Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phần gồm năm chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?. Có bao nhiêu cách lập rà một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5 s
Trang 11) Các chữ số đôi một khác nhau
Bail
(ĐH An ninh, 1997) Từ bảy chit s6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có năm chữ số
khác nhau
Bài 2
(ĐH Huế, 1997) Có bao nhiêu số tự nhiên (được
viết trong hệ đếm thập phần) gồm năm chữ số mà các chữ số
đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số
tự nhiên nói trên
(DH Quế: gia Hà Nội, 1997) Có 100.000 chiếc vé
xổ số được đánh số từ 00.000 đến 99.999 Hỏi số các vé gồm năm
chữ số khác nhau là bao nhiêu?
Bài 4
-_ (H Thái Nguyên, 1997) Cho các số 1, 9, 5, 7, 8
Có bao nhiêu cách lập rà một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5
số trên sao cho:
a) Số tạo thành là một số chẫn
b) Số tạo thành không có chữ số 7
c) Số tạo thành nhỏ hơn 278
Bài 5
(ĐH Y Hà Nội, 1997) Cho mười chữ số 0, 1, 2, 9
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600000 xây
dựng từ 10 chữ số đã cho
Bài 6
(ĐH Lâm nghiệp, 1997) Cho các chữ số 0, 2, 4; ð, 6,
8, 9)
1 Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số
các chữ số khác nhau
2 Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong
đó nhất thiết có mặt chữ số 5
Bài 7
(Cao đẳng Sư phạm TP HCM, 1997) Cho các chữ
số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu:
1 Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau
2 Số chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau:
Bai 8
(DH Su pham Vinh, 1999) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số
gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
Bài 9
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Có bao nhiêu sé gém 5
chữ số sao cho tông các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
(DH Su pham Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự
nhiên có đúng õ chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau
lớn hơn chữ số đứng liển trước
Bai 11
(Viện Đại học Mở Hà Nội, 2000) Cho bốn chữ số 1,
a) Có thể lập được bao nhiêu số hàng nghìn gồm 4 chữ số khác nhau từ bốn chữ số đó
b) Tính tổng các số tìm được ở câu a) Bài 12
(Học viện Quốc tế, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, ð,
6, 7, 8, 9 thiết lập tất cả các số có chín chữ số khác nhau Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa
Bài 13
(DH Quéc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự
nhiên gm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
Bài 14
(ĐH Sư phạm Hà Nội 2, 2001) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ
số 1, 3, 4, B, T, 8
Bài 15
(ĐH Ngoại thương cơ sở II - TP.HCM, 2001) Từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Bai 16
(DH Quéc gia TP.HCM, 2000)
1 C6 bao nhiéu sé chin gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó
có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)?
2) Các chữ số có thể trùng nhau Bài 17
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Xét dãy số gồm 7
chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, 8, 9) thỏa mãn các tính chất sau:
- Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn
~ Chữ số ở vị trí cuối không chia hết cho 5
- Các chữ số ở vị trí thứ 4, thứ ð và thứ 6 đôi một khác nhau
Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy (có giải thích)?
Trang 2Phan Hữu Huy Trang
(ĐH Sư phạm Vĩnh, 1998) Viết các số có sáu chữ
số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 (một chữ số xuất hiện hai lần, các
chữ số còn lại xuất hiện một lần) Có bao nhiêu cách viết
Bài 19
(ĐH Xây dựng, 1998) Có bao nhiêu số tự nhiên
khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4
Bài 20
(ĐH Sư phạm Vinh, 2000) Có bao nhiêu số khác
nhau gồm bảy chữ số sao cho tông các chữ số của mỗi số là một
sé chan
Bai 21
(DH Su pham Hà Nội 2, 2000) Có thể lập được bao
nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các
chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần còn các chữ số khác có mặt 1 lần
Bài 22
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Có bao nhiêu số gồm 5
chữ số sao cho tông các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
Bài 23
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Từ ba chữ số 1, 2 và 3 có
thê tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gầm 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ 3 chữ số trên?
Bài 24
(ĐH Huế, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4
chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần
Bài 25
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự
nhiên gm 7 chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2
có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số
còn lại có mặt không quá một lần
II BAI TOAN CHON
Bai 26
(ĐH Thái Nguyên, 1997) Một lớp học có 40 học
sinh gồm 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh
Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
—Ằ Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam
Bài 27
(Học viện khoa học quân sự, 1997) Có 10 câu hỏi
gồm 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập để cấu tạo thành một đề
thi gồm 3 câu có cả lý thuyết và bài tập Hỏi có bao nhiêu khả
năng cấu tạo đề thi
Bài 28
(ĐH Quếc gia TP.HCM, 1998) Một da giác lỗi n
cạnh thì có bao nhiêu đường chéo?
ĐẠI SỐ TÔ HỢP
LTDH- 2009
(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1998) Một đội xây dựng
gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kĩ
sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác
Bài 30
(ĐH Huế, 1999) Một hộp đựng 4 viên bi do, 5 viên
bi trang va 6 viên bi vàng Chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu
Bài 31
(ĐH Cảnh sát nhân dân, 1999) Cho tam giác ABC
Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng
song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA Hỏi các đường thăng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình
thang (không kể hình bình hành)
Bài 32
(ĐH Sư phạm Hà Nội 2, 1999) Một trưởng tiểu học
có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ (trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi) Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số
50 hoc sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
Bài 33
(ĐH Sư phạm Vinh, 1999) Một tổ sinh viên có 20
em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp
va 5 em chi biết tiếng Đức Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3
em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức
Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên ấy
(Học viện kĩ thuật quân sự, 2000) Một đổn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm
vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực
tại đôn Hỏi có bao nhiêu cách phân công
Bài 35
(ĐH Huế, 2000) Một lớp học có 30 học sinh nam và
15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
1 Nếu phảt có ít nhất 2 nữ?
2 Nếu chọn tùy ý?
Bài 36
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Một đội văn nghệ có 20
người gầm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong ð người đó
- b) Õó ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Trang 3(DH Cần Thơ, 2000) Có 9 viên bi xanh, ð viên bị
đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau
1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bị, trong đó có đúng 2
viên bị đỏ
2 Có bao nhiêu cách chon ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh
bằng số bì đỏ
Bai 38
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 2000) Thầy giáo có 12
cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 cuốn văn học, 4 cuốn âm
nhạc và 3 cuốn hội họa Ông lấy ra 6 cuốn để tặng 6 học sinh A,
B, C,D, E, F mỗi em một cuốn
1 Có bao nhiêu cách nếu thầy chỉ muốn tặng sách văn học
và âm nhạc
3 Có bao nhiêu cách để sau khi tặng, thầy vẫn còn ít nhất 1
cuốn văn học, ít nhất 1 cuốn âm nhạc và ít nhất 1 cuốn hội họa
| (Học viện Kĩ thuật quân sự, 2001) Trong số 16 học
sinh có 3 học sinh giỏi, 5 kha, 8 trung bình Có bao nhiêu cách
chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ
đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Bài 40
(ĐH Ngoại thương, 2001) Trên mặt phẳng cho
hình 10 cạnh lồi A;A¿ A¿s Xét các tam giác có 3 đỉnh của nó là
3 đỉnh của hình 10 cạnh lôi Hỏi trong số tam giác đó có bao
nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của
hình 10 cạnh lôi
Bai 41
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1998) Có n học sinh
nam và n hoc sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh
nhau
Bài 42
(ĐH Cần Thợ, 1999) Xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh
gồm 5 nam và 5 nữ vào hai bàn, mỗi bàn có 5 ghế Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:
1 Các học sinh ngồi tùy ý
2 Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi 1 bàn
Bài 43
(ĐH Hàng hải TP.HCM, 1999) Có bao nhiêu cách
xếp năm học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
a) Ở ngồi ở chính giữa
- b)A và E ngôi ở hai đầu ghế
Bài 44
(ĐH Cần Thơ, 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh:
ï nam và 3 nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau
(ĐH Luật Hà Nội, 1999) Một đoàn tau có 3 toa chở
khách là toa I, toa II, toa HH Trên sân ga có 4 hành khách
chuẩn bị đi tàu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1
toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
Ill CAC BAI TOAN VE NHI THUC NEWTON Bai 46
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1997) Đa thức
PŒ@) = (1+ x) + 2(1 + x} + 3(1 +x)? + + 20(1 + x)” được viết lại
duéi dang P(x) = ay + a;.x + a).x" + + agg.x™, Tim ajs
Bai 47
(ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không
12
chứa x trong khai triển Niuton của (x + 4) Bài 48
(DH Đà Lạt, 1999) Tính hệ số của x”.y'° trong khai trién (x? + xy)"
Bai 49
(ĐH §ư phạm Hà Nội, 2000) Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức (x? + 1)" bằng 1094, hãy tìm hệ số a (a là
số tự nhiên) của số hạng ax trong khai triển đó
Bài 50
(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Trong khai triển nhị thức (xÄx +x 5)" hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rằng C? + CP“!‡ @n~2 '= 79 ()),
Bài 51
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 2000) Khai triển đa thite P(x) = (1 + 2x)” thanh dang ay + a,x! + a,x? + + ayy.x”
Tim max (a, a Ay)
Bai 52
(DH Thủy lợi, 2000) Cho đa thức P(@œ) = (1+ x)?+ (1+)! + + (1+ x)!' có dạng khai triển là
P(x) = ay + a¡.X + a;.X? ++ an,.XÉ Tính hệ số Ag
Bai 53
.(ĐH §ư phạm Hà Nội, 2001) Trong khai triển của
b +3 ì thành đa thức ay + aạ.x + a„X” + † ais.XÌ, (ay € R), hãy tìm hệ số ay lớn nhất (0 < k < 10)
Bài 54 Bài 271 (H Bách khoa Hà Nội, 1998) Viết khai triển Niutơn của biểu thức (8x - 1)'° Từ đó chứng minh rằng
36.09, - 3% Cl, +3'.0% - + C18 = 2"
Trang 4Phan Hữu Huy Trang
(ĐH Y dược TP.HCM, 2000) Với n là các số nguyên
dương chứng minh các hệ thức sau:
a) CŨ + CÍ + C2 + +CP =2"
b) Cận tCn ta + + Cận = Cổn+ Cấn t(ện + +Uấn
Bài 56
(ĐH Hồng Đức, 2000) Cho k, n là các số tự nhiên
Cộ ck + ch ck Ly +C8, ck -5_ =(k
Bai 57
(DH Su pham Vinh, 2001) CMR
C§nn +8” Công + 3! Chop + + 3°, 03000 = 2200 (22001 —1) (1)
Bài 58
.(ĐH Hàng hải, 2001) CMR
C9 +C2 .32+02, 31+ + Cấn an = 21/22 +0) (1)
Bài 59
(ĐH Đà Lạt, 2001) CMR với mọi số x:
x"=sn » Ca (2x— 1)*, với n là số tự nhiên
k=0
Bài 60
(ĐH Kinh tế quốc dân, 2000) Chứng minh rằng
mì c1 oml c2 a o9 cổ an CM en ar
21 Cn+ 9271 0213 27) Cá+ +n.n =n.3*? (1)
Bài 61
(ĐH Tài chính kế toán Hà Nội, 2000) Chứng minh
rằng với mọi số tự nhiên n: C? +2.C2 +3.C2+ +n.CP = n.21
Bài 62
(ĐH Sư phạm TP.HCM, 2001) CMR:
Cy, 31+ 2.053"? + 3.05.3" + +n C8 = 0.47" (1)
Bai 63
(ĐH Tài chính kế toán TP.HCM; 1995)
1
Tinh I = {a - x2".dx (n là số nguyên dương) Từ kết qua đó
0
chứng tỏ rằng: -
| (Cao ding Su pham TP.HCM, 1999) Tim sé tu
nhiên k thỏa mãn đẳng thức Cử, +” =9.0##! ()
ĐẠI SỐ TÔ HỢP
LTDH- 2009
(ĐH Bách khoa Hà Nội, 1997) Gọi n là số nguyên dương bất kỳ
a) Tính J= fx.(1- x’)".dx
0
Bai 66
(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1999) CMR với mọi n nguyên dương ta có
mt] _ 1
nt+1 (1)
L,l
Cnt 5 -Chtg-Cat +247 C8 =
n+ 7 Bai 67
| (ĐHDL Phương Đông, 1996) Ching minh rang với mọi k, n e Z* thỏa mãn 3 < k < n, ta đều có:
ck +3.ck1 43.0% 24 Ok §=¢k,,
Bai 68
(Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông, 1998) Tìm các số nguyên, dương x, y thỏa mãn
Coan CC” CC”
Bai 69
(Học viện Ngân hang, phân viện TP.HCM, 1999) Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình
Cl +6.02+6.C3 = 9x? - 14 (1) _
Bài 70
(ĐH Quốc gia Hà Nội, 2001) Giải PT
Bai 71
(DH An ninh nhan dan, 2001) CMR véi n 1a số tự
nhién, n 2 2, ta c6: — 1 yi +4 -a-t (1)
Bai 72
.(ĐH Bách khoa Hà Nội, 2001) Giai hé PT
2.A¥ +5.C% =90
5 AY - 2.09 = 80
Bai 73
(DH Y dược TP.HCM, 1998) Chứng minh rằng với
0<k«<n
(?n,y.Ứn y<(()” (Œ)
Trang 5
(DH Hàng hải, 1999) Giải bất phương trình
-8
Chi < 1
Bai 75
(ĐH Bách khoa Hà Nội, 2000) Giải bất phương
trình
6
>: Ag, -AYSy (y +10 ()
Bai 76
(DH Quốc gia Hà Nội, 2000) Cho 0 < k < 2000, k
nguyên, chứng minh tằm tà < Côn † (in (1)
Bài 77
(ĐH Su pham Vinh, 2001) Cho n là số nguyên
dương cố định CMR ck lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất
+
không vượt quá a
Bai 78
(DH An ninh, 2001) Tìm các số âm trong dãy số xị,
my Xa với X, = Ant 143 (n = l, 2, 3, wos)
n+2 4P, Bai 79
(ĐH Quốc gia Hà Nội, 1997) Tính tổng
S= Cẳi +Cị +CÏi +Cỉ +C}? + C]]
Bai 80
(ĐH Bách khoa Hà Nội, 1999) Cho n là số tự nhiên
lớn hơn 2, tính tổng
S= Œ;~2.Cá +3 Cả -4.C#+ + (—1)Y 1n Cn
Bai 81
(PH An ninh, 2000) Tinh téng:
S= C§ooo + 2.C$ooo + 3.Cổooo + - + 2001 C2989
Bài 82
(ĐHDL Duy Tân, 2001) Tính tổng sau:
28 co, 95 ar, 24 n2, 22 n3, 27 n4,2 5,176
S= +Ce+> Co+> Ce+—.C2+>.C24+24.C2+=.C 1 6 2 6 3 6 Ạ 6 5 6 6 6 7 6
Bai 83
- (ĐH Đà Nẵng, 2001) Với mỗi số tự nhiên n, hãy
tính tổng
S= Cn+2 Cn.2+3.Cn.22+2,.Ca.27+ + TT LỚN 2
.(ĐH §ư phạm TP.HCM, 2001) Cho A là một tập
hợp có 20 phần tử
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A
-_b) Gó bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà số phần tử
là số chan.