Như vậy bất đẳng thức đúng với n2k.. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.. Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.. Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với
Trang 13.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
Bài 1. Tìm limn
1
!
n
n
Hướng dẫn giải
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > (3
n
) n (*) ( n N*)
Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy : với n =1, ta có 1 >
1
3 (đúng).
Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > (3
k
)k. Ta đi chứng minh (*) đúng với
n = k+1
Ta có (k+1)! = k!(k+1) >(3
k
) k (k+1) = (
1 3
k
)k+1
3 1 (1 )k
k
> (
1 3
k
)k+1 Bất đẳng thức cuối này đúng vì :
(1+
1
k )k =1+
k
k +
( 1) 2!
k k
2
1
k +.+
( 1)( 2) ( 1)
!
k
1
k
k =.
= 1+1+
(1 )
2! k +.+
(1 )(1 ) (1 )
!
k
< 1+1+
1 2! +… +
1
!
n <1+1+
1
2+.+ 1
1
2n
<
<1+1+
1
2 +.+ 1
1
2n
+.< 1+
1 1 1 2
= 3
Vậy (*) đúng với n k Do đó 1 ! 3
n
n
n
, từ đây ta suy ra ! 3
n
=> 0 <
1
!
n
n <
3
n.
Vì limn
3
n = 0.
Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: limn
1
!
n
n = 0.
Vậy
1 lim(2014 )
!
n n
=2014
Cho dãy số x n
thoả mãn
5
1; 2
; 4
n n
n
x
x
Trang 2Tính I limx n.
Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương
Đặt y n log2 x n, ta có dãy
*
0; 1
2 n 5 n 2 ;n
Lại đặt y n z n2, ta có dãy
*
2 n 5 n n;
z z z n
{ z1=−2 , z2=−1
2 z n+2=5 zn+1−z n .
Tìm được số hạng tổng quát của dãy là
1 4
2
z
Từ đó ta có limy n 2 limx n 4
Bài 2. Cho dãy ( )a n n 1
: a 1 1;
2 1
5 10
, 5
n
n
a
a
n 1 a) Chứng minh dãy ( )a hội tụ và tính lim n a n
b) Chứng minh
, 2
n
n
1
n
Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có:
3
2
n
a
n
Đặt
2
A
và xét hàm
(x 5).
Suy ra 2
10
5
f x
x
3 1; 2
x
, như vậy f x( ) nghịch biến trên đoạn
1
;1 2
Dẫn đến
k k
2 1 2
lim
lim
k k
Kết hợp công thức xác định dãy ta được
2
2
5 10
5
2
5 10
5
b
c
b
Vậy
2
n
a
b) Nhận xét:
2
thì t f t( ) 5 5.
Dẫn đến a2k1a2k 5 5, k 1
Trang 31 2 2 1 2
2
(1)
Như vậy bất đẳng thức đúng với n2k
Trường hợp n2k , chú ý 1 2 1
2
k
a
, kết hợp với (1) thu được:
2
a a a a a k
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 3. Cho dãy số thực 1
1
2
n
1
n
n
u n
u e
e
Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
Chứng minh 1 u n 0, n 2 1
Với n 2, 2
1
1
e u
e
Giả sử 1
đúng với n k , ta chứng minh 2 1
đúng với n k 1
Ta có u n 0 e u n 1 1 0 0
1
n n
n
u
u
u e e
e
1
1 u n
n
e
n
n n n
u
n
n u
u e
u e e
n
e u
(luôn đúng)
Vậy (1) được chứng minh
Xét hàm
1
x x
xe
f x
e
trên ;0
Ta có
1 '
1
x
f x
e
Hàm g x 1 x e x
có g x' 1 e x với mọi 0 x ;0nên hàm này đồng biến trên ;0
Suy ra g x g 0 , suy ra 0
1
1
x
f x
e
hay hàm f x
nghịch biến trên ;0
1
u
2 1
3
2 1
2 1
, 1
e e
e e
e e e u
e
u4 u2
Trang 4Suy ra f u 4 f u 2 u5 u3 0 u1.
Quy nạp ta được dãy u2n1 giảm và dãy u 2n tăng.
Hơn nữa 1 u n 0, nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.n 2
Giả sử limu2n a,limu2n1b a b , 1;0
, lấy giới hạn hai vế ta được
1
a a
b
ae b
a
a
be
a
ae
b
e
Đặt
1
;1
a
e t t
e
, ta được phương trình
t t
Hàm h t 2 1 t ln 1 t 1 tlnt t t ln
nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận thấy
1 2
t
là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất
Suy ra
1
ln
2
a
, thay vào được
1 ln 2
b
Vậy
1 lim ln
2
n
u
Bài 4. Cho dãy số a n ,n 1 thỏa mãn 1 1
2 3
2
n
và dãy b n ,n 1 thỏa mãn
1
, 1
n
i
Chứng minh dãy b n có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Ta có 2na n 2n 3a n1 a n12n1a n1 na n,n1
1
n
i
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng
1 , 1
n
n
Thật vậy:
- Với n = 1, ta có a nên khẳng định đúng.1 1
Trang 5- Giả sử khẳng định đúng với n n 1
Ta có
1
, ta cần chứng
n
Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1
Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh
1
Theo nguyên lí kẹp thì dãy b n
có giới hạn và limb n 2
Bài 5. Cho dãy số b n
được xác định bởi:
1
2 1
1 2
u
Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limx u n
Hướng dẫn giải
1 cot ; (*)
u n
Thật vậy: n : 1 1 1 1 1
cot
(*) đúng với n 1
Giả sử (*) đúng tới n k , k *, nghĩa là có :
1 cot
1
u k
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1 Thật vậy
2 1
u u u
2
2 2k 2k 4k 2k 4k
2
1
1
cot
2
k
( vì khi k thì 2k 1 0; sin 0
)
Trang 6
(*) cũng đúng với n k 1
1
cot ;
u n
1
u
Vậy dãy hội tụ và có
2 lim n
Bài 6. Cho phương trình: x n x2 x1 0 với n ¿ N, n 2
1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất 2 x n.
2)Xét dãy số sau đây: Un n x n1
, n 2,3, 4, Tìm limU ?n .
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: f x
x n−x2−x−1=0 , với n nguyên, n (1).2 +) Ta có: f x’ nx n 1– 2 –1x
Do n , nên khi 2 x thì 1 f x ’ 0 Vậy f x
là hàm số đồng biến trên (1;+∞)
Lại có: f 1 ; 2 0 f 2 2 – 7 0n ( vì n nguyên và n 2 ⇒ n ¿ 3)
Ta có: f 1 f 2 và 0 f x liên tục, đồng biến nên phương trình f x 0
có nghiệm duy nhất trên
(1;+∞) .
+) Mặt khác với 0 thì x 1 x n x2 ( do n ) suy ra 2 f x 0 với mọi 0 x 1
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2
Gọi x là nghiệm dương duy nhất của phương trình n x n –x2 – –1 0x
Bây giờ xét dãy U n
với U n n(x n−1) , n 3, 4,5,.
Ta có: x n n−x n2−x n−1=0 hay xn=n√ xn2+ xn+ 1 .
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
x n=n√x n2+x n+1=n
√ (x n2+xn+1) 1 1 1⏟
n−1 sô 1 <
x n2+xn+1+1+ +1⏟
n so 1
Trang 7(Chú ý rằng ở đây 1x n nên x n2+x n+1≠1 , vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng).
+) Mặt khác do x n 2, nên x n2+x n<6 , nên từ (2) có: 1<x n<1+6
n (3).
Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n ¿ 3 và lim6
n=0 nên từ (3) ta có: lim xn=1 .
+) Ta có: x n n=x n2−x n−1 ⇒ n ln x n=ln(x n2
+x n+1) ⇒
n=ln(x n2
+x n+1)
ln x n
Từ đó: n(x n−1)=
(x n−1)
ln x n ln(x n2
+x n+1)
(5).
Đặt yn= xn−1 ⇒ lim yn=0 .
Ta có: suy ra từ (5) limU n limn x n 1 ln 3.
Vậy: limU n ln 3.
Bài 7. Cho số thực a,xét dãy số x n n1
được
0
ln
1
n n
t
x
bởi
3
n
Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn
hữu hạn, tìm giới hạn đó?
Hướng dẫn giải
Với a thì 1 x n 1, nên n 1 nlim x n 1
Với a thì 1
Do đó
1
1 1
n
n
Từ đó, tính được
n
Kết luận +
3
+
3
+
.
Trang 8Bài 8. Cho dãy số ( )u xác định như sau: n
1 2
1
2012 2013
2 1 0 , 1, 2,3,
u
Hướng dẫn giải
Ta có :
2 2
1
2 2
n
u
u u u
Xét hàm số :
( )
f x
'( )
f x x
Ta có :
Vậy : thì 1n 2 u n 0
2 2
1
2
n
u
u u u
Gọi a là nghiệm của :
2
x
Ta có : u n1 a f u( )n f a( )
Theo định lí La-grăng : f u( )n f a( ) f a u'( ) n a
Do
'( ) ( ) ( )
f a f u f a u a
2
n
1
2
n
Vậy : nlimu n 1 2
2
8
1 2
0
Trang 9Bài 9. Cho dãy số u n xác định như sau:
0
2 1
1 2
5 ,
n n
n
u
u
u
Chứng minh rằng dãy số u n
có giới hạn và tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
* Vì 0u0 nên 01 u n 1, n
* Áp dụng BĐT Cauchy ta có
9
2
n
n
u
u
Dấu bằng xảy ra u n 1
9
2
n
n
u
u
, n
2
1
n
u
1
n
u
Xét hàm số
1
x
2
x
nghịch biến trên 1;
1
u f u f u u n
u n
giảm và bị chặn dưới u n
có giới hạn hữu hạn
* Giả sử limu n a 1 a Từ
2 1
5
n n
n
u u
u
chuyển qua giới hạn ta có
5( )
a a
a
a loai a
* Vậy limu n 1.
Bài 10. Cho dãy số ( )u được xác định bởi: n u và 1 4 2
u u , với n * Tìm
1
1 2
lim
n n
n
u
u u u
Hướng dẫn giải
Với mọi n 1, 2, ; ta có
u u u u u u u u u
u u n n u u u( 4) 12 u u n n u
(1)
Trang 10Từ (1) ta có:
2 1
2
4
n
u
n
Mặt khác, vì u 1 4 2 nên từ 2
u u và chứng minh bằng quy nạp ta thu được u n 2 với mọi
1, 2,
Do đó 1 .2 2 ;n *
n
u u u Khi đó, n 1 2 2 2
2 n n n
u u u
nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: 1 2 2
4
n
n
u u u
Vậy, từ (2) suy ra:
2 1
1 2
n n
n
u
u u u
Mặt khác, hàm số ( )f x x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên
Kết luận:
1
1 2
n n
n
u
u u u
Bài 11. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực ( )x n n0thỏa mãn.
0 1,
x 0x n 1 n 1và
1
2
b) Với dãy ( )x n xác định như trên, xét dãy ( )y n n0 xác định bởi y n x0x1 x n n 0 Chứng minh rằng dãy ( )y n n0có giới hạn hữu hạn khi n Hãy tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng x n xác định duy nhất với mỗi n Để làm được điều này ta cần dùng0 kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1], phương trình
(1 ) (1 )
2
t m
có đúng một nghiệm trên [0;1]
y x x x x x x x x n
Ta có giới hạn cần tìm bằng
3
2 .
Bài 12. Giả sử F n n 1, 2,
là dãy Fibonacci (F1F2 1;F n1 F nF n1 với ) Chứng minh
rằng nếu
1
n n
F a F
với mọi n 1, 2,3, thì dãy số x n , trong đó
Trang 11
1
1
n
n
x
là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn Tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
Giả sử x x1, , ,2 x đã được xác định Khi đó m x m1 được xác định khi x m 1
* Nếu x m 1 thì do 1
1 1
m
m
x
x
nên x m12
Từ giả thiết F1F2 1;F n1 F nF n1 ta viết
2 1
m
F x
F
,
3 1 2
m
F x
F
Giả sử
2 1
i
m i
i
F x
F
, với i nào đó, 0 i m 2
1
1
m i
m i
x
x
nên
1
1
m i
x
Khi đó
1
m
F x
F
Mâu thuẫn với giả thiết
1
m
F x
F
Như vậy ( )x n là dãy số xác định.
Phương trình
2
1
1 0 1
x
,
u v
Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: x1v Khi đó x n x1, n 1 Do đó
5 1 lim
2
n
Trường hợp 2: x1 Chú ý v
v
Do đó x n v n, 1
Đặt
n
n
n
x u
z
x v
, ta có
2 1
1
1
1
n
u
x
n n
u
v
nên z n 0 khi n (vì 1
u
v ).
Từ
n
n
n
x u
z
x v
suy ra 1
n n
n
u vz x
z
dần tới u khi n (do z ) n 0
Tức là trong trường hợp này
5 1 lim
2
n
Trang 12
Bài 13. Cho dãy số y n
thỏa mãn y10,y n31 y1y2 y n, Chứng minh rằng dãy sốn 1
n
y n
có giới hạn bằng 0 khi n
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có y n31y ny n3, , do đó dãy số n 2 y n n 2
là dãy tăng, vì
vậy y n31y ny n3 y y n( n21) y n1(y n21)
y y
, n 2 y n21 y n2 1 y22 n 1
2
1
n
2 2 2
1
( 1)
y n n
nên theo định lý kẹp ta có
2
Bài 14. Cho u n
là một dãy số dương Đặt S n u13u32 u3n với n 1, 2, Giả sử
1
1 1
n
S
với n 2,3, Tìm limu n
Hướng dẫn giải
1 1 0, 1, 2,
S S u n S
là dãy số tăng
Nếu dãy số S n
bị chặn trên thì S n
là một dãy hội tụ và 3
1
limu n lim S n S n 0 limu n 0 Xét trường hợp dãy số S n
không bị chặn trên thì limS n
Từ giả thiết ta có S u n1 n1u n S u n nu n1,n2,3,
Từ đây ta thu được S u n nu n1S u2 2u n1, 2,3,
Do đó
1 2 2 1 0 2 2 1, 2,3,
n
Theo nguyên lí kẹp ta có limu n 0.
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu n 0.
Bài 15. Cho dãy số ( )u n xác định bởi công thức truy hồi:
1
* 1
1
1
2,
n
u
u
Chứng minh rằng dãy ( )u n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Trang 13Đặt
1 2
x
Khi đó
2 4
2
1 2
x x
x
Mặt khác
1 '( ) 0, ( ;1)
2
f x x
nên
f x f f f x f x
Từ (*) và (**) suy ra:
( ( )) , ( ;1)
2 f f x x x 2 .
Do đó (u2n1) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn
tại 2 1
1
2
n
Vì f x( ) liên tục trên
1
;1 2
nên
1
2
Vậy dãy ( )u được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy ( ) n u có giới hạn n
bằng
1
2
Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:
1 f x y f x( ) f y( )
với mọi x y ,
2 f x( )e x1 với mỗi x
Hướng dẫn giải
0 ( ) (0) (0) 0
f x f x f f và bởi vì f(0)e01 0 nên f(0) 0
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (1)
f x x f x f x f x f x
2
x
f x f f e
Trang 142 4
f x e f x f f e
Dùng quy nạp theo n 1, 2, ta CM được
2
( ) 2 n 1
x
f x e
Cố định x 0 ta có
0
2 0
( ) 2 n 1
x n
f x e
Xét dãy
0
2
x n n
a e
ta có :
0
0
2
2
1 lim lim
n
n
x
e
Vậy f x( )0 x0,x0 (2)
Vậy f x( ) f(x) x ( x) 0 (3)
Kết hợp ( 1) và (3) ta được f x( ) f(x) 0
Từ (2) f(x) x f x( )x (4) Kết hợp ( 2) và (4) ta được f x( ) x x,
Thử lại f x( )x ta thấy đúng
Bài 17. Cho dãy số x n được xác định như sau
1
3
1,
1
n
x
x
n
giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy x n 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.
Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên
Ta chứng minh x n 8, n *
Thật vậy, với n 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng
Giả sử ta có: x n 8, với n nguyên dương Ta cần chứng minh x n18
Theo công thức xác định dãy số có:
3
1
k n
x
Do đó x n 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Trang 15Bài 18. Cho dãy số thực a n
xác định bởi
2 1
;
1
n
a n
có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
Có a a 1, 2 0;1 , giả sử a a1, , ,2 a k0;1 , k,k2
Từ công thức truy hồi ta có:
2 1 1
k
vì 0a k1,a k 1 a k10;1
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a n0;1 , n *
Xét hai dãy số mới
2 1 1
1 4 :
1
n
n
x x x
x x
2 1 1
3 10 :
1
n
n
y y y
với n ;n2
1
2
, giả sử ta có 0x1x2 x k 1,k,k3, khi đó
1
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được x n
là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn limx n
Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được
1
2
1
Do x n 0;1
nên suy ra 1 Chứng minh tương tự đối với dãy số y n
, ta cũng có limy n 1
Cuối cùng ta chứng minh x n a n y n, (1) bằng phương pháp quy nạp:.n *
Ta có x1a1 y1 và a2x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k 2, tức là x ia i y i, i 1, 2, ,k Khi đó
Từ x n a n y n n, ,n1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima n 1.
Trang 16Bài 19. Cho hai dãy số a n ; b n
xác định bởi a1 3,b1 , 2 a n1a n22b n2 và b n1 2a b n n với n = 1,
2, 3,… Tìm
2
lim n
n
2
1 2
lim n
n
Hướng dẫn giải
Với mọi n = 1,2,3,… ta có
a b a b a b a b
Do đó:
1 1 2 2 2 22 1 1 2 1 2 1 2
Tương tự ta có: 2 2 12
n
Từ đó: 1 2 12 2 12
2
n
a
2 2
n
Chú ý:
2 1
4 2
n
và
4 2
n n
n
, nên theo nguyên lí kẹp ta có:
lim n lim n 2 1
Mặt khác: b n1 2a b n n hay
2
n n n
b
b
Suy ra:
2
1 2
n
b
a a a
Do đó
2
1 2
lim n
n
1
lim n 2 1 3 2 2
n
(vì
2
n
n
)
Bài 20. Cho dãy số thực a n xác định bởi
2 1
;
4 10 1
2 6 3
n
a n
có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
+ Ta Có a a 1, 2 0;1
, giả sử a a1, , ,2 a k0;1 , k,k2
Từ công thức truy hồi ta có:
2 1 1
k
vì 0a k1,a k 1 a k10;1
Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a n0;1 , n *