Vấn đề 4 tỉ lệ

Phân giác trong 4 AD của góc �BAC cắt trung tuyến BM tại I.. Gọi I là điểm chia BC theo tỉ số k.. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OCuuur 3OA ODuuur uuur, 

Trang 1

Vấn đề 4 TỈ LỆ

Họ và Tên: Trần Quốc Đại

Email: quocdai1987@gmail.com

Facebook: https://www.facebook.com/tqd1671987

Câu 1. Cho ABC cóAB ;3 AC Phân giác trong 4 AD của góc �BAC cắt trung tuyến BM tại I

Tính AD

AI .

A 3

2

AD

7

AD

20

AD

5

AD

AI 

Lời giải Chọn B

* Phân tích uuur uurAD AI,

theo các vectơ uuur uuurAB AC,

2

IM  AM  �2IBuur3IMuuur r0 �2uuurAB3uuuurAM 5uurAI 1 3

4

DC  AC  �4DBuuur3DCuuur r0

 

4AB3AC7AD 2

� uuur uuur uuur

Lấy  2 2 1  � suy ra: 3uuurAC6uuuurAM 7uuurAD10uurAI �7uuurAD10uur rAI0 �7AD10AI

10 7

AD

AI 

Câu 2. [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2 ] Cho ABC gọi điểm D nằm trên

cạnh BC sao cho BD2BC , E là trung điểm của AD Một đường thẳng bất kì qua E và cắt các cạnh AB AC lần lượt tại ,; M N Tình tỉ số AB 2 AC

A AB 2AC 6

AM  AN 

5

AM  AN 

Lời giải Chọn A

Trang 2

Do M nằm trên cạnh AB nên ta có uuurAB k AM k uuuur( 1)

Do N nằm trên cạnh AC nên ta có uuurAC l AN l uuur  1

Ta có DBuuur 2DCuuur�uuur uuurAB AD  2uuur uuurAC AD �uuurAB2uuurAC3uuurAD

Suy ra k AM.uuuur2 l ANuuur6.uuurAE�k AE MEuuur uuur  2l AE ENuuur uuur 6uuurAE

Suy ra k 2l 6uuurAE k EMuuuur2l ENuuur

Do hai vecto AEuuur và MNuuuur

không cùng phương nên suy ra

Họ và tên tác giả : Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức

Email: hoctoancunganhduc@gmail.com

Câu 3. Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD2DB Trên cạnh AC lấy điểm

E sao cho CE3EA Gọi M là trung điểm của DE Tia AM cắt BC tại N Tỉ số BN

CN có

giá trị là:

A 1

3

1

2

7.

Giả sử N chia BC theo tỉ số x Ta có: 1



uuur uuur uuur AB x AC uuur x uuur

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Trang 3

Vì uuuur

AM và uuur

AN là 2 vectơ cùng phương nên 3 8 3

1  1�  8

x x

uuur uuur NB

Câu 4. (Bài toán tổng quát của bài toán 1) Cho tam giác ABC Gọi I là điểm chia BC theo tỉ số k

Trên các tia AB và AC lấy các điểm M N AI cắt MN tại P Đặt , AB b

AM , AC c

AN Tỷ số AI

AP có giá trị bằng

A

1



b kc



b kc



c kb



c kb

k .

Giả sử P chia MN theo tỉ số x Ta có

1







uuuur uuur

uuur AM xAN AP

x

1

uuur uuur

Lại có:



uuur uuur uuur uur AB k AC AB k uuur

Vì uuur

AP và uur

AI đồng phương nên      

1 1



x k k

b kc � x k c

b.

uuur uuur k uuur

b kc b kc (2).

Từ (1) và (2) , ta có

1







AI b kc

Câu 5. (Hệ quả hay dùng của bài toán 2) Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của B C. Trên các

tia AB và AC lấy các điểm M N AI cắt MN tại P Đặt , AB b

AM , AC c

AN Tỷ số

AI

AP có

giá trị bằng

2



b c

2



bc

b c.

I là trung điểm của BC nên I chia BC theo tỷ số k  1 Áp dụng kết quả ở bài 2, ta có:

Trang 4

 

1

 

Tên: Nam PhươngTên FB: Nam Phương

Email:nguyentrietphuong@gmail.com

Câu 6. Cho tam giác ABC Gọi D E, lần lượt là các các điểm thỏa mãn 2 , 1

BD BC AE AC

uuur uuur uuur uuur

Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm B K E, , thẳng hàng Tìm tỉ số AD

AK .

A 1

3

AD

3

AD

2

AD

AK 

4

AE AC

uuur uuur

BE BC BA

uuur uuur uuur

Giả sử

(1 )

2

(1 )

3

x

�



�

uuur uuur uuur uuur uuur

Do B K E, , thẳng hàng ta có:

8 2

0

9

1 3

3 4

m mBK BE

m

x x

�

uuur uuur

Vậy AD 3

AK  Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân

Câu 7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OCuuur 3OA ODuuur uuur,  4OBuuur

Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N Tính tỉ số CN

ND

A 3

1

2

1

3.

Trang 5

Ta có OCuuur 3OA ODuuur uuur,  4OBuuur

Đặt CN k k, 0

ND   , ta có CNuuurk NDuuur�CO ON k NO ODuuur uuur  uuur uuur 

1

k



�

k

�

Vì OM ONuuuur uuur,

cùng phương nên có số thực k sao cho 2k 

ONuuurkOMuuuur�ONuuur  OA OBuuur uuur

3

4

k k

k

� 

�

(Email): hatoanlgm@gmail.com

Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23 IAuur8IBuur2018ICuur r0 Đường thẳng AI cắt đường

thẳng BC tại J Giá trị của tỉ số JB

JC là:

A 23

23

Lời giải Chọn C

(Họ và tên tác giả : Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà)

Giả sử JB k JC kuur uuur �1 1

k

�

uuur uuur uuur

Từ giả thiết suy ra:

23AI 8 AB AI 2018 AC AI 0

 uur uuur uur  uuur uur r 8 2018

2049 2049

� uur uuur uuur.

Do A I J, , thẳng hàng nên uur uuurAI AJ,

cùng phương 1

2018

2049 2049

k

Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com

Câu 9. Cho tam giác ABC Điểm K chia trung tuyến AD theo tỷ số 3:1 kể từ đỉnh

Trang 6

Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số ABF

BCF

S k S

 , giá trị của k bằng?

A. 5

8

5

2

k

Lời giải Đáp án D

Do D là trung điểm của BC thiết: 1( )  1

2

AD AB AC uuur uuur uuur

Gọi F là giao điểm của BK và AC.

Mà A F C; ; thẳng hàng : uuurAF mAC uuur  2 B K F; ; thẳng hàng :

1   3

AK nAF  n AB

uuur uuur uuur

; ;

A K D thẳng hàng và 1

3

KD

4

AK  AD

�uuur uuur

Từ    2 ; 3 suy ra : uuurAK n m AC .uuuur 1 n ABuuur  5

Từ    1 ; 4 suy ra : 3 3  6

AK AC AB

uuur uuur uuur

Do hai véctơ uuur uuurAB AC;

không cùng phương nên từ    5 ; 6 ta có:

1

F A

FC

uuur uuur

2

ABF BCF

k

(Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)

Họ và tên: Tăng Lâm Tường Vinh

Email: tanglamtuongvinh@gmail.com

Facebook: tanglamtuong.vinh

Câu 10. Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC Lấy các điểm M N , thỏa mãn AM  3AB

4

uuur uuur

,

AN  1AC

3

uuur uuur

Gọi I là giao điểm của MN và AK Đặt MIuurxMN AIuuur uur,  y AKuuur Hỏi x y

A 3

K

F

D B

A

C

Trang 7

Lời giải

Chọn A

Ta có MN AN AM 1AC3AB

MI xMN � AI AM x��AC AB��AI  AC AB AM  AC  AB

uur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur

AC AB

AI  y AK  y��  �� AB AC

uuur uuur

Mà AC ABuuur uuur, là 2 vector không cùng phương nên ta có

y

x y y

�

9

3 3

13

2 6

13

3 2 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com

Câu 11. Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho 3

2

AD

DB  ; 1

3

BE

EC  ;BF FC  Đường thẳng14 AE chia đoạn DF theo tỷ số KD k

KF  Giá trị của k bằng?

A 3

11

3

14

k 

Lời giải Đáp án A

Theo giả thiết: 3 3  1

AD

BE

EC  �uuur uuur uuur

 

3

BF

FC  �uuur uuur uuur

Mà ; ;A K E thẳng hàng : uuurAK mAE uuur  4 ; ;D K F thẳng hàng :

1   5

AK nAF  n AD

uuur uuur uuur

Từ    2 ; 4 suy ra : 3 1  6

AK  mAB mAC

uuur uuur uuur

Trang 8

E F

D B

A

C

Từ      1 ; 3 ; 5 suy ra : 1 4 1 3

AKn��AB AC�� n AB

 

7

AK � �AB AC

Do hai véctơ uuur uuurAB AC;

không cùng phương nên từ    6 ; 7 ta có:

4

�  

�

n

KD

KF

uuur uuur uuur

(Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình)

Họ và tên: Hoàng Ngọc Lâm

Email: hoangngoclammath1112@gmail.com

Facebook: Hoàng Ngọc Lâm

Câu 12. Cho tam giác ABC Kéo dài AB một đoạn BE AB , gọi F là trung điểm của AC Vẽ hình

bình hành EAFG Đường thẳng AG cắt BC tại K Tính tỉ số KB

KC?

A 1

3

1

2

7.

Để xác định giao điểm K của AG và BC, ta tính uuurAG

theo uuurAB

và uuurAC

2

AGAE AF  AB AC

Trang 9

AG cắt BC tại điểm K mà 2 1 0

2

KB KC 

uuur uuur r

Suy ra 1

4

KB

KC 

Câu 13. Cho tam giác ABC có AB3, AC4 Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến

BM tại I Tính tỉ số AD

AI .

A 13

11

10

5 .

Lời giải (Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn C

Theo tính chất đường phân giác ta có 3 2 3 0

2

IB IM

IM  AM  � uur uuur r

4

DC  AC  � uuur uuur r

Vậy ta có 2 3 0

�

uur uuur r

�

� �

�

uuur uuuur uur

�

� �

�

uuur uuuur uur uuur uuur uuur

Suy ra 3uuurAC6uuuurAM 7uuurAD10uurAI �7uuurAD10uur rAI 0 10

7

AD

AI 

Hoặc ta có thể giải như sau:

Ta có BD AB 34 BD 34DC 34BC BD

4B 4BC

7

B  BC

�uuur uuur

AD AB BD AB    BC AB AC AB

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4 3

7AB 7 AC

 uuur uuur

Theo tính chất phân giác, ta lại có 3

2

BI  IM

�uur uuur�2BIuur3IMuuur

2 BA AI 3 IA AM

2

AI  AB AM  AB AC

� uur uuur uuuur uuur uuur

uur uuur uuur uuur uuur uuur

7

AD

AI 

Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát

Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Nhờ thầy cô góp ý!

Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , O là điểm bất kì trên đoạn AC , đường thẳng BO cắt cạnh CD

tại E và đường thẳng AD tại F sao cho EF 2BO Tỷ số AF

AD bằng

A. 1 5

2

2.

Trang 10

Đặt: AF x ADuuur uuur x  và AO yAC1 uuur uuur 0  y 1

Theo định lý talet: DE DF DE DF x 1 DE x 1AB

 ��   ��uuur uuur

Ta có: BO BA y ACuuur uuur  uuury1uuurAB y AD uuur; EF DF DE x 1 AD x 1AB

x



Theo đề bài:

2

x

�

 ��   ��

uuur uuur

Họ và Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh

Email : manhluonghl4@gmail.com

Câu 15. Cho hai tam giác ABC và A B C1 1 1 ; gọi A B C lần lượt là trọng tâm các tam giác2, ,2 2

BCA CAB ABC1, 1, 1 Gọi G G G, ,1 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC A B C, 1 1 1,

A B C2 2 2 Tính tỉ số GG

GG

1 2

ta được kết quả :

A. 1

1

Vì ,G G1 là trọng tâm tam giác ABC A B C, 1 1 1 suy ra GG3uuuur1=GAuuur1+GBuuur1+GCuuuur1

� uuuur=uuur uuur uuur+ + +uuur+uuur+uuur � uuuur=uuur+uuur+uuur

Tương tự ,G G2 là trọng tâm tam giác ABC A B C, 2 2 2 suy ra GG3uuuur2=GAuuur2+GBuuur2+GCuuuur2

�3uuuur2=uuur2+uuuur uuuur2+ 2

Mặt khác AAuuur2+BBuuuur uuuur2+CC2=(AAuuur1+BBuuur1+CCuuur1) (+ A Auuuur uuuur1 2+B B1 2+C Cuuuur1 2)

Mà A B C lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA CAB ABC2, ,2 2 1, 1, 1

Suy ra 3(A Auuuur uuuur1 2+B B1 2+C Cuuuur1 2) =A Buuur1 +ACuuur1 +B Cuuur1 +B A C A C Buuur1 +uuur1 +uuur1

2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur

uuur uuur uuur

Trang 11

Do đó AA2+BB2+CC2=- (AA1+BB1+CC1)+AA1+BB1+CC1

2 3 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

=1 1+ 1+ 1

3

uuur uuur uuur

Vậy GG GG GG

GG

2

3 uuuur uuuur

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1 MB