Sau bao năm chinh chiến tôi cũng đã thu lượm được một vài bí kíp về các môn học trong rất nhiều hoàn cảnh khác nhau , nghe có vẻ giống phim trung quốc , mỗi lần rơi xuống vực lại có một bí kíp võ công mới xuất hiện. Nhưng phải nói rằng người may mắn cũng phải có một tố chất nào đó nhất định, yếu tố đọc hiểu được đặt lên đầu tiên và yếu tố còn lại là hoàn cảnh và sự thấm nhuần khi chúng ta không còn việc nào khác để làm . Tôi thấy tài liệu này khá thú vị và phù hợp cho giáo viên cũng như học sinh, hi vọng còn có thể cung cấp hơn nữa cho các bạn.
Trang 1 7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không
âm, ta được một bất đẳng thức cùng chiều Đặc biệt:
xảy ra ⇔ =a b
)
Trang 2Muốn chứng minh a b> , ta chứng minh a b− >0.
2 Phương pháp biến đổi tương đương: A B< ⇔A1<B2 ⇔ A2 <B2 ⇔ … ⇔ <C D.
Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu đúng
3 Phương pháp vận dụng tính chất của bất đẳng thức và vận dụng những hằng bất đẳng thức quen thuộc:
Hướng dẫn giải
Trang 312
1
≤
++
+++
=+
+
+
d c
d c b a
b a d
c
d b a
b d
c
c b a a
d c
d b a
b d
c
c b a
a d
c a
2
11
21
2
12
1
−
=
−+
−
b
c a
c a
c b
c
b
c b a
c a
c a b c
b
c b a
c a
c a b
c ab
c b c c
a b
b
a −1+ −1≤
Hướng dẫn giải
Trang 4Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
22
2 2
2
2 4 2
4 4 4
4
≥+
a
b b
a ab
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
222
22
a a
b ab b
a ab a
2 2
2
2 2
2
a
b b
a a
b ab b
a ab
(đpcm)
0 ,
Hướng dẫn giải
Vì a,b>0
nên
,
>
a
b b
a
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
2 2
a
b b
a a
b
b
a
(đpcm)
Trang 5Bài 8: Chứng minh rằng:
1 , 1
1 1
1 1 1
−
−
≥ +
− +
a
a
, 1
2
2 2
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
2 1
1 1 2
1
1 1
1
1 1 1
2
2
2 2
2 2
2
2
2
= + +
≥ + + +
= +
+ +
a a
191
12
13
3113
93
1
19
1
3
2 2
2 2 2
4 2 4
2
=
≤+
=+
=
+
a a
a a a
a a
2 2
a
a a
A
Hướng dẫn giải
Trang 62
1
111
1
111
1
221
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
+
=+++
++++
++++
++++
=
a a
a a
a
a
a a
a
a a a
2
+
=+
)(
−+
=
−
+
b a b b a b b
a b b a b b
ab b
ca a
bc
++
≥++
Hướng dẫn giải
Ta có:
c b a a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a bc
a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a
bc c
= +
+
.
.
2
1 2
1 2
1
Trang 7Bài 14: Cho ba số thực abc≠0 CMR: c
a b
c a
b a
c c
b b
a
++
≥++ 22 222
c a
b c
a b
c a
b b
a a
c a
c c
b c
b b a
b
a a
c a
c c
b c
b b
a a
≥ + +
= +
++
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
.
2
1 2
1 2
1
3
+++
≥
++
≥
++
++
c
b a b
a c a
c b
6
≥
++
++
+
c
b a b
a c a
c b
Hướng dẫn giải
Ta có:
Trang 8( ) 1 1 1 3 9 3 6
3
31
11
+
=
−++++++++
+
+
+
c b a c b a
c
b a c b
a c b a
c b a
c
b a b
a c a
c b c
b a b
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.
Xét các bài toán sau:
Bài 1: Cho số thực a≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
1
a a
A= +
Sai lầm thường gặp là:
2
1 2
1
=
≥ +
=
a
a a a A
Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2
1a
2 3 1 4
3 1 4
2 4
3 1 4
a
a a a A
Dấu “=” xảy ra
2hay
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A
đạt GTNN khi a=2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2” Ta không
Trang 9thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số avà
1
a
vì không thỏa quy tắc
dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc
42
122
11
4
34
1
++
=+
=
và ta có lời giải như trên
Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số
A= +
Sơ đồ điểm rơi:
84
124
11
22
a a a
Trang 10Sai lầm thường gặp là: 4
9 8
2 7 2 2
1 8
7 2
1 8
7 1 8
2 8
7 1
a
a a
a a
a
a A
Dấu “=” xảy ra ⇔a=2
9 8
2 6 4
3 8
6 1 8
8 3 8
6 1 8
a
a a a
a
a a A
A= +
Phân tích:
12
Trang 11Sơ đồ điểm rơi:
16
14
4
14
1414
ab
ab ab
Giải:
Ta có:
14
12
ab
4
17 4
1 15 8 15
1 16 2 15
1
ab ab ab
ab ab
A
14
A= +
Phân tích:
a a a
A= 2 +18= 2 +9 +9
Trang 12Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a=6 Ta có
sơ đồ điểm rơi:
242
3362
36
99
366
a
a a
Vậy GTNN của A là 39
Tìm GTNN của
42
93
c b a c b a
A= + + + + +
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi a+2b+3c=20 ,tại điểm rơi a=2,b=3,c=4
Sơ đồ điểm rơi:
3
42
322
33
a
a
a
Trang 13332
32
b
b
b
41
414
3
3
4
324
.4
22
9.22
442
92
3
4
3
=++
+
≥
++++
+
≥
+++
c b
b a
a
c b a c
c b
b a
111
++
abc ca
bc ab c
b a
Trang 142 6
9 3
18 3
2 24
+
=
≥ +
+
ca
c a ca
c
a
ab
b a ab
b
a
3
4 8 12
6
9 4
8 12
6
9
4
3 2 8
16 3
+
+
=
≥ +
+
abc
b c a abc
c
b
4
13 8 24
13 48
13 2 24
13 48
13 2 24
13 18
13 2 24
13 18
13 2 24
b
b a b
111
+
+
abc ca
bc ab c
b
a
(đpcm)
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của
b a b
1 4 1
+ +
=
b a b a b a b a A
Vậy GTNN của A là 4.
Trang 15Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4
1a
11
2
12
11
212
b a
b a b
1.4
4433114
a b a b a A
Dấu “=” xảy ra
2
c b a
A= + + + 1+1+1
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Sơ đồ điểm rơi:
2
Trang 1612
2
12
111
212
c b a
c b a c
9
12
3
1
1
1.4.4
4
6
33311144
c b a c b a c b a
A
Dấu “=” xảy ra
2
c b a
A= 2 + 2 + 2 +1 +1+1
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
Sơ đồ điểm rơi:
8
24
12111
412
1
2 2 2
αα
αa b c
c b a c
b a
Giải:
2
Trang 17272.4
9493
1.4
94
91
9
4
9
1114
38
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
1
9
4
34
34
38
18
18
18
18
181
3
9 2 2 2
2 2 2
=+
≥+++
≥+
≥
+++
c b a c
b a c b a c b
a
c b a c b a c b a c b
a
A
Dấu “=” xảy ra
2
b a A
++
+
=
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b
Sơ đồ điểm rơi:
4 2
1 2 2
1 2
2 2
=
= +
⇒
α
ααα
a
a b a
ab
a
a ab
b a b
314
2.3
4
24
+
=
ab
ab b
a
ab ab
b a ab
b a b
a
ab ab
b a A
Dấu “=” xảy ra ⇔a=
Trang 18a c a
c b b a
c a c
b c b
a
+
++
++
122
=+
=+
=+
⇒
=
αα
αα
b a b
a c a
c b
b a
c a c
b c b
a c
++
++++
a b
a b
c a
c a
b c
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c
b
a
c
b a b
a c a
c b c
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c
.4
4 6
4
34
44
6
2
15 2
9 3
a b
a b
c a
c a b
Trang 19Tìm GTNN của : a b ab
A
2
11
2
2 ++
22
2
21
a
Giải:
22
1
22
12
2
11
2 2
2 2
2 2
+
=++
≥+
≥++
=
b a ab b
a ab
b a ab
2
2 2
=+
b a
ab b
a
Vậy GTNN của A là 4
ab b
a
A
2
11
Trang 20Sơ đồ điểm rơi:
3
23
22
21
3
21
12
⇒
=
αα
αab
b a b
a
Giải:
(a b) ab ab ab
ab b
a
ab ab
b a
ab ab b
a
A
3
14
1
43
12
61
1
2
3
16
1
12
3
16
11
1
2 2
2
2 2
2 2
++++
=++++
≥
++
+
≥
+++
2
Do 2
3
12
41
2 2
2
b a ab b
a b
a b
a
41
2
4
2 2
b a b
≥
3
81.3
=
=+
+
b a
b a
ab b
a
Vậy GTNN của A là 3
8
Trang 21Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của
ab ab b
1
21
⇒
=
αα
αab
b a b
a
4
4141
142
βab
ab b
a
Giải:
(a b) ab ab
ab b
a
ab ab
ab ab
b a
ab ab
ab ab b
a
A
4
12
44
122
2
1
2
4
14
1.422
12
4
14
14
2
11
2 2
2
2 2
2
2
+++
=++++
≥
++
+
≥
+++++
2
Do 2
4
12
2 2
b a ab b
a b
a
Trang 2214
2
2 2
=
=
=+
b a
b a
ab ab
ab b
x x
Trang 23Chứng minh rằng c a c( − +) c b c( − ≤) ab