Về đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

Lúc này, sinh viênđược tiếp xúc với những tiêu chuẩn về tính bất khả quy của các đa thức trên Z[x],Q[x] như tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Person, tiêu chuẩn Dumas.Đặc biệt có thể sử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Ngô Thị Ngoan

THÁI NGUYÊN - 2019

2.1 Đa thức xp− x + a 182.2 Dãy các đa thức bất khả quy 212.2.1 Q−phép biến đổi và vết 222.2.2 Dãy đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn có đặc

số 2 252.2.3 Dãy đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn có đặc

số lẻ 30

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Thị Ngoan Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫnkhoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gianhướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quátrình làm luận văn

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ íchcho công tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học ToánK11D (khóa 2017–2019); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường;Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trường Trung học phổ thôngQuang Hà đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11D (khóa2017–2019) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnhđạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Tác giả

Vũ Văn Hảo

Mở đầu

Đa thức bất khả quy là khái niệm đóng vai trò quan trọng và có nhiều

áp dụng Đây cũng là vấn đề kinh điển trong lý thuyết đa thức nói riêng vàtrong toán học nói chung Các bài toán về đa thức bất khả quy và bài toánphân tích một đa thức thành nhân tử bất khả quy đã được đưa vào giảng dạyngay từ THCS Việc phân tích trên cho phép học sinh chuyển việc giải mộtphương trình đại số về các phương trình có bậc thấp hơn Trong chương trìnhtoán học cao cấp, khái niệm đa thức bất khả quy được đưa vào giảng dạytrong các năm đầu tiên của chương trình đào tạo Đại học Lúc này, sinh viênđược tiếp xúc với những tiêu chuẩn về tính bất khả quy của các đa thức trên

Z[x],Q[x] như tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn Person, tiêu chuẩn Dumas.Đặc biệt có thể sử dụng một kỹ thuật quan trọng là xét tính bất khả quycủa đa thức hệ số nguyên thông qua việc rút gọn theo modulo p nguyên tố.Trong khuôn khổ luận văn này, tôi trình bày những tìm hiểu về đa thứcbất khả quy trên trường hữu hạn: Một số lớp đa thức bất khả quy; việc xâydựng được những đa thức bất khả quy mới từ hai đa thức bất khả quy đãcho; việc xây dựng được dãy vô hạn các đa thức bất khả quy với bậc tăngdần từ một đa thức bất khả quy ban đầu trên các trường hữu hạn

Nội dung luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 của luận văn trình bày về trường hữu hạn Nội dung chương 1được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1] và [6] Chúng ta sẽ trình bày về

mở rộng trường, trường phân rã của đa thức, cấu trúc của trường hữu hạn

và công thức nghịch đảo M¨obius [6] giúp ta xác định các đa thức dạng chuẩn(đa thức monic) bất khả quy trên trường hữu hạn Fq bất kỳ có bậc n.Chương 2 của luận văn trình bày về đa thức bất khả quy trên trường hữuhạn Chúng ta sẽ trình bày một lớp đa thức bất khả quy trên trường Fq[x]

với q = pn; xây dựng những đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy

đã cho; xây dựng được dãy vô hạn những đa thức bất khả quy trên trườnghữu hạn có đặc số 2 bằng cách sử dụng Q− biến đổi; xây dựng dãy vô hạnnhững đa thức bất khả quy có bậc tăng dần trên trường hữu hạn có đặc số

lẻ bằng cách sử dụng R− biến đổi từ một đa thức bât khả quy ban đầu

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2019

Tác giả luận văn

Vũ Văn Hảo

Chương 1

Trường hữu hạn

Ta nhắc lại, một trường F là một vành giao hoán khác không và không

có ước của 0 Một trường có hữu hạn phần tử được gọi là một trường hữuhạn

Định nghĩa 1.1.1 Trường F được gọi là một trường nguyên tố nếu nókhông có trường con nào ngoài bản thân nó

Nhận xét 1.1.2

(i)Cho F là trường nguyên tố Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong hai trườnghợp: nếu F có đặc số 0 thì F ∼= Q; nếu F có đặc số p thì F ∼= Zp Trườnghợp F ∼= Zp Ta thường kí hiệu Fp thay cho F

(ii)Cho E là một trường tùy ý, khi đó nếu gọi F là giao của mọi trường concủa E thì F cũng là một trường con của E, rõ ràng F là trường con nhỏnhất của E, do đó F là trường nguyên tố Trong trường hợp này, ta nói F

là trường con nguyên tố của E Như vậy, mọi trường đều chứa một trườngcon nguyên tố

Bổ đề 1.1.3 (Cấu trúc trường hữu hạn)

(i) Cho F là trường hữu hạn có q phần tử Khi đó tồn tại số nguyên tố p saocho q = pn với số tự nhiên n nào đó

(ii) Với mỗi số nguyên tố p và số tự nhiên n 6= 0, tồn tại duy nhất mộttrường hữu hạn có pn phần tử (sai khác một đẳng cấu trường)

đó chính là tập hợp các nghiệm của f (x) Khi đó K là một trường con của

E Thật vậy, với mọi α, β ∈ K ta có

(α − β)q = αq − βq = α − β, (αβ)q = αqβq = αβ

Do đó α − β, αβ ∈ K Nếu α ∈ K∗ thì (α−1)q = (aq)−1 = α−1 suy ra

α−1 ∈ K Ngoài ra, rõ ràng 1q = 1 nên 1 ∈ K Cuối cùng, ta thấy rằng mọi

a ∈ Fp đều thỏa mãn ap = a do đó aq = apn = a chứng tỏ Fp ⊆ K Như vậy

K chính là trường phân rã của f (x) trên Fp, trường này có q = pn phần tử(lưu ý rằng f (x) không có nghiệm bội)

Tính duy nhất của trường cóq = pn phần tử Giả sử Fq là trường cóq = pn

phần tử Khi đó Fq có đặc số là p (giả sử p1 là đặc số của Fq thì theo (i) suy

ra q = pn10; do đó pn = pn10 vì thế p = p1) Vì F∗q = Fq\ {0} là nhóm với phépnhân nên αq−1 = 1 với mọi α ∈ F∗q; do đó αq = α với mọi α ∈ Fq Chứng tỏmọi phần tử của Fq đều là nghiệm của đa thức f (x) = xq− x ∈ Fp[x] với Fp

là trường nguyên tố của Fq Suy ra trường Fq chính là trường phân rã của

f (x) trên Fp Điều đó khẳng định tính duy nhất của Fq sai khác một đẳngcấu trường

Trong luận văn, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu về đa thức bất khả quytrên trường hữu hạn Fq Đa thức bất khả quy trên trường Fq chính là phần

tử bất khả quy của vành đa thức Fq[x]

Định nghĩa 1.1.4 Một đa thức với hệ số trên một trường được gọi là bấtkhả quy nếu nó có bậc dương và không phân tích được thành tích của hai đathức có bậc thấp hơn.

Định lý 1.1.5 Cho F là trường hữu hạn có đặc số p Khi đó ta có

theo n, biến đổi (a + b)pn = ((a + b)pn−1)p suy ra (a + b)pn = apn + bpn Đểchứng minh (a − b)pn = apn − bp n

Định lý 1.1.6 Nhóm nhân F∗q của trường hữu hạn F là xyclic cấp q − 1

Để chứng minh Định lý 1.1.6 ta cần các bổ đề sau đây

Bổ đề 1.1.7 Nếu 1 ≤ m ∈ Z, thì m =P

d|mϕ(d), trong đó ϕ(d) là kí hiệucho hàm Euler

Chứng minh Nếu d chia hết m, thì ta kí hiệu Cd là nhóm con duy nhất của

Zm có cấp d, và kí hiệu Φd là tập tất cả các phần tử sinh của Cd Vì mỗiphần tử bất kì của Zm đều sinh ra một trong các nhóm Cd nào đó, nên nhóm

Bổ đề 1.1.8 Cho H là một nhóm hữu hạn cấp n Giả sử rằng, với mỗi ước

d của n, tập các phần tử x ∈ H sao cho xd = 1 có nhiều nhất là d phần tử.Khi đó H là nhóm xyclic

Chứng minh Chodlà một ước của m Nếu tồn tạix ∈ H có cấpd, thì nhómcon (x) = {1, x, , xd−1} là nhóm xyclic cấp d; mặt khác theo giả thiết, cókhông quá d phần tử y ∈ H thỏa mãn yd = 1 Vì thế mọi y ∈ H sao cho

yd = 1 đều thuộc vào (x) Đặc biệt, mọi phần tử củaH có cấp d đều sinh ra

Chú ý 1.1.9 Từ chứng minh trên cho thấy một kết quả tổng quát hơn đó

là mọi nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường đều là xyclic

Định lý 1.1.10 Cho Fq là trường hữu hạn và đa thức f ∈ Fq[x] bất khảquy trên Fq, deg f = n Khi đó trường phân rã của f trên Fq là Fq n Hơn

nữa, nếu α là một nghiệm của f thì các nghiệm còn lại của f được cho bởi

m | n Thật vậy, nếu m | n thì Fq m là trường con của trường Fq n Vì Fq n

chứa các nghiệm của xqn − x nên mỗi nghiệm của f (x) đều là một nghiệmcủa xqn − x Mặt khác mọi nghiệm của f (x) đều là nghiệm đơn nên ta suy

và m | n theo tháp mở rộng trường hữu hạn

Bây giờ, ta giả sử phản chứng αqi = αqj, 0 ≤ i < j < n Khi đó, vì α 6= 0

ta có

αqi = αqj ⇔ αqi(qj−i−1) = 1 ⇔ (αqj−i−1)qi = 1

Lũy thừa cả hai vế qn−i lần và nhân α vào hai vế ta nhận được (αqj−i−1)qn =

1 ⇔ αqj−i = α ⇒ α là nghiệm của xj−i − x ⇒ n | j − i mâu thuẫn với

0 < j − i < n

Chú ý 1.1.11 Trong chứng minh của định lý trên ta nhận thấy rằng một đathức bất khả quy có bậc m trên một trường hữu hạn phải có m nghiệm khácnhau Do đó ta có thể khẳng định có các dạng đa thức không là bất khả quy:Cho Fq là trường hữu hạn có đặc số p và xét đa thức xp+ a với a ∈ Fq Chọn

α là nghiệm của xp+ a = 0 với α ∈ Fqp Khi đó (x − α)p = xp− αp = xp+ a

và ta thấy chỉ có duy nhất nghiệm của xp+ a = 0 là α và vì p > 1 đa thức

xp+ a khả quy trên Fq vì nếu nó bất khả quy thì nó phải có p nghiệm khácnhau

Định nghĩa 1.1.12 Cho F là một trường và K ⊆ F Tự đẳng cấu σ của

F được gọi là một tự đẳng cấu của F trên K nếu σ(a) = a với mọi a ∈ K

Định lý 1.1.13 Cho Fq và Fq m, m > 1 là các trường hữu hạn Khi đó các

tự đẳng cấu của Fq m trên Fq chính là σi, i = 1, , m trong đó σi(α) = αqi

với mọi α ∈ Fqm

Chứng minh Dễ dàng nhận thấy σi là các tự đẳng cấu của Fq m trên Fq.Giả sử ϕ là một tự đẳng cấu của Fq m trên Fq Gọi θ là một phần tử sinhcủa nhóm nhân Fq m Nếu chúng ta có thể xác định ảnh của θ, chúng ta hoàntoàn có thể xác định được tự đẳng cấu (vì ta có thể xét ϕ là ánh xạ tuyếntính của Fq m được coi như một không gian vectơ trên Fq) Bây giờ, gọi f

là đa thức cực tiểu của θ trên Fq, deg f = m Vì ϕ tuyến tính nên ta có

0 = ϕ(f (θ)) = f (ϕ(θ)) Suy ra ϕ(θ) là một nghiệm của f (x) Theo Định lý1.1.10, ta có ϕ(θ) = θpk với k ∈ {1, , m}

Chú ý 1.1.14 Cho K là một trường và F là một mở rộng hữu hạn của

K Khi đó mở rộng F/K được gọi là chuẩn tắc nếu [F : K] = |Aut(F/K)|,trong đó Aut(K/F) là nhóm các tự đẳng cấu của F trên K Những mở rộngnày có vai trò quan trọng trong lý thuyết Galois Theo định lý trên, ta thấyrằng một mở rộng hữu hạn của một trường hữu hạn luôn là mở rộng chuẩntắc

Định nghĩa 1.1.15 Cho F = Fqm và K = Fq là các trường hữu hạn Một

cơ sở chính tắc của F trên K là một cơ sở có dạng {α, αq, , αqn−1} với

α ∈ F

Chú ý 1.1.16 Theo Định lý 1.1.13, tự đẳng cấu của F trên K là σi(α) =

αqi, 0 ≤ i < m, một cơ sở chính tắc của F trên K là một cơ sở của F trên

T −cyclic, nghĩa là có một cơ sở của V có dạng {ν, T (ν), , Tn−1(ν)} với

ν ∈ V khi và chỉ khi đa thức đặc trưng χT của T trùng với đa thức cực tiểu

µT của T

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 13, trang 474, chương 12 trong tài liệu [3],

ta có đẳng cấu

V ∼= F [x]/(a1(x)) ⊕ F [x]/(a2(x)) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(am(x))

như các F [x]−modules, trong đó a1(x), a2(x), , am(x) là các đa thức cóbậc ≥ 1 thỏa mãn a1(x) | a2(x) | | am(x)

Đặc biệt, ta có am(x)V = am(T )V = 0 Từ đây suy ra đa thức cực tiểu

µT của T là ước của am(x) suy ra µT = am(x)

Ta có

n = dimF V = deg a1+deg a2+· · ·+deg am ≥ deg am = deg µT = deg χT = n

Vậy ta phải có dấu “=”, tức là m = 1 và V ∼= F [x]/(a1(x)), V là cyclicnhư F [x]−module Vậy V có một cơ sở là {ν, T (ν), , Tn−1(ν)} với ν ∈

V \ {0}

Định lý 1.1.18 Cho G là một nhóm Đặt ϕ1, , ϕm là các tự đồng cấukhác nhau từ G đến F∗q và đặt a1, , am ∈ Fq không đồng thời bằng 0 Khi

đó ϕ1, , ϕm là độc lập tuyến tính nghĩa là tồn tại g ∈ G sao cho

a1ϕ1(g) + · · · + amϕm(g) 6= 0

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo m Nếu m = 1 thì ta có

a1ϕ1(g) = 0 với mọi g ∈ G Từ đó suy ra a1 = a1ϕ1(1) = 0, nên định lýđúng với m = 1 Giả sử định lý đúng với m − 1 và giả sử có a1, , am ∈ Fq

sao cho

m

P

i=1

aiϕi(g) = 0 với mọi g ∈ G Ta giả sử phản chứng rằng tồn tại

ai 6= 0 Khi đó có hai khả năng xảy ra: thứ nhất nếu có aj nào đó bằng 0

(j 6= i), khi đó theo giả thiết quy nạp ta suy ra ai = 0, điều này mâu thuẫn.Thứ hai tất cả các aj đều khác 0, với giả thiết này ta chia hai vế cho am 6= 0

từ đây theo giả thiết quy nạp suy ra bi(ϕi(a)ϕm(a)−1 − 1) = 0 với mọi

i = 1, , m − 1 Nói riêng với i = 1 ta có b1(ϕ1(a)ϕm(a)−1 − 1) = 0 Vìtheo cách chọn a, ta có ϕ1(a) 6= ϕm(a) nên phải có b1 = 0, điều này mâuthuẫn

Định lý sau chỉ ra rằng mọi trường hữu hạn đều có một cơ sở chính tắctrên tất cả các trường con

Định lý 1.1.19 Cho F = Fqm và K = Fq là các trường hữu hạn Khi đótồn tại một cơ sở chính tắc của F trên K

Chứng minh Xét các tự đẳng cấu σi(α) = αqi, 0 ≤ i < m của F trên K.Khi đó có m đồng cấu nhóm khác nhau từ F∗ đến F∗ Hơn nữa, các σi là

các ánh xạ tuyến tính của F được xem như một không gian vectơ trên K.

Để chứng minh F có một cơ sở chính tắc trên K ta chứng minh F là σ1−

cyclic Chúng ta xét đa thức đặc trưng χ và đa thức cực tiểu µ của σ1

Đa thứcf (x) = xm−1 thoả mãnf (σ1) = 0 ∈ End(F) Chúng ta sẽ chứngminh không có đa thức g(x) có bậc nhỏ hơn m sao cho g(σ1) = 0 ∈ End(F).Giả sử g(x) 6= 0, deg g < m Khi đó, giả sử g(σ1) có dạng

a0σ10 + a1σ11 + · · · + amσ1m−1 = a0σ0 + a1σ1 + · · · + am−1σm−1

trong đóa0, , am−1 ∈ F không đồng thời bằng 0 và áp dụng Định lý 1.1.18suy ra ∃ a ∈ F sao cho g(σ1)(a) 6= 0 do đó g(σ1) 6= 0 Như vậy đa thức cựctiểu µcủa σ1 là f (x) Măt khác, χ có bậc m; µ | χ cả µvà χ là đa thức dạngchuẩn suy ra: χ = µ = f

Theo Định lý 1.1.17 chúng ta có F là σ1−cyclic, trong đó F được coi nhưmột không gian vectơ trênK, nghĩa là vớia ∈ F sao cho{a, σ1(a), , σ1m−1(a)}

là một cơ sở của F trên K Đây là cơ sở chính tắc của F trên K

Định lý tiếp theo được biết đến như một tiêu chuẩn để xác định một phần

tử α của trường Fq có đặc số lẻ có là thặng dư bậc hai hay không (tức là cótồn tại một phần tử β ∈ Fq sao cho α = β2 hay không)

Định lý 1.1.20 Cho F là trường hữu hạn có đặc số lẻ, |F | = q Khi đó

α ∈ F∗ không là thặng dư bậc hai của F khi và chỉ khi α(q−1)/2 = −1

Chứng minh Với bất kỳ phần tử α khác 0, ta đều có α(q−1)/2
2− 1 = 0 nên

α(q−1)/2 = ±1, vì đa thức x2− 1 = 0 chỉ có hai nghiệm trên một trường Gọi

θ là phần tử sinh của F∗q, khi đó α = θk với k là một số tự nhiên Có haitrường hợp xảy ra:

Nếuk chẵn, thìα = (θk/2)2 là một thặng dư bậc hai trongF vàα(q−1)/2 =

Chú ý 1.1.21 Từ định lý trên ta có một phần tử khác không của trườnghữu hạn có đặc số lẻ không phải thặng dư bậc hai khi và chỉ khi nó là luỹthừa bậc lẻ của phần tử sinh của nhóm với phép nhân Từ đó, ta có kết luậntích của một số không phải thặng dư bậc hai và một số thặng dư bậc hai(khác 0) là một số không phải thặng dư bậc hai, cũng như tích của hai sốthặng dư bậc hai là một số thặng dư bậc hai và tích của hai số không phảithặng dư bậc hai là một số thặng dư bậc hai.

Khi xây dựng dãy các đa thức bất khả quy, phần lớn các đa thức đượcxét đến là đa thức tự tương hỗ Đa thức tự tương hỗ được định nghĩa nhưsau

Định nghĩa 1.2.1 Đa thức tương hỗ của đa thức f (x) =

được gọi là tự tương hỗ nếu f (x) = f∗(x)

Với đa thức f (x) ∈ Fq[x] chúng ta có thể viết

akxk tự tương hỗ khi và chỉ khi hệ

số trong f đối xứng, nghĩa là ak = an−k, k = 0, , n

(ii) Cho f (x), g(x) ∈ Fq[x], ta có

(f g)∗ = xdeg f gf (1/x)g(1/x) = xdeg ff (1/x)xdeg gg(1/x) = f∗g∗

và trong trường hợp cụ thể, (cf )∗ = cf∗ với c ∈ Fq Nếu f (0) 6= 0 thì

(f∗)∗ = f

(iii) Cho f ∈ Fq[x] là đa thức bất khả quy trên Fq, f (0) 6= 0 Khi đó f∗ bấtkhả quy trên Fq

Chứng minh (iii) Vì f (0) 6= 0 nên deg(f ) = deg(f∗) và vì (f∗)∗ = f.Giả sử

f∗ = gh, deg(g) < deg(f∗), deg(h) < deg(f∗) khi đó f = (f∗)∗ = (gh)∗ =

g∗h∗ kéo theo g∗ hoặc h∗ là đa thức hằng Không mất tổng quát, giả sử

h∗(x) = xdeg hh(1/x) là hằng số Do đó ta có h(x) = axn với a ∈ Fq, n ∈ N

kéo theo f∗(0) = 0 dẫn đến deg(f ) < deg(f∗), vô lý Do đó,n = 0 và f∗ bấtkhả quy

Định nghĩa 1.3.1 Hàm M¨obius µ là hàm số µ :N∗ →N được cho bởi công

(−1)k nếu nlà tích của k số nguyên tố khác nhau,

0 nếu nchia hết cho bình phương của một số nguyên tố

(1.4)

Chú ý 1.3.2 Hàm M¨obius µ còn có cách biểu diễn khác như sau: Cho ω(n)

là hàm số học với ω(n) = P

p|n

1, vì vậy ω(n) là số các ước số nguyên tố khác

nhau của n Khi đó

p1, p2, , pk là các số nguyên tố khác nhau, là ước của n, thì ta có

Áp dụng công thức nghịch đảo M¨obius ta có: