đề thi HSG Nam Định các năm

Chứng minh khi đó đờng thẳng N1N2 đi qua một điểm cố định.. Tìm tập hợp các điểm N sao cho các tiếp tuyến kẻ từ N tới E vuông góc với nhau Câu 3: ABC là một tam giác bất kì có 3 góc nhọn

Đề thi Học sinh giỏi lớp 12

Năm học 95-96

Câu 1: Giải hệ phơng trình : 









x y

y x

2 1 2 1

2 2

Câu 2: Cho bất phơng trình : m x2  2x17 (2m1)4 x2  2x17m10 (1)

1.Giải phơng trình (1) với m = 1

2.Với giá trị nào thì bất phơng trình (1) : a.Nghiệm đúng với mọi giá trị x ? b.Có nghiệm ?

Câu 3: Cho parabol y = 0,5x2 và một điểm M(x0 ,y0) với y0 < 0,5 x0 Các tiếp tuyến kẻ từ M tới parabol tiếp xúc với parabol tại N1(x1,y1 ) và N2(x12,y2 )

1 Chứng minh : y0 + y1 = x0x1 ; y0 + y2 = x0x2

2 Giả sử rằng M chạy trên đờng thẳng y = - 0,5 Chứng minh khi đó đờng thẳng N1N2 đi qua một điểm cố định Tìm toạ độ của điểm cố định đó

Câu 4: Cho đờng tròn có pt: x2 + y2 = R2 ( R 0 ) , ABCD là một hình thoi ngoại tiếp đg tròn M ( Rcosa ; Rsina) ;

N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a – b ) khác 0) lần lợt là tiếp điểm của các cạnh AB và BC với đờng tròn

1 Viết phơng trình các cạnh của hình thoi ABCD Tính diện tích hình thoi theo R ; a ; b

Câu 5: Cho Sn =

Với n = 1,2,3 Tìm giới hạn nếu có của S n khi n  

Năm học 96-97

Câu 1: 1 Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số y=2x4+(1 – 2x )4

2 Giải phơng trình : 2x4 +( 1- 2x)4=

27 1

4 9

2 2



y x

1 Lập phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ M ( 0; 13 )tới (E) Xác định góc của 2 tiếp tuyến đó

2 Tìm tập hợp các điểm N sao cho các tiếp tuyến kẻ từ N tới (E) vuông góc với nhau

Câu 3: ABC là một tam giác bất kì có 3 góc nhọn Chứng minh ABC là tam giác đều khi và chỉ khi :









 













 













 







3

2 cos 3

2 cos 3

2 cos cos

cos

Câu 4: 1 Chứng minh với mọi m  0hàm số f(t) = m3 mt 2 đồng biến trên tập xác định của nó

1 Cho hệ phơng trình :























3 3

3 3

3 3

2

2

2

2

2

2

m x m

z

m z m

y

m y m

x

Năm học 97-98

Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x3 –12x-20 (1)

1 Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số (1)

2 Tính f34 316

3 Chứng minh: 3 69  3 4  3 16  3 70

Câu 2: Cho hệ phơng trình : 















m x

x

m x x

4 1 4

1 2

2 2

Học sinh đợc chọn một trong hai câu 3a , 3b sau:

Câu 3a: Cho A(x0,y0) là một điểm bất kì thuộc đờng tròn x2+y2=25 (E) là elíp có phơng trình : 1

9 16

2 2



 y x

1 Chứng tỏ rằng A nằm ngoài (E)

2 Chứng minh từ A ta có thể kẻ đợc haitiếp tuyến của (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc Gọi tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (E) là B và C

3 Giả sử h là khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h

Câu 3b: Cho ABCDlà một tứ diện đều với các cạnh bằng 1 Hai điểm M và N chuyển động trên các cạnh AB và AC

1 Chứng minh tnp(DMN)luôn đi qua một đờng thẳng cố định

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thể tích V của tứ diện ADMN

Câu 4:Cho các số a,b,c thoả mãn : 0 a,b,c 2 và a + b + c =3

1 Chứng minh : a4+ b4 + c4  17

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a1997+ b1997 + c1997

Năm học 98-99

Câu 1: Cho hàm số : y = - 4x3 + 3x (1)

1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số (1) và tìm điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đó

2 Chứng minh bất đẳng thức :

75

26 20 sin 3





8

cos 2  









 x x  x



1 Giải phơng trình (2)

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của (2)

Học sinh đợc chọn 1 trong 2 câu 3a hoặc 3b dới đây

9 16

2 2



 y

thay đổi thoả mãn hệ thức : 9 cos  cos   16 sin  sin   0

1 Chứng minh các điểm MvàN đều thuộc (E)

2 Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN

)

( ABC

mp

H 

SC SB SA

SH   

3 Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi sao cho ab + bc + ca không đổi Tìm GTLN của đoạn thẳng SH Câu 4: A,B,C là 3 góc của một tam giác bất kì Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P = cos A + cos B + cos C +

2

sin 2

sin 2 sin

1

C B

A





năm 1999-2000

Câu1(6đ): Cho hàm số : y=xlnx (1)

1 Tìm tập xác định và khoảng đồng biến nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 CMR :

e x

2  x lnx khi x > 0

3 Tính đạo hàm của hàm số f(x)=

0 khi x=0

Câu2( 4đ): Giải bất phơng trình sau: log3(x2+1)+ log5(x4+1) 0

Câu3a(6đ):

Giả sử A (x0; y0 ) là một điểm bất kỳ thuộc đờng tròn x2 + y2 =25; (E) là elip có phơng trình : 1

9 16

2 2



 y

a Chứng minh từ A có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Gọi tiếp điểm của chúng là B và C

b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC

Câu 3b(6đ):Tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1 đặt BC =x dựng DH và AK vuông góc với BC ( H ,K đều thuộc cạnh BC )

6

1

2 Chứng minh : DH

4

1  x2

3 Tìm x để thể tích V của tứ diện ABCD là lớn nhất

Câu 4(4đ): Cho phơng trình : x4 = 44 4x 1  1 (2)

1 Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (2) chứng minh x0 > 1

2 Giải phơng trình (2)

Năm học 2000-2001

Câu1 Cho hàm số : F(x) =

3

khi x 1 1

a khi x=1

x x













Với giá trị nào của a thì hàm số có đạo hàm tại x=1 ? vơí giá trị của

a tìm đợc tìm F’(1)

Câu 2 : Cho tam giác ABC biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA=1 ;MB=MC=6 gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng : S  10 5 dấu bằng xẳy ra khi nào ?

Câu3: Cho A’(-a;0); A(a;0)và elip có phơng trình (E): 2 1

2 2

2





b

y a

x

Với a > b > 0 Trên (E) lấy điểm M bất kỳ tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MA A’ khi điểm M di chuyển trên (E)

Câu 4 : iải hệ sau : sinx +

y

sin

1

= siny +

2000 sin

1

= sin 2000 +

x

sin

1

Câu 5 : Cho hai phơng trình sau : 3 (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 3x =(8a -4)log3(3a - 1/2) - 3 x3 (2) Tìm a để số nghiệm của phơng trình (1) không vợt quá số nghiệm của (2)

Năm học 2001-2002

Câu1 :Giải hệ phơng trình sau x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2

2x 22x+y + 3y 8x+y =1

Câu 3 :Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC

a.CMR : (1+ tg

2

A

)(1+tg

2

B

)(1+ tg

2

C

)=2+2 tg

4

A

tg

4

B

tg

4

B

b Xác định các giá trị của A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn nhất T=(1+ tg

2

A

)(1+tg

2

B

)(1+ tg

2

C

)

m

m



 1

) 1 ( 2

) 1 (

) 3 )(

1 (

m

m m







với m >0 Tìm tất cả các điểm

mà qua mỗi điểm đó có đúng hai đờng thẳng của họ đi qua và hai đờng thẳng này vuông góc với nhau

Câu5: không dùng máytính so sánh hai số sau A =log20002001 và B= log 20012002

Năm học 2002-2003

Câu1: Cho hàm số : f(x) = x3 – 3x2 –7x + 6 (1)và M(x0;y0)là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) Tiếp tuyến tại M của

đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B Tìm toạ độ của M sao cho các điều kiện sau đồng thời

đ-ợc thoả mãn :

1 Hoàng độ của A là số dơng

2 Tung độ của B là số âm

3 OB = 2OA ( O là gốc toạ độ

Câu2: 1 Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình : cosx2 cos ( x2 2x1)

2 Giải bất phơng trình : 8 2 3  x 1 4 3 x 2 3  x 1 5

Câu3: Cho 2 họ đờng tròn có phơng trình : (Cm): x2+y2-2mx+2(m+1)y-1=0; (Km): x2+ y2-x+(m-1)y+3=0

1 Tìm trục đẳng phơng của đờng tròn

2 Chứng minh rằng khi m thay đổi , trục đẳng phơng luôn đi qua một điểm cố định

Câu4 : Giả sử tham số a thuộc đoạn [0; ]

4



và hàm số ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa – sina)-3x2 sin2a xác định trên [-sina ; cosa] Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất

Năm học 2003-2004

Câu1 (5đ): Giải bất phơng trình sau : (3x -2x-1)( x 3  2 )>0

Câu 2(6đ):

1 Cho phơng trình : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 tìm a để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hệ luôn có nghiệm (x ; y): mx -2y >m

Câu3 (6đ): Trong không gian cho hai đờng thẳng d1,d2 sao cho 0x ,d1,d 2 đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau

1 Xét đờng thẳng d bất kỳ đi qua 0 gọi  ,  ,  thứ tự là góc giữa d với các đờng 0x ,d1,d

Chứng minh tg2 tg2  tg2 - (tg2 +tg2  +g2 ) =2

2 Biết rằng khoảng cách giữa ba đờng thẳng bất kỳ trong ba đờng 0x ,d1,d 2 cùng bằng 2 đơn vị độ dài một hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thoả mãn : B’ và d thuộc 0x ; A’ và C’ thuộc d1;A và D’ thuộc d2 Tính thể tích hình hộp

ABCD,A’B’C’D’

Câu 4(3đ):Cho a,b dơng chứng minh rằng : (a + 1)ln(a+1) + eb  (a +1) (b+1)

Năm học 2004 - 2005

Câu I ( 6 điểm) Cho hàm số f(x) = 2mx x22x2m , với m là tham số.

2

2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R

Câu II ( 4 điểm) Tính tích phân I =

2 1

4 2 1

1

x

dx







Câu III (7 điểm)Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đờng parabol (P) có phơng trình: y = x2 và đờng tròn (C) có phơng trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0

1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt

2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đờng tròn (C) Hãy lập phơng trình đờng tròn đi qua điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đờng tròn (C) tại điểm A

3) Giả sử đờng thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt T1 , T2 Gọi (d1) , (d2) thứ

tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T1 , T2 Biết rằng (d1) cắt (d2) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên một đờng thẳng cố định

Câu IV (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ; 1

2



 ) ,

ta đều có: 3cos sin(x x1) 3cos(x1).sinx 3cos cos(x x1)