Bất đẳng thức-10

Chuyên đề : bất đẳng thức đại sốDạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề : bất đẳng thức đại số

Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức.

Chú ý các tính chất sau:

( )2

a b − ≥ 0 ; A2+ B2+ + C2 ≥ 0 ; A2+ B2+ + C2+ α > 0 ,( α > 0) ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng hằng đẳng thức

a)

2

+  + 

≥   ữ  b)

3

+  + 

≥   ữ  c) a2+ b2≥ 2ab

c) a2+ b2+ b2≥ ab bc ca + + d)a2+ b2+ + ≥ c2 3 2 a b c ( + + )

e) a2+ b2+ + c2 d2+ e2 ≥ a b c d e ( + + + ) f) a2+ b2+ ≥ 1 ab a b + +

a) a2+ b2+ c2≥ 2ab 2ac 2bc − + b)a2 2 2

c) a2+ 2b2− 2ab 2a 4b 2 0 + − + ≥ d)a2+ 5b2− 4ab 2a 6b 3 0 + − + >

e) x4+ y4+ z2+ ≥ 1 2x xy ( 2− + + x x 1 )

a) ab bc ca + + ≤ a2+ b2+ c2 ≤ 2 ab bc ca ( + + )

b) abc ≥ + − ( a b c b c a c a b ) ( + − ) ( + − ) c) 2 a b ( 2 2+ b c2 2+ c a2 2) − a4− b4− c4> 0

d) ( )2 ( )2 ( )2 3 3 3

a b c − + b c a − + c a b − + 4abc a ≥ + b + c e) a b a b2 ( − + ) b c b c2 ( − + ) c a c a2 ( − ≥ ) 0

2

b

a b

+ − − ≥

−

c) Nếu x 1, y 1 ≥ ≥ thì x y 1 y x 1 1 xy − + − − ≤ d) Cho a > 0 CMR: a5− a2− + > 3a 5 0

b c a c a b

Dạng 2: dùng các bđTcauchy-bunhiakovski :

a) ( a b ) 1 1 4

  b)( a b c ) 1 1 1 9

  c)( a b c a + + ) ( 2+ b2+ c2) ≥ 9abcd)

bc ac ab

a b c

+ +

g) a b c 1 1 1

Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

x

x 2

+ c)

2

2

1

2

x U

=

Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số

a) ( ) ( ) (2 ) (2 )2

=

f x, y

+

= +

a) f x ( ) x2 4x 4 ( x 0 )

x

x

+

a) f x ( ) ( = 2x 1 3 5x − ) ( − ) b) ( ) ( ) (3 )

c) f x ( ) 2x

=

2 3 2

x

f x

= + e) f x ( ) ( = + a x ) a2− x2 ( 0 x a ≤ ≤ )

c) f x ( ) = 3sin x 4cos x 2 0 + + ( o < < x 180o)

a) GTNN của : 1 1

A

= + b) GTLN của : B = ( x y xy + ) c) GTLN của : C xy = 2

a) A x = 2+ y2 b) B x = 4+ y4 c) C = ( x 1 4y 3 + ) ( + ) d) D x y x 9 y = + + + 2 + y 9 x + 2

x

x

c) y ax b , x ( a )

x a

+ d) y 2 x 1 = − + − + − x 2 x 3 e) y = − + − + − + − x 1 x 2 x 3 x 4