TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢNBài 1... Từ đó suy ra điều phải chứng minh... Hướng dẫn giải... Tính các giới hạn sau:.. Hướng dẫn giải.
Trang 13.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Bài 1. Cho dãy số a n thỏa mãn
1
1
1
*
n
u
u
Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy
số x n xác định bởi
a n n
u x n
(n ) hội tụ và giới hạn của nó khác 0.*
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có dãy số u n là dãy số dương và tăng(1).
Giả sử u n
bị chặn trên suy ra nó hội tụ Đặt Llimu n, ta có ngay 3
1
L L
L
(vô lý)
Vì vậy u n
không bị chặn trên (2)
Từ (1) và (2) ta có limu n .
Xét
1
limu n u n
4 3
1
n n
v u
(n ), ta có * limv n 0.
4
4 3
n
v
Suy ra
1
4 lim
3
u u
4
lim
3
n u
n (sử dụng trung bình Cesaro).
Ta có
4 4 3 3
4 khi
3 4
3
khi
n
a
a
Vậy
4
3
a
là giá trị cần tìm
Bài 2. Cho dãy số u n
xác định như sau:
* 1
2
1
1
2
,
n n n
u u
a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để u n 1.
b) Chứng minh rằng u n
có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó
Trang 2Hướng dẫn giải
a) Trước hết ta luôn có u n 0, n N* Xét
2
1
n
u
3n 1 1,
u n N và u3n2 1, n N*
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
b) Ta có
2
1
n
u
Chia vế của (1) cho (2) có
*
n N
Đặt
*
1
1
n
n
n
u
u
, ta có v n2 v n1.v n N n *
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 2F n1.1F n2
n
v v v , với F n
là dãy số Phibonxi:
*
1
,
F F F n N
Hay
n
v
Bài 3. Cho dãy số u n được xác định như sau.
1
* 1
1
u
1 5
n
n
i i
v
u
, hãy tính limv n
Hướng dẫn giải
Dễ thấy u n 0, n *
Theo bài ra ta có
u u u u u u u u u
1
n
v
Mặt khác, từ u n1 u n26u n ta suy ra 4 u n16u n
Trang 31 *
1
1
1
n
n
u
n
n
v
u
Bài 4. Cho dãy số thực u n
ln 1u n nu n 1, n
Tìm
n
n
n nu
u
Hướng dẫn giải
Với mỗi n *, đặt f x n ln 1 x2nx1,x
2 '
1 2
1 0
n
x x
0
1
n
x
f x
n
Do đó f x n
là hàm tăng thực sự trên
Ta có
2
n
n
f
f
Do đó !u n sao cho f u n n 0
và
1
0 u n
n
Ta thấy nlim u n 0
Do đó:
2
1 2
2
n u n n
u
Vậy
2
ln 1 1
n
n nu
Bài 5. Cho dãy số a n
1
4
a
n a n a n a a
Tìm lima n
Hướng dẫn giải
Trang 4Dễ thấy a n Từ giả thiết ta có 0, n *
1
2
1
n
Với mỗi n *, đặt
4
n n
y a
ta có y 1 1 và.
2
n
n
n
2 2
2 2
n
n n a
n n
Vậy lima n 4.
Bài 6. Tính các giới hạn sau:
a)
3 2 2
8 lim
4
x
x x
2 1 lim
2
x
x x
Hướng dẫn giải
2 3
2
8
x
a
2
2 1
) lim
2
x
x
b
x
Bài 7. Tính giới hạn
2 1
lim
1
n x
x
Hướng dẫn giải
1
lim
1
n x
x
1
( 1
2
2 3 n n n 1)
Bài 8. Cho n là số nguyên dương và a Chứng minh rằng: 0 0
1 ax 1
n x
a Lim
Hướng dẫn giải
Trang 5Vậy 0 1 1 1 2
n
Bài 9. Tính các giới hạn sau:
2
lim
n
n n
b/
1 sin 0
cos5 lim cos3
x x x
x x
Hướng dẫn giải
Câu a
2
(4 2)
2
n n
Mà ta có các công thức: 1
2
n
i
n n i
;
2 1
6
n
i
i
;
2 3
1
2
n
i
n n i
Do đó:P x( ) 1 3 5393 (4n 3)3là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 16
Và Q x( ) 1 5 9 (4 n 3)2
là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4
2
4
n
n n
Câu b
1 sin 0
cos5
lim
cos3
x x
x
x
x
cos5 cos3 cos3 sin cos3 cos5 cos3
0
lim 1
cos3
x x
x x x x
x x x
x
cos 5 cos 3
cos 3
x
x
và áp dụng công thức lim 10 1u
, nên
1
0
cos5 lim cos3
x x x
x
e x
Bài 10. Cho dãy số x n
thỏa mãn
1
2
2
n n
x
n n
Tìm limu n với
3
u n x .
Hướng dẫn giải
Trang 6Ta có 2
1
3
x
Với n 3 : x12x23x3 nx n n x3 n (1)
3
x x x n x n x (2).
Từ (1) và (2) ta có nx n n x3 n (n1)3x n1
Suy ra
3
2 1
1 3
1
n
2
( ) ( ) ( )
n
2
4
n
x
n n
suy ra limu n =
2 2
n
Bài 11. Tính giới hạn hàm số :
3 1
lim
1
x
L
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
=
3
x
=
2
x
=
x
=
x
x
1
12.
Bài 12. Tính:
2 1
1
x
Lim
x
Hướng dẫn giải
x
Trang 7Bài 13. Cho dãy số a n
1
4
a
n a n a n a a
Tìm lima n
Hướng dẫn giải
Dễ thấy a n Từ giả thiết ta có 0, n *
1
2
1
n
Với mỗi n *, đặt
4
n n
y a
ta có y và.1 1
2
n
n
n
2 2
2 2
n
n n a
n n
Vậy lima n 4
Bài 14. Cho dãy số x n thỏa mãn 1 1 3
1
1
4
n
a
x
Hướng dẫn giải
Ta có
4
1
1
4
n
a
x
với mọi n 2
Do đó dãy x n bị chặn dưới.
1
n
x x x n x n–1
Do đó x n
là dãy giảm
Từ đó suy ra dãy x n
có giới hạn và dễ dàng tìm được
4
limx n a
Bài 15. Cho dãy số thực x n :
1 1
3 1
n
n
x
x
1 2 3
; 1, 2,3,
2
n
n n
n
x x x x
Chứng minh dãy số y n
có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó
Hướng dẫn giải
1
n
x
Đặt : z n x x x x1 .2 3 n thì ta có z n2 x x x x x1 .2 3 n n1.x n2
Trang 81 2
n n n
z x x
1
n n
z x
1
3z x n n z n
1
3z n z n
Khi đó :
3 8
3
z x
z x x
Xét phương trình đặc trưng :
3 1 0
2
Dãy có số hạng tổng quát dạng
n
z
trong đó :
3
8
5 3 5 10
5 3 5 10
Lúc này, ta có
1 2 3
n
y
Suy ra :
lim
2
5 3 5
y
Vậy :
3 5 5 2
n
y khi n
Bài 16. Cho dãy số u n
n n
n n
u
n u u
3
n n u
Hướng dẫn giải
n n
n n
u
n u u
*
1
n n
n
u
n u n
nên v n
n
k
có limv c
Trang 9Cũng từ 1 2 2 1
n n
n n
u
n u u
2 1
n
2 1
n
u u
Do đó
2 0
u u .
2
1
u u .
…
2 1 1
n n
Cộng theo vế ta được :
1 0 0
6
n k k n
u
1
1
6
n n
v
1
lim n 0
n
v
n
( donlimv n c
) nên
n
hay
3
n n u
Bài 17. Cho dãy số x n
4
1
n
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Hướng dẫn giải
x x x x x
Hàm số
4 ( ) 1
1
f x
x
liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 f x( ) 5
4
1
n
x
x x f x f x x x f x f x x x
suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1),(x2n) là các dãy hội tụ.
Giả sử limx2n a;limx2n1b a b ( , 1)
Từ x2n1f x( 2n) limx2n1 lim (f x2n) bf a( )
Trang 10Từ x2n2 f x( 2n1) limx2n2 lim (f x2n1) af b( ).
Giải hệ phương trình
4 1
4 1 1
b
a
b
Bài 18. Cho x12014, x2 2013 và 2 1
1
x
,n 2,3, Tìm limn x n
Hướng dẫn giải
Ta có
1
( 1)
!
k n n
k
k
.
Từ đó suy ra
1
n x
e