Trong Tam Kien Thuc Toan 12

* trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn.. * Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững t

Träng t©m kiÕn thøc to¸n 12 (Ban cơ bản)

A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

PHẦN 1: HÀM SỐ

Bài tốn 1: Khảo sát hàm số

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2− 3ac

∆/ ≤ 0 ∆/ > 0

y/ cùng dấu với hệ số a

•KL: hàm số tăng trên?

(giảm trên?)

y/ = 0 có hai nghiệm

x1; x2

•KL: hàm số tăng?

Giảm?

•Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại?

Cực tiểu?

+ Giới hạn: • lim (ax3 bx2 cx d)

+∞





<

∞

−

>

+∞

) 0 ( ) 0 (

a a

• lim (ax3 bx2 cx d)

−∞





<

∞ +

>

−∞

) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên:

x −∞ +

∞ x −∞ x1 x2 +∞

y/ + y/ + 0 − 0 +

y +∞

-∞ y CĐ +-∞ CT ∞ x −∞ +

∞ x −∞∞ x1 x2 +

y/ − y/ − 0 + 0 −

y +∞

−

∞ y +∞ CĐ

CT −

∞ Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng

+ Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ? điểm đặc biệt

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

2.Hàm phân thức : y = cx ax++d b ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R\−c

d

+ Đạo hàm : y/ = (cx d) 2

bc ad

+

−

ad−bc < 0 ad−bc > 0

a > 0

a < 0

y/ < 0 ∀ x ∈D y/ > 0 ∀ x ∈D

Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D

+ Tiệm cận: • x =−d c là tiệm cận đứng vì x d c cx ax++d b

−

→ lim / = ∞

• y = c a là tiệm cận ngang vì x cx ax++d b

∞

→

+Bảng biến thiên :

x −∞ −d/c +∞ x −∞ −d/c +∞

y/ − || − y/ + || +

y a/c ||+∞

−∞

a/c y +∞|| a/c a/c −∞

+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận

3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=± a b 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị • Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± a b 2 − ) =− 4∆a Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c) x + + ±∞ → =    < ∞ − > +∞ ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên : x −∞ 0 +

∞ x −∞ x1 0 x2 +∞

y/ − 0 + y/ − 0 + 0 − 0 +

y +∞ +

∞ y +∞ CĐ +

∞ CT CT x −∞ 0 +∞ x −∞ x1 0 x2 +∞

y/ + 0 − y/ + 0 − 0 + 0 −

y= a/c

y= a/c

a < 0

a > 0

CT

−∞ −

∞

y

CĐ CĐ

-∞ CT -∞

+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là :

Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1

+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là

hệ phương trình : = − + (1)

=







/

Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − 1a

+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?

+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)

+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)

+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M

Bài toán 4: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

• Dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

a> 0

b>0 a< 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

CĐ

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số  /( 0) 0

/ ( )

=







y x

y x

• Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Miền đang xét [a;b]

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh → KL

y(a) ; y(b)

+ max y

[a;b] = ? min y

[a;b] =?

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT:

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y[a;b] =yct

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ

max y

[a;b] = yCĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

đổi dấu qua x 0

2 Điều kiện tiếp xúc :

Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

f (x) g (x)

=

′ = ′





Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :

*Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0

= ∞

→ => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

*Tiệm cận ngang : limf (x) y0

→∞ => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này):

Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim

∞

→

x [f(x) –(ax + b)] = lim (x)

x ε

→∞ = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; a lim f (x)

x x

=

→∞ ; b lim [f (x) ax]

x

→∞

⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên

Phần 2: Hàm số mũ và logarit

Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit

a− n = a1n ; a0 = 1 0 ; amn = nam ( m; n nguyên dương , n > 1)

• Các quy tắc:

ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx

x

a

y

a

−

=

x

b = b

 

 ÷

  ( )x y ( )y x x.y

• Hàm số mũ : y = x

a với a > 0 ; a ≠ 1 TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 ⇔ a > x1 a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ a < x1 a x2

* Hàm số logarit:

α = log a N ⇔ aα = N log a x = b ⇔ x= a b

• Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0

• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:loga(B.C) = logaB + logaC

loga B

C

 

 ÷

  = logaB − loga Clogaα Bβ =

β

α logaB

• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :

logca.logab = logcb ⇔ log ba log bc

log ac

=

0 < a, b ≠ 1 : logab = log a1

b

Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x

• Hàm số Logarit: y = loga x với a > 0 ; a ≠ 1

TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 > logax2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ loga x1 <loga x2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit

(ex) / = ex −> ( eu)/ = u/.eu

( ax) / = ax.lna −> ( au)/ = u/.au.lna

(lnx) / = 1

x x ∈(0;+∞) −> (lnu)/ = u

u

′

(logax) / = 1

x ln a −> (logau )/ = u

u ln a

′

Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :

• Dạng cơ bản:

f (x)

a = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

v(x)

u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

f (x)

a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = logab

logaf(x) = logag(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)

=







dạng: log f (x)a b

0 a 1

=

< ≠





b

a logu(x)v(x) = b ⇔ [ ]

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)

> > ≠

=







• Đặt ẩn phụ :

α 2f (x)

a +β f (x)

a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x)

a Đk t > 0

α.ab f (x) + +β.ab f (x) − + γ = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

α.af (x)+β.bf (x)+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = af (x);1

t=bf (x)

α.a2f (x)+β.( )f (x)

a.b + γ.b2f (x) = 0 ; Đặt t =

f (x) a b

 

 ÷

 

• Logarit hoá hai vế :

Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit

• Dạng cơ bản :

10 f (x)

a > g(x)

a ⇔ f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1

> >

< < <





20 f (x)

a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x

Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1

30 f (x)

a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm

Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1

•logaf(x) > logag(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1

(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0

•logaf(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

•logaf(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

•( )v(x)

u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• (u(x))v(x)< 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0

Lưu ý:

hoặc

*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn

10 af (x)> ag(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0

20 logaf(x) > logag(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0

*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Phần 3: Nguyên hàm.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).

dx = + x C

∫

x dx α =

∫

1

x α+

α + 1

+ C (α≠-1 )

dx

x

∫ = lnx + C ( x≠ 0)

x

e dx

∫ = ex + C

x

a dx

∫ = ax

ln a + C

1 (ax b)

a( 1)

α+

+ α

∫

α + (α≠-1)

dx

ax b

∫ + = 1

alnax+ b + C

1

ax b

e dx

a

∫ eax+b + C

x

a α +β dx

∫ =1 a x b C

ln a

α + + α

Cosx.dx

∫ = Sinx + C

Sinx.dx

∫ = − Cos x + C

dx

2

Cos x

∫ =∫(tg x 1).dx2 + = tgx

dx

2

Sin x

∫ = (Cotg x 1).dx2

+

∫

= −Cotgx

Cos(ax b).dx +

aSin(ax+ b) + C

Sin(ax b).dx +

aCos(ax+ b) + C

dx 2 Cos (ax b)

∫

+ =1

atg(ax+ b) + C

dx 2 Sin (ax b)

∫

+ = −1

aCotg(ax+ b) + C

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx

 I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt

Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

1

2 2

a x ;

2 2

a x

−

− thì đặt x = asint

1

2 2

a x ; 2 2

a x

+

+ thì đặt x = atant

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên

tục trên I

u(x).v'(x)dx u(x).v(x) = − v(x).u '(x)dx

Hay∫udv uv = −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv =

v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

Phần 4: Tích phân.

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản

Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/

a ∫ bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒ = dt u '(x)dx

 Đổi cận x=a => t = u(a)

x=b => t = u(b)

 I = bf[u(x)]u dx/

u(b)

u(a)

f (t)dt

∫

Dạng 2: Tính I = β f (x)dx

∫

α Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân cĩ chứa một trong

số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:

1

2 2

a x ;

2 2

a x

−

− thì đặt x = asint

1

2 2

a x ; 2 2

a x

+

+ thì đặt x = atant

Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số cĩ đạo

hàm liên tục trên [a;b] thì I =

udv u.va vdu

a∫ = − a∫

phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv

Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối

Tính bf (x) dx

a ∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0

Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ cĩ nghiệm nhưng khơng cĩ nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc

cĩ một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] thì

bf (x) dx

a ∫ = bf (x)dx

a ∫

Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c ∈(a;b) thì bf (x) dx

a ∫ = cf (x)dx bf (x)dx

a ∫ + c ∫

*Chú ý

1) Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))

2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân

Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

• Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

x a; x b

=





hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0;

Diện tích : S = b| f (x) | dx

a ∫

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

• Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

y g(x)

x b

=





 = =



hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a;

Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

a∫ −

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

a

b

x y

y=g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thong qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y f (x)

x a;x b

=





hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V = b f (x) dx2

a

π  ∫   

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường  ==f (y) =c; y d=



hàm số x liên tục trên [c;d]

trục tung x 0;y quay quanh Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V = d

c

2

f (y) dy

π  ∫  

Phần 6: Số phức

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) mơđun số phứcz = +a bi = a2 +b2

3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi * z+z = 2a; z.z= z2= a2+ b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i

6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = c di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]

a bi a b

+ =

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2− 4ac

Nếu ∆ = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b

2a

= = − (nghiệm thực) Nếu ∆ > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b

2a

− ± ∆

=

Nếu ∆ < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i

2a

− ± ∆

=

B HÌNH HỌC.

Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình

Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu

 Khối nĩn: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l)

 Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)

 Khối cầu: S = 4πr2

Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.

* Khối hình chĩp V = 1Bh

3 ; * Khối nĩn V = 1 r h2

3 π

* Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V =4 r3

3 π

* Khối lăng trụ: V= Bh

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

a

→ = (x;y;z) ⇔ → a = x.→i + y → j + z →k

Tính chất : Cho→ a = (a1;a2; a3) , → b = (b1;b2; b3)

• → a ±→ b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3± b3)

• → a k = (ka1;ka2;ka3) k ∈ R

Tích vô hướng : → → a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 =→ a .→ b Cos ϕ

Cos ϕ = a2 a b1 1a2 a ba b22 22a b3 3b2 b2

1 2 3 1 2 3

a b

→ →

⊥ ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

a

→cùng phương → b ;→ a ≠→ 0 ⇔ → b = k.→ a ⇔ [→ a ,→ b ] = → 0

Toạ độ điểm:

M = (x;y;z)⇔ OM → = x.→ i + y → j + z → k

AB → = ( xB− xA ; yB−yA;zB−zA)

• M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 ( MA→ = kMB→ )

Thì M:

x A k.xB

xM 1 k

y A k.yB

yM 1 k

z A k.zB

zM 1 k

−



−



=



• I là trung điểm của AB thì I:

x A xB

y A yB

z A zB

+





+





=





• G là trọng tâm tam giác ABC thì G:

1

xG (xA xB x )C 3

1

yG (yA yB y )C 3

1

zG (zA zB z )C 3











• Tích có hướng của 2 véc tơ :

[→ a ,→ b ] = a a2 3; a a3 1 ;a a1 2

b b2 3 b b3 1 b b1 2

* [→ a ,→ b ] ⊥ → a ; [→ a ,→ b ] ⊥ → b

• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :

a

→,→ b ,→ c đồng phẳng ⇔ [→ a ,→ b ].→ c = 0

• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB→ ,AC → ,AD→ không đồng phẳng <=> [AB→ ,AC → ].AD→ ≠ 0

• Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 2 2 2

AB AC (AB.AC) 2

→ →

−

Hoặc SABC = 21 [AB→,AC → ]

• Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = 16[AB→ ,AC → ].AD→ 

• Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [AB→ ,AD→ ].AA→′

Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :

Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:

Phần 3: Mặt cầu.

Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :

(x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2

Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0

có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A2 +B2 +C2 −D

Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu

• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)

+ Bán kính R = IM1 = (x a)2 (y b)2 (z c)2

1 − + 1 − + 1 −