Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thì C.. Viết phương trình tiếp tuyến của C, biết khoảng cách từ ñiểm I1, 2 ñến tiếp tuyến ñó bằng 2.. Giải CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ
Trang 1Bài 1 Cho hàm số: 3 2
y= − +x x − (C)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
b Tìm trên ñường y = 2 các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) 3 tiếp tuyến
Giải
b – Lấy M thuộc ñường y = 2 => M(a; 2)
- ðường thẳng d ñi qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – a) + 2 (*)
- ðể d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm:
2
Thế (2) vào (1) ta có: − +x3 3x2− = −2 ( 3x2+6 )(x x−a) 2+
2 (x 2) 2 x (3a 1)x 2 0
Ta nhận thấy với mỗi nghiệm x thu ñươc từ phương trình (3) thay vào (2) ta sẽ ñược một k và thay k ñó vào (*) ta sẽ ñược một tiếp tuyến Do ñó ñể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (3) phải có
3 nghiệm phân biệt
2
2 2
1 5
2 3
3
2
a
a
a
< −
3
* Lưu ý: Với x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta ñều ñược k = 0 nhưng ta phải hiểu rằng với k = 0 ñó, ta có 2 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến này ñi qua 2 ñiểm M khác nhau nhưng có hệ số góc bằng nhau; chứ không phải là
x = 0 và x = 2 thay vào (2) ta chỉ ñược một tiếp tuyến
1
x y x
−
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thì (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ ñiểm I(1, 2) ñến tiếp tuyến ñó bằng 2
Giải
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 2
b Ờ Lấy ( ) ;2 1 , 1
1
o
o o
x
x
−
1
o
o
x
x
−
−
1
o
x
−
−
- Khoảng cách từ I(1, 2) ựến tiếp tuyến (d) bằng 2
o
x
−
2
o
o
x
x
=
=> Các tiếp tuyến cần tìm: x + y Ờ 1 = 0 và x + y Ờ 5 = 0
Bài 3 Cho hàm số: y=x3−(m+1)x2+(m−1)x+ (1) 1
a Khảo sát và vẽ ựồ thị khi m = 1
b Tìm m ựể ựồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ựiểm phân biệt A(1, 0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau
Giải
b Ờ để ựồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ựiểm phân biệt A, B, C thì phương trình:
x − m+ x + m− x+ = phải có 3 nghiệm phân biệt
⇔ − − = (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1
0 (1) 0
m
m m
∀
≠
- Gọi hoành ựộ của 2 giao ựiểm B và C là x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của (*))
để tiếp tuyến của ựồ thị hàm số (1) tại B và C song song ta phải có:
yỖ(x1) = yỖ(x2)
3
m
2 3
m
Kết hợp (1) và (2) => đáp số: m = 2
2
x y x
−
=
a Khảo sát và vẽ ựồ thị (C)
b Tìm M∈( )C sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Trang 3Giải
x y
−
2
o
x
−
−
- Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ñứng là 2; 2 2
2
o
A
x
+
- Giao ñiểm của (d) với tiệm cận ngang là (2B x − o 2; 2)
2 2
2
1
2
o
o
x
−
2
1
2
o
x
−
1
x y x
−
= + (C)
a Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
b Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và ñường thằng ñi qua hai ñiểm M, I (I là giao ñiểm của tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang) có tích hệ số góc bằng -9
Giải
* Chú ý: ðường thẳng ñi qua hai ñiểm A(xA, yA) và B(xB, yB) có hệ số góc: A B
k
−
=
−
b I(-1, 2)
1
o
o
x
x
+
- ðường thẳng ∆ qua M và I có hệ số góc
3 1
o
k x
∆
−
= +
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc
3 '( )
1
o o
x
+
-
k k
∆
−
o o
o
x
y=x − x+ (C)
a Khảo sát và vẽ (C)
Trang 4b Tìm trên (C) các ñiểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc ðồng thời ñường thẳng ñi qua A và B vuông góc với ñường thẳng d: x + y – 5 = 0
Giải
b Giả sử các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc k ðể tồn tại 2 tiếp tuyến tại A và B phân biệt thì phương trình y’ = 3x2 – 3 = k phải có 2 nghiệm phân biệt => k > -3
Ta có tạo ñộ A, B là nghiệm của hệ:
2 3
2
2
3
x
− =
3
k
y= − x+
k
Vậy tọa ñộ A, B thỏa mãn:
2
2
x x
= ±
− =
Bài 7 Cho hàm số:
4 2
a Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
b Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất
Giải
b -
4
- Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là:
2
3
a Khảo sát và vẽ ñồ thị (C)
b Tìm các ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt
Giải
b Lấy M thuộc (C)
4
2 5
a
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là d:
4
2 5
a
y= y a x a− + − a +
a
Trang 5a
2
a
a
a
− < < −
Vậy
4
2 5
a
với a ∈ −( 3; 1− ∪ −) ( 1;1)∪( )1; 3 thì tiếp tuyến của (C) tại M sẽ cắt (C) tại 3 ñiểm phân biệt
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn