Các bài toán về đa thức bất khả quy trong các kì thi học sinh giỏi

Các ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ờng xuyên xuất hi

1 Tên sáng ki n: ến:

- Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng trình Toán l p 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

- Chuyên đ b i dề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ưỡng học sinh giỏi Quốc gia.ng h c sinh gi i Qu c gia.ọc sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia ốc gia

5 Đ n v áp d ng sáng ki n ơn vị áp dụng sáng kiến ị áp dụng sáng kiến ụng sáng kiến: ến:

BÁO CÁO SÁNG KI N ẾN

Đa th c là n i dung r t quan tr ng trong chức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ọc sinh giỏi Quốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng trình toán h c phọc sinh giỏi Quốc gia ổthông và b t đ u đắt đầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc gi ng d y trong chảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng trình đ i s c p THCS Cácạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ốc gia ở cấp THCS Các ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

đa th c cũng xu t hi n nhi u trong các kì thi h c sinh gi i Qu c gia và Qu cức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ọc sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia ốc gia ốc gia

thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng yêu c u nghiên c u tính ch t v các h s c a m t đa th c, tính ch tầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

v nghi m c a nó ho c nh ng bài toán v đa th c nguyên, tính kh quy vàề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc h i theo nhi u hình th c khác nhau ỏi Quốc gia ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Bài toán v đa th c v i h s nguyên và đa th c b t kh quy có vaiề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáctrò r t ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

quan tr ng và xu t hi n nhi u trong kì thi TST và IMO hàng năm Th t khóọc sinh giỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

đ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

kh ng đ nh định được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc m t đa th c là b t kh quyhay không Chuyên đ nàyội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

mu n khám phá các v n đ và các k t qu c a đa th c b t kh quy, đ a raốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ế ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư

m t s tiêu chu n và ví d đi n hình đ áp d ng gi i đội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc m t l p bài toánội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

tương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng t Có th coi nh ng bài toán v đa th c b t kh quy nh là nh ng bàiể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

t p lý thuy t, đòi h i ngập đa thức cũng rất đa dạng và phong ế ỏi Quốc gia ường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học ọc sinh giỏi Quốc gia.i h c ph i n m v ng t ng bảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ắt đầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ừng bước chứng minh như ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c ch ng minh nhức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ư

vi c ch ng minh m t đ nh lý toán h c v y Đây cũng là lý do mà các bài toánện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ọc sinh giỏi Quốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

v đa th c b t kh quy luôn gây khó khăn v i h c sinh.ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia

Trong quá trình gi ng d y, đ c bi t sau m t th i gian nghiên c u vàảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ờng xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

gi ng d y cho các đ i tuy n h c sinh gi i, tôi nh n th y n u h c sinh đảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ọc sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ế ọc sinh giỏi Quốc gia ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc

cung c p nh ng ki n th c v đa th c và các tính ch t nghi m; đ ng th iất quan trọng trong chương trình toán học phổ ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ế ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ờng xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học

bi t đế ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc m t s ng d ng c b n thì sẽ có th v n d ng đ gi i quy t cácội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế.bài t p l n ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

Báo cáo sáng ki n này ngoài vi c trình bày l i m t s ki n th c c b nế ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ế ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

v m t đ i s và gi i tích c a đa th c và nghi m đa th c; báo cáo cũng đ aề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ốc gia ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ư

ra m t s ng d ng c a tính ch t nghi m trong các bài toán thi h c sinh gi iội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ủa một đa thức, tính chất ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ọc sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia.các c p.ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

Các bài toán v đa th c thề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng xuyên xu t hi n trong các kỳ thi h cất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ọc sinh giỏi Quốc gia.sinh gi i toán và luôn đỏi Quốc gia ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc đánh giá là các bài toán khó Các bài toán này

thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng yêu c u nghiên c u tính ch t v các h s c a m t đa th c, tính ch tầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

v nghi m c a nó ho c nh ng bài toán v đa th c nguyên, tính kh quy vàề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc h i theo nhi u hình th c khác nhau ỏi Quốc gia ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Bài toán v đa th c v i h s nguyên và đa th c b t kh quy có vaiề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáctrò r t ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

quan tr ng và xu t hi n nhi u trong kì thi TST và IMO hàng năm Th t khóọc sinh giỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

đ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

kh ng đ nh định được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc m t đa th c là b t kh quyhay không ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

Trướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c khi áp d ng sáng ki n này, nhi u h c sinh thụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ế ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ọc sinh giỏi Quốc gia ường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng dùng m t sội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia

kĩ thu t đ ch ng minh các đa th c là b t kh quy hay kh quy Nhi u h cập đa thức cũng rất đa dạng và phong ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ọc sinh giỏi Quốc gia.sinh ch a bi t đư ế ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc các đ nh lý, nh ng tiêu chu n hay nh ng ví d có th ápịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

d ng cho m t l p các bài toán d ng này Chính vì v y, h c sinh ch a bi tụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ọc sinh giỏi Quốc gia ư ế.cách khai thác và sáng t o ra nh ng bài toán tạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng t , nh ng bài toán m i.ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

Chuyên đ này mu n khám phá các v n đ và các k t qu c a đaề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ế ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ủa một đa thức, tính chất

th c b t kh quy, đ a ra m t s tiêu chu n và ví d đi n hình đ áp d ngức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán

gi i đảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc m t l p bài toán tội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng t Có th coi nh ng bài toán v đa th cể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

b t kh quy nh là nh ng bài t p lý thuy t, đòi h i ngất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ế ỏi Quốc gia ường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họci h c ph i n mọc sinh giỏi Quốc gia ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ắt đầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

v ng t ng bững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ừng bước chứng minh như ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c ch ng minh nh vi c ch ng minh m t đ nh lý toán h c v y.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ư ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ọc sinh giỏi Quốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

Đây cũng là lý do mà các bài toán v đa th c b t kh quy luôn gây khó khănề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

v i h c sinh.ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

I M T S KI N TH C V ĐA TH C ỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC Ố KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC ẾN ỨC BẤT KHẢ QUY Ề ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ỨC BẤT KHẢ QUY

Cho hàm s ốc gia f :  Ta g i ọc sinh giỏi Quốc gia f là m t đa th c n u ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ế f là h ng s ho cằng số hoặc ốc gia ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

t n t i ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các n  và các s th c * ốc gia a a0, , ,1 a n v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên a 0 0 sao cho

+) a a0, , ,1 a n được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc g i là các h s c a đa th c; ọc sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ a 0 0 được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc g i là học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc

s cao nh t; ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ a n được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ọc sinh giỏi Quốc gia.c g i là h s t do.ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia

+) Đ c bi t khi ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc a 0 1 thì f được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc g i là đa th c chu n t c ho cọc sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ắt đầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

đa th c monic.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

2 B c c a đa th c: ậc của đa thức: ủa đa thức: ức chuẩn bị:

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   0 n 1 n 1 1



+) N u ế f x      thì đa th c 0, x ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f không có b c.ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

+) N u ế f là h ng s khác 0 thì b c c a ằng số hoặc ốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ủa một đa thức, tính chất f b ng 0; kí hi u ằng số hoặc ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc deg f  0

+) N u ế a 0 0 thì b c c a ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ủa một đa thức, tính chất f b ng ằng số hoặc n ; kí hi u ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc deg f  n

3.1 Đ nh nghĩa: ịnh nghĩa: Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f   x và s ốc gia   Ta g i ọc sinh giỏi Quốc gia  là nghi m c aện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất

đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f n u ế f     0

3.2 Đ nh lý Bezout: ịnh nghĩa:

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f   x S th c ốc gia  là nghi m c a đa th c ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f khi và chỉ

khi f x chia h t cho   ế x   

*) M t s h qu : ột số hệ quả: ố hệ quả: ệ quả: ả:

+) H qu 1: ệ quả: ả: Ph n d c a phép chia đa th c ầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x cho đa th c   ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ x   là

3.3 Nghi m b i: ệm bội: ội: Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f   x ,   và k  *

Ta g i ọc sinh giỏi Quốc gia  là nghi m b i c a đa th c ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f n u ế f x chia h t cho   ế x  k

nh ngư f x không chia h t cho   ế x k1, nghĩa là

f x  x a g x    và x g     0

4 Quan h gi a s nghi m và b c c a đa th c: ệm của đa thức: ữa số nghiệm và bậc của đa thức: ố nghiệm và bậc của đa thức: ệm của đa thức: ậc của đa thức: ủa đa thức: ức chuẩn bị:

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f  x , deg f n, x i là các nghi m b i ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ k i i, 1; m Khi đó

5.1 Đ nh lý Viet thu n: ịnh nghĩa: ận:

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f   x ,   0 n 1 n 1 1

II M T S KI N TH C V ĐA TH C B T KH QUY ỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC Ố KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC ẾN ỨC BẤT KHẢ QUY Ề ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ỨC BẤT KHẢ QUY ẤT KHẢ QUY Ả QUY

T p t t c các đa th c h s nguyên đập đa thức cũng rất đa dạng và phong ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc kí hi u là ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc  x

1.2 M t s k t qu c b n v đa th c v i h s nguyên ột số kết quả cơ bản về đa thức với hệ số nguyên ố nghiệm và bậc của đa thức: ến: ả: ơn vị áp dụng sáng kiến ả: ề đa thức với hệ số nguyên ức chuẩn bị: ới hệ số nguyên ệm của đa thức: ố nghiệm và bậc của đa thức:

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ    ,   n 1 n 1 1 0.

là m t nghi m h u t c a ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ỉ ủa một đa thức, tính chất P x thì p là c c a   ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ủa một đa thức, tính chất a0 và

q là c c a ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ủa một đa thức, tính chất a n.Đ c bi t, n u ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ế a  n 1 thì m i nghi m h u t đ u là nghi m nguyên.ọc sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ỉ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc1.2.4 N u ế x m  n là nghi m c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x v i   ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên m n  n không là s chính, , ốc gia

phương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng thì x' m n cũng là nghi m c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x 

1.2.5 N u ế x m  n v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên m n  n không là s chính ph ng thì, , ốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

P x M N n v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên M N , .

1.2.6 Đa th c nguyên nh n giá tr nguyên v i m i giá tr ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này x nguyên Đi uề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

ngược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc l i không đúng, t c là có nh ng đa th c nh n giá tr nguyên t i m i ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ọc sinh giỏi Quốc gia x

nguyên nh ng các h s c a đa th c đó không là các s nguyên.ư ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia

Ví d : ụ: Các đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ    

nh n giá tr nguyên v i m i giáập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia

tr ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này x nguyên nh ng các h s c a các đa th c đó không là các s nguyên.ư ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia

1.2.7 N u m t đa th c v i h s h u t nh n giá tr nguyên v i m i giá tr ế ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ỉ ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này x

nguyên thì đa th c đó là đa th c nguyên.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Nh n xét: ận xét: M t đa th c v i h s h u t ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ỉ P x b t kì đ u có th bi u di n d i  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ễn dưới ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

d ng ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các a Q x 

b v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên a b, ,Q x  x

Cho P x là đa th c v i h s nguyên Ta g i   ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ọc sinh giỏi Quốc gia P x là b t kh quy trên  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x

 n u ế P x không phân tích đ c thành tích hai đa th c thu c   ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ  x v iớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

b c l n h n hay b ng 1.ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ằng số hoặc

Ngược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc l i thì P x g i là kh quy trên   ọc sinh giỏi Quốc gia ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Tương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng t ta cũng có đ nh nghĩa đa th c b t kh quy trên ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x ,  x

2.2 M t s tính ch t ột số kết quả cơ bản về đa thức với hệ số nguyên ố nghiệm và bậc của đa thức: ất khả quy.

2.2.1 Tính ch t 1 ất khả quy. (Quan h b t kh quy trên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x và  x ):

N u đa th c ế ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x thì cũng b t kh quy trênất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x

Ch ng minh: ứng minh:

a) Trướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c h t ta có b đ : (b đ Gauss)ế ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

*) Ta g i đa th c ọc sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x là đa th cức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ nguyên b n n u các h s c a nóảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chấtnguyên t cùng nhau.ốc gia

*) B đ Gauss: ổ để Gauss: ể Gauss: Tích c a hai đa th c nguyên b n là m t đa th c nguyên b n.ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

Ch ng minh b đ Gauss: ứng minh: ổ đề Gauss: ề Gauss:

G i ọc sinh giỏi Quốc gia   n 1 n1 1 0

Gi s ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử P x Q x không là đa th c nguyên b n thì t n t i m t s nguyên t    ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia

p là c chung c a các h s ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ủa một đa thức, tính chất ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia c c0, , ,1 c m n (1)

Vì P x Q x là các đa th c nguyên b n nên g i  ,   ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ọc sinh giỏi Quốc gia i là ch s nh nh t màỉ ốc gia ỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

i

a không chia h t cho ế p và g i ọc sinh giỏi Quốc gia j là ch s nh nh t mà ỉ ốc gia ỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ b không chia h t cho j ế

p

Suy ra c i j a b0 i j a b1 i j 1 a b i1 j1a b i j a b i1 j1 a b i j 0 là h s c aện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất

i j

x 

và c i j không chia h t cho ế p (2).

T (1) và (2) ta có đi u mâu thu n nên đi u gi s là sai Suy ra ừng bước chứng minh như ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử P x Q x là   

đa th c nguyên b n.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

b) Ch ng minh tính ch t 1: ứng minh: ất 1:

Gi s ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x mà kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó P x  P x P x1  2 , v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên P x P x1 , 2   x

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và   1     2  

Do P x   x nên t t c các h s c a ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất Q x Q x đ u chia h t cho 1  2  ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ế q.

Do đó Q x Q x không nguyên b n Đi u này trái v i b đ Gauss.1  2  ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ổ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

V y đa th c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Cho s nguyên ốc gia a và đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x Khi đó đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácquy trên  x khi và ch khi ỉ P x a   b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Ch ng minh: ứng minh:

Gi s ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x và P x a   kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x v i b c l n h n ho c b ng 1 saoớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ằng số hoặccho P x a   f x g x   

Suy ra P x  f x a g x a      Đi u này mâu thu n v i tính b t kh quy c aề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ủa một đa thức, tính chất

 

P x trên  x

M i đa th c có h s th c và có b c l n h n 2 đ u kh quy trên ọc sinh giỏi Quốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Th t v y, d th y các đa th c b c nh t và b c hai vô nghi m trên ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ễn dưới ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc  thì b tất quan trọng trong chương trình toán học phổ

kh quy.ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

+) N u ế P x có nghi m th c   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc x a thì hi n nhiên ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x kh quy.  ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

+) N u ế P x không có nghi m th c, khi đó   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc P x có b c ch n và v i m i  ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ẵn và với mỗi ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ỗinghi m ph c ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ x  thì x cũng là m t nghi m c a ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x  

Do đó Q x   x  x  x2  2Re  x  2

là đa th c có h s th c và làức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia nhân t th c s c a ử ủa một đa thức, tính chất P x V y   ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   1  

ii) a n không chia h t cho ế p

iii) a0 không chia h t cho ế p 2

Khi đó đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Ch ng minh: ứng minh: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x , t c là ta có th vi t đức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ế ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc

 Gi s ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử b p0 , do a0không chia h t cho ế p nên 2 c0

không chia h t cho ế p.

M t khác các h s c a ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất g x không th cùng chia h t cho   ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ế p (vì a n

không chia h t cho ế p ) Khi đó g i ọc sinh giỏi Quốc gia k là ch s nh nh t sao cho ỉ ốc gia ỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ b k không chia

h t cho ế p

T (*) và do ừng bước chứng minh như a , b , , b k k1 0 chia h t cho ế p nên b c k 0 p  b p k  , mâu thu n.ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

2.2.5 (Tiêu chu nEisenstein m r ng) ẩn Eisenstein) ở rộng) ội: :

Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   1  

ii) a k không chia h t cho ế p

iii) a0 không chia h t cho ế p 2

Khi đó đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x có m t nhân t b t kh quy b c l n h n ho c b ng  ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ử ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ằng số hoặc

k (và do đó n u không b t kh quy thì sẽ có m t nhân t b c nh h n ho cế ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ử ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ỏi Quốc gia ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

b ng ằng số hoặc n k )

V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên n k ta được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc tiêu chu n Eisenstein trên.ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ở cấp THCS Các

I D ng 1 Ch ng minh m t đa th c b t kh quy trên ạng 1 Chứng minh một đa thức bất khả quy trên ức chuẩn bị: ột số kết quả cơ bản về đa thức với hệ số nguyên ức chuẩn bị: ất khả quy ả:  x

Phương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng pháp chung đ ch ng minh m t đa th c b t kh quy là phể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ngpháp

ph n ch ng, c th ta gi s phân tích đảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc đa th c đã cho thành tích hai đaức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

th c v i b c l n h n hay b ng 1 sau đó d n đ n m t đi u vô lý Dù ta có ngayức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ằng số hoặc ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ế ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

đ nh hịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng v phề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng pháp nh v y nh ng m i bài toán c th l i c n m tư ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ư ỗi ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ầu được giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổcáchx lí linh ho t đ d n đ n đi u mâu thu n M t trong nh ng kĩ thu t hayử ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ế ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ững bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

s d ng là đánh giá các nghi m c a đa th c đóho c s d ng tr c ti p m tử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ế ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổtiêu chu n nào đó Cũng do ch y u là phẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ủa một đa thức, tính chất ế ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng pháp ph n ch ng nên tác giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáckhông chia c th theo phụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng pháp ch ng minh mà ch đ a ra m t s bàiức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ỉ ư ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia.toán đi n hình minh h a, sau đó nh n m nh các t tể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ọc sinh giỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ư ưở cấp THCS Cácng chính và m r ng,ở cấp THCS Các ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổphát tri n bài toán.ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

Chúng ta có th s d ng m t s kĩ năng đ ch ng minh đa th c b t khể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácquy nh : kĩ năng s d ng các tính ch t v nghi m c a đa th c, s d ng tiêuư ử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toánchu n Eisenstein, s d ng s ph c.ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ử ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Đ minh h a cho đi u này, chúng ta xét m t s bài t p sau:ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ọc sinh giỏi Quốc gia ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ập đa thức cũng rất đa dạng và phong

Bài 1 Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x b c 2017 và nh n giá tr b ng 1 ho c -1 t iập đa thức cũng rất đa dạng và phong ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ằng số hoặc ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

2017 giá tr nguyên khác nhau Ch ng minh r ng đa th c ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáctrên  x

Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó 1 deg f x  degg x  2017. Do đó deg f x  1008.

G i ọc sinh giỏi Quốc gia a , i i  1 2017, 

là 2017 s nguyên phân bi t sao cho ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc P a i 1.

G i ọc sinh giỏi Quốc gia p là s các ốc gia a i sao cho f a  , q là s các  i 1 ốc gia a i sao cho f a  Không i 1

m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử p q

Khi đó p q 2017 p2019. Do đó đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x có nhi u h n 2019  ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.nghi m.ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc

Mà deg f x   1008 nên suy ra f x   1 0  , x  f x    1, x  Đi u nàyề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia.mâu thu n Do đó đa th c ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 1.1 Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x b c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong n và nh n giá tr b ng 1 ho c -1 t iập đa thức cũng rất đa dạng và phong ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ằng số hoặc ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

nhi u h n ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên 2 2

n

 

 

  giá tr nguyên khác nhau Ch ng minh r ng đa th c ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 1.2 Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x b c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong n8. Gi s t n t i ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các k s nguyên khácốc gia.

nhau 1 2 k 2

n

a , a , , a , k 

sao cho P a i  Ch ng minh r ng đa th c 1. ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 2.Cho p là s nguyên t và ốc gia ốc gia P x   x có b c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong n th a mãn ỏi Quốc gia P x  ho c  1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

 

P x  t i ít nh t p ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ất quan trọng trong chương trình toán học phổ 2n  giá tr nguyên khác nhau Ch ng minh r ng đa th c1 ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

 

P x b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó 1 deg f x  degg x  n.

Xét đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ Q x   f2 x  1  g x2   1

N u ế P x  thì   1 f x  g x   Suy ra 1 Q x    0

N u ế P x   thì p f x  ho c   1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g x  Suy ra   1 Q x    0

Do đó Q x  t i ít nh t   0 ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ất quan trọng trong chương trình toán học phổ 2n  giá tr nguyên khác nhau Đi u này không th1 ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong

x y ra vì ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các degQ x  2deg f x  2degg x  2 n

V y đa th c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 3 Cho n là s nguyên dốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng l n h n 1 và ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên a a1, 2, ,a n là các s nguyênốc gia.phân bi t Ch ng minh r ng đa th c ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x a 1 x a 2  x a n  b t1 ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

Đi u này vô lý vì v trái là đa th c có h s cao nh t b ng 1 và v ph i là đaề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ế ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ế ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

th c có h s cao nh t b ng -1.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc

V y đa th c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

M t s bài t p t ội: ố bài tập tương tự: ận: ương tự: ng t : ự:

Bài 3.1 Cho n s nguyên phân bi t ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc a a1, 2, ,a n Ch ng minh r ng n u đa th cức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ế ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

P x  x a x a x a  b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x thì

P x x x  ho c ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và P x  x x  1 x 2 x 31

Cho n s nguyên phân bi t ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc a a1, 2, ,a n đôi m t nguyên t cùng nhau Khiội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia

đó đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x   x a 1 x a 2  x a n b t kh quy trên 1 ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x tr cácừng bước chứng minh như

trường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng h p sau:ợc giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

Thay vào gi thi t ta có:ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế.

Mà P2018 2018! c V y 1 ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x  x x  1 x 2  x 2017 ,    x

Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ h x , g x     x sao cho P x  g x h x   ; trong

đó degg x  1; degh x  1.

Vì f x vô nghi m nên   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc g x h x cũng vô nghi m. ,   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc

Không m t tính t ng quát, giá s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ử g x  0,h x   v i m i 0 ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia x  và

 ,  

g x h x có h s cao nh t b ng 1.ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc

V i m i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia i 0, 2017 ta có f i  g i h i   .  1 g i  h i    1, i 0, 2017.

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và degg x  m, deg h x  n m n,   thì ta có m n 2.2018

          Đi u này mâu thu n v iề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

gi i thi t vì ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế P2018 2018!

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x  P x2  1 b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

*) Nh n xét: ận: Bài t p trên là m t trập đa thức cũng rất đa dạng và phong ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi họcng h p đ c bi t c a bài toán t ng quátợc giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ổsau:

Bài 4.1 Cho n s nguyên phân bi t ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc a a1, 2, ,a n Ch ng minh r ng đa th cức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

f x  x a x a x a  b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i ảo: : Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ h x , g x     x sao cho P x  g x h x   ; trong

 (mâu thu n)ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra

V y đa th c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x   x a 1 2 x a 22 x a n2  b t kh quy trên 1 ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 4.2 Cho ,n k là các s nguyên d ng và ốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên n s nguyên phân bi t ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc a a1, 2, ,a n

Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x   x a 1 2 x a 22 x a n2 b t kh quy trên1 ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x



Bài 5.Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   n 1 n 1 1 0

*) Trướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c h t ta xét b đ sau:ế ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

B đ : ổng quát: ề đa thức với hệ số nguyên Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   1

     là đa th c v i h sức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia

nguyên, a  n 0. Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

*) Tr l i bài toán: ở rộng) ại bài toán:

Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Vì P m  f m g m   . là m t s nguyên t nên ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia f m  ho c   1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g m    1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f m    1

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  c x  1 x 2  x k v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên c là h s cao nh t c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x , 0  c 

và  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Suy ra  1, , ,2  cũng là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất P x 

Theo b đ ta có ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia i  1 H, i 1,k

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 6.Cho p là m t s nguyên t bi u di n trong c s ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ễn dưới ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ở cấp THCS Các b  có d ng 2 ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

*) Trướp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.c h t ta xét b đ sau:ế ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

.2

M

   

+) N u ế   và 1 Re   thì:0

   

B đ đổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ược giảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cácc ch ng minh.ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

*) Tr l i bài toán: ở rộng) ại bài toán:

Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Vì P b  f b g b   .  là m t s nguyên t nên p ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia f b  ho c   1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g b    1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f b    1

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  c x  1 x 2  x k v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên c là h s cao nh t c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x , 0  c 

và  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Suy ra  1, , ,2  cũng là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất P x 

Theo b đ ta có ổ ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Re   (khi đó i 0 b i  ) ho c b ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

12

b

b

(do b  ).3

Suy ra b i 1, i 1,k Do đó f b  c b 1 b 2 b k  Đi u này1 ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia.mâu thu n v i ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên f b    1

V y đa th c ập đa thức cũng rất đa dạng và phong ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   n 1 n 1 1 0



     b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

mãn p a 1. Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x n ax p b t kh quy trênất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x



Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Suy ra p P  0 f    0 0g là s nguyên t nên ốc gia ốc gia f  0  ho c 1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g 0  1Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f  0  1

Vì P x có h s cao nh t b ng 1 nên đ t   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  x 1 x 2  x k

v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Ta có 1 f  0  1 2 k , suy ra t n t i ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các i1, 2, ,k sao cho  i 1.

Đi u này mâu thu n v i gi thi t V y ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i: ảo:

*) G i ọc sinh giỏi Quốc gia  là m t nghi m ph c c a đa th c ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x Gi s   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử   Khi đó ta có1.

1 1

Đi u này mâu thu n v i gi thi t Do đó ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ế  1.

*) Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Do a0 P 0  f  0 g 0 là s nguyên t nên ốc gia ốc gia f  0  ho c 1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g 0  1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f  0  1

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  c x  1 x 2  x k v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên c là h s cao nh t c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x , 0  c 

và  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Mà  1, , ,2  cũng là các nghi m c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x   i   1, i 1, k (2)

T (1) và (2) suy ra đi u mâu thu n V y ừng bước chứng minh như ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

 

 

 

b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

+) Đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x khi và ch khi ỉ f x kh quy trên  ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x

T đó chúng ta xét m t bài toán từng bước chứng minh như ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng t bài 7.1 nh sau:ư

Bài 7.2.Cho đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ   m n 1 n 1 1 0

p  a  a   a  thì đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

kh quy trên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ Q x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho Q x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Vì a n1 không chia h t cho ế p nên suy ra không th có đ ng th i ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ờng xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học f  0  vàp

 0

Mà f    0 0g p m nên suy ta nên f  0  ho c 1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g 0  1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f  0  1

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  c x  1 x 2  x k v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên c là h s cao nh t c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x , 0  c 

và  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x thì    1, , ,2  cũng là cácknghi m ph c c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất Q x 

Theo bài 7.1 thì m i nghi m ph c ọc sinh giỏi Quốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ  c a ủa một đa thức, tính chất Q x đ u th a mãn   ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia   Do đó suy1

ra i 1, i 1, k

Khi đó 1 f  0  1 2 k  (đi u này mâu thu n).1 ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 8 (IMO 1993) Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x n 5x n1 3

   b t kh quyất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáctrên  x , v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên n là s nguyên dốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng l n h n 1.ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

Gi i: ảo:

Cách 1:Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

Khi đó a b 0 0 3 nên có th gi s ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử a 0 3 và b0 không chia h t cho 3.ế

G i ọc sinh giỏi Quốc gia k là s nguyên dốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng nh nh t mà ỏi Quốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ a k không chí h t cho 3.ế

Do k n  1 nên h s c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất x trong k P x ch có th là 0 ho c 5.  ỉ ể giải các bài tập đa thức cũng rất đa dạng và phong ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và

*) N u h s c a ế ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất x trong k P x b ng 0 thì   ằng số hoặc k n  1 và

0 k 1 k 1 k 1 1 k 0 0

a b a b   a b a b 

Vì a i 3, i 0, k  1 nên a b k 03 a k3 (mâu thu n).ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra

*) N u h s c a ế ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất x trong k P x b ng 5 thì   ằng số hoặc k n  1

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Cách 2:Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

M t khác ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và P5 f 5 g 5  là s nguyên t nên suy ta nên 3 ốc gia ốc gia f  5 1

ho c ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f  5  3

Mà  5  1 5  2 5   5 3k

k

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x   x a a,  

Khi đó x a là nghi m nguyên c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x Suy ra | 3  a (1)

Mà P 1 0, P  (2)3 0.

T (1) và (2) ta có ừng bước chứng minh như P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 9.Cho s t nhiên ốc gia n  và s nguyên t 4 ốc gia ốc gia p  Ch ng minh r ng đa th c5. ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

P x x x x  x p b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Suy ra p P  0 f    0 0g là s nguyên t nên ốc gia ốc gia f  0  ho c 1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g 0  1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f  0  1

Vì P x có h s cao nh t b ng 1 nên đ t   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  x 1 x 2  x k

v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Suy ra  1 2  k f  0 1 t n t i ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các i1,2, ,k sao cho  i 1.

Đi u này mâu thu n v i ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên P   V y  i 0 ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

1

p a  Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x x a m  n  p b t kh quy trênất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x



Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x  1; degg x 1.

Suy ra p P  0 f    0 0g là s nguyên t nên ốc gia ốc gia f  0  ho c 1 ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và g 0  1

Không m t tính t ng quát, gi s ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử f  0  1

Vì P x có h s cao nh t b ng 1 nên đ t   ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và f x  x 1 x 2  x k

v i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x  

Suy ra  1 2 k  f  0 1 t n t i ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các i1,2, ,k sao cho  i 1.

Ta có  1, , ,2  cũng là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất P x nên suy ra  

  n k

Mà f a p nên  | f a   và k n p 

M t khác ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và a f a|   f  0   Đi u này mâu thu n vì p 1 ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ẫn nên điều giả sử là sai Suy ra p a  1.

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khai thác ti p bài toán ta đ ến: ược một số bài toán mở rộng sau: c m t s bài toán m r ng sau: ột số kết quả cơ bản về đa thức với hệ số nguyên ố nghiệm và bậc của đa thức: ở rộng sau: ột số kết quả cơ bản về đa thức với hệ số nguyên.

Bài 10.1 Cho p là m t s nguyên t l và đa th c ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia ẻ và đa thức ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x p  x p

1 Ch ng minh r ng t t c các nghi m c a ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất P x đ u có môđun nh h n  ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ỏi Quốc gia ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

1

p p

2 Ch ng minh r ng ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 10.2.Cho p là m t s nguyên t l và ội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia ẻ và đa thức a là s nguyên d ng không chiaốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên

h t cho ế p Ch ng minh r ng đa th c . ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x p  x a b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

nguyên th a mãn ỏi Quốc gia m1 mod p Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x p  mx n

b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Gi i: ảo: Gi s đa th c ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x kh quy trên   ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Khi đó t n t i các đa th c ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ f x , g x     x sao cho P x  f x g x   ; trong

đó deg f x 1; degg x  1, f x , g x    có h s cao nh t b ng 1.ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc

Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và deg f x  k, 1   và g i k p 1 ọc sinh giỏi Quốc gia  1, , ,2  là các nghi m ph c c a k ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất f x 

Vì f x có h s cao nh t b ng 1 nên theo đ nh lý Viet, các đa th c đ i x ng  ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

c b n c a ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ủa một đa thức, tính chất  1, , ,2  đ u là các s nguyên.k ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ốc gia

T đó suy ra ừng bước chứng minh như kn0 mod p Đi u này vô lý.ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia.

V y ập đa thức cũng rất đa dạng và phong P x b t kh quy trên   ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Bài 12.Cho p là s nguyên t l n h n 2 Ch ng minh r ng đa th cốc gia ốc gia ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ơng trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Ta th y ất quan trọng trong chương trình toán học phổ C k p p, k 1, p 2 nên các h s c a ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ủa một đa thức, tính chất P x  th a mãn các đi u 1 ỏi Quốc gia ề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia

ki n c a tiêu chu n Eisenstein Suy ra đa th c ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ủa một đa thức, tính chất ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  b t kh quy trên  1 ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

Theo tính ch t c a đa th c b t kh quy suy ra đa th c ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ủa một đa thức, tính chất ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x b t kh quy trên  ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các

 x



Bài toán t ươn vị áp dụng sáng kiến ng t : ực áp dụng sáng kiến:

Bài 12.1 Cho n là s nguyên dốc gia ương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.ng Ch ng minh r ng đa th c ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  x2n 1

b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

H ướng dẫn: ng d n: ẫn: Áp d ng tiêu chu n Eisenstein cho đa th c ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  v i s nguyên 1 ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ốc gia

+) V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên p  thì 2 P x  x2  2x3 b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

+) V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên p  , áp d ng tiêu chu n Eisenstein cho đa th c 3 ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  v i s 1 ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ốc gia.nguyên t ốc gia .p

Bài 12.3 Cho p là m t s nguyên t Ch ng minh r ng đa th cội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ốc gia ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ằng số hoặc ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

     b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

H ướng dẫn: ng d n: ẫn:

+) V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên p  thì 2 P x  x2 2x7 b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

+) V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên p  thì 3 P x  x33x2 3x10 không có nghi m nguyên nênện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc

 

P x b t kh quy trên ất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các  x

+) V i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên p  , áp d ng tiêu chu n Eisenstein cho đa th c 5 ụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ẩn và ví dụ điển hình để áp dụng giải được một lớp bài toán ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x  1 v i sớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ốc gia.nguyên t ốc gia .p

Bài 13.Cho P x P x1 , 2 , , P x là các đa th c v i h s nguyên Ch ng minh n  ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ

r ng t n t i đa th c ằng số hoặc ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ức là nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học phổ P x v i h s nguyên sao cho   ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ốc gia P x  P x i  b t kh quyất quan trọng trong chương trình toán học phổ ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Cáctrên  x v i m i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia i1,2, , n

Gi i: ảo: Đ t ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và mmax deg P x1 , degP x2 , ,degP x n  

Gi s ảng dạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ử   1 1 1 0, , 1,

v i m i ớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên ọc sinh giỏi Quốc gia i1,2, , n

G i ọc sinh giỏi Quốc gia p p1, 2, , p n là các s nguyên t phân bi t b t kì.ốc gia ốc gia ện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc ất quan trọng trong chương trình toán học phổ

Theo đ nh lý th ng d Trung Hoa, t n t i các s nguyên ịnh được một đa thức là bất khả quyhay không Chuyên đề này ặc những bài toán về đa thức nguyên, tính khả quy và ư ồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia ạy trong chương trình đại số ở cấp THCS Các ốc gia a a m, m1, , ,a a1 0 saocho