Vấn đề 4 phương trình chứa tham số phần 3 đề và lời giải

Khi đó S là tập con của tập hợp nào sau đây?. Nên để chặt chẽ thì phải thử lại các giá trị nguyên m tìm được... Phương trình 1 có nghiệm khi nửa đường tròn Cvà đường thẳng d có điểm

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình : 4 − − − + = x mx2 2 m 0 có hai

nghiệm phân biệt

+ (d): đi qua điểm cố định A (1;2), ∀ m

+ Qua A có hai tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳngy = 2 và AD

+ Gọi k k k k1, , ,2 3 4 lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng AC, AD, AB, AE

3

k = t EAD = −

(vì t EAO an · = 2 3 ·

2 anA

Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản

Tên FB: Dấu Vết Hát

Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài ở mức độ VDC, nhờ thầy cô góp ý!

Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của a để phương trình x2− − = a x a có hai nghiệm phân biệt Khi

đó S là tập con của tập hợp nào sau đây?

A ( −∞ − ∪ +∞ ; 1 ) ( 2; ) B ( ) ( − 8;0 ∪ +∞ 1; ) C ( − 9;2019 ) D ( − +∞ 1; )

Lời giải Chọn D

0 0

− < ≤ a

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 1 4 2

Khi đó phương trình được viết lại MA MB m − =

Mặt khác, MA MB AB − < = 1 (Vì A B Ox M Ox , ∈ , ∉ ) nên m < 1. Do m nguyên nên m = 0.Thử lại, m = 0 thỏa mãn đề bài

=+

Vậy phương trình f x m ( ) = có nghiệm khi và chỉ khi − < < 1 m 1 Do m nguyên nên m = 0.

Câu 4. Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

4

a b + = C a b + = 10 D

5 2

a b + =

Lời giải

Họ và tên tác giả : Trần Quốc Đại Tên FB: www.facebook.com/tqd1671987

ï =

( ) * * Þ t3+ 2t2- = Û = 3 0 t 1

Nên 61 x - 2 = Û - 1 1 x2= Û = 1 x 0(nghiệm duy nhất)

● Vậy với a 3 = thì phương trình có nghiệm duy nhất

Email: tra hoangthi@gmail.com

Câu 6. Cho phương trình x x m4+ + − =2 2 2 x x2+ 1 (1)

Biết tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 3] là nửa khoảng [a;b) Khi đó hệ thức liên hệ giữa a và b là

A a+b =2 3 B a+b= 4 3 8 − C a.b=12 D a-b=-1

Lời giải Chọn D

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 3] khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt t thuộc đoạn [0;2 3]

Đặt f t ( ) = − + − t2 2 2 t có đồ thị (P) Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đồ thị (P) cắt đường thẳng y m = tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn [0;2 3]

BBT

a = 2 ; b = 3, khi đó a-b=-1 nên chọn D

Email: trandotoanbk35@gmail.com

Câu 7. Cho phương trình 4 6 + − − = x x2 3 x m x ( + + 2 2 3 − x )

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thực?

3

2

10 4 3

− +

Nhận xét: Với Cách làm của lớp 10, ta thấy lời giải trên chưa chặt chẽ, bởi việc chỉ ra 5 ≤ ≤ t 5

chứ chưa phải là chỉ ra miền giá trị của t = + + x 2 2 3 − x Nên để chặt chẽ thì phải thử lại các giá trị nguyên m tìm được

Từ BBT suy ra: t ∈    5,5 

g(t) 10

9

9 4

−

Từ

2

0 9

= - Û í

9 0;

t = PT (*) có nghiệm duy nhất Do đó PT đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

(**) có nghiệm duy nhất

9 0;

t x

Do vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

1 0

3

m ∈  

÷

 .Vậy a b − = − 3 1

433 4

108 102

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy PT (*) có hai nghiệm phân biệt t ∈ [ 0;3 ) khi và chỉ khi

433 108

2 3

2 3

1 3 8

m t

⇒ = − (2)

Xét hàm f(t)= 10 t2− 2

1

;3 3

t  − 

∀ ∈    

Ta có bảng biến thiên sau:

8 9

m

⇔ − < ≤ − 64

3

b  

∀ ∈    

10 3

3 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt

8 2

8 9

m

⇔ − < ≤ − 64

30

t  − 

∈     , cho 1 nghiệm của phương trình

Phương trình có 2 nghiệm

8 2

Do m nguyên âm nên m ∈ − − − { 15, 14, 13, , 8 − } có 8 giá trị thõa mãn.

Câu 12. Biết rằng phương trình x mx2+ + − − = 2 2 1 0 x có 2 nghiệm phân biệt khi

a m b

m f

2 2

m

m m

2 1

m

m m

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 3 có hai nghiệm phân

biệt lớn hơn hoặc bằng

1 2

+

Û = >

+ Û 9 x x2- + - 9 m2= 0(*)Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ( 2) 3

3

m m

m

é ê

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có nghiệm thực?

( )2

2

25

m x

2 2

40

Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê Tên facebook: Nguyen Tuyet Le

Bài giải: Điều kiện: x ≤ 1 Đặt

Gmail: Binh.thpthAuloC2@gmAil Com

Họ tên: Phạm Văn Bình FB: Phạm Văn Bình

Câu 18. Cho phương trình: − + + x2 2x 4 3 ( ) ( ) − x x + = − 1 m 3(1) trong đó x là ẩn, m là tham số Hỏi có

bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ − [ 2018;2018 ] để phương trình (1) không có nghiệm thực.

0

Từ bảng biến thiên ta thấy PT có nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ ≤ m 12

Do đó

12 0

m m

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm t ∈ [ ] 0;2

TH1: (2) vô nghiệm trên ¡ ⇔ ∆ = + < ⇔ < − ' 4 m 0 m 4

m m

Nên có 4024 giá trị m thỏa mãn YCBT

Họ tên: Phạm Văn Bình FB: Phạm Văn Bình

Email: tr A nquo CA n1980@gm A il C om

Câu 19. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình m 9 − − + x2 x m 2 = 0 (1) có nghiệm

Phương trình (1) có nghiệm khi nửa đường tròn ( ) C

và đường thẳng ( ) d có điểm chung

Mà đường thẳng ( ) d luôn đi qua điểm cố định M (0; 2) −

và cắt Ox tại điểm có hoành độ 2m

Nửa đường tròn ( ) C cắt Ox tại hai điểm A ( 3;0), (3;0) − B nên phương trình đã cho có nghiệm khi

Phương trình tương đương với ( 2 2) 2 2 ( )2

− 1

Để thỏa mãn đề bài thì (1) có đúng 1 nghiệm thuộc [ ] − 2;2

Dựa vào bảng biến thiên ta có

a a

Câu 22. Cho phương trình x x3+ − + + = −2 ( m 1) 8 ( 3) x x x x mx3+ − +2 6 Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên của mthỏa mãnm ≤ 10để phương trình có nghiệm Tính tổng T các phần tử của S?

Nên chỉ có t x = − 2có

3 2

2 3

2 2

4

x x

Dấu bằng xảy ra khi x = 2

Từ cùng với yêu cầu của đề bài ta có [9;10]

m m

Câu 23. Cho phương trình x − + − + 1 2 x ( ) ( x − 1 2 − = x ) m Gọi S là tổng tất cả các giá trị m để

phương trình có ít nhất hai nghiệm mà trong các nghiệm đó có hai nghiệm thỏa mãn tích củachúng bằng 2m Giá trị của S gần với số nào sau đây nhất.

Thấy rằng (1) không thể có hai nghiệm không âm phân biệt (vì nếu có hai nghiệm thì tổng chúng

là âm); nên pt (1) chỉ có tối đa một nghiệm S thỏa mãn S ≥ 0; tức hệ (II) có tối đa một nghiệm

( ) S P ; thỏa mãn điều kiện; suy ra hệ (I) có tối đa hai nghiệm (a;b) Từ đó có thể kết luận rằng

phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm phân biệt Vậy yêu cầu đề bài trở thành phương trình đã

cho có đúng hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 2m.

Tiếp tục thấy rằng nếu x là một nghiệm của phương trình thì 3 x − cũng là một nghiệm của phươngtrình nên theo đề bài thì ta có x ( ) 3 − = x 2 m hay P2+ = 2 2 m

Vậy ta có

2 2

Cách 2 Cách làm của thầy Nguyễn Văn Quý: Giải trực tiếp hệ (II) thu được

 và suy ra a;b là các nghiệm của phương trình t St P2− + = 0 nên có tối đa

hai giá trị a nhận được hay phương trình có tối đa hai nghiệm Giả sử hai giá trị a thu được (là hai

nghiệm phương trình trên) là a a1; 2, suy ra hai nghiệm của phương trình đã cho là 2 2

b là phân số tối giản và a ∈ ¢ , b ∈ ¥*) là tập hợp tất cả các giá trị của tham

số m sao cho phương trình ( 2 x mx2+ + 1 2 ) x mx2+ + + 1 2 x mx2+ + = + 1 x3 9 x2+ 28 x + 30 có

hai nghiệm phân biệt Tính B a b = −2 3

Do đó hàm số f t ( ) đồng biến trên ¡ nên

m m

Câu 25. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x + − − 1 x2 2 m + − + 1 m2 2 1 x − = x2 0 có

nghiệm là đoạn [ ] a b ; Hỏi đoạn [ ] a b ; giao với khoảng nào sau đây thì khác rỗng?

A.

7

;2 5

Do đó f đồng biến trên [ 0; +∞ ) Suy ra f t ( ) ( ) = f m ⇔ = t m.

Theo bđt Bunhiacopski, ta có: t ≤ + 1 1 x2+ − = 1 x2 2 ⇒ ≤ ≤ 0 t 2.

(t = 0 khi

2 2

x = −

; t = 2 khi

2 2

Câu 26. Cho phương trình x3+ 3 mx + − = 1 m ( 3 x m + − 1 ) x3+ 1 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của mthuộc đoạn [ − 2018;2018 ] để phương trình có ít nhất 2 nghiệm phân biệt?

3 3

9 570

Như thế, phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt mà không phụ thuộc vào m.Vậy có tất cả 4037giá trị nguyên của mthuộc đoạn [ − 2018;2018 ] để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt