De thi cap cum cao bang nam 2011-2012

Đề thi hsg cấp cụm cao bằng

Sở GIáO DụC & ĐàO TạO

CAO BằNG

đề chính thức

Kỳ THI OLYMPIC CHọN HọC SINH GIỏI

KhốI GIAO Ước thi đua số 3 Năm học: 2011- 2012 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150phút, không kể thời gian phát

đề Câu 1 (4 điểm) Giải các phơng trình sau:

a x 1 x 3  

b x2  5x 4 x2 6x 5

Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phơng trình:

x y x y 8

x y xy 5

    



  



Câu 3 (3 điểm) Giải bất phơng trình sau:

7x 1  3x 18  2x 7

Câu 4 (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý Chứng minh rằng:

a MA MC MB MD     

b MA.MC MB.MD                              

Câu 5 (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:

 2 2  2 2

b b  a c c  a (b c)

Câu 6 (3 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a b abc b c abc c a abc abc

-Hết -Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………

Số báo danh: ………

ĐáP áN Đề OLYMPIC CHọN HọC SINH GiỏI KhốI GIAO Ước thi đua

số 3 năm học 2011-2012 lớp 10 Môn thi: Toán.

Câu 1: ( 4 điểm)

a) x 1 x 3   ĐKXĐ: x 3

x 1 x2 6x 9 x2 7x 10 0 x 5 x 2   0 x 5(nhan)

x 2(loai)







Vậy nghiệm của phơng trình là: S 3 (làm đúng đợc 2điểm)

b) x2  5x 4 x2 6x 5 (1)

x 5x 4 0 (1) x 5x 4 x 6x 5 x









(đợc 1đ)

x  5x 4 0   1 x 4, (1)   x 5x 4 x  6x 5  2x  x 9 0 (vo nghiem) 

Vậy phơng trình có nghiệm: 1

S

11

 

  

  (làm đúng đợc 2 điểm)

Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình:

x y x y 8 (x y) 2xy x y 8

x y xy 5 x y xy 5



Đặt xy P; x y S   HPT thành

2

2

S 2P S 8 (1)

Tu (2) S 5 P the vao PT (1), (1) (5 P) 2P 5 P 8

S P 5 (2)

   



 



25 10P P 2P 5 P 8 P 13P 22 0

P 2





 Với P =11 -> S = -6, với P = 2 -> S = 3

Vậy ta có hệ phơng trình: x y 6 x y 3

(3)hoac (4)

Ta có: Hệ (3) vô nghiệm; Hệ (4) có nghiệm: (x;y); (2;1); (1;2)

Kết luận: Hệ phơng trình đã cho có 2 cặp nghiệm: (x;y) ; (2;1) ; (1;2) (đợc 2điểm)

Câu 3: (3điểm) Giải bất phơng trình:

7x 1  3x 18  2x 7 ĐK: x 6

2

7x 1 3x 18 2 (7x 1)(3x 18) 2x 7 (7x 1)(3x 18) 16x 96x 144

18

x (loai)

5

x 9(nhan)















Vậy phơng trình có nghiệm: x 9 (đúng trọn vẹn 3điểm)

Câu 4: (3 điểm)

a) CM: MA MC MB MD  

   

Giả sử: MA MC MB MD         MD DA MB BC MB MD 0       

DA BC 0 DA AD 0 (dung) (vi BC AD)

Vậy MA MC MB MD  

   

(làm đúng đợc 1,5điểm)

b) CM: MA.MC MB.MD

   

Ta có: MA.MCMB BC MD DC     MB.MD MB.DC BC.MD BC.DC  

MA.MC MB.MD DC MB MD DC MB.MD DC MB MC

MA.MC MB.MD DC.CB MB.MD

       

( vì DC.CB 0

  

)

Vậy MA.MC MB.MD

   

(làm đúng đợc 1,5điểm)

Câu 5: (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC Biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức:

 2 2  2 2

b b  a c c  a (b c)

Ta có: b b 2  a2 c c 2  a2 (b c)

b a b c a c a c a b c b a (c b) (c b)(c cb b )

a c cb b

Mà theo hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

cosA

Vậy A 120  (đpcm) (làm đúng quy trình đợc trọn vẹn 3 điểm)

Câu 6: (3 điểm) Cho a,b,c > 0 CMR:

a b abc b c abc c a abc abc

Ta có: a3b3 abc (a b)(a  2 ab b ) abc (a b)ab abc ab(a b c) 2       

a b abc ab(a b c)

Tơng tự ta có: 3 13 1 3 13 1

;

b c abc bc(a b c) c  a abc ac(a b c)   . Cộng vế với vế ta đợc:

a b abc b c abc c a abc ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c)        

a b abc b c abc c a abc abc(a b c)

 

a b abc b c abc c a abc abc (đúng đợc trọn vẹn 3điểm)