b Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất... Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam giác đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy.. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong
Trang 1(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:
= +
+
=
+ cd 1 ab
d c b a
Chứng minh rằng: c = d
Bài 2: Chứng minh: ( 2 ) (2 2 ) (2 2 )2
1 x d cx x b ax
x + + + + + ≤ + Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1
Bài 3: Cho a 1 , a 2 , a 10 là các số thực dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
10
2 10
2 2
2 1
a
a a a
a
a a P
+ + +
+ + +
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4).
a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ OA , CB cùng phơng?
b) Tìm trên đờng thẳng x = 1 điểm M sao cho ∠ MBA = 45 0
Đề số 2 (Năm học 1993-1994)
Bài 1: Cho phơng trình: 4 − x + x + 5 = k
a) Giải phơng trình với k = 3
b) Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phơng trình x2+ ax + 1 = 0 và x2+ bx + 2 = 0 có một nghiệm chung ii) Tổng a + b nhỏ nhất
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phơng trình:
0 5 x x
y 2 − 2 − + =
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 2 MA + 3 MB − 4 MC = 0
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: NA 2 + NB 2 = 2 NC 2
Đề số 3 (Năm học 1994 1995)–
Trang 2(từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 1: a) Chứng minh: (3 21930 + 2 91945 − 19 51890) 7
b) Đơn giản biểu thức:
x sin 1
x sin 1 x cos 1
x cos 1 x cos 1
x cos x sin A
−
+
−
+ +
= (với 0 0 < x < 180 0)
Bài 2: Cho hàm số ( x ) = x − 2 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1
a) Tìm tập xác định D của hàm số
b) Tìm các giá trị x∈D sao cho f(x) là hằng số
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam
giác đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy
b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại M, N, P thoả mãn AN + BP + CM = 0 Chứng minh tam giác ABC đều
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với các ẩn số x, y, z:
= + +
= + +
= + +
8 z y x
6 z y x
2 z y x
3 3 3
2 2 2
Bài 2: a) Cho a , b , c ∈ R+ và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
6 a c c b b
a + + + + + ≤
b) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của hệ:
>β α
= +
= β−
α
0 ,
1 x x
0 x x
2 1
2 1
.Chứng minh rằng:
4
1 x
x1 2 ≤
Bài 3: Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: IA − 3 IB + 6 IC = 0
b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EA EB 2 EC
3
1
Tìm bao hình của đờng thẳng EF
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đờng tròn với
OK = k ≠ 0 Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trờng hợp sau:
a) Tổng KA 2 + KB 2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
b) Tổng KA 2 + KB 2 đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Trang 3(từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 1: Giải hệ phơng trình:
= +
−
−
= +
+ +
0 y x
x y y
3 y x
y x x
2 2
2 2
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 ; n , n 1
n
n 1 n
n
n n
n
>
∈
<
− +
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
(x A x B)(y C y B) (x C x B)(y A y B) 2
1
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) M là điểm chuyển động trên O
Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: T = MA 2 + 2 MB 2 − 3 MC 2 đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất Tính các giá trị đó
Đề số 6 (Năm học 1997 1998)–
Bài 1: a) Cho A ={x ∈ R / x + 2 < 3}; B ={x ∈ R / x − 3 ≥ 4}
Tìm A B ; A B?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng {A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; A 5 ; A 6} trong đó không có 3
điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn A i A j nối 2 trong 6 điểm đó đợc tô bằng màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác A i A j A k có 3 cạnh đồng màu
Bài 2: Cho phơng trình: x2+ x + m + 1 = 0
a).Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm âm
b).Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 thoả mãn: 7
x
x x
x
2 1
2 2 2 2
2
1 + ≥
c).Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 ( 2 − x ) 5 trên [0; 2]
Bài 3: a) Cho ∆ABC Chứng minh:
A sin
C cos C sin
B cos B sin
A cos C g cot B g cot A g
3 3
3 3
3 3
3
b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR Chứng minh: AR ⊥ BN
Đề số 7 (Năm học 1998 1999)–
Trang 4(từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình: ( x + y ) ( 2 + x + a ) ( 2 + y + b ) 2 = c 2 có nghiệm thì bất đẳng
thức sau đúng: 3 c 2 ≥(a + b)2
Bài 2: Cho hàm số: * *
:
f N → Q+ thoả mãn điều kiện:
2 )
1
(
f = và
1 n ) n ( n ) n ( f
) 2 ( f )
1
( + + + = 2 ∀ >
Hãy tìm công thức đơn giản của f ( n )?
Bài 3: Giải phơng trình: x 2 + 14 x + 9 = 5 x + 1 + x 2 − x − 20
Bài 4: a) Cho n véc tơ a 1 , a 2 , , a n đôi một không cộng tuyến Trong đó tổng (n-1) véc tơ
bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại
Chứng minh rằng: a = a1+ a2+ + an = 0
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau)
b) Cho ∆ABC, AM và BN là hai trung tuyến Chứng minh rằng:
AM BN
Đề số 8 (Năm học 1998-1999)
Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 xy
xy
2 y x
1
P 2 2 + + +
Bài 2: (Bài 2 bảng A).
Bài 3: Giải phơng trình: 4x − x2− 1 + x + x2− 1 = 2
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ∆ABC Chứng minh:
0 OC S OB S OA
SBOC + AOC + AOB =
b) Cho ∆ABC (BC=a, CA=b, AB=c)
Chứng minh rằng: Nếu a+b <3c thì: tan tan 1
A B <
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho ai, bi∈ R , ( i = 1 , 2 , 3 )
3 3 2 2 1 1
2 3
2 2
2 1
2 3
2 2
2
b) Giả sử a1a2 + a2a3 + a3a1 = 4
Trang 5(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4
3 4 2 4
a
P = + +
Bài 2: a) Giải hệ phơng trình:
= +
= +
= +
3 z y yz
2 z x xz
1 y x xy
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phơng trình:
0 z 9 y
x 3 − 3 − 3 =
Bài 3: a) Cho a ≠ 0 , b ≠ 0.Chứng minh rằng: a b = a b cos( )a , b
b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và
BC vuông góc thì
5
4 B cos ≥ c) Cho ∆ABC không cân, đờng tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tơng ứng ở A1, B1, C1 Gọi M là giao điểm của BC và B1C1 Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA1
Đề số 10 (Năm học 2000-2001) Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phơng trình: x2+ mx + 1 − m2 = 0
có nghiệm x ∈ [ − 1 ; 1 ]
c) Cho hệ phơng trình:
= + +
= + +
= + +
= + +
−
−
1 n
2 n
n 1
n
2 1 n
3 2
2 2
2 1
2 1
x c bx ax
x c bx ax
x c bx ax
x c bx ax
Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
- vô nghiệm
- có nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phơng trình
0 b a abx
x2− + + = có nghiệm nguyên
Bài 3: a) Cho ∆ABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
Tính giá trị biểu thức S = BC AA ' + CA BB ' + AB CC '
Trang 6(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
b) Cho ∆ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại
P Tính AP
Bài 4: a) Tìm điểm M trong ∆ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất
b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đờng chéo AC, BD cho trớc và góc giữa hai đờng chéo đó có độ lớn đã cho Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất
Đề số 11 (Năm học 2001-2002) Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác
đều có một đờng tròn ngoại tiếp nó”
b) Giải phơng trình: x 4 − x 2 + 4 x − 3 = 0
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: xy + yz + zx + xyz = 4
Chứng minh rằng: x + y + z ≥ xy + yz + zx
b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: xP ( x − 1 ) = ( x − 2002 ) P ( x )
Bài 3: a) Cho ∆ABC, O là điểm sao cho OA + OB + OC = 0
Đờng thẳng (∆) cắt các đờng thẳng OA, OB, OC lần lợt tại A’, B’, C’
Chứng minh rằng:
0 ' OC
OC ' OB
OB ' OA
OA
= +
+ b) Cho ∆ABC, ta vẽ các đờng phân giác trong Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh đối diện tạo thành ∆A’B’C’
Chứng minh rằng: (a b)(b c)(c a)
abc 2 )
ABC ( S
) ' C ' B ' A ( S
+ + +
=
(S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh)
Đề số 12 (Năm học 2001-2002)
Bảng B
Bài 1: (Bài 1 của bảng A)
Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:
<
+
<
+
−
0 4 kx
0 6 x5
x2
Trang 7(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
b) Bài 2a) bảng A
Bài 3: Cho ∆ABC, O là điểm sao cho OA + OB + OC = 0
a) Chứng minh O là trọng tâm ∆ABC
b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh Chứng minh rằng:
6
c b a MO 3 MC MB ' MA MA
Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A
Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
3 a
c c
b b
a + + ≥ b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X Chứng minh rằng:
3 ZA
CZ YC
BY XB
Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 25 ; x 2 + y 2 + z 2 = 36 ;
30 cz
by
ax + + = Hãy tính giá trị biểu thức: P xa by cz
+ +
+ +
b) Cho hai phơng trình x 2 + x + 2 a = 0 và x 2 + x + 5 a = 0
Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phơng trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phơng trình này có đúng một nghiệm của phơng trình kia
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn
2 2
2 PB k
PA − = (k là số thực không âm)
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC Phân giác góc DAM cắt BC tại N
Hãy xác định vị trí của M để
MN
AN đạt giá trị nhỏ nhất
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A.
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
6 a c c b b
a + + + + + ≤
Bài 2: Bài 2 – Bảng A.
Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A.
Trang 8(từ 1992-1993 đến 2005-2006)
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác Gọi K, L, M lần lợt là hình chiếu vuông góc của P lên các đờng thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng BK 2 + CL 2 + AM 2nhỏ nhất
Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A
Bài 1: a Giải phơng trình
0 7 x 12 x x
x − 2 + 2 − + =
b Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên
Bài 2: a Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1)
1 m x m x
b Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện:
7
b a
a b
x y
< ≤ ≤
+ ≤
≤ ≤ ≤
Tìm giá ttrị nhỏ nhất của
2 2
x y S
a b
+ + +
=
+
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các
điểm M, N, P sao cho ; AP x , 0 x a
3
a 2 CN
; 3
a
a Tính x theo a để cho AM vuông góc PN
b Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên Gọi H1H2H3 lần lợt là các
điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H
Đề số 16 (Năm học 2003-2004)
Bài 1: Bài 1 của Bảng A.
Bài 2: a) Bài 2a Bảng A.
b) Cho a, b, c thoả mãn:
= + +
= +
+
1 ca bc ab
2 c b
a2 2 2
Chứng minh rằng: ∈ −
3
4
; 3
4 c
, b , a
Trang 9(từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các
điểm M, N, P sao cho ; AP x , 0 x a
3
a 2 CN
; 3
a
a
x 3 AC ( 3
1
b Tính x theo a để cho AM vuông góc PN
Đề số 17 (Năm học 2004-2005) Bảng B
Bài 1 a) Giải phơng trình
x + x+ x− = x + x+
b) Xác định các giá trị của a, b sao cho a và b là hai nghiệm phân biệt của phơng trình
x +ax b+ =
Bài 2 a) Giả sử 0 ≤a b c, , ≤ 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
S a b c ab bc ca= + + − − −
b) Cho hệ phơng trình
1 9
x y z
xy yz zx a xyz a
+ + =
+ + =
=
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm số dơng
Bài 3 a) Cho tứ giác ABCD, với AB a BC b CD c DA d= , = , = , = .
Chứng minh rằng: 2uuu uuuAC DB a = 2 − + −b2 c2 d2
b) Tìm tập hợp Q những điểm M sao cho với MA2 + 2MB2 =k k, ∈ Ă + với AB cố định cho
tr-ớc và AB = a
Đề số 18 (Năm học 2005-2006)
BảNg A
Bài 1 a) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x thoả mãn phơng trình
x− + x+ = b).Tìm cặp số nguyên (x; y) với x≥ 1,y≠ 0 sao cho
2x + 13xy + 17y − +x 1975y − 2006 0 =
Trang 10(từ 1992-1993 đến 2005-2006) Bài 2 a) Xét tất cả các tam thức bậc haif x( ) =ax2 + + ≥bx c 0 với mọi x∈ Ă ,
trong đó a < b Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a b c
b a
+ +
=
− . b) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng:
52
27 ≤a + + +b c abc<
Bài 3 a) Cho tứ giác lồi ABCD và điểm I thoả mãn hệ thức
0
IA IB IC ID+ + + =
uu uu uu uu
Có kết luận gì về điểm I Hãy chứng minh điều đó
b) Cho tam giác ABC có các trung tuyến BI và CJ Chứng minh rằng đờng cao AH nằm trên trục đẳng phơng của hai đờng tròn đờng kính BI và CJ