Giáo trình độ đo tích phân lưu hành nội bộ

B ộ GIẢO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHÁT TRIỂN CHÂU Á

Dự ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRÀN VÀN ÂN - KIÈU PHƯƠNG CHI

GIÁO TRÌNH

(Lưu hành nội bộ)

H À N Ọ l - 2 0 1 3

M Ụ C L Ụ C

1 Đ ại số c á c t ậ p h ự p c o n 9

H ư ứ n g d ẫ n t ự h ọ c 9

1.1 Đ ạ i s ố , ơ - đ ạ i s ố 10

1.2 íT-đại số B o r e l 12

B à i t ậ p 12

2 D ộ đ o t r ẽ n đ ạ i số c á c t ậ p h ợ p c o n 13

H ư ớ iig d à n t ự l i ọ c 13

2.1 K h á i u iệ n i v à v í d ụ 14

2 2 T íiili c h ấ t c ủ a đ ộ đ o 16

B à i t ậ p 18

3 T h á c t r i ể n đ ộ đ o 19

H ư ớ n g d ẫ n t ự h ọ c 19

3.1 D ộ đ o n g o à i v à độ đ o n g o à i s in h bởi m ộ t đ ộ đ o 20

3 2 T ầ p đ o đ ư ợ c th e o C a r a t h é o d o r y 22

3 3 T h á c t r i ể n đ ộ đ o 25

B à i t ậ p 27

4 D ộ đ o L e b e s g u e t r ẽ n R * 29

lỉư ớ iig d ẫ n t ự h ọ c 29

4.1 D ộ đ o L c b e s g u e t r ẽ n R 29

4.2 D ộ đ o L e b e s g u e tr ô n 37

B ài tậ p .Ỉ8

H ướng d ẫ n tự h ọ c w 5.1 K h á i n iệm h à m đ o đ ư ợ c -U

5.2 T ín h c h ấ t c ủ a hàiii đ o đ ư ợ c 43

5.3 C ấ u trú c c ủ a h à in d o đ ư ự c 48

5.4 Hội tụ th e o đ ộ đ o 51

5.5 H ai đ ịn h lý về c ấ u trú c h àm đ o đ ư ợ c 54

B ài tậ p 55

2 T í c h p h â n L e b c s g u e 58 1 T ích p h â n R ie m an u và n h ữ iig h ạ n chế c ủ a n ó r>8 H ướng d ẫ n tự h ọ c 58

1.1 T íc h p liâii R iein aiin trẽ n g ia n đó n g , bị c h ặn tro n g R ” 59

1.2 T íc h p h â n R ie m an n t r ẽ n các tậ p con bị c h ặ n tro n g liC 1.3 M ộ t số h ạ ii chế c ủ a tíc h p h â ii R i e m a n n G7 2 T ích p h â u c ủ a h à m (lơii g iả n do đưực kh ô n g â i n (iS H ướng d ẫ ii tự h ọ c (58

2 1 Đ ịn h n g h ĩa V?1 ví d u 68

2.2 T ín h c h ấ t c ủ a tíc h p h â n h àm đờn g iả n đo dược k h ỗ n g â m 70

B ài tậ p 73

3 T ích p h ả n c ủ a h à m đo được khõng â m 74

H ưđng d ẳ ii t ự h ọ c 74

3.1 Đ ịnli n g h ĩa v à ví d ụ 74

3.2 T ín h c h ấ t c ủ a líc h ph&n h à m đ o được kh ô n g â a i) 77

B ài t ậ p 80

4 T ích p h a n c ủ a h ầ m đ o đ ư ợ c 80

H ướng d ẫ n t ự h ọ c 80

4.1 Đ ịiìh n g h ĩa v à VI d ụ 81

4.2 T íiìh c h ấ t c ủ a tíc h p h â n h àm đ o đ ư ợ c 82

B ài tậ p 91

5 Q u a n h ệ g iữ a d ạ o h à m v à tíc h p h â n tro n g R 92

H ưđng d ả ií t ự h ọ c 92

5.1 H ìun có b iế n p h â n bị c h ậ n 92

5.2 T n ii lại Iiguyổii h à m 94

6 Mối q u a n hệ g iừ a t í d ỉ pliâii R iein aiiii v à tic li p h â n L e b e s g u e 97

H ướng đ ẫ n t ự h ọ c 98

6.1 M ối q u a ii h ệ g iữ a tíc h p liã ỉi R iem an ii và tíc h p h ã n L ebesgue trô n g ian đ ó n g bị c h ặn A c R ” 98

6.2 M ối q u a n họ g iữ a tíc h p h a n R io raan n v à tíc h p h â n Lobcsguc trổ ii |a + o o ) 99

B ài tậ p 101

3 Đ ộ đ o B o r c l d ư ơ n g t r ổ n k h õ n g g i a n t õ p ổ c o m p ắ c đ ị a p h ư đ n g 103 1 K h õ n g g iait c o m p ắ c đ ịa p h ư ơ tỉg v à ph&ii h o ạ c h đ ơ n v ị 103

H ướng d ẳ ii t ự h ọ c 103

1.1 M ộ t số k ié n th ứ c b ổ trợ 104

1.2 P h â n h o ạ c h đ ơ n v ị 107

B ài tậ p 110

2 U ịnli lý b iể u d iẽii K i e s z I l l HưOiig u ẫ íi t ự h ụ c 1 1 1 2.1 Đ ịn h lý b iể u diSn R i e s z I l l 2.2 T ín lí c h ỉn h q u y c ủ a đ ọ đ o B o r t ỉ l 119

Bfti tậ p 122

3 Đ ộ đ o H a a r 122

H ướng d ẫ n t ự h ọ c 123

3.1 BỔ trợ về n h ó m t ô p õ 123

3.2 Đ ộ đo H a a r 127

B ài tệ p 135

1 H àin lồi v à các b ấ t đ ả n g th ứ c b ổ 1| 5 riOHưđrig d ẫ n t ự h ọ c

M Ở Đ Ầ U

H ọc p h ầ ii D ộ đ o - T í c h phÃii là hục p h ầ n b ắ t b u ộ c tro n g chư ơng tr ìn h k h u n g đ ào

tạ o tr ìn h đ ộ đ ạ i h ọ c n g à n h S ư p h ạ m toAĩi h ọ c V iệc tr iể n k h a i đ à o tạ o đ ạ i h ọ c th e o liộ t.liống tín c h ì đ ã tạ o đ iề u k iệ n cho sin h v iê n p h á t h u y k liả n a n g tự h ọ c, t ự n g h iê n cứii d o đ ó th ờ i lư ợ n g h ọ c t ậ p tr ê n lớp đượ c g iâ n i b đ t k h á n h iề u T u y n h iê n các giáo trìiili đượ c v iế t trư ớ c đ â y chủ y ếu p h ụ c v ụ cho đ à o tạ o th e o h ìiứ i th ứ c lúôu chế,

c h ư a đ ặ t Iiặn g m ụ c tiê u là h ư ớ n g đ ẫ n s in h v iê n t ự h ọ c t ự n g h iê n c ứ u đ ể ch iếm lĩn h tri th ứ c , liỡn n ữ a m ộ t s é g iáo tr ì n h nội d u n g k iế n th ứ c đ ư ợ c v iế t cò n n ặ n g tín h liàn

lâ m c h ư a có p h ầ n h ư ớ n g d ẫ n t ự h ọ c v à n h iề u v í d ụ c ụ th ể m in h lioạ, hướug d ẫ u giải các b à i t ậ p c h ư a đ ư ợ c n h iề u N h iều tà i liệ u cù n trìỉỉh b à y kìiái I i i ệ i n đ ộ d u v à tíc h p h â ii r ấ t tổ n g q u á t, cétch t r ì n h b ày h iộ n đ ạ i n h ằ m m ụ c tiê u p h ụ c v ụ cho các

tr ìn h b ày về s a u c ủ a G iả i tíc h h à m h iệ n đ ạ i Đ ối tư ợ n g p h ụ c v ụ rộ n g v ầ h ư ớ n g tớ i

d à n h cho s in h v iỗ n c á c lớp cử n h ă iỉ tè i n&ng c h ư ơ n g tr ì n h ti@n tiế n , h ọ c viSn c ao

h ọ c và nghiỗri c ứ u s in h D o đ ó, m ộ t b ộ p h ậ n k h ô n g n h ỏ s in h v iê n r ấ t khó sử d ụ n g các tà i liệu t r ê n ch o việc t ự h ọ c V ì vậy việc b iẽ n s o ạ n g iá o t r ì n h D ộ đ o - T íc li p h â n mới đ ễ p h ụ c v ụ ch o cô n g t á c đ à o tạ o th e o h ìn h th ứ c h ọ c c h ế tín c h ĩ là r ấ t c ần th iế t

cố tliế làm giỂio tr ì n h và sácli th a m k h ả o ch o siiih v iên k h o a T o á n các trư ờ n g đại học k h o a h ọ c t ự n liiỗ n , h ọ c viOu s a u đ ạ i h ọ c v à nghiGn cứ u s in h chuyCn Qgàiih G ỉà i tíc h H ạii c h é c ù a giáci tr ì n h cố t h ề th ấ y là c b ư a đ ư a vào đ ư ự c n h iè u n ộ i d u iig m ới

v à ch uyên s â u , g iú p s in h v iê n tìn i h iể u c á c k iến th ứ c v à k é t q ủ a c ộ p n h ậ t p h ụ c v ụ cho các n g h iS n c ứ u S&U h ơ n tr o n g lĩn h v ự c nay V ỉ đ iề u k iệ n s6 tr a n g n ẽ n m ộ t số chứtig m in h c ủ a lu ộ t số k ế t q ủ a ch ú iig tố i p ìiả i lược b ỏ v à d à iứ i ch o đ ộ c g iả x e m

n h ư I i h ử n g b à i tậ p Đ ể tiế p th u tố t giáo trìiili này đòi hỏi người h ọ c p h ả i đ ư ợ c t r a n g

bị tố t cốc kiến th ứ c g iải tíc h cổ đ iể n , đ ạ i số tu y ế n tín li, đ ạ i Bố đ ạ i cư ơ n g , cốc k i í n

th ứ c về tô p ô đ ạ i cươiig- N goài việc n á m v ữ n g các kiéii th ứ c tr ẽ n , đòi liỏi lìgười h ọ f

p h ả i c6 t ư d u y s u y luộii trừ ii tư ợ n g v à n ắ m v ữ n g p h ư ơ n g p h á p tiê n đ ề Với ý

đ ó giáo tr in h đượ c b ố cục gồm 1

chưong-C hương 1 tr ì n h b ày lý tlm y ế t đ ộ đ o , đ ây là m ộ t lỉội d u n g q u a n trọ u g , đ ồ n g th ờ i

cũ n g là cơ sỏ đ é x ây d ự n g tícli p h â n L eb esg u e ở C h ư ơ n g 2 D ã có a h iề u g iá o tr iiilt

v à tà i liệu th a m k h ả o trìn li bày v-ấii đ ề này, tro n g tà i liệu n ày ch ú n g tô i t r ì n h b à y

d ộ đ o tr ê n đ ạ i số, h ìn h th à n h k h ái niệm độ đ o L tíbesgue n h ờ q u á tr ì n h th á c t r i ẻ n

đ ộ đo , trìn h b ày k h á i n iệ m h à in đ o đượ c và x é t các tín li c liấ t c ù a nó

C h ư ơ n g 2 triiib bày lý thuyết tích phâii Lebesgue tlieo lược đồ: tích phân hàni đơn giản, đo được kh ô n g â n i, tíc h pliÃii hãiji đo đ ư ợ c k h ô n g â m , tíc h p h â ii h à m đ o đ ư ợ c b ấ t kỳ

th e o p h ư ơ n g p h á p k in h đ iể n m à các tá c g iả n h ư R udiri, H oàiig T u y N g u y ễ n Đ anli

và N g u y ễn H o à iig ,- đ ã tr ìn h b ày tro n g các c u ố n sá c h c ủ a họ

C h ư ơ ag 3 t r ì n h b à y k ié n th ứ c cơ sd về đ ộ đ o B orel c h ín h q u y tr ẽ n k h ô n g g ia n

tõ p o c o in p ẳc d ịa ph ư o n g

C hương 4 trìn li bày n h ữ n g vấỉi đề q u a n trọ n g c ủ a kliôiig giaỉi ư Nội d u iỉg Chưdng

1 v à Chương 2 c h ứ a đ ự n g lihữiig k iế n cơ b ả ii cầii th iế t vè lý th u y ế t đ ộ đ o v à tíc h

p h â n nhKm c u n g c ấp cho sinỉi viên nfim t h ứ b a Nội (lu n g C hương 3 v à 4 chứft đ ự n g

n h ữ n g kiến th ứ c n â n g c ao vè lý th u y ế t đ ộ đ o và tíc h p h â ii đ ể các s in h v iê n k h á giỏi

và h ọ c viẽn s a u đ ạ ị h ọ c th a iii k h ả o Iih àin tiế p oậiỉ với các lĩn h vực k h á c c ủ a g ià i tíc h h iệ n đ ạ i C ác nội d u itg trỗ ti đ ư ợ c cliủ yỗu đượ c trìiiỉỉ bày d ự a tr ê n tà i iiệu Ị 1UJ

c ủ a R u d in

C ác v ấn d ề tr ì n h b ày tro n g tà i liệ u n ày có th ẻ là k h ó đ ố i với s in h v iê n có t r i n h

đ ộ tr u n g b ìn h t r â x u ố n g C ác tá c g iả đ ã cố gắiig tr ìn h bày chi tiế t v à từ n g bư ớ c, từ

d ễ đ ếii kh ó các nội d u n g tr ê u a h ầ iii tạ o đ iều k iệ n cho sin h v iê n v à h ọ c viSn s a u rđại học tliu ậ ỉỉ lợi tro n g q u á tr ìn h học t ậ p tlie o h ệ th ố n g till cliì

C ác tá c g iả x in c h â n t h à n h c ả m ơ n B a n đ iề u h à n h D ự á n P h á t t r i ể n G iá o viiên

T r u n g Học p h ổ th ô n g v à T r u n g c â p c h u y ê n n g h iệ p , G S T S K H N g u y ễ n M ạ n h

H ù n g T S L ê Đ ìn h Đ ịn h , P G S T S K h u ấ t V à n N in h , P G S T S P h ạ m K h á c B a n ,

P G S T S T ạ Q u a n g H ả i, P G S T S Đ in h H u y H o à n g đ ã đọc k ỷ b ả n th ả o v à cứio

n h iề u ý k iế n q u ý b á u đ ể g iá o t r i n h được h o à n c h ỉn h h ờ n M ặ c d ù c h ú n g tô i (đã

d à n h n h iề u th ờ i g ia n v à sứ c lực cho g iá o tr ì n h n à y , s o n g s ự t h iế u s ó t ỉ à k h ô n g tlhể

t r á n h k h ỏ i C ác tá c g iả r ấ t m o n g n h ậ n được s ự gó p ý c ủ a b ạ n đọc v à đ ồ n g ngh iệp i

C á c t á c g i ả

TRẰN VAN ẢN, KIỀU PHƯ ONG CHI 9 D ộ đ o -T ích phãn

C H Ư Ơ N G 1

LÝ T H U Y Ế T Đ Ộ ĐO

Nliư t a đ ã b iế t k h á i n iệ m tíc h p h â ri x á c đ ịn ỉi, tíc h p h â n t r ẽ n m iề n đ ó n g bị c h ận

có liên h ệ c h ặ t chỗ với k h á i Iiiệm đ ộ d à i đ o ạ n th ả n g , d iệ n tíc h c ù a m iề n đ ó n g bị chận Vì vậy đ ể m ở rộ n g k h á i niệni tíc h p h â n người t a th ấ y rằ n g c ầ n p h ả i raỏ rộ ng ,

"ch;iih xốc h o á " cốc k h á i n iệ m n h ư “đ ộ dèd’’ đ iệ n tíc h ”, D iề u n à y d ả ii t ớ i v iệ c hình tlià iih k h á i n iệ m đ ộ đo Lý th u y ế t đ ộ đ o g ắ n liề n với t ẽ n tu ổ i c ủ a các n h à to á n

h ụ c E B o rel, H L e b e sg u e , c C a ia tlỉé o d o ry

C hương n à y d à n h ch o việc tr ìn h b ày lý th u y ế t đ ộ đ o t r ê n đ ạ i số, p h ư ơ n g p h á p

th á c triể n đ ộ đ o lẽ n m ộ t ơ -đ ạ ị số b à ỉig c á c h sử d ụ n g đ ộ đ o n g o à i th e o C a ra th é o d o ry

v à khái n iệ m h à m đ o đư ợ c P h ầ n cuối c ủ a ch ư ơ n g đ ư ợ c d à n h ch o việc tìm h iề u về

c ấ u trú c c ủ a h à m đ o đ ư ợ c đ ể là m cơ sỏ c h o v iệc đ ịn h Iig lỉĩa tíc b p h â n L e b e sg u e ở

''h ư íiig sa u T ro n g cliương n à y k h i n ó i đ é n h ọ t ậ p t a h iỏ u là m ộ t h ọ Iihữ iig t ậ p con

c ù a m ộ t t ậ p h ợ p X n à o đ ó cho trư ớ c

Dể tié p t h u đượ c n ộ i d u n g c ủ a Chương, s in h v iẽ n c ầ n có k iến th ứ c cd b ả n về lý

th u v ế t tậ p h ợ p v à T ồ p ô đ ạ i cương TVước m ỗ i n ộ i d u n g c ụ t h ể đ ề u c6 h ư đ n g d ẫ n tự

h ọ c dưới d ạ iig c&u h ỏ i H ệ th ố n g c ă u hỏi n à y c ũ n g có t h ể đ ư ợ c 8ử d ụ n g đ ể m ố i sin h

vi6ỉ t ự k iểm t r a iiau k h i h ụ c các nội d u iig này

1 D ại số các tậ p hợp con

Hướng d ẫ n t ự học

1 T rình b à y k h á i n iệ m đ ại s ố v à nSu v í d ụ m in h hoạ.

2 '!Vìnli b ày đ iề u k iệ n tư ơ n g đ ư ơ u g vđi đ ịn li n g h ĩa đ ạ i số

3 '!Vình b à y k h á i n iệ m ơ - đ ạ i s6 v à n ẽ u v í d ụ m in h h o ạ.

4 Trìiili b ày đ iề u kiện tư d n g đ ư ơ n g với đ ịn ỉi n g h ĩa cT-đạĩ số

õ T rìu li t)ày inéi q u a n iiỌ g iữ a cáe kliái niệm ’.ỉại số v à i7-đ ạ i số

6- G iao c ù a m ộ t h ọ các đ ạ i số {ơ-đại số) có là đ ạ i số (ơ -đ ạ i số) h ay k h ố n g ?

7- Trìiili b ày k liái niệm đ ạ i số (ơ -đ ạ i số) ^ { C ) sinli bởi h ọ c

8 Trìiilỉ b ày k h á i u iệm ơ - đ ạ i số B orel và tập Borel.

9 G iải các b à i tậ p cuối inục

1 1 4 Đ ị n h lý Họ A các tập a m cAĨa tâp X là m ộ t đạ i sổ trên X khi và c h i khi

A' € ^ tkoả ĩìiăn h a i d iề v k iẻn sau,

1, N ế u A I Ỉ £ A thì A n n ^ A

2 N ế u A B € A l h i A \ D ^ Ả

C hứng m in h c ầ n G iả s ử A là in ộ t đ ạ i số N hờ đ iè u kiện ( / I2) c ủ a đệũ số, vì ậ € A

t a s u y r a X = <ộ‘ e Ả Lại VI A B ^ A , n ên A ' , € A S u y r a A'^D & A T ừ

đ6 t n c ó A C \ B = u e Ả vh A \ B = A n B'' e A

Dủ V ì X € ^ v à v4 th ỏ a raâii các đ iồ u kiộn (a) v à (b ) nõn t a c6 0 = X \ -Y € A

và e Ả n ế u A 6 A - T ừ đ ó t a su y r a n ế u A B € A th ì 4‘‘ ^ Á , ^ A D o ồỗ

1 1 5 Đ ị n h lý Họ Ả các tập con của tập X là m ộ t ơ ' đ ạ i số trên X khi vồ ch i khi

.V 6 A t’à thoả m á n hai đ iều kiện sau

i=l

2 Néĩi A , B ^ A t h ì A \ D ^ A

C h ’itig v ũ n h c ồ n G iâ sử A là m ộ t ơ -đ ạ i số N liù đ iề u k iệ u (Ơ-.42) c ủ a ơ -đ ạ i số

vì € <4, t a su y ĩ ă X = ộ'^ G A H ơn n ữ a n ế u A i € A y th ì t a có với m ỗi

Chứng m in h D à n h cho b ạ ii đ ọ c, x e m Iih ư là m ộ t bỉũ tậ p đ ơ n giả!) b ằiig cách kiểm

2 ^ ( C ) = ơ - đ ạ i số ỉ'à c c A } là m ộ t ơ - d ạ t số T a gọi ^ { C ) lf>

ơ - đ ạ i số sinlt bỏi họ c IIÓ là ơ -đ ại số n hò nlỉÃt (th e o q u a n hệ b a o h íini)

tro n g tẤt c ả các (7-đại số c h ứ a c

C hứng m in h Á p d ụ n g M ệnli đ ề 1.1.6 v à tín h cliố t c ủ a q u a n liệ b ao h à m □

1 1 8 N h ậ n x é t G iả s ử ( A ', t ) là m ộ t k h õ n g g ia n tô p ô K hi đ ó , rỉói c h u n g T khôiiịĩ

là m ộ t đ ạ i số trô n X

T h ậ t vậy, x é t -Y = R vứi tc p õ tliõ iig thư ừ iig K h i ilổ A = { 0 , 2 ) , B — ( 0 ,1 ) 6 r

T u y n h iên A \ B = [1 ,2 ) ế T.

1.2 (7-đại số B orel

1 2 1 Đ ị n h n g h ĩ a G iả sử ( X d ) là m ộ t k h ô n g g ia n Iiiẽtric T a gọi ơ -đ ạ i số

sin h bỏi là ơ - đ a i số Borf>l tr ê n X v à kí h iệ u là B { X ) tr o n g đ ó T</ là tô p ô sin li bỏi

B à i 1 5 C h ứ n g m in h rà n g ơ -d ại số B orel Ỡ (R ) trổ n R đượ c sin h ra bởi m ỗi họ tro iig c á c h ọ sau.

3 TYìuli b ày m ối q u a n h ệ g iữ a h à n i tậ p cộng tín h v à h à m tậ p ơ -cộ n g tín h

4 T rìn h b ày k h á i n iệ m dộ đo, không ọia n độ đo và cho v í d ụ m in h hoạ.

5 C h o b iế t đ ộ đ o là sự s u y rộ n g c ủ a k h á i n iệm q u e n th u ộ c n ào ?

G T rin h b ày đ ộ đ o đ ếm v à đ ộ đo D irac

7 T rìiih b à y k h á i n iệ m đ ộ đo hữu hạn đ ộ đ o ơ -h ữ u h ạn và cho ví d ụ m iiili hoạ.

8 TrìtUi b ày diỗu k iệ n cầiỉ v ầ đ ủ đ ể h ỉu ii tậ p k h ỗ n g &IĨÌ m là đ ộ đo.

9 T rìn h b ày tín h c h ấ t c ù a đ ộ đo c ủ a d â y tậ p hợp đơn điệu

10 G iải các b à i t ậ p cuối m ục

2.1 K h ái n iệm và ví d ụ

T rư ớ c liế t uliúiig tii q u y ưỏc m ộ t aố pliOp tíiá n v à kí lúỌu t r ê u t ậ p sồ tliự c inứ

1'ụiVK R = R u { ±0 0} n liư sau

1- + 0 0 đượ c viết gọii là 00

2 Với m ọi i ' € R th ì - o c < X < + 00

3 Với m ọi X Ẽ R th í i ± 00 = ± o c

4 0 X ( ±00) = ±CX) X 0 = 0

± 0 0 n ế u X > 0

5 Với m ọi I Ễ R th ì I X ( ±0 0) = ± 0 0 X a’ = ■

2 1 1 D Ị llh n g h ĩ a Ấiih ^ ■ c — ' n lỉượi: gụi lit m ộ t hửni l Ạf i Ii6u f i khũiiK lỉòiig

n liấ t b ằ n g + 0 0 h o ặc bằtig - o c trê n c v k ịi khõng cùiig Iiliậii h a i g iá t r ị ± (X T a sẽ

v iố t ịiA th a y cho ạ { A ) vói niọi A € c

H àm tậ p fi đ ư ợ c gọi là khỗng ă m tr ẽ n c và k í h iệ u /i > 0, n ế u ị i{ A ) ^ 0 với mọi

2 1 3 Đ ị n h n g h ĩ a G iả s ử A là in ộ t đ ạ i số tr ê n X H àm tậ p f i : A — ► R đượ c gọi

là m ộ t độ đo t r ẽ n Ả n ế u th o à in àii các đ iề u k iệ u sau

(D i) ft{ ậ ) = 0.

(D2) ụ k liô n g âm

(D3) fj là (7-cộ iig tú ih

K lii dố { X , A , ạ ) (lưục gọi l à m ộ t khõng gia n (lộ Jơ.

D ộ đo /i đ ư ợ c gọi lầ /lữ u hạn n é u vđi m ọi ,4 € ^ t a cổ ịi [ A ) < +00 Đ ộ đ o h ữ u

h ạ n ịi đượ c gọi là độ đo x á c su ấ t u ế u ụ { X ) — 1.

D ộ đ o /i đ ư ợ c gọi là ơ - h ữ u h ạ n n ếu với m ọi A ^ Á tố n tạ i d ă y {/4n}„ c Á sao

0C

cho A = u v a ụ.{A„) < + 0 0 với Tt = 1 ,2

2.1 4 Đ ị n h l ý G ià í ứ ịi là m ộ t dỗ ứo tìVỉi dại 3ố A K h i dó

T R Ầ N VẢN ÂN, KIỀU P HƯ ƠN G CHI 16 D ộ đ o - T íc h phân

m (i4 ) =

2 1 5 V í d ụ 1) G iả sử A là m ộ t đ ạ i số trỗ n -V T a x á c d ịn li Làm ịẦ : Ả — * R cho b ỏ i ịi[ A ) = 0 vúi inụi 4 6 .4 K h i đ ó ịi là m ộ t J ộ đ u tr ê u Ả

2) G iả sử X là t ậ p b ấ t k ỳ k h á c rỗ n g cho trư ớ c K ý liiệu Ả = {0 X } và x á c d ịn li

h à in ụ , : Ả — » R cho bỏi ịi{ộ ) = 0 / i ( X ) = 1 K h i đ ó /i là m ộ t đ ộ đ o tr ẽ n A

3 )(D ộ đ o đ ếin ) G iả sử -V là m ộ t tậ p h ợ p vô h ạ n X ét h à in rn : V { X ) — ► [0, + c«] cho bỏi công th ứ c

^1 n ếu A h ữ u h ạn , -I-C30 n ếu A vũ liạii.

K hi đ ó m là m ộ t đ ộ đ o trô n V { X ) , n ó đượ c gọi là dộ đo líéni.

4 )(Đ ộ đ o D ira c ) G iố sử o e -V K h i đ ó h à m ổa - P ị - ^ ) — * [0, +00] cho bỏi

2 2 1 Đ ị n h lý C iả s ứ fi : A — ► [0,0 0] ỉà m ộ t h à m tập trên đại sỗ Ả K h i đó n ỉà

m ộ t độ đo trẽn Ả k h i I'à c h i khi các đ iều k iện sau được thoả mãn.

T R Ầ N VAN ÃN, K IỀU PHƯONC CHI 17 D ộ đo* Tích pháìì

/)t^ u k iện đủ T h e o g iả tliiố t ạ A € [O.oo] nôn ^ ^ 0 H iếu n h iê n /i( 0 ) = 0.

N hờ các đ iồ u kiộn (2 ) và (3 ) t a dò d k n g kiổm t r a đượ c tín h ơ -cộ n g tírứ i c ù a fi

có tíiih c h ấ t Afị^{ c An với m ọi = 1 , 2 , v à /1 = pỊ A„.

2 2 2 Đ ị n h lý Giả sứ A ỉà m ộ t đọi số vá n là m ộ t độ đo trỂn đ ại số A K h i đố

1 /véu {i4„} c A A £ A t'à /1, t Ả thì liiu u A „ = uA

n-^oc

2 N ế u {/4„} Q A , A ^ A , An i A và fiArụj < 00 với € N nà o đó thì

Um ịiA n = ụ A

fl—*cc

Chứng m in h (1) Đ ạ t B ĩ = >4i B„ = A„ \ A „ ^ \ vdi m ọi 71 > 2 K lii đ ố B „ € -4 vđi

n = 1,2, , các Bn đôi m ộ t rdi n h a u v k A„ = u ỡ j , 4 = u - u ^ n

-» s ] n s ỉ f i s j

V ì /i là đ ọ đo tr ô n số nOn ịi có tín h ơ -cộ n g tín h v à cộng tín h S uy ra

V ì tiA ị h ữ u hạii n ẽii ụ,D„ = ị i A \ - fiA„ với n — 1 , 2 , — Á p d ụ n g k h ả n g đ ịn h

(1) cho d ãy {B „ }„ t a có lim ụ,B„ = ị i B Vậy

rĩ—*00

íj.4 i - f i A = f i B = lịm ịiBr, = lỊm [fiAi - /i/í„ Ị

m i n O n X Ầ ' ? Ả

T ừ đ ỏ , do ị i A \ h ữ u h ạ ii, t a có liin ịiAyị = ị iA o

ri —IXI

B ài tập

B à i 2 1 G iâ sử ^ là m ột h à m tậ p cộng tín h trOn m ột h ọ t ậ p c vh A B e c sao

cho A c B B \ A ^ c C iiứiig in iu h rồaig u ếu ị i B liừii h ạ n th ì /1.4 liừ u h ạ n và t a c6

f i [ B \ ,4) = ụ D — ịiA llơ ií nữ a, Iiếu ữ th ì ụ.A ^ ịiD

và th o ả m ã n m ộ t tr o n g cốc đ iề u kiện sau:

1 N ếu A„ £ A A„ c -4n+i vđi i = 1 2 , v à \J A„ € A th ì / / ( u .4„) =

n—*oe

C liứ ng m inli rà n g ụ là m ộ t độ đo tr ô n đ ạ i số A

B à i 2 5 G iả sử n là m ộ t liàm t ậ p ơ -cộ n g tín h trOn đ ạ i số A C h ứ n g m in h rằng:

1 N ếu A„ € -4 /4„ c i4„+i với ĩ' = 1 2 , và 4 = M /1„ € t h ì lim ịiA n =

B à i 2 6 G iả s ử ụ là m ộ t đ ộ đ o trẽ ỉi đ ạ i s é A C liứiig in iiih rk iig n ế u A n G A vớ:

* = 1 , 2 , , A v ầ A „ ] A th ì lim ịiA n = (iA.

n—*00

B à i 2 7 G iả sử X là m ộ t tậ p hữ u h ạ n k h ác rỗng G ọi A là h ọ t ấ t c ả các tệ p con

c ủ a X

à đây là th á c tr i ể n (m ỏ rộ n g ) đ ộ đ o ịi t r ẽ n đ ạ i sé A th à n h độ đo ụ ' tr ẽ n m ộ t íT-đại

số c chứa A M ụ c Iiày dược d à n h đ ể th ự c h iệ a ý tư d iig Iiói trê n

Hướng d ẫ n t ự học

1 T rinh bày v ắn t á t nội d u n g b à i to ố ii in ỏ rộ n g đ ộ đo

2 'lYiiih bày t ín h ơ -n ử a cộng tín h v à cho ví d ụ niiiili hoạ.

3 T rình bày k h á i n iệm đ ộ đo n g o ài và ch o ví d ụ m in h hoạ

4 Triitli bày k h á i Iiĩộm đ ộ đ o ngoài sin h b ỏ i m ộ t đ ộ đ o v à ch o ví d ụ m in h hoạ.5- TY‘;iili bày k h á i niệm tậ p /i*-đo được v à cho v í d ụ m in h hoạ

6, TVinh bày đ ịn h lý C a ra th e o d o ry , k h á i n iệm đ ộ đ o siu h bởi đ ộ đ o ngoài v à clio ví

d ụ m in h h o ạ,

7 'IVìnli bày đ ịiih lý m ở rộỉig độ đo

s, Trìnli bày k h á i niệm đ ộ đ o đ ù và ch o ví d ụ m in h hoạ

T rìnli bày tí n h c h ấ t c ủ a inở rộ n g tiẽ u c h u ẩ n ịi' v à (T-đại số c c á c tậ p /i*-đo được.

0 Giải CỂIC b à i tậ p cuối m ục

3.1 Độ đ o ngoài và độ đ o ngoài sin h bởi m ộ t đ ộ đo

2) Đ ộ đo D irac là m ộ t đ ộ đ o ngoài

D ễ đ àiig k iểm t r a trự c tiế p các ví d ụ này

3 1 3 N h ậ n x é t D ộ đ o n g o ài k hõiig l à m ộ t đ ộ đo

T h ậ t vậy, vứi X = { u t} , x é t u : P { X ) — ► R đưực x á c đ ịa h bỏi cOng th ứ c

u A = •

0 n ế u A = ộ,

1 n ế u A ^ ệ.

K hi đ ó d ẽ d à n g k iềm t r a đ ư ợ c 1'ầiig u là m ộ t (ỉộ d u ngoài T \iy lỉliiổu u k h ỏ u g ỉà đ ộ đu,

vì Iiếu lấy ^ 1 = (o } và A t = {6}, tliì t a có u ị A i U / I2) = 1 ^ 1 + 1 = u i A ] ) +

iy{Aĩ)-3 1 4 M ệ n h đ ề Giả s ủ V là độ đo ngoà i IrỂn X K h i đó, u thoà m á n các điều ktện

L : V ị X ) —► R íò m ộ t đõ đo ngoàt trén X , íió đượ c gọi là độ đo ngoài

s in h bỏi đõ đo fi.

2 Néti A € A thi = ịiA.

Chứng m inh (1) VI ^ ỉà m ột đ ộ đo (Iẽ!i fẦ* có tỉn h kliông â m và ịi*ậ = 0 T a kiém

(2 ) Vđi A € .4 t a đ ặ t A i = A A{ = ậ vđi m ọi i > 2 K h i đ ó các /li 6 ^ và

4 c u /4i V ì vậy t a có n ' A $ ^ /i/4j = fỉA

T R Ầ N VAN ÂN KIỀU PHƯƠNG CHI 22 D ộ đ o -T ír h ph ỗn

3 2 1 Đ ị n h n g h ĩ a G iả sử ỉ/ là m ột đ ộ đ o n g o à i tr ê n X T ậ p A e ' P { X ) đượ c gọi

là i/-đ o điíợc h a y đo đư ợc theo C a r a th é o d o r y n ế u

Chứng m tn h T a cỉíứiig m in h qu y n ạ p th e o 11 Với n = 1 th ì k ế t lu ậ n đúxig G iả sử

k ế t lu ậ n đ ủ n g với ĨI t a chứng niin li k ế t lu ậ n đ ú n g đ ế n n + 1.

G iả sử £ i E „ , E „+ 1 là các tậ p ỉ/-đo đư ợ c, đõ i m ộ t rời n h a u K h í đó

A n ị ( j £.1 n = ,4 n £ „ 4 1 và A n { [ ] Ei\ n - A n ( Q E,).

Vì là i/-đo đ ư ợ c nõn t ừ N lìận xốt 3 2 2 v à g iả tliiế t q u y n ạ p t a có

= Í/{E n A \ ) + 1 / { E n i4Ị) = ưE.

D iều này ch ứ n g tô u E = u ( E n -4) + 1/ { E n >1^) Y ỉ th é t a có i4 = y4j u / I2 6 c Vậy c là m ộ t đ ạ i số T ừ đ ỗ s u y r a A i H A 2 = ( /i j u ^2)*^ £ c vh A \ \ € c

T iếp th e o t a ch ứ n g Iiù n h c k h é p k ín với p h é p h ợ p đ ế m được G iả sử c c

T R Ằ N VAN ẢN K IỀU PHƯONG CHI 24 D ộ do- T íc h p h i n

co

là m ộ t đ ạ i số n ên c c Hơii n ữ a các Gu cĩỗi m ộ t rồi n h a u v à Á = | J C7„

U=1Với m ỗi rt 1 ,2 _ t a d ậ t = | J G ỹ K hi đ ú Fn € £ vúi m ồi n = 1 2 , và

.4 = [ J F„ Với b ấ t kỳ E c A' và vđi m ỗi n = 1 , 2 , n h ờ M ện h đ ề 3.2.1 t a có b ấ t

N hờ N h ậ n x é t 3.2.2 1) đ iề u n ày ch ứ iig tỏ /1 e £

(2) T a chì c ần chứiig m in h tín h ơ -cộ n g tírili c ù a fi'. G iả sử các E„ ^ c với niọi

n = 1 ,2 v à c h ú u g đôi m ộ t rùi n h a u D ạ t s s= Ị J E„ K h i đó s € £ Lại đ o I/

T h ậ t vậy, h iển lửiien ộ x e £

N h ậ n x é t rằ iig đ ẳ iig ạ ' E = IẤ*{E n {6}) + ị i ' { E \ {6}) k h ô n g đ ú n g vởi E ~ X ,

vì khi đó từ V í d ụ 3.1 7 1) t a c ó / i ’ E = 1 ^ /i* ( £ :n {6}) + { 6 } ) = 1 + 1 Vậy

{6} ị c. T ư ơ n g t ự {a} Ệ c. V| vậy t a có £ = {ộ ,X } v à fi' = ụ.'.

3.3 T h á c tr iể n đ ộ đo

3 3 1 Đ ị n h l ý (T h á c triể n độ đ o ) Giả s ử n lò m ộ t độ đo trên đại số A , ụ." là độ

đo ngoà i sin h bới độ đo ụ uà ịi' là độ đo sin h bới độ đo ngoài ị i ' K h i đó ta có ụ ' là rnột m ở rộng của độ đo fỉ lén ơ - đ ạ i số c các t&p fẮ*-đo được, nghĩa là

3 3 2 N h ậ n x é t P h ư ơ n g p h á p m d rộ n g đ ộ đ o tro n g D ịiih lý 3.3-1 đượ c gọi là m ỏ

rộng tiê u c h u ẩ n , h ay thác triể n tiêu c h u ẩ n , h ay m ở rộng theo C arathéodory, còn độ

đ o /i ' đưỢc gọi là m ở rộng Hẽu c h uẩ n c ủ a fi.

3 3 3 Đ ị n h n g h ĩ a G iả sử ịi là m ộ t đ ộ đ o tr ẽ n đ ạ i sỗ A Đ ộ đ o ạ đượ c gọi là đủ nốu với m ọi /1 e -4 m à ị i A = 0, th l với b ấ t k ỳ E c A c6 E £ A N ếu ịi là độ đo

đù t h ì k h ô n g g ia n đ ộ đ o { X , A , ị i ) được gọi là k h ô n g g iaii đủ.

3 3 4 V í d ụ D ộ đ o đ p m d ộ đ u D ira c là n liữ ug đ ộ (Iu tlủ.

3 3 5 Đ ị n h lý ƠIÚ s ú ịẤ lủ m ộ t líộ ã o U'ê7i d ụ t s ố A , /i ' ỉà Viâ l ỳ n y tỉ t u r h u ẩ ĩi c úa

ịi lẽn ơ 'd ạ i số c các tập ịi*-đo được K h i đó

Chứng m in h (1) T ừ g iả th iế t d ẽ d à n g su y r a rà iig ịi là đ ộ đ o a - h ữ u h ạ n D ẻ ch ứ n g

m in h ịầ ^ là đ ộ đo ơ -h ữ u h ạ ii t a s ẽ chứ iìg m in h rằ n g với b ấ t kỳ A € c tồ n tạ i d ẵy

n sl

mỗi n = 1, 2 , t a đ ậ t B u Sí 4 n Khi đ ó d ă y {i?fí}ri t h o ả in ân yẽ u cầu

(2) G iả sử >1 € £ , /iM = 0 v à £ c A K h i đ ó vì 0 < < / i M = íiM = 0 D o

đố t i " E = 0 N hờ M ệnh đ è 3,2.3 t a su y r a £ 6 £

(3) H iền rihiSu, th e o đ ju h n g h ĩa c ù a

(4) CẦN G iả sử n ' là đ ộ đ o a - h ữ u ììỌâì v à >4 6 £ T a x é t các trư d iig hợp sau

a ) ịi^A < +00 K lú đ ó vđi m ỗi = 1 , 2 , tồ n iệÀ các P k i € A với 1 = 1 2 ,

T R Ằ N VẢN ÃN, KIỀU PHƯONG CHI 27 Dộ đo^Tích ph ăn

B à i 3 2 G ià s ử A là đ ạ i số tr ẽ n A' v à { X , A ụ ) là m ộ t k h ô n g g ian đ ộ đo , ị i ' là độ

đ o Iigoài sitih b ỏ í đ ộ d o ịi C ìiứ n g in iiih ràiig tậ p A c X ià /ỉ*-đo đượ c khi v à chì

khi

ị i E ^ ịi‘ { E n A ) + f i ' ( E n A^) ,

với m ọi E € A vồ u E < + 00.

B à i 3 3 C h o u là m ộ t đ ộ đ o n g o ài t r ẽ n X v à là các t ậ p ỉ/*đo đ ư ợ c, đôi m ộ t rời

n h a u C hứ iig m iiih rằuig với m ọi A c X t a có

i / ( / i n [ 0 £ ; „ Ị ) - f ; i / ( A n £ : „ )

n = l

B à i 3 4 G iả s ử M đ ộ đ o đ ủ trê n ỂT-đại số Ả v k E G X G iả sử với m ọi £ > 0

tồ n tạ i /1 € >4 sa o ch o E c A v k ị i A < € C h ứ n g m in h rằ n g E G A v ầ f i E = 0.

B à i 3 5 G iả s ử ỉ/ là đ ộ đ o nguài trẽ n X , i4 c X v à £ là ơ -đ ạ i số các tậ p i^-đo

lư ợ c C h ứ iig m in h rà iig /1 6 £ khi v à chỉ khi với m ọi e > 0 tồ n tạ i E € £ , E c i4

Ì6X3 cho u { A \ E ) < e.

B à i 3 6 G iả s ử t/ lầ m ộ t đ ộ đ o ngoài tr ẽ n A' v à { /!„ } „ là m ộ t d â y các tậ p con c ủ a

K sao cho tồ n tạ i d â y { 5 „ } „ các tậ p t/-đo đượ c đôi m ộ t rờ i n h a u th ỏ a m â n A n c B„

/<3i m ọi n =s 1 , 2 , _C h ứ n g m in h rà n g £/( u A„) = 53

B à i 3 7 G iả sử u là đ ộ đ o ngoài tr ê n X v à A là m ộ t t ậ p co n í/-đo đ ư ợ c c ù a A’

C hứ iig m iu h rằ n g với niọi E c A t a có 1/ { A (J £ ) + u { A n E ) — u A \ u E

B à i 3 8 G ià sử ĩ là m ộ t liọ k h ác rỗ n g các t ậ p con c ù a X v h f : ^ — » [0, + o o Ị là

m ộ t h à m tậ p X ác đ ịn h h à m /i : T — ► [0, + oo) cho b ỏ ị ị í ộ = 0 và

ị i A = in f { ^ f ( A „ ) : € 7", 71 e N và 4 c v4„

với m ọi ộ A c X C liứiig m ìiili rà iig /i th o ả niãii các điềii k iện tro n g địnli Iiglìĩa

c ủ a đ ộ đ o n g o ài (ch ú ý rằ n g ^ ^ ^ { X ) , d o đ ó ịi k h ô n g là đ ộ đ o ngoài th e o đ ịn h

B à i 3 1 1 C h o ịi,ụ ! , c n h ư tro n g B ài tậ p 3.9 G iả sử /4 c X th o ả m ã n ụ ' A < 4 0 0

C hứ iig m in h rằ iig tồ n tạ i B e ^ { Ả ) với ^ { A ) là (T-đại số siiih bỏi A sao cho B A

v à ụ."A = ụ!D N ế u g iả th iế t th ẽ m A € £ th ì c6 th ể k é t lu ậ ii ụ,'[D \ /1) = 0 D ồng

th ờ i khi đ ó /1 có b iể u d iễ n i4 = B ' u /V' vđi B ' 6 Ĩ ^ { Ả ) v à ụ.*N ' = 0.

B à i 3 1 2 G ià sử ^ ậ v k Ả = {<í>,x} D ặ t / i ; A — * R vOi /i0 = 0 v à / i X = 1.

1 C h ứ iig m in h rỉuig fỉ là đ ộ d o tr ê n A

2 X ác đ ịn h đ ộ đo ngoềũ /i* s in h bỏi /i.

3 X ác đ ịn h ơ 'đ ạ i số c các tậ p /í*-đo đượ c v à m ở rộ n g tiê u c h u ẩ n fi' c ủ a ịt.

B à i 3 1 3 C h o ụ,,ụ.',C lUiư tro n g B ài t ậ p 3.9 C h ứ iig m in h rằ n g n ế u E e V { X ) th ì

fÀ*E = \ ĩ\ĩ{ ị i'A ; /4 € £ , -4 15 E ) T ừ đó su y r a rà n g tồ n tạ i G e £ sao cho G D £

v à ịiG = ịi*E