Gọi Ω là không gian mẫu.
Trang 1ĐỀ THI KHAI BÚT ĐẦU XUÂN NĂM 2014
Môn thi: TOÁN; Khối A và khối A 1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đ ÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1:
Ta có PT hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) :
( )
2
2
x
x x k
=
− + − =
Để đường thẳng cắt đồ thị tại A, B, C thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
3
k
k
⇔
− + − ≠
Do A(2 ; 0) nên hoành độ B, C là nghiệm của phương trình (1)
Giả sử B x k x( 1; ( 1−2 ,) ) C x k x( 2; ( 2−2) ) với x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) và 1 2
1 2
1 1
x x
x x k
+ =
= −
BC = +k x −x = +k x +x − x x = +k k− →BC = +k k−
MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng kx− −y 2k =0 nên
MH
2
2
4 5
1
k
BC k
+
+
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được k = 2 là giá trị cần tìm
Câu 2:
Điều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ
PT ↔ x− x + x x= x
4
+)
π π
π
x k
= +
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm π π
4
x= +k với k∈ℤ
Câu 3:
Giải hệ phương trình
( )
2
1
4 3
1
2
x
x y
+ +
Trang 2( )
3
x y x y
2
x
+
1
2
t t
=
=
+) Với
1
3
x t
y
= −
=
( )
2
2
7
3
x t
y
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm như trên
Câu 4:
Ta có
2 3
+
π
2 2
2 0
1 cos
x
+
=
+
Đặt t= +1 c xos → = −dt sinxdx; đổi cận 0 2; π 1
2
x= → =t x= → =t
2
1
t t
+) Tính
2 2
4
1 tan
2
x
+
Đặt
2
1 tan
2
x
2
x= → =t x= → =t
2
8
t
K t dt t
Câu 5:
+) Thể tích khối tứ diện EHB'C'
Ta có BE // ( ' ' A B C nên ') d E A B C( ; ( ' ' '))=B H'
Trang 3Tam giác B H C' ' ' vuông tại H nên ' '2 ' 2 3
2
a
B H = BB −B H =
' ' ' '.sin 60
V B H S
+) Tính khoảng cách:
Ta có
' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
B ACC A
B ACC A ABC A B C B A B C ACC A
S
' '
3
3
4
ACC A
A I AB IJ AC A J AC S A J AC
a
A J A A IJ d B ACC A
a a
Vậy
3 ' '
15
EHB C
V = d B ACC A =
Câu 6:
x−y − x−y ≤ ⇔ < − ≤x y x≠ y
4xy≥ − −x y nên
7
f t t t t
t
= − − + trên (0; 4]
2
4
f t t t
t
= − − − f '( )t = ⇔ =0 t 2
Tìm được min(0;4] ( ) ( )2 8
Vậy minP = − 8 khi x = 1; y = − 1
Câu 7a:
Đường tròn (C1) có bán kính R1=1 và tâm O1(−2;1), đường tròn O t2( ; 4−t)
S = ⇒ S =S =O A O A O AO =
0
1 2
1 2
60 3
sin
O AO
O AO
O AO
+) Trường hợp 1 O1AO2 =600 thì 2 ( ) (2 )2
O O = ⇒ t+ + −t =
1
t
t t
t
=
=
Chọn t = 1 suy ra O2(1; 3)
Vậy (C2): ( ) (2 )2
x− + y− =
+) Trường hợp 2 OAO =1200 thì 2 ( ) (2 )2
O O = ⇒ t+ + −t =
Trang 42 1 17
2
O + −
Vậy
2
C x− + +y− − =
Câu 8a:
Giả sử I x y z( ; ; ) →MI x( −1;y−1;z) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n= −( 1;1; 1− )
Ta có MI n,
cùng phương nên
1 1
x t
MI tn y t
z t
= −
suy ra I(1−t;1+ −t; t)
Do I thuộc (P) nên ta có phương trình: –1 + t + 1 + t + t – 3 = 0 ta được t = 1 nên (0; 2; 1) I −
Ta có OI=(0; 2; 1− ) Gọi nQ =(a b c; ; ) là véc tơ pháp tuyến của (Q), ( 2 2 2 )
0
a + + ≠b c
Do (Q) chứa O, I nên nQ ⊥OI↔n OIQ.= ↔0 2b c− = ↔ =0 c 2b→nQ =(a b b; ; 2 )
Phương trình (Q) có dạng ax by+ +2bz=0
17
a
a b
+
+) Với a = 2b chọn b=1⇒a=2⇒( ) : 2Q x+ +y 2z=0
+) Với a = –2b chọn b= −1⇒a=2⇒( ) : 2Q x− −y 2z=0
Vậy có hai phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 9a:
+) Tìm số phần tử của E:
Gọi abc là số có 3 chữ số khác nhau Khi đó a có 6 cách chọn từ 1 → 6 còn b có 5 cách chọn (trừ số đã chọn cho a), c có 4 cách chọn
Vậy có tất cả 6 x 5 x 4 = 120 số thuộc E.
Gọi Ω là không gian mẫu Do chọn một phần tử thuộc E nên n( )Ω =120
+) Gọi A là biến cố: “chọn được số mà các chữ số của nó đều chẵn”
{246, 264, 462, 426, 642, 624}
A
Vậy xác suất cần tìm là ( ) ( ) ( ) 6 1
n A
P A
n
Câu 7b:
Đường thẳng d qua M(0; 2) có phương trình ( 2 2 0)
2
x mt
m n
y nt
=
= +
Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình 2 2 ( )2 2 2 2
nt n t nt
có 2 nghiệm phân biệt Điều kiện là:
2 2
2 2
0 4
3 0 4
m n m n
∆ = − >
Xét A mt( 1, 2+nt1) (;B mt2, 2+nt2),MA=(mt nt1, 1), MB=(mt2, nt2)
Ta có MA−5MB= ⇔0 3t1=5t2
Trang 5
Theo định lí Vi- et có
2
2 2
1 2 2
2
4
4 3
4
n
t t
m n
m n
t t m n
−
=
+
Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = –1
Phương trình d là
2
x t
y t
=
= +
x t
y t
=
= −
Câu 8b:
Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I(a, b, c)
Ta có:
IM AM AH IH
AM BN AH BH
IN BN BH IH
AM BN AH HB
AM AH
Vậy mặt cầu cần tìm đi qua 3 điểm M, N, H
Ta có
a b c
2 3 7
a b c
=
Vậy mặt cầu (S) có tâm (2;3; 7) I − , bán kính R= 89 có phương trình: ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + +z =
Câu 9b:
Đặt z= +a bi (a b, ∈ℝ) là số phức cần tìm
Theo bài ra ta có: 2(a2+b2) (+ + +a (b 1) ).(1i + =i) a2 + +b2 8a
2 2
a b a b
a b a a ai b b i
a b
+ + =
Giải hệ phương trình trên ta được:
à
v
z= + − + i z= − − − i
là các số phức cần tìm