Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu: Chương 5 - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 5: Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn) trình bày các kiến thức: Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn, phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo.

PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU

TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN

Website môn học:  http://phuongphapso.tk/

Link dự phòng:  https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐

vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau

Hà Nội, 5‐2015

CHƯƠNG V

Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt

phẳng phần tử (tấm chịu uốn)

• Định nghĩa và phân loại tấm chịu uốn

song và cách nhau một khoảng là t (gọi là chiều dày tấm). Tùy

theo tỷ số giữa bề dày tấm (t) và kích thước nhỏ nhất của mặt

phẳng tấm (b) mà người ta có thể chia tấm chịu uốn làm 2 loại

sau:

• Tấm dày:

• Tấm mỏng:       và độ võng lớn nhất

Chú ý: Trường hợp với tấm mỏng có độ võng z > zmaxthì dưới tác dụng

của tải trọng vuông góc với tấm, các ứng suất trong tấm bao gồm cả ứng

suất màng và ứng suất do tấm bị uốn => khi đó phải tính toán tấm sử

dụng lý thuyết tấm có biến dạng lớn.

1 5

t

t b

4

t

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

• Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff

• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn còn

thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của

chúng là không đổi

• (2) Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt

• (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

lực vuông góc với mặt

phẳng tấm như hình vẽ. 

Mặt phẳng xy của hệ tọa

độ trùng với mặt trung bình

z

y

x

Mặt trung bình b

a t

phẳng trung bình như sau:

trong đó: q = q(x,y) là hàm

độ võng, tức chuyển vị theo

phương z của mặt phẳng

trung bình

y

q x

  



q x







x

q y

 



q y





x

q

y



y

q

x



Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

tấm được tính như sau:

hai lần độ xoắn

2

y

z



2

x

z



2

trong phần tử như sau:

Với:

2 2 2 2 2

2

x

y

xy

q k

x q k

y q k

x y

 







  



 



 



k

k k

2 2 2

2

'

1

q x

z y

q

x y





 

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

suất tương ứng, do đó:

/ 2 / 2

t

t



/ 2 / 2 / 2

/2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

/2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

/2 / 2 / 2

M

M

3

3 3 3

'

' '

12

x

x

xy xy

t

t









/ 2 / 2

t

t



/2

t

t



độ võng q(x,y) của phần tử như sau:

trong đó: D được gọi là độ cứng trụ của tấm chịu uốn

đàn hồi của tấm chịu uốn

'

M

M

x y x y



3 2

12 1

Et D







 

1

2

t

D D







Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

trong đó: {k} được gọi véc tơ độ cong của tấm chịu uốn

2 2 2 2 2

2

x

xy

q x M

q

y M

q

x y









 

T T

x y xy

• Lý thuyết tấm có kể tới biến dạng trượt của Mindlin

• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trước biến

dạng vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng

trung hòa khi biến dạng

• (2) Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt

trung hòa của tấm khi biến dạng

• (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

lực vuông góc với mặt

phẳng tấm như hình vẽ. 

Mặt phẳng xy của hệ tọa

độ trùng với mặt trung bình

z

y

x

Mặt trung bình b

a t

Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

trong đó: q = q(x,y) là hàm

độ võng, tức chuyển vị theo

phương z của mặt phẳng

trung bình

q x

    



q y





q x







q x







q y



thứ nhất tức là biến dạng trượt khác 0. 

Nếu bỏ qua biến dạng trượt thì ta sẽ trở lại ngay các kết quả

của lý thuyết Kirchhoff tức là:

q x

   



q y

     



0

   

y

q x

  



x

q y

 



Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

dày tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên 1 đơn vị

dài mặt cắt được tính theo các biến dạng trượt như sau

1 0

0 1

2 1

E

,

x y

 

,

xz yz

 

,

x y

 

,

xz yz

 

1 0

0 1

2 1

t Q



Trong đó:

• α = 5/6 = hệ số hiệu chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày của

biến dạng trượt

• t = bề dày tấm

trượt

như đã phân tích ở bài toán theo lý thuyết của Kirchhoff

0 1

2 1

c

Q







2 1

E

G

  



Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)

trong tấm được tính như sau:

3 2

12 1

E t Q

Q









 

 

   

   

0

0

T

y c

D

5.2. Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác

• Phần tử tấm dạng tam giác theo lý thuyết Kirchoff

tọa độ địa phương xyz như hình vẽ sau:

• Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 9 bậc tự do.

y

x

  0, 0

k

j i

 0, b

 a, 0

b

a

y

x z

3

i

q q x



  



k

j i

1 i

qq q4 q j

2

i

q q y

  

  

 

7 k

q q

5

j

q q y

  

  

 

6

j

q q x



  



8

k

q q y

  

  

 

9

k

q q x



  



i xi yi j xj yj k xk yk e

được xấp xỉ hóa bằng 1 đa thức chứa 9 tham số

xấp xỉ của độ võng có dạng như sau:

– Nhận xét: đây là loại phần tử không tương thích

• Giả sử có 2 phần tử liền kề có chung biên là ij thì độ dốc tại các nút i và

j là như nhau đối với cả 2 phần tử nhưng có thể độ dốc là khác nhau tại

các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính không

tương thích của phần tử tấm tam giác chịu uốn ở phần sau).

• Mặc dù phần tử tam giác là phần tử không tương thích nhưng vẫn cho

ra kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi trong thực tế.

   1 2 3 4 5 6 7 8 9

T e

1 2 3 4 5 6 7 8 9

,

q x y  a a xa ya x a xya y a x a x yxy a y

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

thuộc như sau:

Trong đó:

[P(x,y)] = ma trận các đơn thức:

và {a} là véc tơ tham số:

   1 2 3 4 5 6 7 8 9

T e

q x y  P x y  a

 

T

e

          

             

           

vị tại các nút. 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9

i

i

i j

e

j

j k

k

k

q q y q

q q

x q

q q q

q q

y q

q q

x q

q q q y q x

  

  



   

    

      

    

     



 

     

    



     

    

  



  



  

   

   

1 2 3

4 2

5 2 6

7 2 8 2 9

a a a

a

a

a

a

 

 

 

 

 

 

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

trong đó: c = b ‐ a

This image cannot currently be displayed.

y

x

  0, 0

k

j i

 0, b

a, 0 

b

a

tử với giá trị hàm chuyển vị tại nút ta có thể tìm được véc tơ

tham số {a} như sau: 

trong đó [N] là ma trận các hàm dạng

các hàm dạng Ni như sau:

,

q  H x y  a  a  H  q

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,

    1 ,

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

2 2 3 3

1 2 2 3 3

1

b

2 3

4 2 3

2 3

2 2 6

b

2 3

7 2 3

2 3

2 2 8

a

nên biến dạng có thể được biểu diễn theo véc tơ chuyển vị nút

 

2 2 2 2 2

2

e

q x k

q

y k

q

x y









 

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

trong đó [B] được gọi là ma trận tính biến dạng

 

     

     

     

 

 

 

 

1 2

2 2

2

2 2

1

2

,

,

, ,

2

e

e e

e

P x y H q

P x y q

x

P x y H q P x y q

q P x y H q P x y

x y











 

 

1

e

q

  e B q e

B  z L H 

 

 

 

 

2 2 2 2 2

,

,

, 2

P x y x

x y

P x y

y

x y

P x y

x y



 

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

• Xác định ma trận độ cứng

như sau:

e V

    1

B  z L H 

e V



/ 2

T e



tích phân như sau:

với A là diện tích phần tử. 

với

/ 2

2

/ 2 3

12

T e

e

A

t





 



e

t A

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn:

t A

I  L D L dA

1

2

t

D D







3 2

12 1

D







…

t A

2

A

ab

2

6

y

A

a b

y

x

 0, 0 

k

j i

0, b

a, 0 

b

a

3 2

12

y A

a b

2 2

8

xy A

a b

đối với hệ trục xy

Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)

trong đó:

t A

0

0 0

0 0 0

0 0 0 12

0 0 0 0 6 1

6

0 0 0 12 0 12

0 0 0

ab D







Đối xứng

I  ab  a b   2 2

I    a bab  2 2 

I  ab a b

I  a b  a b  3 3  2 2  

I  a bab   a b  

cứng của phần tử tam giác chịu uốn trong hệ tọa độ địa

phương như sau:

tổng thể (OXYZ) cần sử dụng ma trận chuyển hệ trục tọa độ

e