = = 20

20Suy ra P(A) = = 0.357

56

b) B: “Ống thuốc chọn ra đẩu tiên là tôV’, vậy n(B) =

= 15 T a có P ( B ) = - - ^ 0 , 2 6 8

56c) C: ‘T r o n g hai ông chọn được có ít n h ấ t một ống thuốc tôt

a) Ta coi 2 người đó là A, B Họ có 2 cách sáp thứ tự là AB,

BA Khi 2 người đó coi là chiếm 1 “vị trí” thi số biến cò sơ cấp

thích hợp với sự kiện; “2 người đó luôn ngồi cạnh nhau’' băng so hoáii vị cua 7 'VỊ tr í”, kết hợp với 2 khả năng đáo chỗ giữa A và B.

Nếu đặt u: “Hai người đó luôn ngồi cạnh nhau” thì n(a) = 2.7!

Vậy P(u) = = 0,250

8 !

b) Đặt ị^; “giừa A, B có 2 người khác”

Đê tìm n(P) ta tiến hành các lựa chọn:

- Chọn 1 trong 5 vị tri đầu tiên cho A (coi A ngồi trước)

- Hoán đổi A, B, có 2! cách

- Sắp 6 người còn lại vào 6 vị tri còn lại, có 6; cách

Theo dịnh lí về sô nhóm ta có lUP) = 6! 2! 5

2’ ^

6 Một tổ học sinh gổm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm

đ é u nhau Tim xác s u ã t đ ể mỗi nhổm có 1 nữ.

Vì phán ngẫu uhiên nên các biến cố sơ câp trong không gian

lỉiế n cò sơ cấp n à y có cùng kha- ỉiiỉiig MUÃÌ lúOĩir

t r u n g t à m t h ố n g riN THỤ VIÊN Ị

ị

17

Đế tìm níA) ta thực hiện:

+ Phán 3 nữ sinh th à n h 3 nhóm nên có 3! cách khác nhau

+ Phân 6 nain sinh th à n h 3 nhóm theo cách như trên, ta có C^.C^ l cách khác nhau

Từ đó ta được n(A) = 3! Cg.C4 và:

P(A) = C 3^3 0,3214

9^6

7* Dưới tác độn g c ủ a một ch ấ t phòng xạ c á c nhiểm s ắ c thể c ủ a một

tế b à o bị g ãy th à nh hai mảnh, trong đó chỉ có một m à n h chứa tâm động

C á c m ảnh náy s a u dó lại g ắ n lại đỏi một một c á c h n g ẫu nhièn và té b à o s ẽ

s ố n g sót đưỢc n ế u mỗi c ặ p m ả n h g ắ n lại chỉ c h ứ a một tám độn g Tim xác

s u ấ t d ể tế bào s ố n g só t được, biết rằng tè b à o đó có n nhiễm s ắ c thể bị gãy.

GỈAỈ

Đặt A: “T ế bào có n nhiễm sắc th ể bị gãy sau đó sống sót được” Tìm níQ) Té bào có n nhiễm sắc thế bị gãy đòi nên có 2n mánh (n m ánh có tá m động, n m ành không chứa tâm động) Kết hợp ngảu nhiên 2n mánh th à n h n cạp theo cách:

Dê “t ế bào sống sót được” ta thực hiện:

“ P h á n n m ả n h chứa tá m động th à n h n nhóm theo n! khả năng

” Kết hợp mỗi m ả n h có tâ m động với 1 m ảnh khòng chứa tám dộng, theo định lí về sô cặp, ta có n(A) = (n!)

a) Dặt A: ‘T r o n g 5 cáy hoa lai có đúng 3 cây cho hoa dỏ '

Vậy níA) và P{A)

b) Đ ặ t B: “Trong 5 cây hoa lai có 2 cáy cho hoa màu đò» 2 cáycho hoa màu c á n h sen và 1 cày cho hoa màu hổng”.

b) không có vièn bi xanh n áo được rút ra (B).

( Ỉ Ỉ A Ị

a) Do đòi hỏi rút được 2 bi xanh 1 bi trán g trước khi rút được

bi đỏ đế dừng nên tống cộng ta phái rút lần lượt không trá lại 4

trong 15 bì, do đó niíì) = A/;;.

Đè rút đúng theo yêu cầu cua A ta thực hiện:

- Rút 2 trong 5 bi xanh lần lượt khòng trả lại n ê a có A ị khá

10* Trong kho có n đòi giày c ù n g s ố nhưng khác m à u nhau Chọn

n g ẫ u nhiên cù n g lúc 2k ch iếc giày {2k < n) Tìm xác s u ấ t đ ể có đ ú n g 2 chiếc g h é p được thành 1 đòi giày?

G Ỉ Á I

Do chọn 2k chiếc trong 2n chiếc giày nên có n(Q) = c ị n

Đặt A; “Trong 2k chiếc chọn được có đúng 1 đôi giày”

Đế tim n(A) ta thực hiện

- Chọn 1 trong n đôi giày, có c 1, = n (khả năng)

- Chọn 2 k -2 đôi trong n-1 đôi, có cách chọn

- Từ mỗi đôi i ấ y 1 chiếc, có 2^^ ^ khả năng

p2k-2n,2k-2

Vậy n(A) = n.2^^ ^ và P(A) = '

-C ib A

2n

11 Một th anh s ắ t độ dài / (đơn vị dài) đưỢc bẻ th ành 3 khúc một cách

ng ẫu nhiên Tìm x á c s u ấ t để 3 khúc đó tạo được một tam giác.

Trong một tam giác thì: “Tổng hai

cạnh phãi lớn hơn cạnh thứ ba”, nghĩa

là (x,y) phải thỏa hệ: