Tài liệu lời giải tiếng Việt trọn vẹn đề thi học sinh giỏi Toán quốc tế lần thứ 57 IMO 2016 tại Hong Kong, Trung Quốc. Tài liệu gồm 11 trang word, tùy ý chỉnh sửa. Đề IMO 2016 gồm 6 câu chia làm hai ngày thi. Câu 1 là về hình học sơ cấp, câu hai là về hình học tổ hợp, câu 3 vừa liên quan đến hình vừa liên quan đến số học, câu 4 về số học liên quan đến số nguyên tố và khái niệm tập hương, câu 5 là về đại số phương trình và câu 6 là một đề toán lạ liên quan đến hình học tổ hợp. Xin cảm ơn.
Trang 1TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐINH TIÊN HOÀNG
TỔ TOÁN – LÝ TIN
IMO 2016 HONG KONG
(IMO lần thứ 57)
Tổ : Toán – Lí – Tin
Giáo viên : Lê Văn Tho
Sơn Tây, tháng 06 năm 2017
IMO 57 Hong Kong 2016
Trang 2Ngày đầu, thứ 2 ngày 11 tháng 7 năm 2016 (Thời gian làm bài 4 giờ 30 phút)
Bài 1 Cho tam giác vuông tại Gọi là điểm nằm trên đường thẳng sao cho và nằm giữa
và Lấy điểm sao cho và là phân giác của Lấy điểm sao cho và là phân giác của Gọi là trung điểm của Gọi là điểm sao cho là hình bình hành Chứng minh rằng đường thẳng và đồng qui
Giải.
Dễ thấy Suy ra nên thẳng hàng và
Do đó mà nên nằm trên đường tròn
tâm bán kính Suy ra Nhận thấy nên
suy ra Hơn nữa nên Như vậy Do
đó
Xét đường tròn tâm bán kính (ta gọi là đường tròn ) thì có
Trong tứ giác có nên tứ giác này
nội tiếp Từ đó suy ra Từ và dẫn
đến thẳng hàng Lại có trong tam
giác thì nên Do đó hay 5 điểm
cùng nằm trên một đường tròn, ta
gọi đường tròn Dễ nhận thấy là
trục đẳng phương của hai đường
tròn và
Bây giờ, trong có
mà nên bù với góc Như vậy tứ giác nội tiếp trong đườn tròn, gọi là Gọi giao điểm của hai dây cung và của đường tròn này là thì hay Từ và suy ra hay ba đường đồng qui đồng qui tại như yêu cầu đề bài
Trang 3Bài 2 Hãy tìm tất cả các số nguyên dương để có thể điền vào mỗi ô vuông con của bảng
ô vuông một chữ cái hoặc sao cho:
+ Ở mỗi hàng và ở mỗi cột, có đúng một phần số ô được điền chữ , đúng một phần ba số ô được điền chữ và đúng một phần ba số ô được điền chữ ; đồng thời
+ Ở mỗi đường chéo mà số ô vuông con nằm trên đường chéo đó là một bội của 3, có đúng một phần số ô được điền chữ , đúng một phần ba số ô được điền chữ và đúng một phần ba số ô được điền chữ
Chú ý: Giả sử tất cả các hàng, cũng như tất cả các cột, của bảng ô vuông được đánh số
thứ tự lần lượt bởi các số nguyên từ đến Khi đó, mỗi ô vuông con của bảng tương ứng với một cặp số nguyên dương , trong đó Với , bảng có đường chéo, được chia làm hai loại Mỗi đường chéo loại 1 là một đường gồm tất cả các ô mà là hằng số; mỗi đường chéo loại 2 là một đường gồm tất cả các ô mà là hằng số
Giải Vì mỗi hàng ngang, cộ dọc, đường chéo đều chia đều các ô cho 3 chữ nên phải
chia hết cho 3 hay nguyên dương Do đó có thể chia hình vuông ban đầu thành hình vuông Nhận thấy rằng các chữ cũng phải chia đều ở các tâm của những hình vuông Suy ra chia hết cho 3 và cũng vậy Lúc này nguyên dương nào đó
+ Với ta có bảng
M I M I O O M O I
I I I O M M O O M
O I O I M O M M I
I O O M I I M O M
O M M O O M I I I
I M O M I I O M O
M O I M O M I I O
O O M I I I O M M
M M I O M O I I M + Với ta lấy bảng trên ghép lại thành bảng
Bài 3 Cho là một đa giác lồi trong mặt phẳng tọa độ Tất cả các điểm đều có tọa độ
nguyên và cùng nằm trên một đường tròn Kí hiệu là diện tích của Cho là một số nguyên dương lẻ mà bình phương độ dài mỗi cạnh của là một số nguyên chia hết cho Chứng minh là một số nguyên chia hết cho
Giải Đầu tiên ta chứng minh với đa giác thỏa mãn tính chất của đề thì phải có một
đường chéo mà bình phương độ dài là số nguyên chia hết cho
Trang 4Ta chứng minh phản chứng, giả sử mọi đường chéo đều có bình phương độ dài là số nguyên không chia hết cho với là một số nguyên tố
Vì nên ta có thể chọn được tứ giác với Theo đề và chia hết cho Gọi là số thỏa và chia hết cho Nhận xét và chia hết cho Do đó tồn tại các số nguyên dương sao cho
Vì nội tiếp đường tròn nên theo định lí Ptolemy ta có
Vì các tọa độ nguyên nên hay Như vậy có bậc theo là mà bậc của (theo ) không vượt quá Do đó bậc của (theo ) phải không nhỏ hơn
Như vậy, bình phương độ dài các cạnh và đường chéo đều chia hết cho Tiếp tục quá trình ta sẽ chứng minh có đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho
Bây giờ ta chứng minh qui nạp theo số cạnh bài toán ban đầu với , là một số nguyên tố
lẻ
Với xét với Khi đó theo công thức Hê-ron
Vì nên lại vì nguyên tố lẻ nên
Giả sử đúng với đa giác cạnh ta chứng minh nó cũng đúng với đa giác cạnh Thật vậy,
đa giác cạnh này sẽ có một đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho Dùng đường chéo này chia đa giác cạnh thành hai đa giác có số cạnh nhỏ hơn và thỏa mãn các điều kiện của đề Theo giả thiết qui nạp hai lần diện tích của hai đa giác đều chia hết cho nên tổng của chúng, tức là hai lần diện tích đa giác cạnh, cũng vậy Theo nguyên lí qui nạp ta có điều phải chứng minh
Trang 5Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát của Khi đó có phân tích cơ bản thành thừa số nguyên tố như sau
với là các số nguyên tố khác nhau và là các số nguyên dương Theo chứng minh qui nạp
mà nên tức là
Ngày sau, thứ 3 ngày 12 tháng 7 năm 2016 (Thời gian làm bài 4 giờ 30 phút)
Câu 4 Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập đó có ít nhất hai
phần tử và mỗi phần tử của nó có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại Đặt Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm để tập hợp
là tập hương
Giải Ta có
Từ đó xét các bảng sau
0 1
1 1
0 1 2
1 0 1
Trang 60 1 2 3 4
Như vậy các không chia hết cho 2 và 5 Nhận xét
nên nếu có ước nguyên tố lớn hơn 7 thì hoặc dẫn đến hoặc cũng dẫn đến Bây giờ ta thử xét các trường hợp thì các ước nguyên tố chung chỉ có là 3 hoặc 7 hoặc cả hai Theo bảng
và ta có
* Với , không có hai số nào mà cùng chia hết cho 3 hoặc 7 nên trường hợp này không thỏa mãn
* Với , ba số không thể cùng chia hết cho 3 hoặc 7 mà chỉ có có thể và cùng chia hết cho 7, nhưng khi đó thì không chia hết cho 3 hay 7 nên trường hợp này cũng không thể xảy ra
* Với , bốn số không cùng chia hết cho 7 nên phải ít nhất một cặp trong chúng chia hết cho 3 và đó chỉ có thể là và nhưng hai số còn lại không thể cùng chia hết cho 7 nên trường hợp này cũng không thể xảy ra
* Với tương tự trường hợp nếu và cùng chia hết cho 3 thì và không chia hết cho cả 3
và 7, nếu và cùng chia hết cho 3 thì và lại không chia hết cho cả 3 và 7 nên trường hợp này cũng không thể xảy ra
Bây giờ xét trường hợp ta thử tìm xem có tìm được để tập đề ra là một tập hương hay không Xét bảng sau
Ta tìm thử và có thể có ước chung nguyên tố là bao nhiêu Vì các đều không chia hết cho 2 nên
Trang 7Vậy ta sẽ để thì tập đề cho là tập hương Theo nhận xét trên thì
Thử lại
Vậy là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 5 Người ta viết lên bảng phương trình
với hai 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất để có thể
xóa đi đúng nhân tử trong số nhân tử bậc nhất nêu trên sao cho ở mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực
Giải Với thì số nhân tử bậc nhất còn lại sẽ lớn hơn 2016 Vì chỉ có 2016 loại nhân tử bậc
nhất và ở mỗi vế còn ít nhất một nhân tử nên sẽ có nhân tử xuất hiện ở cả hai vế và do đó phương trình còn lại sẽ có nghiệm thực Như vậy
Ta xét trường hợp với cách bỏ hai 2016 nhân tử để có phương trình
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh không có nghiệm thực Thật vậy, có các trường hợp
sau
* Nếu thì
Hay vô nghiệm
Trang 8* Nếu hoặc hoặc thì
với Do đó hay vô nghiệm
* Nếu hoặc thì hay vô nghiệm
* Nếu Ta viết lại như sau
Đánh giá
Suy ra hay , tức là vô nghiệm
Như vậy tất cả các trường hợp đều vô nghiệm và là giá trị nhỏ nhất cần tìm
Bài 6 Trong mặt phẳng, cho đoạn thẳng sao cho hai đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một
điểm nằm trong mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng qui Với mỗi đoạn thẳng, thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên nó một con ếch, sao cho mặt ếch hướng về đầu mút còn lại Sau đó thầy vỗ tay lần Mỗi lần vỗ tay, mỗi con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó Tất cả các con ếch đều không thay đổi hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay, không có hai con nào nhảy đến cùng một giao điểm
(a) Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu lẻ
(b) Chứng minh rằng thầy Minh không thực hiện được ý định của mình nếu chẵn
Trang 9Giải Trước tiên ta
nhận xét thế này Theo
hình bên, một đường
thẳng cắt đường AB ở
bên ngoài đoạn AB thì
hoặc sẽ không cắt cả
hai đoạn AC và BC
hoặt cắt cả hai đoạn
này; một đường thẳng
cắt đường AB ở bên
trong đoạn AB thì cắt
đúng một trong hai
đoạn AC, BC (*).
(a) Với mỗi đoạn thẳng, ta chọn một đầu mút để đặt con ếch rồi từ đó đánh các chỉ số 0
và 1 liên tiếp nhau như hình
vẽ Chú ý rằng với mỗi cách đánh chỉ số ứng với một đầu mút duy nhất để đặt con ếch (**) Với cách đặt chỉ số như trên thì sau lẻ tiến vỗ tay các chú ếch sẽ ở vị trí đánh số 1 và sau chẵn tiếng vỗ tay các chú ếch sẽ ở vị trí đánh số 0 Do đó, nếu tại tất cả các giao điểm mà được đánh chỉ số khác nhau trên hai đoạn thẳng tạo nên giao điểm đó thì tất cả các chú ếch sẽ không bao giờ gặp nhau trong toàn bộ quá trình (***)
Bây giờ, ta nêu ra đây một cách đặt các chú ếch như sau Chọn một đoạn bất kì và đặt một chú ếch ở một đầu mút rồi đánh các chỉ số Tất cả các đoạn thẳng còn lại đều phải cắt đoạn thẳng này Tại giao điểm với đoạn thẳng ban đầu được đánh số 1 (tương ứng số 0) thì
ta đánh số 0 (tương ứng số 1) trên đoạn thẳng còn lại (****) Như vậy tất cả các đoạn thẳng còn lại đều có một giao điểm
đã được đánh chỉ số Theo (**) thì ta xác định được đầu mút
Trang 10để đặt chú ếch ở tất cả các đoạn thẳng còn lại
Việc cuối cùng là ta đi chứng minh tất cả các giao điểm đều được đánh chỉ số khác nhau trên hai đoạn thẳng theo (***) Thật vậy, các giao điểm nằm trên đoạn thẳng ban đầu thì được đặt các chỉ số khác nhau theo (****)
Các giao điểm C còn lại phải
là giao điểm của hai đường AB
và AC nào đó với A, B là hai
giao điểm trên đoạn ban đầu
Ta sẽ xét xem giữa A và C và
A và B có bao nhiêu giao
điểm Theo (*), những đoạn
thẳng cắt đường AB ở bên
ngoài đoạn AB sẽ tạo ra cùng
số giao điểm trên đoạn AC và
BC Nếu A và B được đánh
cùng chỉ số trên đường AB thì
giữa A và B có lẻ giao điểm,
qua lẻ giao điểm này sẽ có lẻ
đường thẳng,
số lẻ đường thẳng này theo (*) sẽ tạo ra trên AC và AB số giao điểm lẻ chẵn khác nhau ( ví dụ trên AC chẵn thì trên BC lẻ và ngược lại) Vì A và B đánh chỉ số giống nhau nên C
sẽ đánh chỉ số khác nhau trên mỗi đoạn thẳng Trường hợp A, B đánh chỉ số khác nhau trên đường AB cũng có kết quả tương tự cho giao điểm C Ta hoàn thành chứng minh.
(b) Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sử tất cả các đầu mút của các đoạn thẳng đều nằm trên một đường tròn Chọn một đầu mút đặt tên , rồi ngược chiều kim đồng hồ ta đặt các đầu mút liên tiếp là Nhận xét, là hai đầu mút của cùng một đoạn với (*) Gọi
C là giao điểm của hai đoạn và ,
một đoạn thẳng khác hoặc sẽ cắt
cả hai đoạn và hoặc không cắt đoạn nào cả Do đó, số giao điểm
giữa đoạn và là bằng nhau Cũng vì vậy nếu đặt hai chú ếch ở và thì sau một số lần vỗ tay chúng sẽ gặp nhau tại C Kết quả này cũng đúng cho trường hợp hai mút liền kề nhau
Trang 11trên đường tròn (**) Nếu đặt ở một chú ếch thì ở không được đặt, ở vị trí phải đặt một chú ếch nếu không thì ở hai vị trí liên tiếp là và phải đặt hai chú ếch (không được theo
**) Như vậy ở mỗi vị trí lẻ sẽ đặt một chú ếnh, và do chẵn nên được đặt một chú ếch Nhưng theo (*) thì đã được đặt mỗi chú ếch ở mỗi đầu, trái với yêu cầu đề bài Do đó, trong trường hợp chẵn thầy Minh không thể hoàn thành mong muốn của mình