Bài giảng phương pháp số (Phương pháp phần tử hữu hạn)

Viết I.1 dưới dạng tường minh ta được : xy x  I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị hệ thức Cô-si Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện

Bộ môn Toán

Vũ Khắc Bảy

Bài giảng phương pháp số

(phương pháp phần tử hữu hạn)

Hà nội - Năm 2012

LỜI NÓI ĐẦU

Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích

ta còn có các phương pháp số Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các

phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó Vì vậy thời kỳ đầu của các

phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn Cùng

với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển

rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các

bài toán cơ học Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các

dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu

dạng tấm , vỏ ,

Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan

đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật

công trình thuộc trường ĐHLN

Trong năm trước đây chúng tôi có biên soạn nội dung bài giảng : Phương pháp

phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số Vẫn biết

rằng tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên

mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp

phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và

cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp này) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn

Tài liệu mới chỉ tiếp cận đến một số nội dung và khái niệm cơ bản của phương

pháp phần tử hữu hạn Các vấn đề trình bày mới dừng đến việc tính toán cho dàn, khung

không gian

Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục

này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường

lập trình khác

Mong rằng với ý muốn như thế sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập

môn học này của các em sinh viên, và tất nhiên rất mong được các đóng góp của độc giả

về các vấn đề trình bài trong tài liệu

Tác giả

Chương I

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG &

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC

I.1.1 Ten xơ ứng suất

Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ

xuất hiện ứng suất Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không

những phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được

xác định bởi pháp tuyến có hướng n

Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất Tn

và véc tơ

n

tại điểm P sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó Trạng thái ứng suất tại điểm

hoàn toàn được xác định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó

I.1.2 Phương trình cân bằng

Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái

biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta

V S

ij

i

x lµ hay K

Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng, ρ là mật độ khối lượng , K

lực khối

Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được :

xy x



I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si)

Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện thay

đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ X d

Trong đó Xn - biến Lagrăng, xk – biến Ơ le , Um và un là các thành phần chuyển vị theo

biến Lagrăng và Ơle

Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến

trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của

23 22 21

13 12 11

x

yε

I.1.4 Phương trình liên tục

Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3

thành phần chuyển vị cho trước Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ

quan hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần

biến dạng sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương

thích biến dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục

trong môi trường

 Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn

I.1.5 Điều kiện biên

Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất

 Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường

được cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó

 Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự

cân bằng giữa ứng suất trên mặt biên với ngoại lực đặt lên đó

Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau :

- Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ; v(0, y) 0

x







- Tại mặt trên ( y = h) : τ (x, h)xy  0 ; σ (x, h)y  q

- Tại mặt dưới ( y = 0) : τ (x,0)xy 0 ; σ (x, 0)y 0

- Tại đầu B ( x =  ) : τ ( , y)xy  0 ; σ ( , y)x  0

I.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng

Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi,

biến dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở

đây được áp dụng bởi định luật Hooke

Xét với vật liệu đẳng hướng :

I.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng :

Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7)

Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng:

với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt , ν - hệ số Poát-xông của vật liệu

0

ε αT 1 , 1 , 1, 0, 0, 0 , trong

đó α - hệ số dãn nở vì nhiệt, T0 – độ biến thiên của nhiệt độ

Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có :  σ  D   ε  ε0 

hay là :

     

0

111

I.1.6.2 Bài toán 2 chiều :

 Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải

trọng nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z

vuông góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng :

 σz τxz τyz 0

 ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm

với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng :  ε  C σ   ε0

 Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt

ngang không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều

vuông góc với 0z , khi đó ta có : w = 0 ; εz w 0

  hoặc σx Eεx EεT0 ( => D = E – mô đun đàn hồi)

I.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các

phương trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra

được các ẩn cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất ,

véc tơ chuyển vị Các phương trình gồm có :

 Phương trình cân bằng

 Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)

 Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke)

và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học

Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi

Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3

chiều ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3

thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất Cho đến nay

cũng đã có được các phương pháp giải đúng và gần đúng Có những phương pháp có thể

áp dụng tốt cho một lớp các dạng bài toán cơ học biến dạng nhưng lại khó khăn áp dụng

nó cho dạng khác Có thể tổng kết ra đây theo sơ đồ sau

I.2.1 Phương pháp chính xác

Phương pháp giải tích giải các bài toán đàn hồi : Có thể giải theo chuyển vị , hoặc

giải theo ứng suất

ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa

gối khớp tại hai đầu A , B

Lời giải bài toán trên đã có trong sức bền

Các phương pháp số giải các phương trình vi phân

Phương pháp phần tử hữu hạn ( PTHH )

Các phương pháp tích phân số

Phương pháp sai phân hữu hạn

Mô hình tương thích

Mô hình cân bằng

Mô hình hỗn hợp

     ; độ võng lớn nhất tại x= / 2 là wmax =

4

5q384EJ



I.2.2 Các phương pháp biến phân :

Các bài toán cơ học nói chung có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát :

trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm ,

g = g(x,y,z) và p=p(x,y,z) là các hàm cho trước

Phương pháp biến phân là phương pháp gần đúng nhằm tìm một nghiệm xấp xỉ dựa trên

một tiêu chuẩn nào đó Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz,

phương pháp Galerkin,

1 Phương pháp Ritz :

Trong một số các bài toán đàn hồi thường tồn tại một phiếm hàm I dạng :

x xx y yy V

IF(x, y, u, u , u , u , u )dxdy    và từ điều kiện dừng của phiếm hàm này sẽ dẫn ra

các phương trình vi phân của bài toán

Phương pháp Ritz tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng trong một dạng tổ hợp tuyến tính các hàm

biết trước, chẳng hạn như trong bài toán phẳng , theo Ritz thì chuyển vị có dạng :

 Thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất

 Hệ hàm  φi iN là độc lập tuyến tính và đầy đủ Với các điều kiện trên sẽ làm cho nghiệm của Ritz hội tụ đến nghiệm chính xác ( khi N   )

Ci là các hằng số cần tìm, chúng được xác định khi thay u(x,y) vào phiếm hàm I,

lấy tích phân trên V, khi đó I sẽ là hàm của các Ci, cho thỏa mãn điều kiện dừng của I

(tức là các đạo hàm riêng của I theo các Ci bằng 0) sẽ dẫn đến hệ phương trình đại số xác

định các hằng số Ci

2 Phương pháp phần dư có trọng (Weighted Residual Method)

Gọi R(u) = L(u) + g được gọi là hàm phần dư, như vậy nghiệm của bài toán

L(u) + g = 0 sẽ được chuyển thành tìm u là nghiệm của bài toán R(u) = 0 Người ta cũng

 φ0 : được chọn sao cho thỏa mãn các điều khiện biên không thuần nhất

 φi : khả vi đến số lần cần thiết , thoả mãn các điều kiện biên thuần nhất và

hệ hàm { φi} là độc lập tuyến tính

khi đó R(uN) = R(x,y,z,C1, C2, ,CN)

Các hằng số Ci được tìm bằng phương pháp : lấy tích phân trên V của tích các hàm ψk

với R(uN) , tức là :

k N V

ψ R(u ) dv  0 ; k 1, 2, , N

các hàm ψk được gọi là các hàm trọng số (Weighted function)

Chú ý rằng toán tử vi phân L trong (1.15) là tuyến tính nên thay R(uN) vào (1.17)

3 Phương pháp Galerkin : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy

ψk  φk Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm { φk} là hệ trực giao thì sẽ

rất thuận lợi dẫn đến (1.18)

Ví dụ: Trong ví dụ trên phần 1.2.1 ta co phương trình vi phân của độ võng

4 4

4 4 N

i 4

Nhân cả hai vế với sinπk x

 và lấy tích phân hai vế ( k = 1, 2,3, , N) dẫn đến :

4 4 N

i 4

π k2 ;

B2m = 0 ; B2m -1 = 2 q

(2m 1)πEJ



4 Phương pháp sai phân : Phương pháp sai phân là phương pháp biểu diễn gần đúng

các giá trị của đạo hàm theo các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận ( xuất phát từ khai

triển Tay-lo của hàm số) Chẳng hạn đối với hàm một biến f(x) ta có được :

khi đó việc giải các phương trình vi phân được đưa về việc tìm các giá trị hàm số tại các

điểm nút lưới ( mà khoảng cách giữa các điểm chính là Δx )

ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa

gối khớp tại hai đầu A , B

Có phương trình vi phân của độ võng

Chia lưới sai phân như hình vẽ : 4 đoạn với 5 nút (từ 0 đến 4, với nút 0 tại x = 0 ; nút 4

tại x =  ), có Δx

4

 tại nút 0 : w0 = 0 w1 2w0  w10.Δx2  => w0 -1 = - w1

sai số tương đối : 0.049987

I.3 CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

I.3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng ( nguyên lý biến phân về chuyển vị)

Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi  được xác định là :  = U - A trong đó :

U - thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi được tích lũy trong quá trình biến dạng

A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực do vật thể bị biến

dạng

Nguyên lý phát biểu rằng : Trong tất cả các trường chuyển vị ( các trạng thái chuyển

vị ) khả dĩ động ( tức là thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiên biên động học) thì

trường chuyển vị thực ( tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng

toàn phần  đạt giá trị dừng (nhỏ nhất)

Tức là khi đó: δ  ({u}) = δ U({u}) - δ A({u}) = 0

Thế năng biến dạng U được tính theo công thức :

nếu có biến dạng đầu thì :

do đó tại x = 0 và x =  ta có :

2 2

d w

dx = 0 ; δw =0 =>

4 4 0

d w

dx  = 0 , đây chính là phương trình cân bằng của dầm chịu uốn viết cho chuyển vị

I.3.2 Nguyên lý cực tiểu của năng lượng bù toàn phần ( nguyên lý biến phân theo

ứng suất)

Năng lượng bù toàn phần của vật thể đàn hồi  được định nghĩa là : *

*

 = U* - A* , trong đó U* là năng lượng bù của biến dạng

Trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính thì U* = U = T

V

1{σ} {ε}dv

0 V

Nguyên lý cực trị năng lượng bù toàn phần được phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất khả dĩ tĩnh ( tức là thỏa mãn các điều kiện cân

bằng và điều kiện biên tĩnh học trên S t ) thì trường ứng suất thực ( tương ứng thỏa mãn

điều kiện tương thích) sẽ làm cho năng lượng bù toàn phần  đạt giá trị dừng *

Chương II

CƠ SỞ VÀ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm

gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V Tuy nhiên PP PTHH không tìm

dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve ( phần tử)

thuộc miền xác định V Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm

gần đúng cho các bài toán vật lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm được xác định trên những

miền phức tạp là những vùng nhỏ có các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chịu các

điều kiện biên khác nhau Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như

một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử

Trong PP PTHH , miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con được

gọi là các phần tử Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên được gọi

là các nút Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm ( chẳng hạn đó là các biến

dạng, dịch chuyển, ứng suất ,…) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – được

gọi là các hàm xấp xỉ ( approximation function) Các hàm xấp xỉ này được được tính

thông qua các giá trị của nó ( đôi khi qua các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần

tử và các giá trị này được gọi các bậc tự do của phần tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm

của bài toán

Trong bài toán cơ học vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của

các hàm xấp xỉ ta có thể áp dụng bài toán theo ba loại mô hình sau:

1 Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ

biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số được xác

định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần ( hay

nguyên lý biến phân Lagrange)

2 Mô hình cân bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất

hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập

trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng ( hay nguyên lý biến phân về

ứng suất – nguyên lý Castigliano)

3 Mô hình hỗn hợp : Xem các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai hai yếu tố

độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng

suất trong phần tử Các ẩn cần tìm được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên

cơ sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được giá trị các ẩn số ( bằng việc giải một hệ phương trình đại số), như

vậy ta đã tìm được xấp xỉ các đại lượng cần tìm, từ đó tìm được giá trị của các đại

lượng còn lại

Mô hình tương thích được áp dụng rộng rãi Trong giáo trình này chủ yếu các bài

toán được giải theo mô hình tương thích

II.2 Trình tự các bước phân tích bài toán theo phương pháp PTHH

 Bước 1 Rời rạc hóa miền khảo sát

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve ( phần tử) có dạng hình học thích hợp

Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các

phần tử phải được xác định cụ thể Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà

phải phụ thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn

 Bước 2 Chọn hàm xấp xỉ thích hợp : Chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn

giản đối với tính toán, nhưng vẫn đảm bảo các tiêu chuẩn hội tụ Thường chọn các

hàm này có dạng đa thức

sau khi chọn dạng hàm xấp xỉ ta biểu diễn các hàm này (kể cả đạo hàm của

nó) theo tập hợp các giá trị tại các nút của phần tử {q}e

 Bước 3 Xây dựng phương trình phần tử, tức là thiết lập ma trận độ cứng

phần tử [K] e và véc tơ tải phần tử {P}e

Kết quả nhận được phương trình có dạng : [K]e {q}e = {P}e

 Bước 4 Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình mà kết quả là hệ thống

phương trình : [K] {q}  {P} trong đó :

[K] là ma trận độ cứng tổng thể ( toàn miền V)

{q} là véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại tất cả các nút ( tức là véc

tơ chuyển vị nút tổng thể)

{P} là véc tơ số hạng tự do tổng thể ( tức là véc tơ tải tổng thể )

sau đó sử dụng điều kiện biên của bài toán sẽ nhận được hệ phương trình :

[K ] {q }  {P } - là hệ phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải

 Bước 5 Giải hệ phương trình đại số : [K ] {q }* *  {P }* , tìm được

chuyển vị của các nút Việc giải hệ phương trình [K ] {q }* *  {P }* đối với bài toán

tuyến tính không gặp khó khăn, nhưng với bài toán phi tuyến thì sẽ dùng phương pháp

lặp ( mà được tuyến tính hóa , chẳng hạn như phương pháp Newton – Raphson) mà ở

mỗi bước lặp ma trận độ cứng [K ]* và {P }* sẽ thay đổi

 Bước 6 Hoàn thiện: tính giá trị các đại lượng còn lại: ứng suất, biến dạng

II.3 Hàm xấp xỉ - đa thức xấp xỉ Phép nội suy

1 Hàm xấp xỉ :

Tư tưởng chính của PP PTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong mỗi miền con

– phần tử Ve Do đó đầu tiên phải chọn hàm số đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần

tìm trong mỗi phần tử Hàm số đơn giản hay được chọn có dạng đa thức, vì:

 Đa thức được xem như tổ hợp tuyến tính các đơn thức , các đơn thức này

thỏa mãn yêu cầu của Ritz , Galerkin

 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi

xây dựng các phương trình PP PTHH, dễ đạo hàm, dễ lấy tích phân

 Có khả năng tăng độ chính xác ( bằng cách tăng số bậc của đa thức), tuy

nhiên trong thực tế thường chỉ lấy bậc thấp mà thôi

2 Phép nội suy

Trong PP PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ được biểu diễn qua các

giá trị của nó ( cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trước trên

Nội suy xấp xỉ hằng số Nội suy tuyến tính Nội suy bậc hai

Nội suy hằng số (u)x u0 u(a b)

Hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản :

Bài toán 1 –D : u(x) = a1 + a2x ( xấp xỉ tuyến tính)

u(x) = a1 + a2x + a3 x2 ( xấp xỉ bậc 2) u(x) = a1 + a2x + a3 x2 + a4x3 ( xấp xỉ bậc 3) như vậy nếu u(x) xấp xỉ bậc n thì u(x) =

n 1

i 1 i

n 1

aa

 hay u(x) = [P(x)] {a}

trong đó [P(x)] – ma trận các đơn thức {a} - véc tơ tọa độ tổng quát (hay véc tơ các

tham số)

Bài toán 2-D

Nếu chọn xấp xỉ bậc hai thì khi đó u(x,y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5y2 + a6xy

hay u(x,y) = [ 1 x y x2 y2 xy]

1 2

6

aaa

 => u(x,y) = [P(x,y)] {a}

Bài toán 3 – D có u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a} (II.1) Trường hợp xấp xỉ tuyến tính có [P(x,y,z)] = [ 1 x y z ] khi đó

 

1 2 e

4 Chọn bậc của đa thức xấp xỉ

Các đa thức xấp xỉ cần thỏa mãn được các yêu cầu sau:

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Do PP PTHH là một phương pháp số nên phải đảm bảo được rằng khi kích thước

các phân tử giảm đi thì kết quả tính phải hội tụ đến giá trị chính xác Để có được

điều này thì các đa thức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

- Liên tục trong phần tử Ve Điều này được thỏa mãn vì xấp xỉ là đa thức

- Bảo đảm trong phần tử có trạng thái đơn vị ( hằng số) và có các đạo hàm riêng

của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi

(m ) V

I(u)  F(x, u, u ', u ", , u ) dv - x là tọa độ điểm, u là hàm xấp xỉ

- Trên biên phần tử , u và các đạo hàm của nó có đến cấp m -1 liên tục

Chẳng hạn như khi u là chuyển vị thì muốn đảm bảo trạng thái đơn vị và dịch

chuyển cứng thì trong đa thức xấp xỉ không được bỏ qua số hạng a 1 , hay không được

bỏ qua thành phần 1 trong [P(x,y,z)]

Khi làm mịn lưới các phần tử cần tuân theo các quy tắc sau :

+ Lưới sau mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có trong

tập các nút lưới sau

+ Các phần tử có kích thước nhỏ hơn trước, nhưng dạng hình học vẫn phải được

giữ như trước

+ Dạng đa thức không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử

 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình

học Dạng đa thức được chọn từ tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), tháp

Passcal cho bài toán 3 chiều

Tam giác Passcal Bậc đa thức Số tham số

 Số các phần tử của {a} – là các tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc

tự do của phần tử {q}e , khi đó có thể nội suy đa thức xấp xỉ thep giá trị đại

lượng cần tìm tại nút phần tử

5 Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo véc tơ các bậc tự do của phần tử Ma trận hàm dạng

 Bậc tự do của một nút ( nodal degree of freedom ) là giá trị ( có thể có cả giá

trị đạo hàm ) của hàm ( đa thức ) xấp xỉ tại nút

 Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử được gọi là véc tơ bậc tự

do của phần tử, ký hiệu là { q}e - còn được gọi là véc tơ chuyển vị nút phần

tử Các bậc tự do này là ẩn số của bài toán PP PTHH

Ví dụ : Trong bài toán phẳng đàn hồi , khi dùng phần tử tam giác có 3 điểm nút, mỗi nút

có 2 bậc tự do : đó là các chuyển vị theo phương x và y , do đó tập hợp chuyển vị ở 3 nút

là véc tơ chuyển vị của phần tử :

mãn điều kiện : Các giá trị của đa thức xấp xỉ ( có thể cả đạo hàm của nó) tại các điểm

nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng giá trị các bậc tự do của phần tử

Chú ý rằng ma trận [A] là ma trận vuông có ne × ne phần tử và chỉ chứa tọa độ các điểm

nút của phần tử => {a} = A-1.{q}e Sau khi tính được {a} ta thay vào (II.1) tức là :

u(x,y,z) = [P(x,y,z)].{a}

=> u(x,y,z) = [P(x,y,z)] A -1 {q} e hay u(x,y,z) = [N].{q} e (II.3)

được gọi là ma trận các hàm nội suy hay là ma trận hàm dạng

Ví dụ 1: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử thanh lăng trụ chịu kéo, nén dọc trục ( Biết

thanh chiều dài L , diện tích mặt cắt ngang : F , mô đun đàn hồi E)

Giải Tại mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và biến dạng dọc trục : u(x) và εx du

hàm xấp xỉ tuyến tính : u(x) = a1 + a2x ( 0 ≤ x ≤ L ) hay :

1 2

au(x) [1 x ]

Như vậy {a} có 2 tham số, nên véc tơ chuyển vị nút {q}e của phần tử cũng chỉ có 2 bậc tự

do - là 2 chuyển vị dọc trục x tại hai đầu nút :

Ví dụ 2 Chọn đa thức xấp xỉ và tìm ma trận hàm dạng phần tử dầm 2 điểm nút chịu uốn

Giải

Bỏ qua biến dạng dọc trục, khi đó trạng

thái chuyển vị của dầm được đặc trưng bởi

chuyển vị v(x) theo phương vuông góc với

Như vậy để nội suy hàm xấp xỉ v(x) thì véc tơ tham số {q}e cũng phải có 4 tham số =>

đa thức xấp xỉ của v(x) là đa thức bậc 3 ( vì đa thức bậc 3 có 4 hệ số)

v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 = [ 1 x x2 x3 ]

1 2 3 4

aaaa

aaaa

2 3 v

2 θ

II.4 Các phương trình cơ bản

1 Chuyển vị , biến dạng và ứng suất trong phần tử Ma trận cứng phần tử , véc

tơ tải phần tử

Do ở đây ta giải bài toán theo mô hình tương thích ( phương pháp chuyển vị) , nên

đại lượng cơ bản cần xác định đầu tiên là chuyển vị Chuyển vị được xấp xỉ hóa và nội

suy theo véc tơ chuyển vị nút các phần tử {q}e

 Sau khi tìm được ma trận các hàm dạng [N], ta sẽ biểu diễn được trường

 Ta có các phương trình Cô-si cho sự liên hệ giữa trạng thái biến dạng và

chuyển vị, do đó trạng thái biến dạng của các điểm trong phần tử sẽ là :

và [B] được gọi là ma trận tính biến dạng

 Trạng thái ứng suất tại một điểm thuộc phần tử trong trường hợp vật liệu

tuân theo Hooke sẽ là :

trong đó : [T] = [D] [B] là ma trận tính ứng suất (II.10)

Như vậy nhờ có (II.5) , (II.6) , (II.9) ta có thể biểu diễn chuyển vị, biến dạng, ứng suất

trong phần tử theo véc tơ chuyển vị nút phần tử {q}e

Thế năng toàn phần của phần tử Ve theo (I.19) là :

Ví dụ 1: Tìm ma trận cứng và véc tơ tải của phần tử thanh lăng trụ chịu kéo, nén dọc

trục ( thanh chiều dài L , diện tích mặt cắt ngang : F , mô đun đàn hồi E)

Giải Tại mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và biến dạng dọc trục : u(x) và εx du

dx

thấy rằng đa thức xấp xỉ u(x) chỉ đòi hỏi

tồn tại đạo hàm bậc nhất, do đó có thể lấy

u(x) là hàm xấp xỉ tuyến tính :

u(x) = a1 + a2x ( 0 ≤ x ≤ L )

hay :

1 2

au(x) [1 x ]

V

[K]   [B] [D][B]dv (II.13)

Véc tơ tải phần tử {P} e được tính theo (II.14) là :

xL

T0 độ biến thiên nhiệt độ

2 Ghép nối các phần tử - Ma trận cứng – Véc tơ tải tổng thể

a) Ghép nối các phần tử:

Vật thể V được chia thành Ne miền con hay là phần tử ( Ve) bởi R điểm nút

Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ sẽ là : n = R × s Gọi  q là véc

tơ chuyển vị nút tổng thể ( còn gọi là véc tơ chuyển vị nút kết cấu) ,  q có n thành phần

và là tập hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ

Nếu mỗi phần tử có r nút khi đó số bậc tự do của mỗi phần tử sẽ là : ne = r × s

Véc tơ chuyển vị nút phần tử {q}e có ne thành phần gồm tất cả các bậc tự do của r nút

Ví dụ 1: Dầm với 4 nút , mỗi nút có 2 bậc tự do như hình vẽ :

Véc tơ chuyển vị nút tổng thể  q sẽ là :

 q = { q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8}T

khi đó ta sẽ có :

1 1

2 2

3

8 4

Áp dụng nguyên lý Lagrange ( nguyên lý thế năng toàn phần dừng) về điều kiện cân bằng

của toàn hệ tại các điểm nút :

1

2

n

0q

0q

0q

Phần tử K của ma trận cứng tổng thể Kij    biểu thị lực sinh ra ở nút i do

chuyển dịch đơn vị ở nút j khi tất cả các nút bị gắn cứng

Thành phần P của véc tơ tải tổng thể i  P là ngoại lực tác động lên các phần tử

(tính cả biến dạng và ứng suất ban đầu) được quy đổi về tương ứng với bậc tự do thứ i

Trường hợp hệ thanh còn phải kể thêm vào  P các ngoại lực tập trung tại tác động lên

các điểm nút theo các bậc tự do tương ứng

2 Khi thiết lập phương trình (II.21) ta chưa đưa vào các điều kiện biên động học ( liên

quan đến dịch chuyển), vật thể lúc này là tự do, do đó ma trận    là suy biến ( tức là K

định thức của    bằng 0) do vậy không tồn tại K  K 1 Nhưng sau khi đưa vào các điều

kiên biên động học ta sẽ dẫn về phương trình : *  *  *

3 Việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính ma trận cứng    và K  P thực chất là sắp

xếp các phần tử    và K e  P vào vị trí của nó trong e    và K  P Tuy nhiên trong

khi thực hành người ta sử dụng ma trận chỉ số tiện lợi hơn trong quá trình ghép nối

4 * Do    đối xứng nên KK e    đối xứng

*    có dạng băng K

* Bề rộng của băng tùy thuộc theo cách đánh thứ tự số nút

Ví dụ Xét khung phẳng 10 tầng ( như hình vẽ), 4 nhịp Nếu không kể đến 5 nút ngàm

cứng thì hệ có 50 nút, mỗi nút có chuyển vị ( 3 bậc tự do) chưa biết => số ẩn của hệ là :

50 × 3 = 150 => ma trận    có số phần tử = 150K 2 = 22500 thành phần

a) Cách đánh nút theo chiều ngắn : B = 18 b) Cách đánh nút theo chiều dài : B = 33

Nhưng do ý nghĩa cơ học thấy rằng : Kij 0 khi i và j là các bậc tự do thuộc cùng một

nút hoặc hai nút kề nhau, còn lại là bằng 0, chẳng hạn :

rộng băng B là nhỏ nhất Như thể sẽ có lợi cho việc lưu trữ số liệu và việc giải hệ phương

trình đại số

3 Phép chuyển trục tọa độ

Trong các phần trên ta đều tính giá trị các đại lượng : chuyển vị, biến dạng ,

ứng suất, ma trận hàm dạng [N]e , ma trận cứng phần tử [K]e , véc tơ tải phần tử {P}e đều

trong hệ tọa độ thích hợp cho mỗi phần tử - là hệ tọa độ địa phương ( local coordinate

system), do vậy phương của các bậc tự do cũng lấy theo hệ tọa độ này

Thực tế các kết cấu mà các phần tử khác nhau thì có các hệ tọa độ địa phương

khác nhau, do đó các bậc tự do của các phần tử cũng khác nhau về phương Chính vì lẽ

đó cần có một hệ tọa độ chung cho toàn hệ - gọi là hệ tọa độ tổng thể ( global coordinate

system)

Nếu gọi :

* hệ tọa độ địa phương là xyz và hệ tọa độ tổng thể là x’y’z’

* {q}e , {P}e , [K]e là véc tơ chuyển vị, véc tơ tải , ma trận cứng phần tử

trong hệ tọa độ địa phương xyz

* {q’}e , {P’}e , [K’]e là véc tơ chuyển vị, véc tơ tải , ma trận cứng phần tử

trong hệ tọa độ tổng thể x’y’z’

khi đó ta có mối liên hệ giữa chúng :

{q}e = [T]e {q’}e và {P}e = [T]e {P’}e (II.24)

ma trận {T}e là ma trận biến đổi ( transformation matrix) các thành phần chuyển vị nút

từ hệ tọa độ tổng thể x’y’z’ về hệ tọa độ địa phương xyz

với {P } - véc tơ tải tập trung tại các nút tác dụng theo các phương tương ứng của các n

thành phần véc tơ chuyển vị nút kết cấu  q ' - gọi là véc tơ tải trọng nút ( nodal load

vector)

Ví dụ: Xét phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục :

nếu lấy hệ tọa độ địa phương 0x dọc trục, 0y vuông góc trục thanh, 0x lập với 0’x’ góc α

Gọi các véc tơ cơ sở chính tắc của hệ 0xy là E = {e1 , e2} còn cơ sở chính tắc của 0’x’y’

là E’= { e’1 , e’2 } khi đó ma trận chuyển cơ sở từ E’ sang E là P với

( ma trận P có các cột là tọa độ của E biểu diễn qua E’)

do đó P-1 là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’, do đó với véc tơ x

4 Xây dựng ma trận cứng tổng thể - Véc tơ tải tổng thể

Sử dụng ở đây hai hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của các nút :

1 Hệ thống chỉ số tổng thể:

Đánh số các bậc tự do của toàn hệ thống tức là thứ tự của các bậc tự do đang xét

trong  q hoặc  q , nó được đánh thứ tự là 1 , 2 , 3 ,…, n = R× s

2 Hệ thống chỉ số phần tử : Để chỉ thứ tự các bậc tự do trong phần tử , hay là thứ

tự các bậc tự do trong {q}e hoặc {q’}e , nó được đánh số 1, 2 , 3 , …, ne = r × s

trong đó R – số nút của cả hệ , r – số nút của phần tử , s – bậc tự do của một nút

Để xác định tương ứng mỗi thành phần của {q}e trong  q ( hoặc của {q’}e trong  q )

người ta đưa ra khái niệm ma trận chỉ số [b] ( còn gọi là ma trận liên hệ Boolean) mà

mỗi giá trị của thành phần b ij chính là chỉ số bậc tự do trong hệ thống chỉ số tổng thể

tương ứng với bậc tự do thứ j trong hệ thống chỉ số phần tử của phần tử thứ i

Ma trận chỉ số [b] có số hàng bằng số phần tử của hệ : Ne , có số cột bằng số bậc

tự do của một phần tử

Khi sử dụng ma trận chỉ số [b] để xây dựng ma trận cứng tổng thể [K] và véc tơ

tổng thể  P ( hoặc [K ] và  P ) thì cần nhớ rằng :

mỗi thành phần K của ma trận cứng phần tử [K]ije e ( của phần tử thứ e ) sẽ

Điều này cũng thực hiện cho :

mỗi thành phần K của ma trận cứng phần tử [K’]ije e ( của phần tử thứ e ) sẽ được

cộng thêm vào thành phần Kmn của ma trận cứng tổng thể [K ] ,

với m = b ei ; n = b ej ( chú ý b ei , b ej là giá trị của thành phần hàng e cột i và cột j

trong ma trận [b]

5 Áp đặt điều kiện biên

Hệ phương trình tổng thể (II.26) : [K'] q '  {P '} sắp xếp lại dạng như sau:

b

2 2

trong đó :  q ' b2 là véc tơ chứa tất cả các bậc tự do ( chuyển vị nút) đã biết

 q '1 véc tơ chứa các bậc tự do chưa biết ( còn lại trong  q ' )

 p '1b véc tơ tải với các thành phần đã biết

 p ' 2 véc tơ tải chưa biết ( còn lại trong  p ' )

khi đó hệ phương trình (II.29) được viết thành hai hệ như sau :