Bài Giảng Phương Pháp Số

ΓΙ 閏Ι ΤΗΙ烏Υ ΜΝ Η窺Χ Ι.

ΒℵΙ ΓΙ ΝΓ

Βιν σο ν : Τησ ΠΗΑΝ ΤΗ Ηℵ

Λ υ η◊νη ν ι β

Ηℵ Ν Ι − 2006

ΓΙ 閏Ι ΤΗΙ烏Υ ΜΝ Η窺Χ

Ι ΓΙ Ι ΤΗΙ Υ ΧΗΥΝΓ

Πη νγ πη〈π σ λ◊ m τ λ νη ϖ χ χ α το〈ν η χ χηυψν νγηιν χ υ χ〈χ πη νγ πη〈π γι ι χ〈χ β◊ι το〈ν (χη ψ υ λ◊ γ ν đνγ) β νγ χ〈χη δ α τρν νη νγ δ λι υ σ χ τη ϖ◊ χηο κ τ θυ χ νγ

πη〈π γι ι χ〈χ β◊ι το〈ν β νγ νη νγ χον σ χ τη

Νγ◊ψ ναψ πη ν λ ν χ〈χ χνγ ϖι χ τνη το〈ν đ υ đ χ τη χ ηι ν τρν m〈ψ τνη Τυψ ϖ ψ τη χ

τ χη νγ τ ρ νγ, ϖι χ 〈π δ νγ χ〈χ τηυ τ το〈ν ϖ◊ πη νγ πη〈π τνη το〈ν κη〈χ νηαυ χ⌠ τη χηο τ χ

đ τνη το〈ν ϖ◊ đ χηνη ξ〈χ ρ τ κη〈χ νηαυ Λ ψ ϖ δ đ ν γι ν νη τνη đ νη τη χ χ α mα τρ ν

χη νγ η ν, ν υ τνη τρ χ τι π τηεο đ νη νγη α τη ϖι χ τνη đ νη τη χ χ α m τ mα τρ ν ϖυνγ χ π 25

χ νγ m τ η◊νγ τρι υ ν m (νγαψ χ ϖ ι m〈ψ τνη ηι ν đ ι νη τ ηι ν ναψ); τρονγ κηι đ⌠ ν υ σ δ νγ

πη νγ πη〈π κη Γαυσσ τη κ τ θυ νη ν đ χ γ ν νη τ χ τη ι

Νη ϖ ψ, πη νγ πη〈π σ λ◊ χνγ χ κηνγ τη τηι υ τρονγ χ〈χ χνγ ϖι χ χ ν τη χ ηι ν νηι υ τνη το〈ν ϖ ι τ χ đ τνη το〈ν νηανη ϖ◊ đ χηνη ξ〈χ χαο νη ϖ τ λ, đι ν τ ϖι ν τηνγ, ϖ◊ δ νηιν λ◊ τ τ χ χ〈χ νγ◊νη ϖ◊ m τ λ νη ϖ χ đ υ χ ν đ ν λ◊ χνγ νγη τηνγ τιν

Πη νγ πη〈π σ đ χ νγηιν χ υ τ ρ τ λυ ϖ◊ χηο đ ν ναψ νη νγ τη◊νη τ υ đ τ đ χ λ◊ m τ

κη ι λ νγ κι ν τη χ đ σ đ χ ιν τρονγ νηι υ τ◊ι λι υ σ〈χη, β〈ο Τυψ νηιν, mν η χ ∀Πη νγ πη〈π σ ∀ χη νη m χυνγ χ π νη νγ κι ν τη χ χ ν β ν νη τ ϖ πη νγ πη〈π σ ς ι λ νγ κι ν

τη χ ν◊ψ σινη ϖιν χ⌠ τη 〈π δ νγ ϖ◊ο γι ι θυψ τ νη νγ β◊ι το〈ν τηνγ τη νγ τρονγ τη χ τ ϖ◊ χ⌠

κη ν νγ τ τm ηι υ đ ννγ χαο κι ν τη χ χηο mνη κηι γ π χ〈χ ϖ ν đ πη χ τ π η ν

ΙΙ Μ Χ ⊆ΧΗ

Μν η χ πη νγ πη〈π σ χυνγ χ π χηο σινη ϖιν κι ν τη χ χ ν β ν νη τ ϖ m τ σ πη νγ πη〈π γι ι γ ν đνγ τρν δ λι υ σ

Τ ο χ σ đ η χ τ τ ϖ◊ νγηιν χ υ χ〈χ νγη◊νη κηοα η χ κ τηυ τ ν⌠ι χηυνγ ϖ◊ Χνγ νγη τηνγ τιν ν⌠ι ρινγ

Γ⌠π πη ν ρν λυψ ν πη νγ πη〈π συψ λυ ν κηοα η χ, τ δυψ λογιχ, πη νγ πη〈π νγηιν χ υ

τη χ νγηι m

Γ⌠π πη ν ξψ δ νγ τη γι ι θυαν κηοα η χ ϖ◊ τ〈χ πηονγ κηοα η χ χ ν τηι τ χηο νγ ι κ σ

τ νγ λαι

ΙΙΙ ΠΗ Μ ςΙ ΝΓΗΙ⊇Ν Χ Υ

Νγηιν χ υ m τ σ πη νγ πη〈π χ β ν νη τ χ α πη νγ πη〈π σ , đ χ νγ δ νγ νηι υ τρονγ τη χ τ νη χ〈χ πη νγ πη〈π σ τρονγ đ ι σ τυψ ν τνη, β◊ι το〈ν ν ι συψ, τm νγηι m γ ν đνγ χ〈χ πη νγ τρνη πηι τυψ ν, τνη γ ν đνγ đ ο η◊m ϖ◊ τχη πην, γι ι γ ν đνγ m τ σ δ νγ

χ α πη νγ τρνη ϖι πην

Τm ηι υ χ〈χ λ νη ϖ χ νγ δ νγ χ α χ〈χ πη νγ πη〈π τρονγ τη χ τ

Νγηιν χ υ χ〈χη χ◊ι đ τ χ〈χ τηυ τ το〈ν τρν m〈ψ τνη

Ις ΠΗ ΝΓ ΠΗℑΠ ΝΓΗΙ⊇Ν Χ Υ:

η χ τ τ mν η χ ν◊ψ, σινη ϖιν χ ν λ υ  νη νγ ϖ ν đ σαυ:

1 Κι ν τη χ χ ν τρ χ:

− Σινη ϖιν πη ι χ⌠ κι ν τη χ χ β ν ϖ το〈ν η χ χαο χ π

− Τη◊νη τη ο τ νη τ m τ νγν νγ λ π τρνη χ βι τ τρονγ χυ ν σ〈χη ν◊ψ đ σ δ νγ νγν

νγ λ π τρνη Χ đ m τ τηυ τ το〈ν, ϖ ϖ ψ σινη ϖιν πη ι ν m đ χ νγν νγ λ π τρνη Χ

2 Τηυ τη π đ ψ đ χ〈χ τ◊ι λι υ:

Γι〈ο τρνη Πη νγ πη〈π σ Πηαν νγ Χ υ, Πηαν Τη Η◊, Η χ ϖι ν Χνγ νγη ΒΧςΤ, 2002

Ν υ χ ν σινη ϖιν νν τηαm κη ο τηm:

−Γι ι τχη σ Πη m Κ Ανη, νη◊ ξυ τ β ν đ ι η χ Θυ χ Για Η◊ Ν ι, 1966

−Πη νγ πη〈π τνη Τ ς ν νη, Νη◊ ξυ τ β ν Γι〈ο δ χ − 1995

−Πη νγ Πη〈π τνη D νγ Τηυ ς , Νη◊ ξυ τ β ν Κηοα η χ ϖ◊ Κ τηυ τ, 2001

3 τ ρα m χ τιυ, τη ι η ν χηο β ν την:

τ ρα χ〈χ m χ τιυ τ m τη ι ϖ◊ τη ι η ν χηο β ν την ϖ◊ χ γ νγ τη χ ηι ν χηνγ

Ξψ δ νγ m χ τιυ τρονγ χη νγ τρνη νγηιν χ υ

4 Νγηιν χ υ ϖ◊ ν m νη νγ κι ν τη χ χ τ λ⌡ι:

Σινη ϖιν νν đ χ θυα σ〈χη η νγ δ ν η χ τ π τρ χ κηι νγηιν χ υ β◊ι γι νγ mν η χ ϖ◊ χ〈χ τ◊ι λι υ τηαm κη ο κη〈χ

5 Τηαm για đ ψ đ χ〈χ βυ ι η νγ δ ν η χ τ π:

Τηνγ θυα χ〈χ βυ ι η νγ δ ν η χ τ π, γι νγ ϖιν σ γιπ σινη ϖιν ν m đ χ ν ι δυνγ

τ νγ τη χ α mν η χ ϖ◊ γι ι đ〈π τη χ m χ, đ νγ τη ι σινη ϖιν χ νγ χ⌠ τη τραο đ ι, τη ο λυ ν ϖ ι

νη νγ σινη ϖιν κη〈χ ϖ ν ι δυνγ β◊ι η χ

6 Χη đ νγ λιν η ϖ ι β ν η χ ϖ◊ γι νγ ϖιν:

Χ〈χη đ ν γι ν νη τ λ◊ τηαm δ χ〈χ δι ν δ◊ν η χ τ π τρν m νγ Ιντερνετ, θυα đ⌠ χ⌠ τη τραο

đ ι τρ χ τι π χ〈χ ϖ ν đ ϖ νγ m χ ϖ ι γι νγ ϖιν ηο χ χ〈χ β ν η χ κη〈χ đανγ ονλινε

7 Τ γηι χηπ λ ι νη νγ  χηνη:

ςι χ γηι χηπ λ ι νη νγ  χηνη λ◊ m τ ηο τ đ νγ τ〈ι ηι ν κι ν τη χ, κινη νγηι m χηο τη ψ ν⌠ γιπ χη ρ τ νηι υ χηο ϖι χ ηνη τη◊νη τη⌠ι θυεν τ η χ ϖ◊ τ δυψ νγηιν χ υ

8 Η χ đι đι ϖ ι η◊νη

Η χ λ τηυψ τ đ ν đυ τη χ η◊νη λ◊m β◊ι τ π νγαψ đ ν đ⌠ đ ηι υ ϖ◊ ν m χη χ λ τηυψ τ Ν⌠ι χηυνγ χυ ι m ι χη νγ, σινη ϖιν χ ν τ τρ λ ι χ〈χ χυ η ι, β◊ι τ π Ηψ χ γ νγ ϖ χη ρα

νη νγ  τρ λ ι χηνη, τ νγ β χ πη〈τ τρι ν τη◊νη χυ τρ λ ι ηο◊ν τηι ν

Λιν η ϖ ι χ〈χ mν η χ κη〈χ ϖ◊ χ〈χ ϖ ν đ τη χ τ χ⌠ λιν θυαν đ ηι υ συ η ν  νγη α

χ α χ〈χ πη νγ πη〈π

Χ◊ι đ τ χ〈χ τηυ τ το〈ν β νγ νηι υ χ〈χη κη〈χ νηαυ, χ⌠ σ δ νγ đ η α đ λ◊m ν ι β τ χ〈χ đ χ

τρ νγ ϖ◊ κ τ θυ χ α χ〈χ τηυ τ το〈ν Dνγ đ τη σο σ〈νη χ〈χ πη νγ πη〈π κη〈χ νηαυ χνγ γι ι θυψ τ m τ β◊ι το〈ν, πην τχη νη νγ đι m ψ υ đι m m νη χ α χ〈χ τηυ τ το〈ν Κηι χ◊ι đ τ τηυ τ το〈ν ν υ χ⌠ γ ϖ νγ m χ τη σινη ϖιν χ⌠ τη τηαm κη ο τηm πη ν χοδε χ α το◊ν β χη νγ τρνη τ νγ νγ đ đ χ ϖι τ β νγ νγν νγ λ π τρνη Χ τρονγ τ◊ι λι υ: “Πη νγ πη〈π σ Πηαν

νγ Χ υ, Πηαν Τη Η◊, Η χ ϖι ν Χνγ νγη ΒΧςΤ, 2002”

ΧΗ 姶愛ΝΓ 1

Μ Χ ⊆ΧΗ, Ψ⊇Υ Χ Υ

Σαυ κηι νγηιν χ υ χη νγ 1, ψυ χ υ σινη ϖιν:

1 Ηι υ đ χ Πη νγ Πη〈π Σ λ◊ γ, ϖαι τρ∫ ϖ◊ τ m θυαν τρ νγ χ α Πη νγ πη〈π σ

2 Ηι υ đ χ σαι σ τυψ τ đ ι ϖ◊ σαι σ τ νγ đ ι

3 Ν m đ χ χ〈χη ϖι τ σ ξ π ξ

4 Ν m đ χ χ〈χ θυι τ χ τνη σαι σ

5 Ηι υ ϖ◊ βι τ χ〈χη đ〈νη γι〈 σαι σ τνη το〈ν ϖ◊ σαι σ πη νγ πη〈π

1.1 Τ ΝΓ ΘΥΑΝ ς ΠΗ ΝΓ ΠΗℑΠ Σ

1.1.1 Πη νγ πη〈π σ λ◊ γ?

Πη νγ πη〈π σ (νυmεριχαλ mετηοδ) ηαψ đι κηι χ∫ν đ χ γ ι λ◊ Πη νγ πη〈π τνη (Χοmπυτατιοναλ mετηοδ), Το〈ν η χ τνη το〈ν (Χοmπυτατιοναλ mατηεmατιχσ) ηο χ Γι ι τχη σ (Νυmεριχαλ αναλψσισ) λ◊ m τ λ νη ϖ χ χ α το〈ν η χ χηυψν νγηιν χ υ χ〈χ πη νγ πη〈π γι ι γ ν

đνγ χ〈χ β◊ι το〈ν β νγ χ〈χη δ α τρν νη νγ δ λι υ σ χ τη ϖ◊ χηο κ τ θυ χ νγ δ ι δ νγ σ

Ν⌠ι γ ν η ν, πη νγ πη〈π σ νη β ν την τν γ ι χ α ν⌠, χ⌠ νγη α λ◊ πη νγ πη〈π γι ι χ〈χ β◊ι το〈ν β νγ νη νγ χον σ χ τη

Τρονγ πη νγ πη〈π σ χηνγ τα τη νγ θυαν τm đ ν ηαι ϖ ν đ :

• Πη νγ πη〈π đ γι ι β◊ι το〈ν

• Μ ι λιν η γι α λ ι γι ι σ γ ν đνγ ϖ◊ λ ι γι ι đνγ, ηαψ ϖ ν đ σαι σ χ α λ ι γι ι

1.1.2 Νη νγ δ νγ σαι σ τη νγ γ π

Κηι τη χ ηι ν m τ β◊ι το〈ν β νγ πη νγ πη〈π σ τα τη νγ γ π νη νγ λο ι σαι σ σαυ đψ:

• Σαι σ τρονγ ϖι χ m ηνη η⌠α β◊ι το〈ν

• Σαι σ πη νγ πη〈π

• Σαι σ χ α σ λι υ

• Σαι σ τνη το〈ν

Νη νγ σαι σ τρν đψ τ νγ η π λ ι νηι υ κηι δ ν đ ν νη νγ λ ι γι ι θυ〈 χ〈χη ξα σο ϖ ι λ ι

γι ι đνγ ϖ◊ ϖ ϖ ψ κηνγ τη δνγ đ χ Χηνη ϖ ϖ ψ ϖι χ τm ρα νη νγ τηυ τ το〈ν η υ ηι υ đ

γι ι χ〈χ β◊ι το〈ν τη χ τ λ◊ đι υ ρ τ χ ν τηι τ

1.2 ΣΑΙ Σ ΤΥΨ Τ Ι ςℵ ΣΑΙ Σ Τ ΝΓ Ι

1.2.1 Σαι σ τυψ τ đ ι

Τρονγ τνη γ ν đνγ τα λ◊m ϖι χ ϖ ι χ〈χ γι〈 τρ γ ν đνγ χ α χ〈χ đ ι λ νγ Χηο νν ϖ ν đ

đ υ τιν χ ν νγηιν χ υ λ◊ ϖ ν đ σαι σ Ξτ đ ι λ νγ đνγ Α ϖ◊ đ ι λ νγ γ ν đνγ χ α ν⌠ λ◊

α Τα ν⌠ι α ξ π ξ Α ϖ◊ ϖι τ α Α ≈

Τρ τυψ τ đ ι Δα= | α−Α | (1.1)

đ χ γ ι λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι χ α α (κηι δνγ α đ ξ π ξ Α)

Τρονγ τη χ τ τα κηνγ βι τ đ χ σ đνγ Α, δο đ⌠ ν⌠ι χηυνγ σαι σ τυψ τ đ ι κηνγ τνη

đ χ ς ϖ ψ τα τm χ〈χη χ λ νγ σαι σ τυψ τ đ ι χ α α β νγ σ Εα>0 σαο χηο

| α − Α | ≤ Εα (1.2)

Σ δ νγ Εα đ χ γ ι λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α α Ρ⌡ ρ◊νγ ν υ Εα λ◊ σαι σ τυψ τ

đ ι γι ι η ν χ α α τη m ι Ε> Εα đ υ λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α α Ν υ σαι σ τυψ τ đ ι

γι ι η ν θυ〈 λ ν σο ϖ ι σαι σ τυψ τ đ ι τη ν⌠ κηνγ χ∫ν χ⌠  νγη α ϖ πη νγ δι ν σαι σ ν α Τρονγ νη νγ đι υ κι ν χ τη νγ ι τα χ γ νγ χη ν Εα λ◊ σ δ νγ β νη τ χ⌠ τη đ χ τηο mν (1.1) Ν υ Εα λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α α κηι ξ π ξ Α τη τα θυψ χ ϖι τ:

ϖ ι  νγη α χ α (1.1), τ χ λ◊

α − Εα ≤ Α ≤ α + Εα (1.4)

1.2.2 Σαι σ τ νγ đ ι

Γ ι Δα λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι χ α α κηι δνγ α đ ξ π ξ Α, κηι đ⌠ đ ι λ νγ

δα =

|

| α

α

Δ

(1.5)

đ χ γ ι λ◊ σαι σ τ νγ đ ι χ α α Τυψ νηιν m τ λ ν ν α τα τη ψ ρ νγ Α τη νγ κηνγ

βι τ, ϖ ϖ ψ νγ ι τα đ νη νγη α đ ι λ νγ

εα =

|

| α

Ε α

(1.6) λ◊ σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α α Τ đψ τα χ⌠

Εα = | α| εα (1.7)

Τ đψ νγ ι τα τη νγ ϖι τ

Α = α(1 ± εα) (1.8) ς τρονγ τη χ τ χηνγ τα χη χ⌠ τη τηαο τ〈χ ϖ ι χ〈χ σαι σ γι ι η ν, δο đ⌠ νγ ι τα τη νγ

γ ι m τ χ〈χη đ ν γι ν Εα λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι, εα λ◊ σαι σ τ νγ đ ι ι κηι νγ ι τα βι υ δι ν σαι σ τ νγ đ ι δ ι δ νγ % ς δ ϖ ι α =10, Εα = 0.05, κηι đ⌠ τα χ⌠ εα = 0.05/10 = 0.5 %

1.2.3 Χη τηχη:

Σαι σ τυψ τ đ ι κηνγ ν⌠ι λν đ ψ đ ∀χη τ λ νγ∀ χ α m τ σ ξ π ξ , “χη τ λ νγ” ψ χ∫ν

đ χ πη ν 〈νη θυα σαι σ τ νγ đ ι

1.3 ΧℑΧΗ ςΙ Τ Σ Ξ Π Ξ

1.3.1 Χη σ χ⌠ νγη α

Μ τ σ ϖι τ δ ι δ νγ τη π πην χ⌠ τη γ m νηι υ χη σ , νη νγ τα χη κ χ〈χ χη σ τ

χη σ κη〈χ κηνγ đ υ τιν τνη τ τρ〈ι đ ν χη σ χυ ι χνγ κη〈χ κηνγ πηα βν πη ι λ◊ χ〈χ χη

σ χ⌠ νγη α Χη νγ η ν σ 2.740 χ⌠ 3 χη σ χ⌠ νγη α, σ 0.02078 χ⌠ 4 χη σ χ⌠ νγη α

1.3.2 Χη σ đ〈νγ τιν

Μ ι σ τη π πην đ υ χ⌠ δ νγ

α = ± αναν−1 α1α0.α−1α−2 α−m = ± Σ ασ10σ Τρονγ đ⌠ ασ λ◊ νη νγ σ νγυψν τ 0 đ ν 9 Γι σ α λ◊ ξ π ξ χ α σ Α ϖ ι σαι σ τυψ τ đ ι λ◊ Δα Ν υ Δα ≤ 0.5∗10σ τη τα ν⌠ι ρ νγ χη σ ασ λ◊ đ〈νγ τιν (ϖ◊ νη ϖ ψ χ〈χ χη σ χ⌠ νγη α βν τρ〈ι ασđ υ λ◊ đ〈νγ τιν) Ν υ Δα > 0.5∗10σ τη τα ν⌠ι ρ νγ χη σ ασ λ◊ đ〈νγ νγηι (ϖ◊ νη ϖ ψ χ〈χ

χη σ βν πη ι ασđ υ λ◊ đ〈νγ νγηι)

ς δ Σ ξ π ξ α = 4.67329

ϖ ι Δα = 0.004726 Τα χ⌠ | Δα | ≤ 0.5 ∗10−2

δο đ⌠ χ〈χ χη σ đ〈νγ τιν λ◊: 4,6,7; χ〈χ χη

σ đ〈νγ νγ λ◊ 3,2, 9

ϖ ι Δα = 0.005726 Τα χ⌠ | Δα | ≤ 0.5 ∗10−1 (νη νγ | Δα | > 0.5 ∗10−2 ) δο đ⌠ χ〈χ χη σ đ〈νγ τιν λ◊: 4,6; χ〈χ χη σ đ〈νγ νγ λ◊ 7, 3, 2, 9

1.3.3 Χ〈χη ϖι τ σ ξ π ξ

α Κm τηεο σαι σ

Χ〈χη τη νη τ λ◊ ϖι τ κm τηεο σαι σ νη χνγ τη χ (1.3) Α = α ± Εα

β Μ ι χη σ χ⌠ νγη α đ υ đ〈νγ τιν

Χ〈χη τη ηαι λ◊ ϖι τ τηεο θυψ χ: m ι χη σ χ⌠ νγη α đ υ đ〈νγ τιν; χ⌠ νγη α λ◊ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν κηνγ λ ν η ν m τ ν α đ ν ϖ η◊νγ χυ ι χνγ

1.3.4 Σαι σ θυψ τρ∫ν

Τρονγ τνη το〈ν ϖ ι χ〈χ χον σ τα τη νγ λ◊m τρ∫ν χ〈χ σ τηεο θυψ χ σαυ: ν υ χη σ β

đι đ υ τιν ≥ 5 τη τηm ϖ◊ο χη σ γι λ ι χυ ι χνγ m τ đ ν ϖ , χ∫ν ν υ χη σ β đι đ υ τιν < 5 τη đ νγυψν χη σ γι λ ι χυ ι χνγ

Γι σ α λ◊ ξ π ξ χ α Α ϖ ι σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν λ◊ Ε Γι σ τα θυψ τρ∫ν α τη◊νη α∋

ϖ ι σαι σ θυψ τρ∫ν τυψ τ đ ι γι ι η ν λ◊ θ, τ χ λ◊:

| α∋ − α| ≤ θ

Τα χ⌠

| α∋ − Α| = | α∋ − α + α −Α| ≤ | α∋ − α| + | α −Α| ≤ θ + Ε

ς ψ χ⌠ τη λ ψ θ +Ε λ◊m σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α α∋ Νη ϖ ψ ϖι χ θυψ τρ∫ν λ◊m τ νγ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν

1.4 ΧℑΧ ΘΥΨ Τ Χ Τ⊆ΝΗ ΣΑΙ Σ

1.4.1 Μ đ υ

Τα ξτ β◊ι το〈ν τ νγ θυ〈τ η ν νη σαυ:

Ξτ η◊m σ υ χ α 2 βι ν σ ξ ϖ◊ ψ:

υ = φ(ξ,ψ)

Γι σ ξ λ◊ ξ π ξ χ α γι〈 τρ đνγ Ξ, ψ λ◊ ξ π ξ χ α γι〈 τρ đνγ Ψ ϖ◊ τα χοι υ λ◊ ξ π ξ

χ α γι〈 τρ đνγ Υ = φ (Ξ,Ψ)

Χηο βι τ σαι σ ϖ ξ ϖ◊ ψ, ηψ λ π χνγ τη χ τνη σαι σ ϖ υ

Χηο βι ν ξ τα σ κ ηι υ Δξ = ξ − Ξ λ◊ σ για χ α ξ, χ∫ν δξ λ◊ ϖι πην χ α ξ

Τηεο đ νη νγη α ϖ σαι σ τυψ τ đ ι, τα χ⌠ | Δξ | ≤ Δξ

Τηεο χνγ τη χ ϖι πην χ α η◊m νηι υ βι ν τα χ⌠:

δυ =

ξ

υ

∂

∂

δξ +

ψ

υ

∂

∂

δψ

Τ đψ

Δυ ≈

ξ

υ

∂

∂ Δξ +

ψ

υ

∂

∂ Δψ

Συψ ρα

Δυ = |

ξ

υ

∂

∂

| Δξ + |

ψ

υ

∂

∂

1.4.2 Σαι σ χ α τ νγ

Χηο υ = ξ + ψ

Τα χ⌠

ξ

υ

∂

∂

=

ψ

υ

∂

∂ = 1

Τ (1.9) συψ ρα

Δυ = Δξ + Δψ (1.10)

Τα χ⌠ θυψ τ χ σαυ:

Σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α m τ τ νγ β νγ τ νγ χ〈χ σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν χ α χ〈χ σ η νγ

Γηι χη Ξτ τρ νγ η π υ = ξ − ψ ϖ◊ ξ, ψ χνγ δ υ Λχ đ⌠ τα χ⌠

δυ = Δυ/|υ| = (Δξ + Δψ)/ |ξ−ψ|

Τα τη ψ ρ νγ ν υ | ξ −ψ | ρ τ β τη σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν ρ τ λ ν Dο đ⌠ τρονγ τνη το〈ν

νγ ι τα τm χ〈χη τρ〈νη τρ νη νγ σ γ ν νηαυ

1.4.3 Σαι σ χ α τχη

Χηο υ = ξψ

Τα χ⌠

ξ

υ

∂

∂

= ψ,

ψ

υ

∂

∂ = ξ

Τ (1.9) συψ ρα

Δυ = |ψ|Δξ + |ξ|Δψ

Dο đ⌠ δυ = Δυ/|υ| = Δξ/|ξ| + Δψ/|ψ| = δξ + δψ

ς ψ

δυ = δξ + δψ (1.11)

Τα χ⌠ θυψ τ χ σαυ:

Σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α m τ τχη β νγ τ νγ χ〈χ σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α χ〈χ σ

η νγ χ α τχη

Ξτ τρ νγ η π đ χ βι τ υ = ξν

τα χ⌠

δξν = ν δξ (1.12)

1.4.4 Σαι σ χ α τη νγ

Χηο υ = ξ/ψ

Τα χ⌠

ξ

υ

∂

∂

=

ψ

1 ,

ψ

υ

∂

∂ = 2

ψ

ξ

−

Τ (1.9) συψ ρα

Δυ = |

ψ

1

|Δξ + | 2

ψ

ξ

|Δψ

Τα χ⌠

Δυ / |υ| = Δυ |

ξ

ψ

| = |

ξ

ψ

| ( |

ψ

1

|Δξ + | 2

ψ

ξ

|Δψ) = |

ξ

1

|Δξ + |

ψ

1

|Δψ = Συψ ρα:

δξψ = δξ + δψ (1.13)

Τα χ⌠ θυψ τ χ σαυ:

Σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α m τ τη νγ β νγ τ νγ χ〈χ σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α χ〈χ

σ η νγ χ α τη νγ

1.4.5 Σαι σ χ α η◊m β τ κ

Χηο υ = φ(ξ1, ξ2, , ξν)

Τηεο χνγ τη χ ϖι πην χ α η◊m νηι υ βι ν τα χ⌠:

δυ =

1

ξ

υ

∂

∂

δξ1 +

2

ξ

υ

∂

∂

δξ2 + +

ν

ξ

υ

∂

∂

δξν

Τ đψ τα χ⌠

Δυ ≈

1

ξ

υ

∂

∂ Δξ

1 +

2

ξ

υ

∂

∂ Δξ

2 + +

ν

ξ

υ

∂

∂ Δξ

ν Συψ ρα

Δυ = |

1

ξ

υ

∂

∂

| Δ + |

1

ξ

2

ξ

υ

∂

∂

| Δ

2

ξ + + |

ν

ξ

υ

∂

∂

| Δ

ν

ξ (1.14)

ς δ Τνη σαι σ τυψ τ đ ι γι ι η ν ϖ◊ σαι σ τ νγ đ ι γι ι η ν χ α τη τχη ηνη χ υ:

ς = (1/6)πδ3

ν υ χηο đ νγ κνη δ = 3.7 ± 0.05 χm ϖ◊ π = 3.14 ± 0.0016

Γι ι

Ξεm π ϖ◊ δ λ◊ đ ι σ χ α η◊m ς, 〈π δ νγ (1.12) ϖ◊ (1.13) τα χ⌠

δς = δπ + 3δδ (Η σ 1/6 κηνγ νη η νγ đ ν σαι σ τ νγ đ ι)

δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005

δδ = 0.05/3.7 = 0.0135

Συψ ρα δς = 0.0005 + 3 ∗ 0.0135 = 0.04

Μ τ κη〈χ ς = (1/6)πδ3

= 26.5 χm3

Τα χ⌠ Δς = |ς|∗δς = 26.5∗0.04 = 1.06 ≈ 1.1 χm3

ς = 26.5 ± 1.1 χm3

1.5 ΣΑΙ Σ Τ⊆ΝΗ ΤΟℑΝ ςℵ ΣΑΙ Σ ΠΗ ΝΓ ΠΗℑΠ

Νη χηνγ τι đ νη χ đ ν τρν, κηι γι ι m τ β◊ι το〈ν πη χ τ π τα πη ι τηαψ β◊ι το〈ν đ⌠

β νγ β◊ι το〈ν đ ν γι ν η ν đ χ⌠ τη τνη το〈ν β νγ ταψ ηο χ β νγ m〈ψ Πη νγ πη〈π τηαψ β◊ι το〈ν πη χ τ π β νγ m τ πη νγ πη〈π đ ν γι ν τνη đ χ νη ϖ ψ γ ι λ◊ πη νγ πη〈π γ ν đνγ

Σαι σ δο πη νγ πη〈π γ ν đνγ τ ο ρα γ ι λ◊ σαι σ πη νγ πη〈π Μ χ δ υ β◊ι το〈ν đ δ νγ

đ ν γι ν, χ⌠ τη τνη το〈ν đ χ β νγ ταψ ηο χ τρν m〈ψ τνη, νη νγ τρονγ θυ〈 τρνη τνη το〈ν τα

τη νγ ξυψν πη ι λ◊m τρ∫ν χ〈χ κ τ θυ τρυνγ γιαν Σαι σ τ ο ρα β ι τ τ χ νη νγ λ ν θυψ τρ∫ν νη

ϖ ψ đ χ γ ι λ◊ σαι σ τνη το〈ν Τρονγ τη χ τ ϖι χ đ〈νη γι〈 χ〈χ λο ι σαι σ , νη τ λ◊ σαι σ τνη

το〈ν νηι υ κηι λ◊ β◊ι το〈ν ρ τ κη⌠ τη χ ηι ν ηι υ ρ⌡ η ν β ν χη τ χ α σαι σ πη νγ πη〈π ϖ◊ σαι σ τνη το〈ν τα ξτ ϖ δ σαυ:

Τα βι τ ρ νγ ϖ ι σ ξ β τ κ τα χ⌠

εξ = 1+

! 1

ξ

+

! 2

2

ξ

+ +

!

ν

ξ ν

+

Χνγ τη χ ν◊ψ χ⌠ τη δνγ đ τνη γι〈 τρ εξ Τυψ νηιν đψ λ◊ τ νγ ϖ η ν, νν τρονγ τη χ

τ τα χη τνη đ χ τ νγ Σν = 1+

! 1

ξ

+

! 2

2

ξ

+ +

!

ν

ξ ν

, νγη α λ◊ χηνγ τα đ δνγ πη νγ πη〈π γ ν đνγ Κηι τνη τ νγ Σν τα λ ι τη νγ ξυψν πη ι λ◊m τρ∫ν, δο đ⌠ τα λ ι γ π σαι σ κηι τνη το〈ν Σν

ςι χ đ α ρα m τ đ〈νη γι〈 ϖ σαι σ τ νγ η π χ α χ ηαι λο ι σαι σ τρν λ◊ β◊ι το〈ν ρ τ πη χ τ π

1.6 Σ Ν ΝΗ Χ Α Μ Τ ΘΥℑ ΤΡ⊂ΝΗ Τ⊆ΝΗ ΤΟℑΝ

Ξτ m τ θυ〈 τρνη τνη το〈ν ϖ λ τηυψ τ χ⌠ ϖ η ν β χ đ τνη ρα m τ đ ι λ νγ ν◊ο đ⌠ Τα

ν⌠ι ρ νγ θυ〈 τρνη τνη λ◊ ν đ νη ν υ σαι σ τνη το〈ν τ χ λ◊ σαι σ θυψ τρ∫ν τχη λ ψ λ ι κηνγ τ νγ ϖ η ν Ν υ σαι σ đ⌠ τ νγ ϖ η ν τη τα ν⌠ι θυ〈 τρνη τνη λ◊ κηνγ ν đ νη

Ρ⌡ ρ◊νγ ν υ θυ〈 τρνη τνη κηνγ ν đ νη τη κηνγ χ⌠ ηψ ϖ νγ τνη đ χ đ ι λ νγ χ ν τνη ϖ ι σαι σ νη η ν σαι σ χηο πηπ

κι m τρα τνη ν đ νη χ α m τ θυ〈 τρνη τνη το〈ν τη νγ νγ ι τα γι σ σαι σ χη ξ ψ

ρα τ ι m τ β χ, χ〈χ β χ σαυ đ⌠ χοι νη κηνγ χ⌠ σαι σ κη〈χ πη〈τ σινη Ν υ χυ ι χνγ σαι σ τνη το〈ν κηνγ τ νγ ϖ η ν τη χοι νη θυ〈 τρνη τνη λ◊ ν đ νη

1.7 Μ Τ ςℵΙ Ι Υ ς Μ Ι ΘΥΑΝ Η ΓΙ Α ΤΗ Χ Τ ςℵ Μ Η⊂ΝΗ

Τηεο νη νγ đι υ ϖ α ν⌠ι τρν đψ τη χηνγ τα λυν ηι υ τη χ τ λ◊ τυψ τ đ ι đνγ, σαι σ χη

ξ ψ ρα κηι τα mυ ν m ηνη η⌠α τη χ τ ϖ◊ τι ν η◊νη τνη το〈ν m ηνη đ⌠ Τη χ ϖ ψ, χηνγ τα χ⌠

χ m γι〈χ ρ νγ γι ι τ νηιν đανγ ηο τ đ νγ m τ χ〈χη χηνη ξ〈χ: η m τ τρ ι đ χ⌠ κηο νγ 5 τ

ν m τυ ι, νη νγ σ ϖ ν η◊νη χ α ν⌠ χ⌠ ϖ ϖ ν ηο◊ν η ο: η◊νγ νγ◊ψ m τ τρ ι m χ, m τ τρ ι λ ν đ υ τηεο θυψ λυ τ Χ σαυ 365 νγ◊ψ + 1/4 νγ◊ψ τη θυ đ τ θυαψ đ m τ ϖ∫νγ θυανη m τ τρ ι ϖ◊ η υ

η τ χ〈χ ϖνγ τρν τρ〈ι đ τ đ υ τρ ι θυα β ν mα Χηνγ τα χ⌠ τη ηνη δυνγ ρ νγ χη χ ν m ι ν m

σ ϖ ν η◊νη χ α χ〈χ η◊νη τινη σαι λ χη đι χητ τ τη τρονγ η◊νγ τ ν m σαι σ τχη λ ψ χ⌠ τη σ γψ νν νη νγ βι ν χ κην λ νγ! Τυψ νηιν τηεο χ〈χ νη◊ τηιν ϖ ν τη σ ϖ ν η◊νη χ α χ〈χ η◊νη τινη κηνγ τυψ τ đ ι ηο◊ν η ο νη τα τ νγ Ξτ ϖ τρ χ α m τ τρ ι ϖ◊ τρ〈ι đ τ χη νγ η ν, τηεο λ τηυψ τ τη ν υ νγ◊ψ ηm ναψ m τ τρ ι đ νγ ϖ τρ γι α β υ τρ ι τνη τ đνγ σανγ τψ τη σαυ 24

γι ν α ν⌠ χ νγ ϖ τρ γι α β υ τρ ι (τ τ νηιν λ◊ χ⌠ τη χη χη ϖ πηα ναm ν υ τα đανγ ςι τ ναm) Νη νγ τρονγ τη χ τ κηνγ πη ι νη ϖ ψ Χ〈χ νη◊ τηιν ϖ ν đ κηνγ τη ξψ δ νγ đ χ mι γι m τ χ〈χη χηνη ξ〈χ ϖ◊ νη τ θυ〈ν ν υ δ α ϖ◊ο ϖ τρ χ α m τ τρ ι Ν⌠ι χ τη η ν, ν υ δ α ϖ◊ο ϖ τρ m τ τρ ι χ α ν m ναψ λ◊m mι γι χηο χ〈χ ϖνγ τρν τρ〈ι đ τ τη ν m σαυ τη ι γιαν đ⌠ κηνγ χ∫ν τηχη η π χηο θυ đ ο χ α m τ τρ ι ν α, m◊ χ⌠ κη〈χ đι χητ τ Χηνη ϖ σ ∀đ νγ đ νη∀

χ α m τ τρ ι νη ϖ ψ νν χ〈χ νη◊ τηιν ϖ ν đ đ α ρα κη〈ι νι m m τ τρ ι τρυνγ βνη ϖ◊ τη ι γιαν τρυνγ βνη Σο ϖ ι m τ τρ ι τρυνγ βνη ϖ◊ τη ι γιαν τρυνγ βνη τη η◊νγ ν m m τ τρ ι τη τ đι λ χη τρονγ κηο νγ τη ι γιαν τ −14,3 đ ν +16,3 πητ Τυψ νηιν σ δ χ〈χ σαι σ ν◊ψ κηνγ τχη λ ψ τ

ν m ν◊ψ σανγ ν m κη〈χ λ◊ ϖ χ〈χ σαι σ γιαο đ νγ θυανη ϖ τρ τρυνγ βνη ϖ◊ τρι τ τιυ λ ν νηαυ τηεο τη ι γιαν

Νγη α λ◊, κηνγ χη m ηνη χ α χηνγ τα, m◊ νγαψ χ γι ι τ νηιν χ νγ χ⌠ νη νγ σαι σ Τυψ νηιν χ〈χ σαι σ τρονγ γι ι τ νηιν đ υ χ⌠ θυψ λυ τ ϖ◊ τη νγ τρι τ τιυ λ ν νηαυ, δο đ⌠ κηνγ λ◊m

νη η νγ đ ν σ ϖ ν η◊νη χ α χ〈χ ϖ τ τη

ΒℵΙ Τ Π

Β◊ι 1. Κηι đο 1 σ γ⌠χ τα đ χ χ〈χ γι〈 τρ σαυ:

α= 21ο37’3”; β=1ο10’

Ηψ ξ〈χ đ νη σαι σ τ νγ đ ι χ α χ〈χ σ ξ π ξ đ⌠ βι τ ρ νγ σαι σ τυψ τ đ ι τρονγ πηπ đο λ◊ 1”