Lời giải tiếng việt imo 1967 1968

Tài liệu được thầy Lê Văn Tho soạn bằng word, nội dung là lời giải trọn vẹn các đề bài trong bài thi toán quốc tế những năm 1967 và 1968. Tài liệu viết bằng tiếng việt có dẫn nguồn địa chỉ lời giải cụ thể. Tài liệu hơn 10 trang với giá chỉ có 2000

IMO 1967 Nam Tư

Câu 1 Cho hình bình hành ABCD có và ba góc của ABD là nhọn Chứng minh rằng bốn

đường tròn có tâm lần lượt là A, B, C, D và bán kính cùng bằng 1, sẽ bao phủ hết hình

bình hành nếu và chỉ nếu

Giải: Rõ ràng, các đường tròn đơn vị tâm tại đỉnh phủ khắp hình bình hành nếu và chỉ

nếu các đường tròn đơn vị tâm tại A, B, D phủ khắp tam giác ABD Để làm được đều đó,

trước tiên nhất ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Cho tam giác nhọn ABD và r là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác này Khi

đó, ba đường tròn bán kính s tâm tại A, B, D phủ tam giác ABD nếu và chỉ nếu

Chứng minh: Vì tam giác ABD nhọn

nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp

nằm bên trong tam giác Các khoảng

cách OA, OB, OC bằng nhau và cùng

bằng r, nếu , O sẽ không nằm trong bất

kì đường tròn nào bán kính s tâm là A,

B hoặc D Do đó, chúng ta chỉ cần

chứng minh các đường tròn bán kính r

tâm A, B, D phủ khắp tam giác ABD.

(Các đường tròn bán kính lớn hơn r

chắc chắn cũng như vậy, vì hợp các

đường tròn này chứa hợp các đường

tròn bán kính r)

Ba đường tròn bán kính r giao nhau

tại O, ta sẽ chứng minh kết quả tổng

quát nếu P là một điểm bất kì trong

tam giác ABD và ba đường tròn tâm A,

B, D cùng đi qua P thì chúng sẽ phủ

tam giác ABD

Gọi L, M, N lần lượt là chân các đường cao hạ

từ P tương ứng đến BD, DA, AB Vì và tứ giác ANPM chứa trong hình tròn tâm A và đi qua P Tương tự, tứ giác BNPL chứa trong hình tròn tâm B đi qua P và tứ giác DMPL chứa trong hình tròn tâm D đi qua P Những điều trên dẫn

đến tam giác ABD, hợp của ba tứ giác, chứa trong hợp của ba đường tròn và bổ đề được chứng minh

Bổ đề dẫn đến một hệ quả dễ thấy là các

đường tròn đơn vị đỉnh A, B, D phủ tam giác ABD khi và chỉ khi Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra

điều kiện trên là tương đương với

Đặt , theo định lí hàm số cosin

Mặt khác

Thay vào (1)

Do đó nếu và chỉ nếu

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra thì chứng minh sẽ

hoàn thành Thật vây,

dựng đường cao DQ của tam giác ADB Vì tam giác này nhọn nên chân đường cao Q nằm trên đoạn AB Do đó, mà ta lại thấy rằng nên chứng minh kết thúc.

Câu 2 Chứng minh rằng tứ diện có đúng một cạnh dài hơn 1 đơn vị độ dài thì thể tích

nhỏ hơn hoặc bằng 1/8 đơn vị diện tích

Chứng minh Gọi tứ diện là ABCD

có , M là trung điểm BD, MN vuông góc với BD, CN song song với BD, K

là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD, H là chân đường cao hạ từ A của

tứ diện Giả sử D, C nằm cùng nửa mặt phẳng bờ MN thì ta có (ngược lại thì

ta có và chứng minh hoàn toàn tương tự) hay

Chứng minh tương tự trong tam giác ADB ta cũng có

Như vậy, từ ta có

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm và ta có

Đến đây thì ta hoàn thành điều đã chứng minh, nhưng ta sẽ kiểm tra thử dấu bằng có xảy

ra không và xảy ra khi nào Theo chuỗi đánh giá thì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C trùng với N (điều này suy ra tam giác BCD cân tại C), (nên ), tam giác ABD cân tại A có ,

(), và cuối cùng là Vậy diện tích bằng khi tứ diện có hai mặt chung cạnh là các tam giác đều cạnh 1 và hai tam giác này nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Câu 3 Cho các số nguyên dương m, n, k sao cho là số nguyên tố lớn hơn Đặt Chứng

minh tích chia hết cho tích

Giải: Theo cách đặt ta có

Do đó, các nhân tử của tích đầu tiên là

và tích của chúng ta là

viết lại thành , trong đó A là tích của n số nguyên liên tiếp bắt đầu từ , và B là tích n số

nguyên liên tiếp bắt đầu từ Bây giờ, các nhân tử của tích là nên tích sẽ bằng Như vậy,

hoàn thành bài toán bằng cách chứng minh A chia hết cho và B chia hết cho

Ta chứng minh tích n của số nguyên liên tiếp chia hết cho thì A chia hết cho và chia Nhưng là số nguyên tố lớn hơn nên nguyên tố cùng nhau với nên B chia hết cho

Ta hoàn thành lý luận bằng chứng minh bổ đề:

Bổ đề:Tích của n số nguyên liên tiếp bất kì chia hết cho

Chứng minh: Chúng ta xét ba trường hợp: n số nguyên liên tiếp tất cả đều dương tất cả đều âm có số không Trường hợp thứ ba là đơn giản vì tích của chúng bằng không chia hết cho Trường hợp , gọi n số nguyên là chúng ta chứng minh

là một số nguyên Nhưng nó là nguyên vì nó là một hệ số của khai triển nhị thức , cụ thể

tổ hợp chập n của Trường hợp có thể được suy ra từ trường hợp bằng cách đặt lại các

số nguyên âm trong tích bằng giá trị tuyệt đối của chúng mà không ảnh hưởng đến tính chia hết của tích

Câu 4 Cho hai tam giác nhọn (có tất cả các góc đều nhọn) và Dựng tam giác đồng

dạng với tam giác có diện tích lớn nhất và ngoại tiếp tam giác (AB chứa , BC chứa , CA

chứa )

Giải: Đầu tiên ta dựng một tam giác ABC đồng dạng với tam giác và ngoại tiếp tam giác

Qua lần lượt kẻ các đường thẳng tương ứng song song với Ba đường thẳng này cắt

nhau lần lượt tại A, B, C như hình vẽ và tạo ra tam giác ABC Tam giác này đồng dạng với

tam giác và nội tiếp tam giác

Tiếp tục, ta quay các đường thẳng song song tương ứng quanh các điểm với cùng một

góc Khi đó, các đường song song cũng cắt nhau và tạo thành các tam giác ABC

thỏa tính chất ngoại tiếp tam giác

và đồng dạng với tam giác Ta sẽ

tìm trong các tam giác này tam giác

có ba cạnh dài nhất thì đó chính là

tam giác có diện tích lớ nhất cần

tìm

Nhận thấy, góc A luôn nhìn cạnh

dưới một góc cố định nên A nằm

trên cung tròn dựng bởi dây Ta

gọi tâm của đường tròn chứa cung

tròn này là Hoàn toàn tương tự B,

C lần lượt nằm trên các cung tròn

tương ứng dựng trên dây Ta cũng

gọi tâm các đường tròn lần lượt

chứa hai cung trên tương ứng là

Tiếp tục, ta chứng minh ba đường tròn cùng đi qua một điểm

D Thật vây, lấy P, Q,

R lần lượt trên các cung lớn và nối chúng với như hình vẽ Nhận xét tổng các góc

, và là Gọi D là

giao điểm thứ hai của

và Theo tính chất tứ giác nội tiếp ta có và

nên thay vào thì được

Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn hay D nằm trên đường tròn và, do đó, nó nằm trên cả

ba đường tròn

Cuối cùng, dựa

vào điều vừa

chứng minh ta sẽ

chỉ ra tam giác

có diện tích lớn

nhất phải có các

cạnh song song

với tam giác Hạ

các đường vuông

góc và như

hình vẽ thì

Như vậy, BC lớn

nhất khi BC

song song với

Gọi ví trí này là

và , kéo dài với

cắt

đường tròn tại Ta chứng minh song song với thì nó sẽ là dây dài nhất qua Thật vậy, vì , là các đoạn nối tâm nên lần lượt vuông góc với các dây cung , và do đó lần lượt chia đều hai cung này Suy ra, góc nội tiếp bằng góc ở tâm vì cùng có số đo bằng nửa số đo cung Lại có, song song với nên song song với Tương tự, cùng song song với nên qua và cũng song song với Như vây, tam giác ngoại tiếp tam giác , đồng dạng tam giác

và có diện tích lớn nhất (vì các cạnh dài nhất) thỏa yêu cầu bài toán

Cách dựng: Dựng tam giác ABC, dựng ba đường tròn , dựng tam giác

Câu 5 Xét dãy số

trong đó là các số thực không đồng thời bằng không Biết rằng có vô số số hạng của dãy

bằng không, xác định tất cả các giá trị của n để

Giải: Ta đặt lại các hệ số của sao cho , vì các chúng không đồng thời bằng không nên

Khi đó, ta lại đặt

thì tính bằng không hay không của và là như nhau Nhận xét rằng nếu n là số chẵn thì nên không thể bằng không Do đó, ta xét trường hợp n là số lẻ Khi đó, gọi k, l lần lượt là

số hạng tử tương ứng bằng và thì

với phần

sẽ dần tới không khi n tiến tới vô cực Vì phải có vô số bằng không nên hay số hạng tử

có giá trị tuyệt đối lớn nhất mang giá trị dương và âm là bằng nhau Khi n lẻ, các hạng tử

này triệt tiêu nhau nên ta xem như không có chúng và tiếp tục xét đến các hạng tử có giá trị tuyệt đối lớn thứ hai Tương tự như trường hợp hạng tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất, trường hợp này các hạng tử cũng đôi một đối dấu nhau Tiếp tục quá trình cho đến khi hết

8 hạng tử hoặc các hạng tử còn lại chỉ có giá trị không thì dừng Lúc này, ta thấy rằng với

bất kì n lẻ thì đều bằng không.

Câu 6 Một cuộc thi diễn ra trong n ngày và có m bộ huy chương được trao Ngày thứ

nhất có 1 huy chương và 1/7 số huy chương còn lại được trao Ngày thứ 2 có 2 huy

chương và 1/7 số huy chương còn lại được trao Cứ tiếp tục như thế đến ngày thứ n thì còn đúng n huy chương được trao Hỏi cuộc thi trải qua bao nhiêu ngày và có tất cả mấy

huy chương được trao

Giải: Gọi số huy chương còn lại khi bắt đầu ngày thi thứ k là thì số huy chương trao

trong ngày thứ k là

và số huy chương còn lại là

Vì vậy, số huy chương còn lại khi bắt đầu ngày thi thứ là

Thay và thì

Nhân lần lượt các phương trình với rồi cộng lại thì được

Bây giờ, bài toán đặt ra là ta phải tìm số sao cho vế phải là một số nguyên Nhân với ta được

Trừ vế theo vế cho thì

là số nguyên khi và chỉ khi chia hết cho hay chia hết cho Nhưng thì do đó chỉ có khả năng tức là Thay vào ta tính được Vậy cuộc thi diễn ra trong 5 ngày và có 36 huy chương được trao

IMO 1968 XÔ VIẾT

Câu 1 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam giác có chiều dài các cạnh là ba số tự

nhiên liên tiếp và có một góc gấp đôi góc kia

Giải: Gọi chiều dài các cạnh là và các góc đối diện

là Với thì không thỏa mãn bất đẳng thức tam

giác Như vậy, và Theo định lí hàm số cosin

Chú ý các phân số này là tỉ số của các số nguyên và

khi b tăng thì chúng giảm (vì tăng nhanh gấp hai lần tử) dẫn đến cũng tăng Với ta có

suy ra Mà nên và như thế không thể có góc nào trong ba góc gấp đôi một trong hai góc còn lại Do đó, ta chỉ cần kiểm tra các trường hợp

Bây giờ, nếu hoặc hoặc thì tương ứng hoặc hoặc do đó hoặc hoặc

Vì là các số hữu tỉ nên và phải là bình phương của các số hữu tỉ Nhưng với thì theo ta tính được bằng và bằng Chỉ có một trường hợp thỏa mãn là khi và Như vậy có duy nhất một tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài có chiều dài các canh với

Câu 2 Tìm tất cả các số nguyên sao cho với là tích các chữ số của

Giải: Giả sử có n chữ số

Khi đó

Nhưng

nên

Suy ra và như vậy hoặc x có một chữ số hoặc

Nếu x có một chữ số thì và

nhưng phương trình này không có nghiệm nguyên

Nếu x có hai chữ số, dễ dàng kiểm tra được cả ba khả năng và được kết quả thì thỏa

mãn đầu đề

Câu 3 Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng hệ các phương trình

không có nghiệm nếu ;

có một nghiệm duy nhất nếu

có nhiều hơn một nghiệm nếu

Giải: Cộng các phương trình vế theo vế thì được

Xét hàm số có

Nếu thì , hay vô nghiệm và dẫn đến hệ các phương trình ban đầu vô nghiệm

Nếu thì

Và

Do đó, nếu thì hệ có nghiệm duy nhất là

Nếu thì có để do đó là hai nghiệm khác nhau của hệ các phương trình đã cho

Câu 4 Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì luôn có đỉnh mà các cạnh xuất phát từ

nó có độ dài là độ dài ba cạnh của một tam giác

Giải: Chúng ta nhắc lại một tam giác sẽ dựng được nếu có ba cạnh với độ dài thỏa mãn

tổng hai cạnh bất kì lớn hơn hoặc bằng cạnh thứ ba Ngược lại, ba đoạn thẳng không là cạnh của một tam giác nếu cạnh dài nhất lớn hơn hoặc bằng tổng hai cạnh còn lại

Gọi tứ diện là ABCD và AB là cạnh dài nhất Các cạnh xuất phát từ A là AB, AC, AD nếu

ba cạnh này không là ba cạnh của một tam giác thì Các cạnh xuất phát từ B là BA, BC,

BD tương tự nếu ba cạnh này không là ba cạnh của một tam giác thì Cộng vế theo vế Mặt khác, từ các tam giác ABC và ABD ta có , cộng vế theo vế Điều này tạo nên một

mâu thuẫn và dẫn đến điều phải chứng minh

Câu 5 Cho và hàm số xác định trên thỏa

Chứng minh tuần hoàn, tức là tồn tại để

Cho một ví dụ của f khác hàm hằng trong trường hợp

Giải: Nhận thấy Đặt thì Khi đó

Điều này chứng tỏ là hàm tuần hoán

Để tìm tất cả nghiệm, ta đặt

Với thì Ta chọn

Câu 6 Đặt là phần nguyên của x, số nguyên lớn nhất không vượt qua x Cho n là một số

nguyên dương, rút gọn

Giải: Theo định nghĩa

mà và nên Bây giờ, ta xét trong đoạn Nếu thì và

Nếu thì và

Như vậy,

(trường hợp là đơn giản để kiểm tra) Do tính chất nên công thức cũng đúng trên cả

Trở lại bài toán, chúng ta sẽ chỉ ra với số thực n bất kì tổng đã cho là hữu hạn và có giá trị Khẳng định đầu tiên là dễ nhìn thấy vì khi k đủ lớn để thì

Bây giờ, ta sử dụng hành chứng minh tổng là Thật vậy, theo công thức ta có

Số k ở dòng cuối được chọn sao cho nên

Cộng các phương trình vế theo vế

vì n nguyên.