Chuong 3 GT 12 DAP AN

1 2 Phương pháp tính nguyên hàm 1 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số.. 1 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.. 3 3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số... Nếu mẫu

MỤC LỤC

1.1 Nguyên hàm 1

1.2 Tính chất 1

2 Phương pháp tính nguyên hàm 1 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 1

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 1

2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản 2

2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng 2

3 Các dạng toán và bài tập 3 3.1 Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm 3

3.1.1 Bài tập vận dụng 3

3.2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số 22

3.2.1 Bài tập áp dụng 23

3.3 Nguyên hàm từng phần 35

3.3.1 Ví dụ và bài tập 35

4 Phương pháp đổi biến số 39 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 39 1 Nhận biết 39 1.1 ĐÁP ÁN 54

2 Thông hiểu 54 2.1 ĐÁP ÁN 69

3 Vận dụng thấp 69 3.1 ĐÁP ÁN 81

4 Vận dụng cao 81 4.1 ĐÁP ÁN 86

2 TÍCH PHÂN 87 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 87 1 Khái niệm tích phân 87 1.1 Định nghĩa tích phân 87

1.2 Tính chất của tích phân 87

2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 87 2.1 Phương Pháp Đổi Biến Số 87

2.2 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần 88

3 Các dạng toán và bài tập 88 3.1 Tích phân cơ bản và tính chất tính phân 88

3.1.1 Ví dụ và bài tập 88

3.2 Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ 93

3.2.1 Ví dụ và bài tập 93

3.3 Tính chất của tích phân 95

3.3.1 Ví dụ và bài tập 96

3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a | f (x) | dx 107

3.4.1 Ví dụ và bài tập 107

3.5 Phương pháp đổi biến số 109

3.5.1 Ví dụ và bài tập 109

3.6 Tích phân từng phần 140

3.6.1 Ví dụ và bài tập 140

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 150 1 Nhận biết 150 1.1 ĐÁP ÁN 161

2 Thông hiểu 161 2.1 ĐÁP ÁN 191

3 Vận dụng thấp 192 3.1 ĐÁP ÁN 227

4 Vận dụng cao 228 4.1 ĐÁP ÁN 246

3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 247 A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 247 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 247 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 247 B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 247 C Dạng toán và bài tập 248 1 Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan 248 1.1 Diện tích hình phẳng 248

1.2 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí 251

2 Thể tích 254 2.1 Thể tích của vật thể 254

2.2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay 256

CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG

Bước 2: Thay vào công thức(∗) và tính

Z

Z

1 du = u + C3

Z

ex dx = eex+ C 5

Z

eudu = eu+ C6

Zcos x dx = sin x + C 7

Zcos u du = sin u + C8

Zsin x dx = −cos x + C 8

Zsin u du = −cos u + C9

cos2x dx = tan x + C 9

cos2u du = tan u + C10

sin2x dx = −cot x + C 10

sin2u du = −cot u + C11

Z

eax+bd x =1

Zcos(ax + b)d x =1

asin(ax + b) + C3

aln |cos(ax + b)| + C5

¯

¯

¯ +C8

Z

ln(ax + b)d x =

µ

x +ba

¶ln(ax + b) − x + C 17

Zp

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa−−−−−−−−−→ khai triển.PP

2 Tích các hàm mũ−−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ.PP

3 Chứa căn−−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa.PP

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin−−−−−−−−−→ Sử dụng công thức tích thành tổng.PP

• Nếu bậc của tử số P(x)≥ bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−−−→ Chia đa thức.PP

• Nếu bậc của tử số P(x)< bậc của mẫu số Q(x)−−−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số,PPrồi sử dụng đồng nhất thức đưa về dạng tổng của các phân số (PP che)

x − b+

D(x − b)2

Nhận xét Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.

3.1.1 Bài tập vận dụng

Ví dụ 1 Tính nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3x2+1

3x =

Z(x3− 2x2− 3x)dx =1

Z(x3− x2+ 2x − 2)dx =1

Z(x2+ 1)2d(x

Z(3 − x)3d(3 − x) = −1

Z(2x + 1)5d(2x + 1)

Z(2x − 10)2018d(2x − 10) = 1

4

Z(3 − 4x)2019d(3 − 4x) = − 1

Z

¡x6+ 3x4+ 3x2+ 1¢ dx =1

7x

7+3

Bài 2 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = −x3+ 3x2− 2xthỏa mãnF(1) = 0

3 GọiF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf (x) = −5x4+ 4x2− 6thỏa mãnF(3) = 1 TínhF(−3) .

+4x3

¶

= 4 TínhF

µ32

¶

ĐS:F

µ32

¶

=7112

¶

=71

8 Gọi F(x)là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 3)2 thỏa F(0) =1

3 Tính giá trị của biểu thức

Z

¡x3+ 4x2+ 4x¢ dx =x

Z

f2(x) dx =

Z

¡x3+ 4x2+ 5¢ dx =x

Z

f2(x) dx =

Z

¡x2+ x2− 2¢ dx = x

Z

f (x) dx =

3 −3

2x

2+ ln |x| + C

Bài 3 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)(giả sử điều kiện được xác định)

Zd(2x − 1)2x − 1 =

Ta cóF(x) =

3 − 4xdx = −

14

Zd(3 − 4x)

53

Zd(3x + 1)3x + 1 =

Zd(2 − 4x)

5 − 2x + 2

Z1

xdx + 3

Z1

x2dx = −ln|5 − 2x| + 2ln|x| −3

Z 1

xdx − 2

Z 1

x2dx = 2ln|2x + 1| + 5ln|x| +2

11 f (x) = 12

(x − 1)2+

22x − 3 .

22x − 3

¶

dx = 12

Z(x − 1)−2d(x −1)+

Zd(2x − 3)2x − 3 = −

12

x − 1+ln |2x−3|+C.ä

12 f (x) = 6

(3x − 1)2−

93x − 1 .

ĐS:− 23x − 1− 3 ln |3x − 1| + C.

- Lời giải.

Ta cóF(x) =

Z µ

6(3x − 1)2−

93x − 1

¶

dx = 2

Z(3x − 1)−2d(3x−1)−3

Zd(3x − 1)3x − 1 = −

23x − 1−3 ln |3x−

Ví dụ 4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm sốf (x)(giả sử điều kiện được xác định) f (x) =1

x+ 1(2 − x)2−2x ⇒ F(x) =

Bài 4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)(giả sử điều kiện được xác định)

x− 43x3+ C

- Lời giải.

Ta cóF(x) =

Z µ1

4 BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf (x) = 1

6 Cho hàm số f (x)xác định trên thỏa mãn f0(x) = 2

2x − 1, f (0) = 1 và f (1) = 2 Giá trị của biểu thức

µ

−∞;12

¶ Ta có f (0) = 1, suy raC = 1

Do đó, f (x) = ln|2x − 1| + 1, với mọix ∈

µ

−∞;12

¶ Suy ra f (−1) = 1 + ln3.Xét trên

µ1

2; +∞

¶ Ta có f (1) = 2, suy raC = 2

Do đó, f (x) = ln|2x − 1| + 2, với mọi

µ1

2; +∞

¶ Suy ra f (3) = 2 + ln5.Vậy f (−1) + f (3) = 3 + ln3 + ln5 = 3 + ln15

Mấu chốt của bài toán là tính chất của hàm f (x), hàm f (x)là hàm phân nhánh (hàm cho bởi nhiềubiểu thức) thường ít xuất hiện trong các bài toán tích phân, nguyên hàm thông thường Nắm được điểmnày, ta có thể viết ra biểu thức f (x)một cách rõ ràng, và tìm được các giá trị cụ thể củaC ä

7 Cho hàm số f (x) xác định trên thỏa mãn f0(x) = 2

x − 1, f (0) = 3 và f (2) = 4 Giá trị của biểu thức

2; +∞

¶ Suy ra f (5) = 4 + 2ln2

Vậy f (−2) + f (5) = 5 + 2ln2 + ln3 ä

8 Cho hàm số f (x)xác định trên thỏa mãn f0(x) = 6

3x − 1, f (−2) = 2và f (1) = 1 Giá trị của biểu thức

µ

−∞;13

¶ Ta có f (−2) = 2, suy raC = 2 − ln7

Do đó, f (x) = 2ln|3x − 1| + 2 − ln7, với mọix ∈

µ

−∞;13

¶ Suy ra f (−1) = 2 + 4ln2 − ln7.Xét trên

µ1

3; +∞

¶ Ta có f (1) = 1, suy raC = 1 − 2ln2

Do đó, f (x) = 2ln|3x − 1| + 1 − 2ln2, với mọi

µ1

3; +∞

¶ Suy ra f (4) = 1 + 2ln11 − 2ln2

Bài 6.

1 Cho hàm số f (x)xác định trênR? thỏa mãn f00(x) = 1

x2, f (−1) = 1, f (1) = 0và f (2) = 0 Giá trị củabiểu thức f (−2)bằng

¶+ f

µ12

¶

= 2.Tính giá trị của biểu thứcP = f (−2) + f (0) + f (4)

µ

1 − x

x + 1

¶+ C2 khi − 1 < x < 1ln

µ

x − 1

x + 1

¶+ C3 khix < −1

µ

−12

¶+ f

µ12

¾thỏa f0(x) = 4x + 1

2x2+ x − 1; f (1) + f (−2) = 0; f

µ32

¶

A. ln

µ72

¶

2x2+ x − 1d(2x

2+ x − 1) = ln |2x2+ x − 1| + C

2ln(2x2+ x − 1) + C3 khix > 1

2.

= ln 14+C1+ln 20+C3+C2= ln 14−ln 40+ln 20+ln 4−ln 8 = ln

µ72

¶

5 Cho hàm số f (x)xác định trênR\{1;2}thỏa f0(x) = |x −1|+|x −2|; f (0) + f

µ43

¶

= 0và f (4) = 2 Tínhgiá trị của biểu thứcP = f (−1) + f

µ32

¶+ f (3)bằng

µ32

¶+ f (3) = (−4 + C1) +

µ3

2+ C2

¶+ C3= −5

2 .Khi đó,

Mà f (1) = 5 ⇔ 2 + C = 5 ⇔ C = 3.

Mặt khác f (x) = 5có hai nghiệmx1; x2, nênx2+ x + 3 = 5có hai nghiệm1; −2

Suy ralog2|x1| + log2|x2| = log2|x1· x2| = log2|−2| = 1 ä

(x − 1)2

¸

dx = − 12x − 1+

f (x) =

Z

f0(x) dx =

Z(4x3+ 3x2+ C1) dx = x4+ x3− 2x2+ C1x + C2.Mà

11 Cho hàm số f (x)xác định trên[−1;2]thỏa f (0) = 1và f2(x) · f0(x) = 1 + 2x + 3x2 Hãy tìm giá trị nhỏnhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số f (x)trên[−1;2] ĐS:m = f (−1) =p3−2và

3f

3(x) = x3+ x2+ x + C ⇔ f3(x) = 3(x3+ x2+ x + C)

mà f (0) = 1 ⇔ f3(0) = 1 ⇔ C =1

3 Suy ra, f

3(x) = 3x3+ 3x2+ 3x + 1 ⇒ f (x) =p3 3x3+ 3x2+ 3x + 1

ax + b dx =

ĐS:F(x) = n

(n + 1)a· (ax + b)

np

ax + b + C

Nhận xét.

Znp

ax + b dx = n

(n + 1)a· (ax + b)

np

ax + b dx = 3

4a(ax + b)p3 ax + b + C.

Bài 7 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x0) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =pxthỏa mãnF(4) =19

màF(1) =4

3⇒ 1

3(2 · 1 − 1)p2 · 1 − 1 + C =4

3 ⇒ C = 1.VậyF(x) =1

3 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =p4x − 5thỏa mãnF

µ94

6(4x − 5)p4x − 5 +2

4 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =p5 − 2xthỏa mãnF

µ12

µ

5 − 2 ·12

4 · 2(2x − 4)

3p2x − 4 + C =3

VậyF(x) =3

4(x − 2)p3 x − 2 + 1, nênF(10) = 13; F(−6) = 13.VậyT = 2log13 [F(10)]+ 3log13[F(−6)]= 2log13 12+ 3log13 12 ä

8 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =p3 3 − 5xthỏa mãnF(−1) = −8

3 − 5x dx = 3

4 · (−5)(3 − 5x)

3p

ax + bdx = .

ĐS:F(x) = n

(n − 1)a·

ax + bnp

ax + b+C

ä

Nhận xét.

np

ax + bdx =

n(n − 1)a·

ax + bnp

ax + bdx =

32a·p3 (ax + b)2+ C.

2 · 24

p4x − 1 + C =p4x − 1 + C

3

p5

23

p3x − 1 + C

VậyF(x) =2

3

p3x − 1 +1

3p

12 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =p 1

1 − 2x thỏa mãnF

µ

−32

x +px + 1dx =

Z (p

x + 1 −px) · (px + 1 +px)p

x + 2 +px + 1 dxF(x) =

¸+ 4p2 = 16 ä

Lời giải: Ta có:

F(x) =

p2x + 1 −p2x − 2dx =

=

Z p2x + 1dx +

Z p2x − 2dx

=12

Z p2x + 1d(2x + 1) +1

2

Z p2x − 2d(2x − 2)

- Lời giải.

F(x) =

Z

6xp

=13

Z p3x + 7d(3x + 7) −1

p

13.VậyF(x) =2

9(3x + 7)p3x + 7 −2

9(7 − 3x)p7 − 3x +11

9 −269

xp

x + 1 dx

=

Z µ1p

x+p1

x + 1

¶dx

=

Z 1p

x + 2px + 1 dx

=

Z µ1p

x + 1−

1p

x + 2

¶dx

1p

x+12

1p

x + 2

¶dx

Bài 9 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x0) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin x − cos xthỏa mãn điều kiệnF³π

4

´

= 0

ĐS:F(x) = −cos x − sin x +p2

- Lời giải.

Ta có:F(x) =

Z(sin x − cos x) dx = −cos x − sin x + C

2 −

p2

2 + C = 0 ⇒ C =p2

2 BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf (x) = 2x − 3cos xvà F³π

¶

dx = x2− cot x + C

7 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin x + 1

cos2x thỏa mãn điều kiệnF³−π

4

´

=

p2

2 nên suy ra−

p2

2 − 1 + C =

p2

2 ⇒ C =p2 + 1

8 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = 1 + tan2xthỏa mãn điều kiệnF

3 .

ĐS:F(x) = tan x +2

p33

3 nên suy ra−

p3

3 + C =

p3

3 ⇒ C =2

p3

3 .VậyF(x) = tan x +2

p3

11 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = cos 2x

sin2x cos2x thỏa mãn điều kiệnF³π

Ta có:F(x) =

Z cos 2xsin2x cos2xdx =

Z cos2x − sin2xsin2x cos2x dx =

Z µ1sin2x− 1

12 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin2x

2sin 2x + 2

Bài 10 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x0) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin(1 − 2x)thỏa mãn điều kiệnF

µ12

2

Zsin(1 − 2x)d(1 − 2x) =1

Z(2 + cos x)d(2 + cos x) = −1

6

´+ 1

- Lời giải.

Ta có:F(x) =

Zcos³3x +π

6

´+ C

3sin

³3x +π

12 nên suy ra

p2

12 −1

4+ C =

p2

12 ⇒ C =1

4.VậyF(x) =1

6sin 6x −1

4sin 4x +1

7 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin2x + 3x2thỏa mãn điều kiệnF(0) = 0.

2cos 2x + x3+1

8 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = 1 + tan2x

2 thỏa mãn điều kiệnF

VìF(0) =1

2 nên suy ra−1

2+ C =1

2⇒ C = 1.VậyF(x) = −1

12 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = a + b cos2x thỏa mãn điều kiện F(0) = π

b =−4π9

VậyF(x) = −2

3x −2π

9 sin 2x +π

13 Một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = 2sin5x +px +3

5 thỏa mãn điều kiện đồ thị của hai hàm sốF(x)và f (x)cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung Tìm hàm sốF(x)

¶

Vì đồ thị của hai hàm sốF(x)và f (x)cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung nên suy raF(x)đi quađiểmA

µ

0;35

¶ Do đó:

−2

5+ C =3

5 ⇒ C = 1.VậyF(x) = −2

Bài 11 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x0) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x) của hàm số f (x) = sin22x, biết rằng đồ thị của hàm số y = F(x) đi quađiểm³π

2;

π

4

´

ĐS:F(x) =1

2x −1

8sin 4x

- Lời giải.

Ta có:F(x) =

Zsin22x dx =

π

4+ C =π

4 ⇒ C = 0.VậyF(x) =1

Z

¡1 + 2sin x + sin2x¢ dx =

Z µ3

2+ 2 sin x −1

2cos 2x

¶dx

π +

12

- Lời giải.

Ta có:f (x) =

Zcos2³x +π

4

´

dx =

Z µ1

2+1

2cos

³2x +π

2

´

dx =

Z µ1

2

Z(1 − cos2x)dx =1

2

Z(1 + cos2x) dx = 1

Bài 12 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦) = k

1 Tìm một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos4xthỏa mãnF³π

4sin 4x

¶+ 8p2 − 2 −3π

Z µ

1 + cos2x2

¶2

dx =14

8

µ3x + 2sin2x +1

4sin 4x

¶+ C

4Vậy một nguyên hàm cần tìm làF(x) =1

8

µ3x + 2sin2x +1

4sin 4x

¶+ 8p2 − 2 −3π

8sin 8x

¶+38

- Lời giải.

Ta có,F(x) =

Zsin42xdx =

Z µ

1 − cos4x2

¶2

dx = 14

Z(3 − 4cos4x − cos8x)dx

8

µ3x − sin4x −1

8sin 8x

¶+ C

màF(0) =3

8⇒ 18

µ

0 − sin0 −1

8sin 0

¶+ C =3

8⇒ C =3

8Vậy một nguyên hàm cần tìm làF(x) =1

8

µ3x − sin4x −1

8sin 8x

¶+3

Lời giải:

F(x) =

Z(sin 3x cos x)dx

2

Z(sin 4x + sin2x)dx

Theo giả thuyết,F³π

6

´

=15

16⇒ 12

16⇒ C = 1.Vậy có 1 nguyên hàm cần tìm làF(x) =1

Bài 13 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = 2sin x cos3xthỏa mãnF³π

Z(sin 4x − sin2x) dx = −cos 4x

4 +cos 2x

2 + C.F

4 +cos 2x

2 −9

2 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = sin4x cos xthỏa mãnF (π) = 4.

2

µ1

5+13

¶+ C = 4 ⇔ C =56

15.VậyF(x) =1

6 +sin 4x

4

¶+6112

2

µsin 6x

6 +sin 4x

4

¶+ C

¶+ C = 5 ⇔ C =61

12.

VậyF(x) =1

2

µsin 6x

6 +sin 4x

4

¶+61

8 +sin 4x

4

¶+

p

3 − 6432

2

µsin 8x

8 +sin 4x

4

¶+ C

p324

8 +sin 4x

4

¶+

p260

- Lời giải.

F(x) =

Zcos 2x cos 8x dx

2

Z(cos 10x + cos(−6x)) dx

2

Z(cos 10x + cos6x) dx

2

µsin 10x

10 +sin 6x

6

¶+ C

10 +

p226

⇔ C = 2018 −

p260

VậyF(x) =1

2

µsin 10x

10 +sin 6x

6

¶+ 2018 −

p2

8 −sin 6x

6

¶+

p3

2

µsin 8x

8 −sin 6x

6

¶+ C

8 −06

p3

32 − 7

VậyF(x) = −1

2

µsin 8x

8 −sin 6x

6

¶+

p3

4 −sin 2x

2

¶+14

- Lời giải.

F(x) =

Zsin x sin 3x dx

= −12

Z(cos 4x − cos(−2x)) dx

= −12

Z(cos 4x − cos2x) dx

= −12

µsin 4x

4 −sin 2x

2

¶+ C

4

´

=12

⇔ −12

µ0

4−12

¶+ C =12

⇔ C =1

4VậyF(x) = −1

2

µsin 4x

4 −sin 2x

2

¶+1

15 −sin 5x

5

¶+13315

2

µsin 15x

15 −sin 5x

5

¶+ C

¶+ C = 9 ⇔ C =133

15 .

VậyF(x) = −1

2

µsin 15x

15 −sin 5x

5

¶+133

F (0) = 1 ⇔1

3e

0+ C = 1 ⇔ C =2

3.VậyF(x) =1

3e

3x+2

3.

Bài 14 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦) = k

1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = e3x+1thỏa mãnF (0) = e

3

¸

2 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) =¡2 + e3x¢2

thỏa mãnF (0) =3

2 TínhF

µ13

¶

·

ĐS:F

µ13

¶

=3e2

6x

6 +4e

3x

3 + 4x + C.F(0) =3

11 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f (x) = 22x3x7x thỏa mãnF (1) = 1

¢x

ln29 +29

¶x

dx =

¡2 9

¢x

ln29 +29

x − 1 dx =

ĐS:F(x) = 2x + 3ln|x − 1| + C

Lời giải: F(x) =

Z2x + 1

Bài 16 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)(giả sử điều kiện được xác định)

- Lời giải.

F(x) =

Z

12x2− x − 6dx =

Z

12(x +32)(x − 2) dx =

1

2· 1

2 +32

Z1

F(x) =

Z4x − 5

x2− x − 2dx

=

Z4x − 5(x − 2)(x + 1)dx

=

Z 13

·3

x − 2+

9

x + 1

¸dx

=

Z ·1

x − 2+

3

x + 1

¸dx

F(x) =

Z4x + 11

x2+ 5x + 6dx

=

Z4x + 11(x + 2)(x + 3)dx

·4

F(x) =

Z5x − 3

x2− 3x + 2dx

=

Z5x − 3(x − 2)(x − 1)dx

=

Z 11

·7

x − 2+

−2

x − 1

¸dx

=

Z ·7

x − 2−

2

x − 1

¸dx

= 7 ln |x − 2| − 2 ln |x − 1| + C

ä

13 f (x) =2x

2+ 6x − 4x(x2− 4) ⇒ F(x) =

Z "3

2(2x − 1) +12(2x − 1)2

12(2x − 1)2

- Lời giải.

F(x) =

Z3x + 1(x + 1)3 dx

=

Z ·3(x + 1) − 2(x + 1)3

¸

dx

=

Z ·3(x + 1)2−

2(x + 1)3

F(x) =

Z2x − 1(x − 1)3dx

=

Z ·2(x − 1) + 1(x − 1)3

¸dx

=

Z ·2(x − 1)2+ 1

(x − 1)3

¸dx

x − 1−

12(x − 1)2+ C

Bài 17 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f (x)(giả sử điều kiện được xác định)

- Lời giải.

F(x) =

Z1

=

Z ·1

x − 1−

x + 1

x2

¸dx

=

Z ·1

¸dx

3

Z ·

1(x − 1)(x + 2)−

1(x + 2)2

¸dx

3

Z ·13

¸dx

=

Z ·3(x − 1)2−

3x(x − 1)

¸dx

=

Z ·3(x − 1)2− 3

x − 1+

3x

¸dx

¸dx

x − 4−

1

x + 1+

3(x + 1)2

¸dx

E(x − 2)2

B = 9

D = −152

x − 1−

152(x − 2)+

6(x − 2)2

¸dx

1 Tìm một nguyên hàm của hàm sốF(x)của hàm số f (x) = x

2x

2+ x + ln |x − 1| + C

(x + 1)2

¸dx

=

Z ·x2− x + 1

x + 1 −

1(x + 1)2

¸dx

¸dx

¶

= 5 TínhF

µ

−12

¶

ĐS:F

µ

−12

=

Z · 1(x + 1)2− 1

(x + 1)3

¸dx

x + 1+

12(x + 1)2+ C

Ta lại cóF

µ

−32

- Lời giải.

Z3(x + 1) − 2(x + 1)3 dx

=

Z ·3(x + 1)2− 2

(x + 1)3

¸dx

x + 1+

1(x + 1)2+ C

¶

ĐS:F

µ

−18

2

Z ·

1(2x + 1)2− 1

(2x + 1)3

¸dx

= −1

4· 12x + 1+

1

8· 1(2x + 1)2+ C

Ta lại cóF

µ

−14

9.VậyF