Xử lý tín hiệu số

Các thao tác xử lý đơn giản trên tín hiệu rời rạc theo thòi gian Trong phần này c h ú n g ta sẽ xem xét một vài xử lý đơn giản liên quan đến các biến độc lập và biên độ của tín hiệu.. Tu

TS DƯƠNG TỬ CƯỜNG

x ử LÝ TÍN HIỆU SỐ

NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT

HÀ N Ộ I-2001

MỤC LỤC■ ■

Trang

LỜI NÓI ĐẤU 7

Chương 1 TÍN HIỆU VẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC THEO T H Ờ I G IA N 9

1.1 Các tín hiệu rời rạc theo thòi g i a n 9

1.1.1 Các phương ph áp biểu diễn tín hiệu ròi r ạ c 9

1.1.2 Một vài tín hiệu ròi rạc cơ b ả n 11

1.1.2 Phân loại các tín hiệu rời r ạ c 12

1.1.3 Các thao tác xử lý đơn giản trê n tín hiệu rời rạc theo thời gian 15

1.2 Các hệ thống tín hiệu rời r ạ c 19

1.2.1 Mô tả vào/ra của hộ th ố n g 19

1.2.2 Biểu diễn hệ t hông rời rạc theo thòi gian bằn g sơ đồ k h ố i 23

1.2.3 Phân loại các hệ thông rời rạc theo thời g i a n 25

1.2.4 Quan hệ liên kết của các hệ thống ròi rạc theo thòi g ia n 32

1.3 Phân tích hệ thống ròi rạc tuyến tính b ấ t biến theo thời g i a n 34

1.3.1 Kỹ th u ậ t ph ân tích hệ th ống tu y ến t í n h 34

1.3.2 Phân tích tín hiệu rới rạo theo thời gian t h à n h các x u n g 36

1.3.3 Đáp ứng của hệ thống LTI đối với tác dộng b ấ t kỳ-tổng chập - 38

1.3.4 Các tính c h ấ t của tổng c h ậ p 42

1.3.5 Hệ thông tuyến tính b ất biến và n h â n q u ả 50

1.3.6 Hệ thông tuyến tính b ất biến ổn đ ị n h 52

1.3.7 Hệ thông với đáp ứng xung có chiểu dài hữ u h ạ n và vô h ạ n 54

1.4 Hệ thông rời rạc theo thời gian được mô tả th ô n g q u a phương trìn h sai p h â n 55

1.4.1 Hệ thông rời rạc theo thời gian đệ qui và k h ô n g đệ q u i 55

1.4.2 Hệ thống tuyến tín h b ất biến được dặc tr ư n g bởi phương trìn h sai ph ân tuyến tín h hệ s ố hàng (PT- S P T T -H S H ) 59

1.4.3 Giải phương tr ìn h sai ph ân tuyến tín h h ệ s ố h à n g 64

1.4.4 Đáp ứng xung của hệ thông đệ qui tu y ến tín h b ấ t biến theo thời g ia n 73

1.5 Thực hiện các hệ thống rời r ạ c 76

1.5.1 Cấu trúc thực hiện của hệ thông L T I 76

1.5.2 Thực hiện đệ qui và không đệ qui của hệ th ố n g F I R 82

] 6 Tiíring quan của các tín hiệu rời r ạ c 84

1.6.1 Tương qu an chéo và tự tương q u a n 85

Câu hỏi và bài tập chương 1 88

4 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương 2 BIẾN ĐỔI z VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH H Ệ THỐNG LTI 97

2.1 Biến đổi z 97

2.1.1 Biến đổi z trực tiế p 97

2.1.2 Biến đổi z ngược 106

2.2 Tính c h ấ t của biến đổi z 107

2.2.1 T ín h tuyến t í n h 107

2.2.2 T ính tre 109

2.2.3 N h â n vói h à m m ũ a " 110

2.2.4 Lấy biến đ ả o 112

2.2.5 Đạo hàm c ủ a biến dổi z 112

2.2.6 Tổng chập của hai d ã y 114

2.2.7 Tương qu an của hai d ã y 115

2.2.8 Tích của h ai d ã y 115

2.2.9 Dãy liên hợp phức 116

2.2.10 Đ ịnh lý giá tr ị đ ầ u 116

2.3 Biến đổi z hữu t ỷ 116

2.3.1 Cực và không (Poles and Zeros) 116

2.3.2 H àm hệ th ông của hệ thống tuyến tính b ấ t biến theo thòi g ia n 120

2.4 Biến đổi z ngược 123

2.4.1 Phương ph áp th ặ n g d ư 123

2.4.2 Xác định biến đổi z ngược bằn g phương pháp khai triển th à n h chuỗi lũy t h ừ a 126

2.4.3 Xác dịnh biến đổi ngược bằng phương ph áp k h a i triển th à n h phân thức tôi g i ả n 128

2.4.4 P h â n tích biến đổi z hữu t ỷ 135

2.5 Biến đổi z một p h í a 137

2.5.1 Đ ịnh nghĩa và tín h chất của biến đổi z một p h í a 137

2.5.2 Giải phương trìn h sai p h â n 141

2.6 Phân tích hệ thông tuyến tính bất biến tfieo thòi gian trong miền z 143

2.6.1 Đ áp ứng của hệ thống với hàm hệ thống hữu tỷ khi điều kiện khởi tạo bằng không 143

2.6.2 Đáp ứng của hệ thống cực - không với diều kiện khởi tạo k h á c k h ô n g 145

2.6.3 Đáp ứng tức thòi và đáp ứng Irạ n g th ái bền của hệ t h ố n g 147

2.6.4 T ín h nh ân q u ả và ổn đ ịn h 148

2.6.5 Hủy bỏ các không và c ự c 151

2.6.6 Cực bội và tí n h ổn đ ị n h 153

2.6.7 Tiêu chuẩn ổn định SchUr • C o h n 154

2.6.8 T ín h ổn đ ịn h của hệ thông bậc h a i 156

Câu hỏi và bài tậ p chương 2 160

M Ụ C L Ụ C 5

C hươ ng3 PHÂN TÍCH TÍN H IỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẨN s ố 165

3.1 Phân Lích tín hiệu liên tục trong miền tần s ố 165

3.1.1 Các tín hiệu trự c giao và trực c h u ẩ n 166

3.1.2 Phân lích Lần sô'của' tin hiệu tuần hoàn liên t ụ c 166

3.1.3 Phân tích tín hiệu không tuần hoàn trong miền tần s ố 167

3.2 Phân tích tín hiệu rừíi rạc trong miền tần sô’ 168

3.2.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc 168

3.2.2 Phổ m ậ t độ côtng s u â t của tín hiệu tuần h o à n 172

3.2.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu ròi rạc không tu ầ n h o à n 176

3.2.4 Sự hội tụ của biến đổi F o u rie r 177

3.2.5 Phổ m ật độ n ă n g lượng của tín hiệu không tu ầ n h o à n 180

3.2.6 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z 185

3.2.7 Định lý lấy m ẫ u 186

3.2.9 Phân loại theo miền tầ n số’của tín hiệu theo miền tầ n sô': khái niêm vê bê rộng phổ (bandwidth) 193

3.3 Các tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu ròi rạc theo thời g ia n 198

3.3.1 Tính ch ất đối xứng của biến đổi Fourier 198

3.3.2 Tính ch ất tuyến t í n h 206

3.3.3 Tính ch ất trễ về thời g ia n 207

3.3.4 Tính ch ất biến sô’ n đảo 207

3.3.5 Định lý tổng c h ậ p 208

3.3.6 Định lý tương q u a n 209

3.3.7 Định lý Wiener - K hintchine 209

3.3.8 Tính ch ất trễ tầ n s ố 209

3.3.9 Định lý diều b i ê n 210

3.3.10 Quan hệ P a r s e v a l 211

3.3.11 Tích của hai d ã y 211

3.3.12 Vi phân trong miền tần sô 212

3.4 Đặc tính của hệ thông tuyến tính bất biến theo thời gian trong miền tần sô’ 213

3.4.1 Đáp ứng đôi với tín hiệu mũ phức và tín hiệu h ìn h sin: Hàm đáp ứng tầ n sô' 213

3.4.2 Đáp ứng đôi vối tín hiệu vào không tu ầ n h o à n 221

3.4.3 Quan hệ giữa h à m hệ thông và hàm đáp ứng tầ n s ô 223

3.4.4 Đánh giá hình học của hàm đáp ứng tần sô' trên m ặt phăng z 227

3.5 Hệ thông tuyến tính b ấ t biến - bộ lọc tần s ố 231

3.5.1 Các đặc điểm của bộ lọc lý tưỏng : 232

3.Õ.2 Các bộ lọc thông th ấp , thông cao và thông d ả i 235

3.5.3 Bộ cộng hưởng s ô 241

3.5.4 Bộ lọc hình chữ V 244

6 X Ử L Ý TÍN HIỆU SỐ

3.5.5 Bộ lọc h ìn h ră n g lược 247

3.5.6 Bộ lọc thông tâ't 249

3.5.7 Bộ dao động h ìn h sin số 252

Câu hỏi và bài tậ p chương 3 254

Chương 4 BIẾN Đ ổ i FO U R IE R RỜI R Ạ C 262

4.1 Lấy m ẫu tro n g m iền tầ n số: Biến đổi Fourier rời r ạ c 262

4.1.1 Lấy m ẫ u trong m iền tầ n số và khôi phục lại tín h iệ u ròi rạc theo thời g i a n 262

4.1.2 Biến đổi Fourier ròi rạc (DFT) 267

4.1.4 Q u an hệ của DFT và các biến đổi k h á c 273

4.2 Các tính c h ấ t của D F T 275

4.2.1 T ính tu ầ n hoàn, tu y ến tính và tính đối x ứ n g 275

4.2.2 Tổng chập vòng 281

4.2.3 Một sô' tín h c h ấ t khác của DFT 286

4.3 Các phương p h á p lọc tuyến tính dựa trê n D FT 290

4.3.1 Sử dụng DFT trong lọc tuyến t í n h 291

4.3.2 Lọc các dãy có độ dài dữ liệu lớ n 294

4.4 P h â n tích tín hiệu trong miền tầ n sô' bằng D F T 298

Câu hỏi và bài tậ p chương 4 305

Chương 5 CÁC THUẬT TOÁN BIẾN Đ ổ i NHANH F O U R IE R 309

5.1 T ính toán n h a n h D FT - Các th u ậ t toán F F T 309

5.1.1 Phương ph áp tín h trực tiếp của D F T 310

5.1.2 Phương ph áp chia nhỏ để tính D F T 311

5.1.3 T h u ậ t toán FFT cơ số’ 2 317

5.1.4 T h u ậ t toán F FT cơ số 4 326

5.1.6 Thực hiện các th u ậ t toán F F T 330

5.2 ứ n g d ụ n g của các t h u ậ t toán F F T 332

5.2.1 T ín h toán hiệu q u ả DFT của hai dãy s ố th ự c : 332

5.2.2 T ính to á n hiệu quả DFT của dãy số thực 2N đ i ể m 333

5.2.3 Sử d ụ n g th u ậ t toán FFT trong lọc tuyến tính và tương q u a n 334

5.3 Sử dụng phương ph áp lọc tuyến tính để tính DFT 335

5.3.1 T h u ậ t toán G o e rtz e l 336

Câu hỏi và bài tậ p chương 5 338

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 340

LÒI NÓI ĐẨU

Mặc d ù về bản chát tự mhỉên hầu hết các tín hiệu trên thự c t ế đểu có dạng tương tự, tu y vậy x ử lý tín h iệ u sô'lại là một phương pháp h a y được sử d ụ n g trong việc x ử lý tin hiệu Điều này ph át sinh do nhiều nguyên nhãn:

1 N guyên nhân th ứ nhất đo là các hệ thống sô lập trin h được tỏ ra rất mềm dẻo k h i cần thực hiện một sô th a y đổi trong việc x ứ lý tín h iệu thông qua việc sứa đổi chương trin h đang được áp dụng Đối với các hệ thống x ử lý tin hiệu tương tự th i điếu này sẽ dẫ n đến việc thay đổi cấu h ìn h của thiết bị và

do vậy hệ thống cẩn p h ả i đưực thiết k ế và th ử nghiệm lại đ ể có th ể đá p ứng được yêu cầu mới.

2 K h i x ử lý tín hiệu thi độ chính xác củng đóng một vai trò rất q u a n trọng trẹn g việc xác đ ịn h cảu hình của bộ xử lý tin hiệu Đối với các m ạch tương

tự th i s ự dao động gia trị của các phần tử do các điều kiện kh á ch quan là

m ột trờ ngại rất lớn kh i cần kiểm soát độ chính xác của các hệ thông x ử lý tin hiệu ở d ạ n g này Tuy vậy, độ chính xác này lại có th ể được kiểm soát với sai sô tương đối nhổ ở các hệ thông x ử lý tín hiệu sô Đối với các hệ thống này th ì độ chính xác phần lớn chí ph ụ thuộc vào độ chính xác của bộ chuyến đổi tương tự /s ò 'iA /9 ) và của bộ x ứ lý tín hiệu sô'

3 Nguyên n h â n th ứ ba dẫn đến việc sứ dụng hệ thông x ừ lý tín hiệu s ố đó là

do các tín hiệu ở dạng này có th ể dễ dàng được lưu trữ trên các phương tiện

n h ư báng, đĩa từ mà không dẫn đến đến sự m ất m át hoậc sai lệch về thông tin (ngoài các sai lệch được sinh ra bởi độ chinh xác của bộ chuyển đổi A ID

và của bộ x ử lý số) Điều này cho phép các tín hiệu s ố có t h ể d ễ dàng được

m ang đi nhiều nơi và do vậy có thê được x ử lý thông qu a p h ư ơ ng p h á p mô phỏng trong các phòng th í nghiệm trước khi chế tạo các hệ thống này Thèm vào đó việc x ứ lý tín hiệu s ố ở dạng phức tạp vẫn có th ể được thực hiện thông qua các th u ậ t toán thích hợp Đây là điều kh ó và nhiều khi không thực hiện được trẽn các hệ thống x ứ lý tín hiệu tư ơng tự.

4 Do có th ể thay đổi m ột cách mềm dẻo đối với các thao tác x ử lý khác nhau nên so với hệ thống tương tự th ì hệ thống xử lý tin hiệu có g iá th à n h rẻ hơn Trước đây, do tốc độ thực hiện của m áy tính còn chậm nên việc x ử lý tín hiệu sô'có nhược điếm là thời gian thực hiện là không thực Điếu này đ ã được khắc p h ụ c trong thời gian gắn đây T ừ năm 1982 với sự p h á t triển của công nghệ vi đ iện tủ, nhiều m ạch vi điện tử chuyên dụng với nhiểu chức năng đã được th iết kê' và sử

8 X C Ử L Ý T ỈN H IỆ U S Ố '

d ụ n g rộng rãi với giá th à n h h ạ n h ư T M S 320, N E C 7720 v.v Với ttô)C' độ cao, các vi

m ạch này được s ử d ụ n g rấ t hiệu quả trong việc x ử lý tín h iệ u s ố (ở tthời gian th ự c Điều này đã làm cho kỹ th u ậ t x ử lý tín hiệu sô' có t h ể được á p dụtìLg rộng rãi tro n g nhiều lĩn h vực khác nhau H iện nay kỹ th u ậ t x ử lý tín h iệu s ô 'đ a in S được sư d ụ n g rất hiệu quả trong việc x ử lý ản h (nhận dạng, hoạt h ìn h ), tro n g tìh itêt bị đo lường, điều khiển (phân tích phổ, điều kh iển vị tr í và tốc độ, lọc n h iễu , g i â m tiếng ồn ), trong x ử lý tiêng nói, ă m th a n h (nhận d ạ n g tiến g nói, ảm th a n h sổ>y> trong q u ả n sự (truyền thông, bảo m ật, x ử lý tín hiệu rada, sonar V.V.J và tro n g iviêm th ô n g , s in h học.

N h ư vậy, có th ể th ấ y rằng trong thời đ ạ i ngày n a y kỹ th u ậ t x ử lý tín h iệ u sô

m a n g m ộ t tầ m q u a n trọng đặc biệt và do vậ y việc n ắ m vữ n g các k i ế n thức về vấ n đ ề này là hết sức cần thiết Giáo tr in h "X ử lý t í n h iệ u số "đ ư ợ c biên s o ạ n nhằm p h ụ c

vụ m ục đích nói trên và chúng tôi hy vọng rằ n g p h ầ n nào sẽ đ á p ữ.ng được nh u cầu của các bạn sin h viên và n hiều đối tượng kh á c q u a n tâ m đ ến lĩrííh vực này G iáo trin h bao gồm 5 chương Chương I giới thiệu về tín hiệu rời rạc th e o thời gian, các đặc trư n g của hệ thống tuyến tín h bất biến theo thời g ia n và cách x ắ c định đáp ứ n g

x u n g của các hệ th ố n g tuyến tín h bất biến theo thời g ia n th ô n g qw a công thức tô n g chập Trong chương này củng đề cập đến phương tr in h sa i p h â n tu y ê n tin h h ệ sô

h ằ n g n h ư là m ột đặc trư n g của hệ thông tu yến tín h bất biến B iế n đÔL z n h ư là m ộ t công cụ đ ể p h â n tích hệ thống tuyến tín h bất biến được m ô tả t ương đối chi tiết trong chương II Trong chương này bạn đọc sẽ là m quen với các p h é p biến đ ố i z

th u ậ n và ngược C hương I I I giới thiệu các kiến thứ c về chuỗi và kiên đôi F o u rier của các tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời g ia n tu ầ n hoàn và k h ô n g tu â n h o à n cũng n h ư việc p h â n tích hệ thống trong m iến tầ n sô 'th ô n g q u a h à m đ a p Ưng tán sô Trong chương I I I cũ n g đ ề cập đến m ột sô'phương p h á p đơn g iả n đ t th iết kê các bộ lọc với đá p ứ ng x u n g có độ d ài hữ u h ạ n và uô hạn Chương I V giới thiệu về biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và mô tả h a i phư ơ n g p h á p s ứ d ụ n g D F T đ ể thự c h iện việc lọc tuyến tính Việc s ử d ụ n g D F T đê’p h â n tích tín hiệu trong m iề n tầ n iô cũng được đề cập đến trong chương này Trẽn cơ sở của D F T, qu a chương V b ạ n ỉọ c sẽ là m q u e n với m ột sô phương p h á p và th u ậ t toán biến đổi n h a n h F ourier n h ư h u â t toán cơ sô

h a i và cơ s ố bốn p h â n chia theo thời g ia n hoặc tầ n sô'củng n h ư t h u ặ toán Goertzel.

Do khuôn k h ổ có hạ n nên tà i liệu ch ỉ tập tru n g giớ i th iệu các Hến thứ c cơ bản

về x ử lý tín hiệu sô', tu y vậy chúng tôi hy vọng rằng tà i liệu sẽ p h in nào đá p ứ ng được sự quan tâ m của các bạn M ặc d ù đ ã h ết sức cô' g ắ n g trong quá trin h b iên soạn n h ư n g chắc ch ắ n tài liệu sẽ không tr á n h được các sa i sót, c h inễ tôi x in c h â n

th à n h cảm ơn m ọi ý kiến đóng góp của bạn đọc đ ể các lầ n tá i bản ißu tài liệu được hoàn thiện hơn M ọi ý kiến đóng góp xin g ử i về: N h à x u ấ t bản £hoa học và Kỹ

th u ậ t ■ 70 T rầ n H ư n g Đạo, H à Nội.

T á c g iả

Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THÔNG RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

Mục đích ch ín h của chương 1 là nhằm mô tà các hệ th ông rời rạc theo thời

g ia n nói chung và các hệ thông tuyến tính bất biên iLTI - L inear Time Invariant)

th e o thơi gian nói riêng Trong chương này cũng sẽ đề cập đến việc định nghĩa và

p h ắ t triê n cảc (lặc tín h q u a n trọng về lĩnh vực thòi gian của hệ thống L T I và một

cõng thức quan trọ n g - công thức tích chập Công thức này sẽ cho phép chúng ta

xác định đầu ra của hệ thống L T I đối với một tín hiệu đầu vào b ấ t kỳ Cùng với công thức vé tích chập, trong chương 1 cũng sẽ giới thiệu về phương trìn h sai phản

n h ư một phương p h á p dược lựa chọn dể mô tả quan hệ vào/ra c ủ a hệ thống LT1

cũ n g nh ư sự thục h iệ n ciệ qui và không đệ qui cúa hệ thống này

Có hai nguyên n h â n qu an trọng thúc đẩy việc nghiên cứu các hệ thống LTI

Nguyên nh ản Ihứ n h ấ t là sự tổn tại của r ấ t nhiều các phương ph áp toán học có thể

được sử dụng Irong việc p h â n tích các hệ thống L T l Nguyên n h â n thứ hai là trên

th ự c tê h ầ u hết các hệ thống đều là hệ thống L T I hoặc có thể được mô phỏng bởi

các hệ thong 177 Do ý nghĩa q u a n trọng trong các ứng dụng xử lý tín hiệu và sự liên q u a n m ật thiết c ủ a chúng đối VỚI công thức tổng chặp, trong chương này cũng giới thiệu sự tiíong q u a n giữa h ai loại tín hiệu • tín hiệu tự tưưng qu an và tương

q u a n chéo

1.1 CÁC TÍN Hlèu RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

1 1 1 C á c p h ư ơ n g p h á p b i ể u d i ễ n tín h iệ u rời rạc

N hư ta i í tiết, tín hiệu rời rạc theo thời gian X(n) thực c h ấ t là hàm của biến

độc lập có k ié u s í nguyên H ình 1.1 mô tả tín hiệu bằng phương p h á p đồ thị Một

đ iể u r ấ t quar Irtng cần phái lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời g ia n không dược

đ ịn h nghĩa ỏ :á: hòi diểm nàm giữa hai mầu liên tiếp nhau C ũng sẽ không đúng

nêu cho răngxin sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không p h ả i là số nguyên Rất đơn gián, tíi liệu x(n) chỉ dược định nghĩa đối với các giá trị nguyên của ra.

Trong k iin Ịh iê n cửu, c h ú n g ta sẽ giả sử rằn g tín hiệu rời rạ c theo thòi gian

được đ ịn h ngHí dối với giá trị nguvên của n thuộc khoảng ac< n < ao Theo qui ước

c h ú n g ta cũnf a§ <emjỊ(n j n h ư là "m ẫu thứ n" của tin hiệu, th ậ m chí nếu tín hiệu

10 x ử L Ý TIN HIỆU S Ỏ

này vốn đã là tín hiệu ròi rạc (không phái là kết q u ả của quá tr ìn h lấy m ẫu tín

hiệu rời rạc) Nếu cho rằ n g x(n) là tín hiệu n h ậ n được do quá tr ìn h lấy m ẫu của tín hiệu tương tự x a(t) thì x(n) = x(nT ), tro n g đó T là chu kỳ lấy m ẫu (thời gian giữa

hai lần lấy mầu liên tiếp n hau) (để ngắn gọn trong tà i liệu chúng ta sẽ sử dụng*Í7ij

nh ư lồ cách viết đơn giản của x(n T ) hoặc hiểu là với T = 1)

xụ»

1.5 0.9

H ln h 1 1 Biểu d iễ n đ ỗ thị c ủ a tín hiệu ròi r ạ c t h e o thòi gian.

Ngoài phương p h á p sử d ụ n g đồ thị n h ư mô tả trê n hình 1.1 còn có một sô phường ph áp k h á c tương đối th u ậ n tiện được sừ d ụ n g đê biểu diễn tín hiệu (hoặc dãy) rời rạc theo thời gian Các phương ph áp này bao gồm:

trong đó ký hiệu t d ù n g để chỉ thời điểm gô'c (n = 0).

Dãy x(n) có giá tr ị bàng 0 với n < 0 được biểu diễn bằng cách sau:

Ở đây thời điểm gốc đối với dãy x(n) với giá trị bằng 0 nếu n < 0 cược hiểu

n h ư là điểm bên tr á i n h ấ t của dãy

Chương TÍN H IẼU V Ã HỆ T H Ố N G R Ờ I R Ạ C TH E O IH Ờ I G IA N 11

Dãy h ữ u h ạ n có thể được biểu diễn bằng cách:

Nếu d ã y hữ u h ạ n thoả m ã n điểu kiện x(n) = 0 với n < 0 th ì dãy có thể được

biểu diễn th e o cách sau:

Tín h iệ u trong (1.1.4) có chứa 7 giá trị mẫu hoặc bảy điểm (theo thời gian) và dược gọi là d ã y có báy điểm C ũng tương tự như vậy, dãy được biểu diễn bởi (1.1.5)

là dãy bốn điểm

1.1.2 Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản

Đây là một số tín hiệu cơ bản r ấ t hay x u ấ t hiện và sử d ụ n g trong lý th u y ế t về tín hiệu và h ệ th ống ròi rạc theo thời gian Vì vậy, các tín hiệu này đóng một vai trò h ế t sức q u a n trọng

1 D ã y m a u đơn v ị

Tin h iệ u này còn được gọi là dãy xung đơn vị và được đ ịn h n g h ĩa n h ư sau:

Như vậy, dãy m ẫu đơn vị là tín hiệu chỉ có một giá tr ị du y n h ấ t bằn g đơn vị

tạ i thòi diểm n = 0 trong khi tấ t cả các giá trị còn lại đều b ằ n g 0 K hác với xung đơn vị â(t) của tín hiệu tương tự, dãy mẫu đơn vị về m ặ t toán học k h ô n g vướng và

phức tạp nh ư tín hiệu này Tín hiệu dãy xung đớn vị đóng m ột vai trò h ế t sức quan trọ n g và được mô tá bằng đồ thị trên h ìn h 1.2

2 D ãy n h ả y bậc đ ơ n vị

Dãy này còn được gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị h a y h à m bậc th a n g và được

đ ịn h nghĩa qua hàm sau:

12 XỨ IV TÍN H IỆU SÔ

Giữa lín hiệu nhẩy bậc đơn vị và tín hiệu xung dơn vị có mô'i qu an hệ:

u(n) = ¿ ô ( n - k ) và ỏ(n) = u(n) - u(n - 1)

*=0Tín hiệu nh ảy bậc đơn vị được mô tả trên hình 1.3

H ln h 1 4 Biểu diễn b ằ n g đ ồ thị tín hiệu d ố c d ơ n vị.

1.1.2 Phân loại các tín hiệu rời rạc

Các phương ph áp to á n học dược d ù n g trong việc p h â n tích tín h iệ u và hệ

th ông rời rạc th e o thời gian hoàn toàn p h ụ thuộc vào đặc th ù của tín hiệu Dưói đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theo các đặc th ù này

1.1.2.1 T ín h iệ u n ă n g lư ợ ng v à tín h iệ u c ô n g s u ấ t

N ăng lượng E của tín hiệu xin) được đ ịn h nghĩa bằng công thức:

n - - « 0

ỏ đây Ixin) I là modul của tín hiệu Với cách định nghĩa này th ì công thức (1.1.9) có

th ể được sử d ụ n g để tín h n ă n g lượng của tín hiệu phức cũng n h ư của tín hiệu thực.

Chương L TÍN HIỆU V Ả hÉ THÓNG RỞI R Ạ C THEQ THỜI G IAN 13

Năng lượng cua tín hiệu có th ể là hữu hạn hoặc vô hạn Nếu E là hữu hạn (0 < E < <r>) thì x(n) dược gọi là tín hiộu nàng lương Dê ph ân biệt nAng lượng của tín hiệu ròi rạc, thông thường ngườii ta sử dụng thêm chỉ s ố x đối vối E và viết là E x.

Rất nhiều tín hiệu với nâng lutợng vô hạn lại có công s u ấ t hữu hạn Công s u â t

trung bình của tín hiệu rời rạc theco thời gian x(n) dược định nghĩa bằng biểu thức

và công s u ấ t tru n g bình của tín hiệu x(n):

Âr“ • 2 N + 1 ■

Rõ ràn g ràn g nếu E là hữu h ạ n thì p = 0 Trong khi đó nếu E là vô h a n thì

khán 0) tín hiệu sẽ được gọi là tín hiệu công suất Dưới dây sẽ mô tả một ví dụ về kiểu năng lượng này

Ví dụ 1.1.1: Xác đ ịn h năng lượng và công suất của dãy nhảy bậc đơn vị.

Cõng su ấ t tru n g binh của tín hiệu nhảy bậc đơn vị là:

T ừ đây su y ra rằng tín hiệu nhảy bậc đơn vị là tin hiệu công suất.

Cũng tương tự như vậy có th ể nhận thấy rằng dãy hàm mũ phức x(n) = A e ,l0°n

ÇÔ công s u ấ t tr u n g bình A 2 vì vậy dây là tín hiệu công suất Tuy vậy, có th ể ,th ấ y

rằn g tín hiệu dốc đơn vị không phải là tín hiệu năng lượng cũng không phải là tínhiệu công suất

1.1.2.2 T ín h iệ u tu ầ n h o à n và k h ô n g tuần hoàn

Như đã dịnh nghĩa trong ph ần 1.3, tín hiệu x(n) được gọi là tu ầ n hoàn với chu

kỳ V (N > 0) khi và chỉ khi:

H ìn h 1.5. Mô tà b ằ n g đ ố th.i c ủ a tin h iệ u tu ẩ n ho ả n

Khi khảo s á t tín hiệu hình sin ta cũng n h ậ n thấy rằng tín hiệu

là tín hiệu tu ần hoàn nếu fo là một số hữu tỷ, hay nói cách khác fo có thể đựợc biểu

diễn qua biểu thức:

trong đó k và N là n hững sô' nguyên.

N ăng lượng của tín hiệu tu ầ n hoàn x(n) trong một chu kỳ hay trong một khoảng 0 <n <N-1 là h ữ u h ạn nếu x(n) n h ậ n các giá trị hữu h ạn trong một chu kỳ

công s u ấ t tru n g bình của tín hiệu tu ầ n hoàn là hữu h ạn và bằng công s u ấ t tru n g

bình trong một chu kỳ N h ư vậy, nếu x(n) là tín hiệu tu ầ n hoàn với tầ n sô' cơ bản N

và có các giá trị hữu h ạn thì công suâ't của nó được xác định qua biểu thức:

( 1 1 1 6 )

N t ó

Suy ra rằ n g tín hiệu tu ầ n hoàn là tín hiệu công suất

1.1.2.3 T ín h iệ u đ ố i x ứ n g (ch ầ n ) v à tin h iệ u k h ô n g đ ố i x ứ n g (lẻ)

Tín hiệu có giá trị thực x(n) được gọi là đối xứng (chẵn) nếu:

Có th ể n h ậ n th ấy r ằ n g một tín hiệu b ấ t kỳ đểu có th ể được biểu diễn thông

trong trường hợp này ta có:

Chương Ị rỈN HIỆU V À HỆ TH Ố N G R Ờ I R Ạ C TH EO ĨH Ờ I G IA N 15

tưdng lự như vậy tín hiệu lẻ có th ể được thiết lặp t ừ x(n) bằng công thức

1.1.3 Các thao tác xử lý đơn giản trên tín hiệu rời rạc theo thòi gian

Trong phần này c h ú n g ta sẽ xem xét một vài xử lý đơn giản liên quan đến các biến độc lập và biên độ của tín hiệu

1.1.3.ỉ P h ép d ịch c á c b i ế n đ ộ c lập

Tín hiệu x(n) có th ể được dịch chuyển theo thời gian bằng cách th ay th ế biến dộc lập n bơi n - k, trong đó k là số nguyên Nếu k là sô’ nguyên dương thì kêt quả

16 X Ử LÝ TÍN HIỆU S Ô

Nếu k là sô' âm thì kết quá của sự dịch chuyển theo thời gian là sự vượt trước của tín hiệu vỏi k đơn vị thời gian.

Ví dụ 1.1.2: Giả sứ rằng tín hiệu x(n) được biếu diễn bằng đo th ị trên hỉnh 1.7a H ãy biễu diễn đ ổ th ị của tín hiệu x(n-3) và x(n + 2).

G iái: Tin hiệu x(n-3) nhận được từ tín hiệu x(n) bàng cách lấy trễ xin ) ba đơn

vị thời gian và cho kết quá trên h ìn h 1.7b Mặt khác tín hiệu x(n + 2) sẽ nhận được

từ tín hiệu x(n) bằng cách vượt trước x(n) bói hai đơn vị thời gian Kết quả của tín hiệu này được mô tá trẽn hinh 1.7c Chú ý răng sự trễ sẽ tương ứng với việc dịch tín hiệu sang p h ả i trong kh ỉ sự vượt trước sẽ tương đương với sự dịch trái của tín hiệu trẽn trục thời gian.

4

- M Ỉ I

I 2

(c)

Nếu các giá trị ở các thời điểm khác nhau của tín hiệu x(n) được lưu tr ữ lại

trên bàng hoặc đĩa từ hoặc trong bộ nhớ của máy tính thì rõ ràng rằ n g việc xây

dựng các tín hiệu trễ hoặc vượt trước của x(n) có th ể dược thực hiện tương đối dễ

dàng Tuy vậy, nếu các giá trị của tín hiệu đang được sinh ra bởi một hiện tượng vật lý nào đó trong thòi gian thực và không được lưu trữ lại thì họàn toàn không có khả năng xây dựng tín hiệu vượt trước theo thời gian bởi th ao tác này đòi hỏi phải xác định được các m ẫu của tín hiệu còn chưa dược p h át sinh (các m ẫu của tín hiệu trong tương lai) Trọng trường hợp xây dựng tín hiệu trễ theo thời gian thì lại khác Bởi vì tín hiệu tr ễ được xây dựng từ các m ẫu dã được p h á t sin h trong q u á khứ cho nên hoàn toàn có k h ả năng vật lý để xây dựng các tín hiệu này bằng các th iế t bị trỗ

Chương I. TÍN HIỆU V À HỆ ĨH Ó N G RỜI R Ạ C THEO TVjỜỊ G IA N _17

I

theo thòi gian Như vậv có thể nói đôi với cốc ứng dụng xử lý tín hiệu trong thời gian thực thi các thao tác vượt trước theo thòi gian cú a tín hiệu là không thể thực hiện được vê phương diện vật lý

Trên thực tế có thể sử dụng một phép biến đổi dơn giản n h ưng r ấ t có lợi đối

với thời gian đó là việc thay thế biến n bởi -n (sử dụng biến đảo rì) Kêt quả của thao tác này được gọi là s ự phản xạ của tín hiệu đối với thòi điểm gổc n = 0.

Ví dụ 1.1.3: H áy biếu diẻn các tín hiệu x(-n) và x(-n + 2) k h i tín hiệu của x(n) được biểu diễn trên hinh 1.8a.

G iả i: Tin hiệu mới y(n) = x(-n) được biểu diễn trên h ìn h 1.8b C hú ý rằng y(0) = x(0), y (l) = X(-1), y (2) = x(-2) và U.V Cùng vậy ta có y(-l) = x (l), y (-2) = x(2) v.u N h ư vậy, tín hiệu x(-n) có th ế được xây dựng rất dễ dàng từ tín hiệu x(n) bằng các lấy p h á n xọ qua gốc thời giun n = 0 Tin hiệu yin) = xOn + 2) được xẵy dựng dê dàng từ y(n) = x(-n) bằng cách làm tr ề hai đơn vị thời gian Tín hiệu n à y được mô

18 XỬ L Ý TÍN H IỆU SỔ

Một thao tác th ứ ba có th ể được thực hiện trên các biến độc lập đó là th a y thê

biến n bởi ụn, trong đó /y là số’ nguyên Thao tác này được gọi là lấ y tỷ lệ theo thời gian (time scaling) hoặc dow n - scaling.

Ví dụ 1.1.4: H ã y biểu diễn bằng đồ th ị tín hiệu y(n) = x(2n) k h i tín hiệu x(n)

G iả i: Chú ý rằ n g với q u a n hệ trên th ì y(0) = x(0), y ( l) = x(2), y(2) = x(4), và

y (-l) = x(-2), y(-2) = x(-4) v.v N h ư vậy, n h ậ n thấy y(n) n h ậ n được từ x(n) bằng cách

bỏ qua các m ẫ u ở thời điểm lẻ (n lẻ) và g iữ lại các m ẫu ở thời điểm chẵn của X(n).

T ín hiệu kết quả được m ô tả trên h ìn h 1.9b.

H ìn h 1 9 Mô t à b ằ n g d ó thị t h a o t á c lấy tỷ lệ t h e o thời gian.

Nếu x(n) là tín h iệu được lấy m ẫu từ tín hiệu tương tự x j t ) thì x(n) = x a(nT), trong đó T là k hoảng lấy mẫu Đối với tín hiệuyín,) ta có: y(n ) = x(2n) = xa(2nT) Từ

đây suy ra thao tác lấy tỷ lệ theo thòi gian được mô tả trong ví dụ 1.1.4 sẽ tương

đương với sự th ay đổi của tầ n số lấy m ẫu từ 1 I T xuống H 2 T Thao tác này được gọi là down sam pling.

1.1.3.2 P h é p n h â n , c ộ n g v à lấ y tỷ lệ

Việc th ay đổi biên độ của tín hiệu ròi rạc theo thòi gian có thể được thực hiện

qua các phép toán (thao tác) cộng, nhăn, lấy tỷ lệ.

Chương 1. TÍN HIỆU V À HỆ TH Ỗ N G RỜI R Ạ C THEO THÒI G IA N 19

L ấy tý lè còn c!ượo goi là phép nhân cua dãy với hằng sô’ và được Lhực hiện

bằng cách nhân giá trị của mỗi m ầu với chính hằng số dó Giả sử hằng số được ký

hiệu là A khi đó ta có thể viết:

y(ri) = A x (n ), -oo< n < X Tổng của hai tín hiệu X,(n)j và x2(n) là một tín hiệu y(n) với giá trị ở mỗi thòi điếm bàng lông các giá trị của X ¡(ni và x./n) tương ứng ờ các thời điếm đó Và như

vậy;

y(/ỉ) = Xj(n) + x 2(n), -cr< n < cc

Tích của hai tín hipn là mót tín hipu khác vối giá trị ở mỗi thòi điểm bằng

tích các giá trị của hai tín hiệu đó ở thòi điểm tương*ứng Hay:

y(n) = x i (n)x2(n), -x><n<<x>

1.2 CÁC HỆ THỐNG TÍN HIỆU RỜI RẠC

Đê có thê thực hiện việc xử lý tín hiệu số thông thường cần phải thiết kẽ' các thiết bị hoặc xây dựng các th u ậ t toán nhằm thực hiện các phép toán đã được mô tả

là hệ thống rời rạc theo thòi gian Như vậy có thế thấy rằng các hệ thống ròi rạc theo thời gian hao gồm các thiết hi hoặc th u ậ t toán mà qua đó một tín hiệu ròi rạc

xin) dược gọi là tín hiệu đầu vào được chuyên dối thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) dược gọi là tín hiêu đầu ra hoặc đáp ửng của hệ Quan hệ vào/ra này có thê

được biểu diễn bằng biêu thức toán học:

trong đó T là ký hiệu của phép biến đối hoặc toán tử.

Việc phân loại các hệ thông xử lý tín hiệu rời rạc dược thực hiện thông qua

các điều kiện ràng buộc đôi với phép biến đổi T Trong chương này ta chỉ q u a n tâm

đến Hặc tính vể thòi gian của tín hiệu và mô tả quan hệ vào/ra Trong q u a n hệ vào/ra này ta cũng ch) tập tru n g vào tín hiệu ra mà không xét chi tiết đên các quá trình xảy ra bên trong củng như việc thực hiện của hệ t.hô’ng

1.2.1 Mô tả vào/ra của hệ thống

Mô tả vào/ra của hệ thông rời rạc theo thời gian bao gồm các công th ứ c toán học hoặc các quy tắc mà qua đó có thể định nghĩa một cách chính xác q u a n hệ giữa

tín hiêu đầu "ào và tín hiêu đầu ra (input- output relationship) Trong trường hợp

này hệ thống được xem như một hận đen mà không cần quan tâm đến cấu trú c bên trong N hư vậy chi còn có một phuui.g pháp duy nhất dê làm việc và nghiên cứu hệ thống là sử dụng rác thiết bị đầu cuối và đầu vào cúa hệ thông Để p h ả n á n h điểu này có thể sử dụng cách biểu diễn bằng đồ thị như trên hình 1.10 và qua quan hệ vào/ra của hệ thống trong (1.2.1) hoặc q u a cách biễu diễn:

Hộ thống rời rạc theo thời gian

y ( n )

Tín hiệu lioặc đáp ứng ra

H in h 1.10. Biểu d iễ n b ằ n g s ơ đ ố khối c ủ a h ệ t h ố n g ròi r ạ c t h e o thòi gian.

Theo cách biểu diễn này thì y ( n ) là đáp ứng của hệ thống T vối kích thích

x(n) Các ví d ụ dưới đây sẽ mô tả một vài hệ thống khác nhau-.

x(n) =

Ví dụ 1.2.1: Đôi với tín hiệu đ ầ u vào:

I n I , - 3 <; n < 3

H ãy xác đ ịn h đáp ứng của các hệ thống sau:

(a) Trong trường hợp này đầu ra hoàn toàn giống n h ư đầu vào H ệ thống có

tín h chất này được gọi là hệ đồng nhất.

(b) Đ ây là hệ thống được lấy trễ m ột đơn vị thời g ia n so với x(n) N h ư vậy đầu

ra là dãy tín hiệu sau:

(1.2.3)

y(n) = } , 0 , 3 , 2 Ị , 0 1 , 2 , 3 ,

(c) Trong trường hợp này tín hiệu y(n) vượt trước tín hiệu đầu vào m ột m ẫu

C hảng hạn giá trị của đầu ra ở thời điểm n = 0 là y(0) = x(l) Đ áp ứng của hệ với đầu

vào đã cho là:

y (n ) = Ị 0 , 3 , 2 , 1 , 0 , Ị , 2 , 3 , 0 , ị

Chương L TÍN HIỆU V À HỆ TH Õ N G RỜI R Ạ C TH EO THÒI G IA N 21

(d.) Đ ấu ra của hệ thõng nay ớ m ỗi thời điểm được xác đ ịn h bởi giá trị của các

m ẩu đầu vào ở thời điếm quá khứ, hiện tại và tương lai C hang hạn đầu ra ớ thời điểm n = 0 là:

y in ) = 0 , 3 ,5 ,6, ị 7, 9,12,0, }

1.2.1, giá trị của đ ầu ra ở thòi điểm n0 không chỉ phụ thuộc vào giá trị của đầu vào

ở thòi điểm này mà còn có thể phụ thuộc vào giá trị đầu vào của hệ thông ở trước

và s a u thòi điểm đó Hãy xét lại trường hợp (0 trong ví dụ Ở đây giá tr ị đ ầu ra ở

thời điểm n = n0 không chỉ phụ thuộc vào đầu ra ở thời điểm n = n0 m à còn phụ lliuộe vào giá trị của x(n) ở các thòi điểm n - n0 - 1, n = n0 - 2, v.v Bằng các thao

tác xử lý đơn gián ta có th ể viết:

y(n)= ¿ x(k)= Ỵ^x(k) + x(n)

= y ( n - \ ) + x{n)

và hoàn toàn phù hợp với th u ậ t ngữ tích lu ỹ đã được sử dụng Đối với các hệ nàyT

giá trị cua đầu ra ỏ mỗi thời điểm được xác định bằng cách cộng (tích luỹ) giá trị

đáu vào ở thòi điểm đó vối giá trị đ ầu ra ở thời điểm trước Hệ thống này còn được

g ụ i l ù hệ thung tích luỹ.

Có thê đưa ra một vài nhận xét th ú vị khi xem xét hệ thống tích luỹ Giả sử

g i á trị của dãy tín hiệu đầu vào x(n) đối với n > n 0 đã được xác định, v ấn đề đ ặ t rí

là cần xác định đầu ra của hệ thông đôi với n > n0 Đôì vói n = Ho, n0 + 1, , ti

(1.2.4) ta có:

y(rto) = y ( n 0 ■ \) + x(rio)

y ( n 0+ 1) = y(rif) + x (n 0+ ì;

và tấ t r.ầ các đ ầu vào trước rtá Do vậy có th ể th ấy y(n) vối n > n0 không có thể xác định một cách duy n h ấ t bởi đ ầu vào xỉn ) với n > n 0.

Để có th ể xác định được y(n) đối với mọi giá trị của n > n0 thì cần thiết phải

có thêm thông tin Thông tin này chính là giá trị khởi tạo đối với y(n 0 - 1) Giá trị

này chính bằng tổng tác động của các đầu vào ở tấ t cả các thời điếm trưốc đó của hệ

thông Điếu kiện khói tạo y(n 0 ■1) cùng với dãy đầu vào x(n) vói n > n 0 sẽ cho phép xác định dãy đ ầu ra y(n) một cách duy n h ấ t đối với n > n 0.

Nếu hệ thống tích luỹ không được kích thích trưốc thòi điểm n0 thì điều kiện

được khởi tao relaxed Bởi \'\y ( n 0- 1) = 0, do đó d ã y y(n) chỉ p h ụ thuộc vào dãy đầu vào đối với n > n0.

Có th ể cho rằ n g mọi hệ thống đều là relaxed tại n = -co Trong trường hợp này,

xác định một cách duv n h ấ t bởi đầu vào

Ví dụ Ị.2.2: H ệ tích lu ỹ xác đ ịn h bởi (1.2.3) được kích thích bởi d ẫ y x(n) = nu(n) H ãy xác đ ịn h đầu ra với các điều kiện sau:

(a) Điều kiện khởi tạo là y (-l) = 0.

(b) Điếu kiện khởi tạo là y ( - l) = 1.

Giải: Đ ầu ra của hệ thống được xác đ ịn h qua công thức:

Chương Ị TÍN HIỆU V À HỆ TH Ó N G RỜI R Ạ C THEO THỜI G IA N 23

1.2.2 Biểu diễn hệ thống rời rạc theo thời gian bằng sơ đổ khối

Để có thể biểu diễn các hệ thông rời rạc theo thời gian bằng sơ đồ khối việc trước tiên là cần phải xây dựng một số khối thực hiện một số công việc cơ bản Thông q u a rác khối này chúng ta có thể xây dựng nên các hệ thống phức tạp hơn

1.2.2.1 Bộ n h â n với h ằ n g s ố ( e o n s t a n t muZ,7’/p lie r )

Phép toán này được mô tả t r ê n hình 1.1.1 và biểu diễn một phép lấy tỷ lệ của

tín hiệu đầu vào X(n) Chú ý rằng đây cũng là phép toán tức thì.

ỉ.2 2 2 Bộ cộ n g (Adder)

H ình 1.1.2 mô tả một hệ thống (bộ cộng) thực hiện cộng hai dãy tín hiệu với

kết quả là một dãy khác • dãy y(n) (dãy tống).

Chú ý rằ n g trong quá trìn h thực hiện thao tác cộng ta không cần phải lưu trữ

bất cứ một giá trị trung gian nào bỏi vi phép cộng được thực hiện tức thì không nhớ

1.2.2.3 Bộ n h â n tín h iệ u (s ig n a l m uL T /plier)

H ình 1.13 biểu diễn một bộ nhân của hai dãy tín hiệu với kết quả là một dãy

tích y(n) Cũng giông như hai trường hợp trước, ở đây phép nhân cũng là phép toán

24 X Ử LỶ TÍN HIỆU S Ô

1.2.2.4 P h ầ n t ử t r ễ đ ơ n vị

tr ễ tín hiệu di qua với thời gian bằng một đơn vị Hệ thống này được mô tả trên

hình 1.14 Nếu tín hiệu đ ầu vào là x(n) thì tín h iệu ra là y(n) = x(n - ỉ) Rõ ràng rằng, để có th ể nhận được tín hiệu đầu ra y(n) ở thời điểm n thì giá trị mẫu đầu vào X(n) ở thòi điểm trước đó (n - u cần được lưu trữ lại Như vậy hệ thông này là hệ

Trái ngược với hệ trễ đơn vị, hệ vượt trước đơn vị sẽ chuyển đ ầ u vào x(n) dịch

về trưỏc một mẫu theo thòi gian để có thể nhận được ở đầu ra tín hiệu y(n) = x(n + 1) Hình 1.15 là cách biểu diễn của hệ thông này trong đó z là ký hiệu của hệ thống.

x ( n )

H ìn h 1 1 5 Biểu d iễ n q u a s ơ đ ổ c ủ a p h ẩ n t ử vượt trư ớc

Có thế n h ậ n th ấy hệ vượt trước về thòi gian là hệ không th ể thực hiện được vể phương diện v ậ t lý trong thòi gian thực bởi vì khi đó không thể biết được giá trị thực của tín hiệu trong tương lai Tuy vậy, nếu giá trị các m ẫu của tín hiệu được

lưu trữ trong bộ nhớ của máy tính thì các giá trị của m ẫu có thể được sử dụng ở bất

cứ lúc nào N hư vậy, trong các ứng dụng không sử dụng thời gian thực sẽ có thể

xây dựng tín hiệu vượt trưóc theo thòi gian của x(n).

khôi của hệ thống rời rạc theo thời gian được biểu diễn bằng quan hệ v à o /ra sau:

trong đó x(n) là đ ầ u vào và y(n) là đầu ra của hệ thống.

G iả i: Theo công thức (1.2.5), đê có th ể xác đ ịn h y(n) trước tiên cần nhăn tín hiệu x(n) với h ằ n g s ố 0.5, nhân tín hiệu x(n ■ 1) với 0.5 và cộng hai tín hiệu này với nhau T ín hiệu n h ậ n được sẽ được cộng với đ ầ u ra trước đó y (n -l) sau kh i đã nhân tín hiệu đ ầ u ra này với 0.25 H in h 1.16a mô tả cách thực hiện bằng sơ đ ổ khối của

hệ thống này B ằ n g cách nhóm các toán h ạ n g trong (1.2.5) ta có:

và hệ thông lại có th ế được biểu diễn bằng sơ đồ khối trên h in h 1.16b.

Chương Ị TÍN HIỆU V Ả HỆ ĨH Ỏ N G RỜI R Ạ C ĨH E O THỜI G IA N 25

1.2.3 Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian

Khi p h â n tích cũng như thiết kế các hệ thông tín hiệu rời rạc theo thời gian, một vấn đê' cần thiết cần được lưu ý đó là việc phân loại các hệ thông này theo các dặc điểm chung của chúng Tuỳ theo cách phân loại các đặc điểm chung n ày các hệ

thông có th ể dược chia th à n h một số loại khác nhau.

1.2.3.1 Hệ n h ớ v à k h ô n g n h ớ

Hệ thông rời rạc theo thời gian dược gọi là không nhó (memoryless) hoặc tình (static) nếu tín hiệu ra của nó ở mọi thời điểm chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đ ẩ u vào ở cùng một thời điểm mà không phụ thuộc vào các giá tr i m ẫu của tín h iệu đ áu vào trong quá khứ hoặc tương lai Trong trường hợp ngược lại, hệ thông được gọi là có

nhớ hoặc biến đổi (dynamic) Nếu đầu ra của hệ thống ở thòi điểm n có thể dược xác đ ịnh một cách hoàn toàn bởi các mẫu đầu vào trong khoảng từ n -N đên n (N > 0) thì hệ thống được gọi là có nhớ trong khoảng N Nếu N = 0 thì h ệ sẽ là hệ không nhớ Nếu 0 < N < co hệ thông được gọi là hệ nhớ hữu h ạn , ngược lại nếu

N = «7 thì hệ được gọi là nhớ vô hạn.

Các hệ thống được mô tả bằng các quan hệ vào/ra:

trị tín hiệu đầu vào ớ cùng một thời điểm

hiệu vào.

Đ ịn h lý Một hệ thông relaxed được gọi là b ấ t biến theo thời gian khi và chỉ

khi nếu:

đô'i vối mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thòi gian dịch chuyển k.

Đê có thê xác định dược hệ thống có bất biến theo thời gian hay không ta cần phái th ự c h iện việc kiểm tr a hệ thống bằng đ ịnh lý vừa nêu v ề cơ bản, việc kiểm

tr a này có th ể được tiến h à n h bằng cách tác động lên hệ thống một tín hiệu b ấ t kỳ

x(n) và xác định đáp ứng đ ầu ra y(n) S au đó hệ thống lại được tác động bởi dãy tín hiệu đ ầ u vào được dịch trễ k đơn vị thời gian và tính lại đ áp ứng đ ầu ra Trong

trư õ ' • hợp này đ ầu ra có th ể được xác đ ịnh qua biểu thức:

N ếu giá trị y(n ,k) = y (n - k) đối vối mọi giá trị cho phép của k thì hệ thông được gọi là b ấ t biến theo thòi gian Ngược lại, nếu đ ầu ra y(n ,k ) # y (n -k ) th ậm chí chỉ dối với một giá trị nào đó của k thì hệ thống được gọi là không b ấ t biến (thay

đổi) theo thòi gian

Ví dụ 1.2.4: H ãy xác đ ịn h các hệ th ố n g được biểu diễn trên h ìn h 1.17 là bất biến h a y th a y đổi theo thợi gian.

G iải: (a) H ệ thống được m ỏ tả bằng q u a n hệ vào!ra:

T

x(n) -> y(n ) ^

y (n ,k ) = T[x{n - k)]

Chương ỉ. TÍN HIỆU V Á HỆ ĨH Ó N G RỜI R Ạ C THEO THỜI G I A N 27

Bảy giờ nếu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời g i a n và tác động lên hệ thống thi

rõ ràng rang từ sơ đổ khối, tín hiệu đầu ra sẽ là:

thay đổi t h e o thời gian (b) - (d).

(b) Quan hệ vào ¡ra của hệ thống là:

y(n) = T[x(n)] = nx(n) Dap ứng cua hệ với tác động x(n-k) là:

y(n,k) = nx(n-k)

( 1 2 1 8 )

(1.2.19)

Bởi ui y(n ,k) * y (n -k ) do đó đ â y là hệ thống th a y đổi theo thời gian.

(d) Q uan hệ vào /r a đối với hệ thôhg là:

Các hệ thống có th ể được chia làm hai loại- tuyến tín h và không tuyến tính

Hệ thòng được gọi là tuyến tín h nếu nó thoả m ãn nguyên lý xếp chồng Nguyên lý này đòi hỏi rằ n g đ áp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các tín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thông khi tác động đầu vào là từng tín hiệu riêng lẻ

Đ ịn h lý Hệ thống được xem là tuyến tính khi và chỉ khi:

Hình 1.18 mô tả nguyên lý xếp chồng của các hệ thông

Nguyên tấc xếp chồng được biểu diễn bằng q u a n hệ (1.2.26) có th ể được tách

làm hai phần T h ứ n h ấ t, giả sử rằng a2 = 0, khi đó (1.2.26) trở thành:

trong đó y ,(n )= T[x,(n)]

Q uan hệ (1.2.27) biểu thị tín h tỷ lệ của hệ thông tuyến tín h N hư vậy nếu đáp ứng của hệ thống đốì vỏi tác động đầu vào x,(n ) là y,(n ) thì đ áp ứng của hệ thống đối với tác động a¡x,(n) sẽ là a¡yi(nj Có th ể th ấ y trong trường hợp này việc lấy tỷ lệ

đầu vào sẽ hoàn to àn đồng n h ấ t vối việc lấy tỷ lệ của đ ầu ra tương ứng

Thứ hai, giả sử rằ n g trong (1.2.26) a,= a 2 = 1 Suy ra:

T [ x j( n ) + x 2(n )] = T [ x ,( n ) ] + T [ x 2( n )] = y , ( n ) + y 2( n ) ( 1 2 2 8 )

Chương 7 TÍN HIỆU V À HỆ ĨH Ỏ N G RỜI R Ạ C ĨH E Q THỜI G IA N 29

Nguyên tác xếp chồng của hệ thống có thể được mỏ rộng đôi với nhiều tín

hiệu Khi dó có thê viết:

Từ (1.2.27) có thể nhận thấy, nếu a, = 0 thì suy ra y(n) = 0 hay nói cách khác

nếu một hệ thống là relaxed và tuyến tính thì tín hiệu ra sẽ bằng không khi đ ầu vào cũng b ằ n g không Nếu tín hiệu đầu ra của hệ thống là khác không khi tác động

d ầu vào bàng không thì hệ thống có thể là nonrelaxed hoặc không phải là tuyến

tính Nếu hệ thống là relaxed nhưng không thoá m ãn nguyên lý xếp chồng thì hệ thống được gọi là p h i tuyến.

Ví dụ 1.2.5: Hãy xem xét tính tuyến tinh và p h i tuyến của các hệ thông dưới đây:

(d) y(n) = A xtn ) + B (e) y(n) = ex(n>

G iải: (a) Đối với hai dãy tác động vào riêng rẽ x¡(n) và x2(n) các đáp ứng đầu

ra tương ứng sè là:

y \( n ) = n x ự n )

y 2( n ) = n x 2( n )

Tô hợp tuyến tín h của hai dãv đầu vào sê cho đầu ra với kết quả là:

y 3(n) = T [a,x ,(n ) + a 2x,(n)] = nfa^x^n) + a2x 2(n)J

= a ^n x /n ) + a 2 nx 2 ( n)

(1.2.31)

( 1 2 3 2 )

sẽ chứng tỏ rằng hệ thống này không p h ả i là hệ thống tuyến tính.

Đáp ứng của hệ thống đối với từ n g tin hiệu riêng biệt sẽ là:

y z (n) = x ị( n ) Đáp ứng của hệ thống dối với tổ hợp tuyến tinh của cá h a i tín hiệu đầu vào là:

y.j(n) = 71a, a:, (n ) + a2x2(n)]

Chương ỉ TÍN HIỆU V Á HÊ TH Ố N G RỜI R Ạ C THEO 1HỚ I G IA N 31

y.Ận) = T [a,x,(n) + a 2x2(n)]

= AỊữịXị (n ) + a 2x.,(n)\ + B (1 2 4 1 )

= Aa,.r, (n) + Aci.,x.,(n) + tì

Tô hợp tuyên tĩnh cua hai đáp ứng đẩu ra sẽ là:

Oị (n) + a 2y 2(n) = a ìA x ị(n) + a xB + a.,Aj:.,(n) + a2B (1.2.42)

Bởi vì (1.2.41) và (1.2.42) không giống nhau cho nên hệ thông trên là hệ không tuyến tín h Có th ể nhận thấy rằ n g mặc dầu các tác động đấu vào đứợc biểu diễn

th ông q u a công thức tuyến tin h như ng do sự có m ặt của tham sô' B trong các tác

độ n g nên điểu kiện đè cho hệ thông là tuyến tính không được đảm bảo.

(e) Chú V rằng hệ thống được mô tả bởi quan hệ vào /ra:

là hệ relaxed Nếu x(n) = 0 th ì y(n) = 1 Đảy là dấu hiệu chứng tỏ tín h không tuyến Lính của hệ thống Kết lu ậ n này cũng có th ể đạt được nếu việc kiểm tra tín h tuyến tin h của hệ thông được thực hiện.

1.2.3.4 Hệ n h â n q u ả và k h ô n g nhân quả

Đ ịn h lý Một hệ thông được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đ ầu ra của nó tại

m ột thời điếm bất kỳ n [ nghĩa là y(n)\ chỉ p h ụ thuộc vào tín hiệu d ầu vào trong (ịuá khứ và tạ i thời điểm đang xét [nghĩa là chỉ phụ thuộc vào x(n), x(n - 1), x(n- 2), ] và không phụ_lhuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tương_l_ai [x(n + 1), x(n + 2), ] N h ư vậy nếu gọi y(n) là tín hiệu đầu ra thì y(n) có thể được biểu diễn thông

q u a công thức sau:

trong đó F[.] biểu diễn một h àm số bất kỳ.

Trong trường hợp ngược lại, nếu hộ thống không thoả mãn đ ịnh nghĩa được

n êu ở trên, h ệ thông sẽ được gọi là hệ không nhân quả Đôi với các hệ thông này, tín hiệu đầu ra không n h ững phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và hiện tại mà còn p h ụ thuộc vào cả tín hiệu đầu vào trong tương lai Có th ể n h ậ n th ây

r ằ n g các hệ thống không nhân q u ả là các hệ không th ể thực hiện được vê' phương diện v ậ t lý trong thời gian thực bởi vì trong thời gian thực ch ú n g ta không thể biết được giá trị thực của tín hiệu tro n g tương lai Tuy vậy, nếu giá tr ị của tín hiệu đã được lưu trữ lại, tức là quá trìn h xử lý tín hiệu không được tiến h à n h trong thòi gian thực thì các hệ thông không nhân quả vẫn có thể dược xác định Đầv là các trường hợp hay gặp khi xử lý các tín hiệu ản h và các tín hiệu địa v ậ t lý

Ví dụ 1.2.6: Hãy xác định tin h nhăn quá của các hệ thống được biểu diễn bằng các quan hệ v à o /ra dưới đây:

= -1 sẽ p h ụ thuộc vào tín hiệu đ ầ u vào tạ i thời ỏiểm trong tương la i n = 1 vì vậy hệ thông này củng là hệ thông kh ô n g nhân quá.

1.2.3.5 H ệ Ổn đ ịn h v à k h ô n g ổn đ ịn h

Ôn định là một đặc tín h Tất quan trọng cần phải được xem xét đôi với một

ứng dụng bất kỳ của các hệ thống

Đ ịn h lý Một hệ thông được gọi là ổn dinh hay h ệ B IB O (bounded in p u t -

boundet - output) nêu và chỉ n ế u với dãy jdầu_ỵàeJjỊ chặn ta có dãy đ ầ u rajỊÌ_cỉiặn

Theo toán học điểu kiện n ày tương đương với việc tồn tạ i hai sô' hữư h ạn M x

và M y để:

|.r(rt)| < M _ < oc

(1.2.45)

|y(n)| ắ M y < X

đối với mọi n Nếu dãy đ ầu vào x(n) là hữu hạn và dãy đ ầu ra là vô h ạ n thì hệ

thống được gọi là hệ không ổn định

1.2.4 Quan hệ liên kết của các hệ thống rời rạc theo thời gian

Các hệ thốhg ròi rạc th eo thời gian có thể được liên k ế t với n h a u để tạo ra các

hệ thông lớn và phức tạp hơn T rê n thực t ế có th ể sử dụng hai phương pháp để liên

Chưtíng L TÍN HIỆU V Ả HỆ TH Ố N G R Ờ I R A Ç T H E O THỜI G IA N 33

và bất biến theo thòi gian thì (a) Tc là bất biên và (b) T2T,= T¡T2vá n h ư vậy th ứ tự

xử lý các hệ thống sẽ không còn quan trọng

biến theo thòi gian Tức là:

34 XÚ LÝ TÍN HIỆU SÔ

x i n - t y - ĩ y ^ n - k ) và y ì { n - k ) - > y ( n - k)

Tc-TjT,

Từ đây suy ra x(n - k) -> y ( n - k ) và 7^ là b ấ t biến theo thời gian Việc

chứng m inh (b) sẽ dược tiến h à n h trong phần 1.3.4

ra cúa hệ thông T¿ là y 2(n) Khi đó đ ầu ra của toàn bộ hệ thông sẽ là:

1.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN THEO THỜI GIAN

Trong p h ầ n 1.2 đã thực hiện việc p h â n loại các hệ thông tu ỳ thuộc vào m ột sô’ đặc tín h và các th ể loại của các hệ thống này Các hệ thống đã được phân loại bao gồm: tuyến tính, n h â n quả, ổn định và b ấ t biến theo thòi gian Trong p h ầ n n ày ta

sẽ tập tru n g vào việc nghiên cứu các hệ thông tuyến tính b ấ t biến theo thời gian (LTV) Đặc biệt ta sẽ xem xét các đặc tín h của các hệ thông này trong m iền thòi gian thông qua đ áp ứng đối với các tác động đầu vào là dãy m ẫu dơn vị Việc xem xét này là cần th iế t và quan trọng bới vì b ấ t kỳ một tín hiệu đ ầu vào riêng b iệ t nào cũng đều có th ể p h â n tích và biểu diễn thông qua tổng của các dãy m ẫu đơn vị Điểu này cho phép trong mọi trường hợp có th ể xem tín hiệu đ ầ u vào là các tín hiệu

m ẫu dơn vị Q uan hệ giữa đáp ứng m ẫu đơn vị của hệ thông, các tín hiệu đ ầ u vào với tín hiệu đầu ra dược biểu diễn thông q u a biểu thức Biểu thức này được gọi tổng chập hoặc công thức chập và nó cho phép ta có thể xác định đ áp ứng của h ệ thống đối với một tín h iệu b ấ t kỳ của đ ầu vào

1.3.1 Kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính

Có hai phương pháp cơ bản thường được sử dụng trong việc p h â n tích các đáp ứng của hệ thống tu y ế n tính đôi vối một tín hiệu đầu vào cho trước Phương pháp

th ứ n h ấ t dựa tr ê n cách giải quyết trực tiếp đối với biểu thức biểu diễn q u a n hệ vào/ra của hệ thống Biểu thức này thông thường có dạng sau:

Chương 1. TÍN HIỆU V À HỄ TH Ố N G R Ờ I R Ạ C THEO THỜI G IA N 35

y(n) = F[y(n - 1), y(n ■ 2), y(n - N), xin), x(n - ì), , x(n ■ M )ì trong dó FỊ.] là hàm với các biến là các thành phán dược chỉ ra trong dấu ngoặc vuông Cụ th ể hơn, đối với các hệ ’thống L T I thì sau này ta có th ể thấy rằ n g quan

hệ vào/ra có thể dược biểu diễn bằmg công thức:

y(n) = -ỴJ a*.v(tt-Ả:) + £ ò * x ( n - Ả :) (1.3.1)

ở đây ịak} và ịbk Ị là các hằng số xáic định hệ thống và phụ thuộc vào x(n) và y(n).

Q u an hệ vào/ra trong (1.3.1) được gọi là biểu thức sai p h â n và được dùng để

mô tả đáp ứng của hệ thống tuyếm tính bất biến ròi rạc theo thòi gian Cách giải phương trìn h sai phân sẽ được mô 'tả chi tiết trong phần 1.4

Phương pháp thứ hai được s ữ dụng để phân tích đáp ứng của hệ thông tuyến

bản:

• Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản Việc

p h â n tích này sẽ đưa đến việc xác 'định đáp ứng của tín hiệu đ ầu vào thông q u a các đáp ửng cúa hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thường sẽ đơn giản và dễ dàng hơn r ấ t nhiều

thống thông qua các đáp ứng riêng lẻ đối với từng tín hiệu cơ bản Phương pháp

th ứ hai sẽ được trình bày trong phần này

Một cách chi tiết hơn, giá sử rằng tín hiệu tác động x(n) đã được p h â n tích

th à n h tổng các tín hiệu th à n h phần cơ bản {¿¿(rc)):

k

hiệu x(n) Nếu giả sử đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu th à n h phần cơ b ản

X ị/n) là ykín) hay:

Khi hệ thông là tuyến tính thì ta có th ể áp dụng tính c h ấ t tỷ lệ: tức đáp ứng

y(n) = T[x(.n)] = T

trong (1.3.4) ta đã sử dụng tính tổ hợp (additivy property) của hệ thông

Mặc dầu rằng trong một chừng mực nào đó việc chọn các tậ p hợp các tín hiệu

th à n h phần cơ bản có th ể là bất kỳ (có nhiều cách chọn các tập hợp này) n h ưng

36 X Ử LỶ TÍN HIỆU S Ố

nhìn chung việc chọn các tín hiệu này sẽ phụ thuộc vào từng loại tín hiệu đầu vào

Nếu chúng ta dưa ra các giới h ạn đôi vói tín hiệu đ ầ u vào thì việc ph â n tích tin hiệu thành các dãy m ẫ u đơn vị sẽ th u ậ n tiện hơn về m ặ t toán học và đầy đủ trọn

vẹn hơn M ặt khác, nếu c h ú n g ta tậ p tru n g sự chú ý của mình vào việc phân lớp tín hiệu đầu vào thì có th ể xác định được một tập hợp tín hiệu cơ bản k h á c th u ậ n tiện

hơn về m ặt toán học trong việc xác đ ịn h đầu ra C h ẳn g h ạn nếu tín hiệu tác động x(n) là tu ầ n hoàn với chu kỳ N thì tập hợp các dãy tín hiệu th à n h p h ầ n có thể biễu

diễn về m ặ t toán học một cách th u ậ n tiện qua các h àm số mũ:

( 2 n \

T ần số 2 /r /N được gọi là tầ n sô’ cơ bản và t ấ t cả th à n h p h ầ n tầ n s ố còn lại đều

là bội sô' của th à n h p h ầ n này Việc phân lốp tín hiệu đ ầu vào sẽ được xem xét kỹ hơn ở các phần sau

Để có th ể giải quyết việc phân tích tín hiệu đ ầu vào th à n h tổng các tín hiệu

m ẫu đơn vị, việc cần thiết trước tiên là phải xác định đ áp ứng của h ệ thông đối với dãy m ẫu đơn vị và sau đó sử d ụ n g tín h tỷ lệ và tính n h â n của hệ th ô n g tuyến tính

để xác định công thức cho đ ầu ra đô'i với tín hiệu đầu vào b ấ t kỳ

1.3.2 Phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian thành các xung

Giả sử rằ n g x(n) lầ tín hiệu b ấ t kỳ cần p h â n tích th à n h tổng các dãy mẫu đơn

vị Nhằm tận dụng các p h â n tích đã được tiến h à n h trong các phần trưốc chúng ta

sẽ chọn các tín hiệu th à n h p h ầ n là:

trong đó,Ả: biểu diễn sự trễ của dãy mẫu đơn vị Để có th ể xác định được tín hiệu

,bất ký x(n) vối các giá trị kh ác không trong một khoảng vô h ạ n thì rõ r à n g rằng tập

hợp của các xung đơn vị cũng phải là vô h ạn và điều n ày cũng có nghĩa là số lượng của các bộ dịch trễ cũng là vô hạn

Nếu ta n h â n hai tín hiệu x(n) và ổ(n-k) thì điểu gì sẽ xảy ra? Bởi vì dãy S(n-k)

l à một dãy V Ớ I t ấ t cá các giá trị bằng không ngoại tr ừ giá tr ị x(k) tại thời điểm

n = k Nếu ta l ặ p lại phép n h â n này của xin) với ỗ(n-m) trong đó m là độ dịch trễ khác (m * k) thì sẽ n h ậ n được một dãy mới với t ấ t cả các giá trị b ằ n g không ngoại

tr ừ giá tr ị x(m ) tạ i thời điểm n = m Từ đây suy r a rằng:

Chương 1. TÍN HIỆU V À HỆ TH Ố N G RỜI R Ạ C THEO IH Ờ I G IA N 37

Nói một cách khác, mỗi phép nhân của tín hiệu x(n) với xung đơn vị với độ

dịch trễ k [xung õ(n - k)) sẽ đồng nghĩa với việc đưa ra giá trị x(k) c ủ a x(n) tại thời

điểm t r i nơi xung dơn vị có giá trị khác không Do vậy nếu ta lặp lại phép nhân

này trên t ấ t cả giá trị cho phép của độ dịch trễ (k tương ứng vói các thòi điểm lấy

quà thu dược sẽ là x(n) N hư vậy ta có th ể viết:

Có thê nhận tháy rằ n g vế phãi của (1.3.10) là tổng của một s ố lượng vô h ạn

của dãy xung đơn vị trong đó dãy xung đơn vị ổ (n-k) có biên độ với giá trị bằng x(k) Như vậy vế phải của (1.3.10) chính là lời giải của việc p h â n tích tín hiệu bất

kỳ x(n) th à n h tổng của các xung đơn vị dịch.

Ví dụ 1.3.1: Cho m ột dãy hữu hạn:

x(n) = { 2,4,0,3}

H ãy p h ă n tích dãy x(n) theo các xung đơn vị.

G iải: Bởi vi dãy x(n) có giá trị khác không tại các thời đ iểm n = -1, 0, 2 do đó

ta cần ba xung trễ ở các thời điếm tương ứng k = -1, 0, 2 T ừ (1.3.10) ta su y ra rằng:

x(n) = 2 S n + 1) + 4 # n ) + 3ãn-2)

38 X Ử LÝ TÍN HIỆU S Ố

1.3.3 Đáp ứng của hệ thống LT I đối vói tác động bất kỳ - tổng chập

Công việc tiếp theo sau khi đã phân tích xung tác động x(n) theo các x u n g đơn

vị là việc xác định đáp ứng của hệ thông tuyến tính (relaxed) đối với tín hiệu vào

Để’ giải quyết vấn dể n ày ta gọi y(n ,k) - đáp ứng của hệ thống đôì vâi dãy x u n g đơn

vị tại n = k là h(n,k), co < k < ao Như vậy:

Do vậy đáp ứng c ủ a hệ thống đô'i với x(n) sẽ là:

¿ x ( m n - k ) ầm-ềo

Cần chú ý (1.3.14) là biểu thức của đáp ứng của hệ thống tuyến tín h đối với

dãy tác động b ấ t kỳ x(n) Biểu thức này là h àm của x(n) và đáp ứng h (n ,k) của hệ thông đốĩ với xung đơn vị 8 (n-k) vối -co < k < cc Công thức (1.3.14) n h ậ n được k h i

ta chỉ sử dụng tính tu y ế n tính của hệ thông Khi đó không q u a n trọng là h ệ th ô n g

có b ấ t biến theo thời gian hay không

Nếu hệ thống đang xét là b ấ t biến theo thòi gian thì công thức (1.3.14) có th ể được biểu diễn đơn giản hơn T h ậ t vậy, nếu hệ thống là b ấ t biến theo thời gian vói

đáp ứng đối với dãy đơn vị din) là h(n), hay:

thì sử dụng tính b ấ t biến theo thời gian của hệ thông ta sẽ n h ậ n được đ áp ứ n g của

hệ đối với xung đơn vị dịch tr ễ ỗ(n-k) qua biểu thức:

40 X Ử L Ý TÍN HIỆU SÒ

G iải: Giá trị của tổng chập sẽ được xác đ ịn h theo công thức (1.3.17), tu y vậy

đ ể tiện cho việc theo dõi chúng ta sẽ sử d ụ n g đ ồ th ị đê trợ giúp H ìn h 1.2la mô tả dãy tín hiệu đầu vào x(k) và đáp ứng xu n g của hệ thống trong đó k được sử dụng

n h ư chỉ sô'thời g ia n theo th ứ tự p h ù hợp với (1.3.17).

Bước 1 Xác đ ịn h h(-k) Dãy kết quả được mô tả trên h ìn h 1.21b.

Đ ể tín h đáp ứng y(0) của hệ thống tại thời điểm n = 0 ta s ử d ụ n g công thức (1.3.17):

Đ ể xác đ ịn h y ( l ) trước tiên cần xác đ ịn h h (l-k) Theo bước 2, h (l-k ) có th ể

n h ậ n được từ h(-k) đơn g iả n bằng cách dịch p h ả i d ã y này theo m ột đơn vị thời gian

D ãy này được m ô tả trên h ìn h 1.21c D ãy tích:

v,(k) = x(k)h(l-k) được biểu diễn trên h ìn h 1.21c Kết quả C U Ô Ï cùng được xác đ ịn h q u a biểu thức:

Đối với trường hợp n < 0 , hãy bắt đầu bằng việc xác định y(-l) (n = -1) Ta có:

Chương 1 TÍN HIỆU V Ã HỆ TH Ố N G R Ờ I R Ạ C TH EO THỜI G IA N 41

chạy từ -co đến + co T rên thực t ế để có th ể xác định được giá tr ị của tổng chập theo

n trong toàn bộ miền xác đ ịnh của n l à một vấn đề r ấ t khó vì vậy thông thường

người ta thường chia n th à n h n h ữ n g vùng h ữ u h ạ n đặc b iệ t để có th ể xác định giá