MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐI.. Bất đẳng thức Bài 1.. Vậy ta có điều phải chứng minh... Biến đổi đẳng thức Bài 1.. Tính giá trị của biểu thức: Bài 3... Phương trình bậc hai và hệ thức Vi
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ
I Bất đẳng thức
Bài 1 Cho a b c , , là các số dương Chứng minh: 3
2
b c c a a b
Bài 2 Cho a b c , , là các số dương Chứng minh:
2
Bài 3 Cho 0 a b c , , 1 Chứng minh rằng: 1 1
(1 )(1 )(1 )
Bài 4 Cho n số dương x x1, 2, , xn thỏa x1 x2 xn 1 Chứng minh rằng:
1 x 1 x 1 xn ( n 1) n
Bài 5 Cho x 1, y 2, z 3 Chứng minh:
1
xyz
Bài 6 Cho a b , là hai số dương:
a) Chứng minh rằng: 4a 2 2b 4 1
ab
a b a b
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b ab
a b ab
Bài 7 Cho các số dương a b c , , thỏa mãn: a2 b2 c2 1 Chứng minh:
3 3 2
b c c a a b
Bài 8 Cho a b , là hai số dương Chứng minh: a3 b3 ab a ( 2 b2)
Bài 9 Cho các số dương a b c , , Chứng minh: 21 2 1 2 1 a b c
ab
Bài 10 Cho các số dương a b c , , thỏa mãn: a b c 1 Chứng minh:
9
a bc b ca c ab
Bài 11 Cho các số dương a b c , , Chứng minh rằng:
a b c a bc b ca c ab
Bài 12 Cho a b , lớn hơn 1 Chứng minh
8
b a
Giải
Cách 1 Aùp dụng bất đẳng thức Minkwosky ta được:
Mặt khác thì:
2
( )
2
a b
a b
(đúng) Vậy ta có điều phải chứng minh
Cách 2 Đặt x a 1, y b 1, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
( 1) ( 1)
8 ( 1) ( 1) 8
Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)
x x y y xy x y Mặt khác
Trang 22 xy x ( 1)( y 1) 8 xy ( x 1)( y 1) 4 xy(đúng)
Do đó ta có điều phải chứng minh
Bài 13 Cho a b , dương và a b 1 Chứng minh: 1 21 2
6
ab a b
Bài 14 Cho các số dương a b c , , thỏa mãn: a b c 1 Chứng minh:
30
ab bc ca
Bài 15 Cho các số dương a b c , , thỏa mãn: ab bc ca 1 Chứng minh:
2
b c c a a b
II Biến đổi đẳng thức
Bài 1 Cho các số a b c x y z , , , , , thỏa mãn: x by cz y ax cz z ax by , , , x y z 0 Chứng minh:
2
1 a 1 b 1 c
Bài 2 Cho ba số a b c , , thỏa mãn đẳng thức:
1 1
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3 Cho a b c 1 và 1 1 1
0
a b c Tính
a b c
Bài 4 Cho x y z 0 Chứng minh: x3 y3 z3 3 xyz Từ đó rút gọn phân thức:
3
Bài 5 Cho abc 0, a3 b3 c3 3 abc Tính giá trị của biểu thức:
A
1 1 1
Bài 6 Biết
ax by c
bx cy a
cx ay b
Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 abc
Bài 7 Cho abc 0, a b c 0 Tính a b c
bc ca ab
Bài 8 Cho a b c d 0 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 d3 3( c d ab cd )( )
x y z a
c
Tính x3 y3 z3
theo a b c , ,
Trang 3Bài 10 Giải hệ phương trình:
a b c
1 1 1
Bài 11 Cho a b c , , thỏa mãn: a a b
2002 2003 2004 Chứng minh rằng:
4( )( ) ( )
Bài 12 Cho
x y z
1 1 1 1
Chứng minh rằng: 3 ax2 by2 cz2 3a 3b 3c
Bài 13 Chứng minh rằng nếu: a bc 0 và a b c 0 thì:
b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
Bài 14 Cho x y , thỏa mãn: x 2005 x2 y 2005 y2 2005 Chứng minh rằng: x2005 y2005 0
Bài 15 Cho a b c , , là các số thực khác 0 sao cho: a b3 3 b c3 3 c a3 3 3 a b c2 2 2 Tính giá trị của biểu thức:
A
1 1 1
III Phương trình bậc hai và hệ thức Viét
Bài 1 Hai phương trình: x2 ( a 1) x 1 0; x2 ( b 1) x c 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình:
x2 x a 1 0; x2 cx b 1 0 cũng có nghiệm chung Tính giá trị của biểu thức: a
b c
2004
Bài 2 Cho parabol (P): y 1 x2
4
và đường thẳng (d): y 1 x 2
2
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d) Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất
Bài 3 Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn:
a b
1 1 1
2
Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:
x2 ax b x2 bx a
( )( ) 0
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y x
2 2
1 1
Bài 5 Biết rằng phương trình x2 3 x 1 0 có nghiệm x = a Hãy tìm một giá trị của b Z để phương trình
x16 bx8 1 0 có nghiệm x = a.
Bài 6 Tìm k để phương trình kx2 (12 5 ) k x 4(1 k ) 0 có tổng bình phương các nghiệm là 13
Bài 7 Cho hai phương trình: ax2 bx c 0 (1), a 0 và mx2 nx p 0 (1), m 0 Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm:
( ) 2( ) 0
Bài 8 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m: x2 x m 0
Bài 9 Tìm các giá trị của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Trang 4x x a x
4 ( 7) 1 0
Bài 10 Chứng minh rằng phương trình: ( a2 b x2) 2 2( a3 b x a3) 4 b4 0 luôn có nghiệm với mọi a, b.
Bài 11 Tìm m sao cho phương trình 2 x m 2 x 1 2 m 4 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 12 Cho phương trình: (2 m 1) x2 2 mx 1 0 Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x2 x2
1 2 1
Bai 13 Cho phương trình: x3 m x ( 2) 8 0
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình có ba nghiệm x x x1, ,2 3 chứng minh rằng:
x3 x3 x3 x x x
1 2 3 3 1 2 3
Bài 14 Tìm x, y thỏa mãn: 5 x2 5 y2 8 xy 2 x 2 y 2 0
Bài 15 Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
(3 2) 2 5 3 0
5 14
Bài 16 Cho phương trình x2 px q 0 trong đó p q , là các số nguyên tố Biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng p2 q2 là số nguyên tố
Bài 17 Giả sử phương trình x2 mx n 1 0 có các nghiệm x x1, 2 là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng
m n là hợp số
IV Phương trình chứa căn
1) x 3 x 1 2 ( x 1)
2) x 4 x 3 2 ( x 7)
3) 1 x 4 x 3 ( x 0, x 3)
4
Bài tập về nhà
1) 3 x 5 2 x 3 x 2 ( x 2)
2) 12 13 4 13 1 ( 3, 17 )
33
3) 2 5 1
2
x
x
(vơ nghiệm)
4) ( x 3) x 1 0 ( x 1)
Bài tập nâng cao
1) x x ( 1) x x ( 2) 2 x x ( 3)
2) 2 x 4 x 1 2 x 3 4 x 16
3) x 3 5 x x2 8 x 18
4) 13 13 x x
5) 8 x 3 5 x 3 5
6) x 1 4 x 5 x 1 4 x 5 2( x 17)
Trang 57) 8 (3 x 1)2 3( x 1)2 23 x2 1
8) Cho x y ,
có x y 6 xy Tính x
y
9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 6 x 9 x x 9 m