Đại số hiện đại lưu hành nội bộ

giỏi có tliẾ được thử thách nhiều, đặng tham gia xa hơn nữa vào sự_,phát triễn của lý thuyết, trong lúc các học sinh khác vẫn được thỏa mẵn về sự trinh bày dễ dàng, chi tiết trong bài h

S Z F - T S E N H U

BẠI Sớ HIỆN BAI

I

■ x ■ ■ ., ii? •' '

\ ' ^ ỉ - ' " V ' • 'V ;

S 2 E - T S E N H U

:!.' ?•.•> ^'•i” • * '-N - í 7 ^

ị

V

;

< ^ O A N

THWíHỄjL.% 0 CTflnÌiO

=sNA-N04- ' Vọ

r»UHGj.;;.i i 'i t ó i i / ( •.' -••fu VIỆN

T À I L I Ệ U TH A M K H Ẫ O

' ■ ■ - ■ ■■ '', • ,•; í ^■ • I

'h-,.

, í „

{

/ ■. i■'c

'‘■:ỳỊ

*■

ír

r- • ■

■ #' ,.

i' :

>-v

'■r- \

,Ị|Ỉ

■ ^ ' V' K:^ ■

ỉ-■ ỂỂ'''' /ly-" •

i;‘

i f ' / r

-•" ■ '^ ■ -'■ ^ , 'C'

-•-.V

í ' ■

í^Ịíí.-’ ■,á

• 'C

■ í ẳ'

L

\ s 1

T Ự A ị

Đại số trừu tượng ngày nay đã được đưa vào chương trinh chỉnh thức của

đa a i s ố trường đại học Nó đã trở thành m ột bộ phận chủ yếu trong việc đào tạo

cácÌQc nhà toán học Cuốn sách này nhằm cung cấp m ột tài liệu giảo khoa một học

kỳ ỳ / hay hai quý đại s 6 trừu tượng cho năm cuối của bậc đại học cũng nhtt

nătăắm đầu của bậc- trên đại học Mục đích của nó là trình bày một cách cỏ hệ

,thốiỄổng và tương đối thong thả các vấn đề chủ yếu của đại số trừu tượng cho các

họiọọc sinh cỏ ít nhất trình độ toán học vững chắc ở hai, ba năm đầu bậc đại học

Ngíggoài sổ học về các số thực ra, nó khổng đòi hỏi một sự hiếu biết đặc biệt nào

v ề ề ì toán học.

Bốn chương đàu có thế dùng làm tài liệu giáo khoa cho một giáo trình vè

lÝ t thuyết nhổm dạy trong một quý, hoặc m ột học kỳ, nếu bô sung thêm một it

•ơ í ' đây chủng tôi nhẫn mạnh vào cảc nhỏm Aben hơn là các nhóm phép thế hữu

bạiạin Ngoài các tài liệu ít nhỉ^u cỏ tính chất tiêu Ỹbuần của lỷ thuyết nhóm, chúng

tôiMi đâ trinh bày một cách sơ cấp cảc dãy khớp, cảc nbóm đòng điều, các Uch

tertmxơ và cầc nhóm đòng cấu.

Chương năm dành cho việc nghiên cứu một cách cồ đọng về vành, mièn

ngtgỊuyên và trường Chương sảu trình bày lý thuyết sơ cẩp về môđun vồ đại số

dẫầin đỂỊi phép dựng đại sổ tenxơ, đại số ngoài, và đại số đối xứng của một mổđun

đãâi cho Trong chương cuối, chúng tôi đưa học sinh vào khái niệm tương đối

mởcâri về phạm trù và hàm tử, là một khải niệm đă trở thành chủ ýếu troníỉ nhièu

ngigiành toán học.

Vi những lý do sư phạm, sau khi cân nhắc kỹ, chúng tôi đã trích bỏ đi một

s 6 6 vấn đề thông thường của đại sổ trừu tượìig, đáng chú ỷ nhất là đại sổ tuyến

tlnmh và lý thuyết Galoa Đại 8 Ổ tuyến tính bị bỏ đi là vì hiện nay nó thường

đuurợc dạy hoặc như một giáo trinh rỉêng biệt hoặc như một bộ phận của một

gừiẩo trinh hai năm về tíỉih toán Mặt khảc, lỷ thuyết Galoa cũng bị bỏ đi là vi

thh eo ỷ tác giả, do tính chất sâu sắc của iió, nỏ thuộc vào quỷ cuối của một giáo

trìrình một năm hơn là thuộc vào hai quỷ đầu.

Về nguyên tắc cbúng tôi đã không tránb những sự lặp lại Trái lại, chúng

tỏôì lặp lại một cách có cân nhắc những phảt biếu quan trọng về những đối tiíợng

khhác nhau, chừng nào chúng cỏ liên quan mật thiết vởi nhau Chẳng hạn, ý

trrung tâm vê một đại số phố dụng nhờ một tam giác giao hoán đã được lặp lại

trcong các định nghĩa của nửa nhỏm tự do, nhóm tự do, nhóm Aben tự do, mổđun

tựự do, tích tenxơ, đại sổ tenxơ, đại số ngoài và đại sô đối xứng Trong một sách

gÌỊÌáo khoa- sơ cấp như sảch này, sự lặp lại các khái niệm cơ bản \ à các phép

diỊựng cơ bẳn làm tăng thêm niềm tin và tỉnh chủ động của người học sinh.

Gác bài tập & cuối mỗi mục đS được lựa chọn cần thận đề ngựời học*sinh giỏi có tliẾ được thử thách nhiều, đặng tham gia xa hơn nữa vào sự_,phát triễn của lý thuyết, trong lúc các học sinh khác vẫn được thỏa mẵn về sự trinh bày

dễ dàng, chi tiết trong bài học.

Thư m ục ở cuối sách liệt kê các sách tham lịhảo ở những' trỉnh độ khác

■ nhau đế nghiên cửu xa thêm cuág như lấy thêm những thí dụ và bài tập, Một vài chỉ dẫn vè thư mục này đã được nêu lên trong bài học bằng tên và số trong cảc dẩu mỏc Các chú dẫn thông thừờng được cho dưới dạng (IV, 5.1) trong đ ó

IV thay cho chương IV và 5.1 cho số hiệu của mệnh đề trong chương đó.

Một danh sách ohững ký hiệu đặc biệt và cácb viết tẳt được dùng trong sácit này đi kèm ngay sau lời tựa Trong sách này chúng tôi đã thừa nhận một sổ k ỷ hiệu khác vởi kỷ hiệu thồng thường của lỷ thuyết tập hợp, chẳng hạn □ dùng

đế chỉ tập rỗng và A \ B đẽ chĩ hiệu tập hợp, thường vẫn được ký hiệu lả A — B Chúng tôi đã dùng ký hiệu II đê chỉ sự chấm dứt một phép chửng m inh

Sze — Tsen Hu

V CÃC KÝ HIỆU VÀ CẢCH VIỂT TẲT ĐẶC BIỆT

kéo theo

bị kẻo theo bỏri

11 chấm dứt một phép chửng minh

tập bợp sao cho

€ là một phần tử của

không phải là một phần tử của

hợp

ĩ khoẳng đan vỊ đóng

C x(A ) phần bù của A đối vởi X

Y hàm f từ X tởi Y

f(A ) ảnh của tập hợp A dưởi f

f-»(B) ảnh ngược của tập hợp B

fog các hợp thành của f và g

f 1 A sự thu hẹp của f trên A

aSlb a nẳm trong quan hệ 91 với b

a ~ b a tưưug đương vởi b

X / ~ tập thương của X trên ~

X*«Y X đẳng cẩu vởi Ý

X/A nhóm thương của X trên A

A © B tồng trực tiếp của A và B

A( 8 )B tích tenxơ của A và B

A,( 8 )rB tích tenxơ trên R

E r (M) đại số ngoài của M trên R

S r (M) đại sổ đối xứag của M trẻn R

T r (M) đại sổ tenxơ của M trên R

Coim đối ảnh

Coker- đối hạt nbân

Hom nhỏm các đòng cấn

ì^-: 'ì ị

CHƯƠNG I

T Ậ P H Ợ P , H ÀM V À Q UAN H Ệ

-4

Trong chương mỏr đầu này của cuổn sảch, ckúng tôi trình bày một cảch s a lược vè tập bợp, hàm và quan hệ, nbẳm mục đich ữ ư ở c hết đ ê đưậ vào cách

ký hiệu về sau này sẽ được sử dụng Đẽ tránh cho độc giả một sự cố gắng khôug cần thiết, n ộ i dung của vấn đề sẽ được trình bày ở mức độ thấp nhầt có thê được và trong một phạm vi giới hạn đến tối thiêu Nỏi riêng ra, chúng tổi sẽ không thảo luận về cảc dạng khác nhau của tiên đề chọn và về sự tương đương của chúng Trên* thực tế, tiên đề này được sử dụng trong sách chỉ dưới dạng ngây thơ củà nỏ nhằm cho phép làm một sổ khỏng hạn chế những sự lựa chọn.

1 TẬP HỢP

Ta sẽ trinh bày lý thuyết sơ cấp về tập hợp theo một quan điễm ngây thơ

Một tập h ợ p được quan niệm một cách trực quan n h ư là một sự tụ tập những

vật hoặc là được liệt kê ra hoặc là được xác định nhờ có một Unh chẩt chung nào đỏ Đây không phải là một định nghĩa, vi danh từ a tụ tập í đồng nghĩa với

dauh từ « tập bợp » Trong sách này, có khi ta cũng dùng những danh từ đồng nghĩa khác nhự « họ », « hệ », v.v Các thí dụ sau đây sẽ giúp cho hiêu rõ hơn

y nghla trực quan của danh từ khổ&g đinh nghĩa í y

(a) Tập hợp cảc học sinh trong một lởp.

(b) Tập hợp cảc lớp trong một trường.

(c) Tập hợp N tất cồ các sổ tự nbiên, tức là các số nguyên dường.

(d) Tập hợp z tất cả cảc số nguyên dương, âm hoặc bẳng 0.

(e) Tập hợp R tất cả các s5^ thực.

Các kỷ hiệu dùng cho các tập hợp đặc biệt nêu lên trong ba thí dụ cuổi sẽ được sử dụng trong suốt giảo trình này.

Các vật trong một tập hợp X gọi là các phần tử, hoặc là các điềm của X

Chủng có thế là các vật cụ thê hoặc các khái niệm trừu tượng ta sẽ dùng ký

hiệu 6 đẽ thay cho câu nói « là một phần tử của » Vậy ký hiệu

X € X

đọc là « X là một phần tử của X ì> hoặc c z thuộc X ì> Phủ định của X ^ X sS

được ký hiệu bỏi

Xảc định một tập hợp là xác định các phần tử của nó Nỏi cách khác, một

tập hợp X là xác định nếu và chỉ nếu ta có th^ nói một vật bất kỳ X đã cho có

thuộc X hay không Thttờng thường các phần tử của một tập hợp X được xác

định bằng một tính chất cbung nào đó Chẳng hạn, nếu p(x) là một m ệnh đề đă

cho về vật X, thi ta viết _

-x = í x | p ( x ) }

đê nói rẳng X là lập hợp tất cả cảc vật X sao cho Inệnh đề p(x) là đúng.

Một tập hợp gọi là rỗng nếu và chỉ nếu nỏ không có phần tử nào Tập hợp

rỗng sẽ được kỷ hiệu bởi □ Vậy X = 5 , 0 đọc là X là rỗng.

Một tập hợp X gọi là một đơn tử nếu và chỉ nếu nỏ cỏ một và chỉ một

phàn tử Nếu phần tử duy nhấí của một đơn tử X là X, thi ta viết

x = w

Vi những lý do lôgích, ta cần phân biệt giữa một vật X và tập hợp

Tuy nhiên, đê cho tiện, ta sẽ thường dùng cùng một ký hiệu X cho mọi vật X và

một đơn tử -Ịx} gằn đúng vật ấy.

Một cách tổng quát hơn, nếu Xi, Xj, Xn là những vật đã cho, tỊiì

X = '{xi, X 2 » •••» Xn}’

là ký hiệu của tập hợp X gòm các vật Xi, X 2 •••» làm phần tử,

Giả sử A và B là hai tập hợp đã cho Nếu mọi phần tử ộủa A đèu thuộc B,

thì ta nói rằng A bị chửa trong B, hoặc B chứa A và ta viết

A c B, B :) A,

trong đó kỷ hiệu c gọi ỉà bao hàm Trong trường hợp này, A gọi là một tập

con của B Trong cảc tập hợp ở các thí dụ (c) — (e) trôn đây, ta cỏ

N c z c R.

Nếu A c B và B c A thì ta nói rằng A và B bẳng nhau, và ta viết

A = B.

Nỏi cảch khác, hai tập hợp là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng các

phan tử Nếu Á c B và A ^ B, thì A gọi là một tập con thực sự cua B ■ '

Các tập con của một tập hợp X đã cho thường được xảc định bẳng cách

ẩn định thêm những điều kiện cho cảc phàn tử của X Chẳng hạn, nếu p(x) lả

một inệnh đê đã cho về phàn tử X của X, thi

là tập c o a của X gồm tất cả các phần tử X của X sao cho p(x) là đúng Theo cách

này, ta cố thê xác định /choảng đóng đơn vị I các số thực bởi cống thức

I = { t € R !

Cỏ nhiêu cách đê lập cảc tập mởi từ cảc tập cũ, Ba phép sau đây là cơ

bản H ợp A w B được định nghĩa là tập hợp gồm các vật X thuộc ít nhẫt một

trong các lập A và B Giao A A B được định ngỈỊĨa là tập hợp gòm các vật X

thuộc cả A lẫn B Hiệu A \ B được định nghĩa là tập hợp gốm các vật X thuộc

A nhưng không thuộc B Cảc định ngbĩa đỏ có thễ phát biêu dưới dạng các

đẳng thức sa u ;

r

Av/B = {x I X ^ A hoặc X ^ Ar\B = 1 X 6 A và X c B},

A \ B = |x I X ^ A và xẹỀ Bf.

Định lý 1.1 Với các tập hợp tùy ỷ A , B , C vá X, các luật sau đ á g có hiệu l ạ c r (1.1.1) Cảc luật giao hoán:

A u B = B u A,

A r\ B = B A A.

(1.1.2) Các ỉuột kết h ợ p :

A V (B V/C) = jfẠ V B) wC.

A A (B A C) = (A A B) a C.

(1.1.3) Các luật phân phôi;

A (B V C) = (A A B) V (A A C),

A U(B n C) = (A u B) A (A V C).

(1.1.4) Cảc công thức Đ ờ Moócgâng:

X \ (A w B) = (X \ A) A (X \ B),

X \ (A A B) = (X \ A) V (X \ B).

Các phẻp chửng minh của các luật trên là tức khắc và do đỏ sẽ dành c h o độc giả, xem như những bài tập 'Đế nêu lên một thi dụ minh họa, ta sẽ c h ử n g minh đẳng thức cuối của công thức Đờ Moỏcgăng như sau.

Phép chứng minh một đẳng thức về tập hợp thường tách ra làm hai p h ần,

(ỉ) Phép chứng minh bao hám thức 1

X \ (A A B ),c (X \ A) w (X \ B ):

Giả sử X là một phần tử tùy ý của X \ (A B) T hế thi, theo định ngh ĩa c ủ a hiệu, ta cỏ X ^ X và X ^ A A B Điều cuối này kéo theo rằng X ^ A hoặc X ^

B-Vỉ X € X, X ^ A kéo theo x ^ X \ A v à x ^ B kéo theo X ^ X \ B Do đỏ ta c 6

X c X \ A hoặc X ^ X \ B ; nỏĩ cách khác, X phải là một pbần tử của tập họrp (X \ A) V (X \ B) Ị|

(ii) Phép chứng minh bao hàm thức

(X \ A) w (X \ B) c X \ (A A B ) : Giả sử X là một phàn tử tùy ỷ của (X \ Ạ) v ( X \ B) Th€ thì X ^ X \ A h o ặ c

X ^ X \ B Nếu X ệ X \ A, thi X ^ và X cp A Vi X ^ A kẻo theo X gỀ A r\ B ,

nên ta suy ra từ đỏ rằng X ^ X \ (A B).

Tương tự, ta có thẽ chứng minh rằng X ^ X \ B cũng kéo theo

X € X \ (A A H) II

Hai tập hợp A và B gọi là rờ i rọc nếu và chĩ nếu A n B = □ ; trong trư ờ n g hợp trải lại chúng gợi là gặp nhau.

Khải niệm hợp và giao cỏ Ihê m ở rộng cho một số bất kỳ những tập hgrp bhư sau Nếu o ỉà một bọ tập hợp, thi

w X = {x I X ^ X vởi một X nào đỏ 6

A X = /x I X ^ X với mỗi X ^

ị

Ta cỏ thề thử nghiệm rằng các luật trong định lý 1 1 cũng cỏ hiệu ỉực cho một sổ bất kỳ «ảc tập hợp.

Nếu A là một tẬp con của một lập X, thì hiệu X \ A gọi là phăn bù của A

đổi với X Ta viết

CxA = X \ A Nếu A cũng là một tập cou của một tập hợp khác Y, thi CxA và CyA là những tập hợp khảc nhau Nếu trong một tinh hỉnh uào đỏ, ta chỉ xét các tập con của

m ộl tập hợp c 6 định X, thi ta viết CA Ihay cho CxA *

BÀI TẬP

IA Chửng minh tất cả các công thức trong định lý 1 1 (kê cả các công thức Đờ Mòócgăng).

IB Thử nghiệm các quan hệ sau cho các tập hợp tùy ý A vệ B :

(a) □ c A,

(b) A c A,

(c) A w □ = A,

(d) A A □ = □ ,

(e) A n A = A = A w A,

(f) A n B c A c A w B.

IC Thiết lập các mệnh đề sau cho cảc tập hợp lùy ý A, B, c :

(a) Nếu A c B và B c c, thì A c c ,

(b> Nếu A c c và B c c , thì A w B c c,

ID Chứng minh rằng ba m ệnh đề sau là tương đương, đổi với các tập họp tùy ý A và B :

(a) A c B,

(b) A w B = B,

(c) A n B = A.

IE Chứng minh các tinh chất sau của các tập cou của một tập hợp cố định X : (a) cx- = □ ,

(b) C ũ = X,

(c) A w ỌA = X,

(d) A n CA = □ ,

(f) C(A w B) = CA A CB,

(g) C(A A B) = CA w CB ,

• (h) C (A \B ) = B u C A ,

(i) Nều A Ú B = X và A a B = D, thì B = CA,

(j) Nếu A c B thi CB c CA.

I F Thử nghiệm các đẳng thức sau vởi các tập hợp tùy ý A, B, G :

(ạ) A \( Ã \B ) = AĂR,

(b) A A ( B \ C ) = (A A B) \ (A A C),