Hãy chứng tỏ rằng nếu kẻ hai đờng thẳng cùng đi qua A để sao cho hai đờng thẳng đó chia hình chữ nhật thành ba phần có diện tích bằng nhau thì một đờng thẳng phải cắt cạnh BC tại một điể
Trang 1đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện năm học 2002 - 2003
Môn toán 5 Huyện thanh thuỷ
(Thời gian làm bài 90 phút )
Bài 1:
Cho số abc chia hết cho 3 Hỏi các số có 3 chữ số a, b, c nhng thứ tự các chữ số khác nhau có chia hết cho 3 không? Tại sao?
Bài 2:
Cho phân số
b
a
có b - a = 21 Phân số
b
a
sau khi rút gọn thì đợc phân
số
23
16
Tìm phân số
b
a
Bài 3:
Tìm số A, biết rằng 3 lần số đó lớn hơn
4
1
số đó là 147,07
Bài 4:
Một cửa hàng bán sách, hạ giá 10% giá sách nhân ngày 1/6 Tuy vậy cửa hàng vẫn còn lãi 8% Hỏi ngày thờng thì cửa hàng lãi đợc bao nhiêu phần trăm
Bài 5:
Cho tam giác ABC, D và G là điểm chính giữa của BC và AC, BG cắt
AD ở E Hãy chứng tỏ rằng AE gấp đôi ED
Giải đề thi học sinh giỏi toán 5 hyện thanh thuỷ
Năm học 2002 - 2003
Giải bài 1:
Giải bài 1:
số abc chia hết cho 3 khi tổng ba chữ số của nó chia hết cho 3, tức là: tổng a + b + c chia hết cho 3 Khi viết ba chữ số a,b,c theo thứ tự khác nhau thì tổng a + b + c không đổi(tính chất giao hoán của phép cộng) cho nên số
đ-ợc tạo bởi ba chữ số a,b,c cũng chia hết cho 3
Trang 2Hình 1
G
D C
A
B
Giải bài 2:
Bài toán này thực chất là bài toán tìm hai số khi biết hiệu số và tỷ số
của hai số đó Khi rút gọn phân số
b
a
thì tỷ số ban đầu không đổi nh vậy là ta
phải tìm hai số a và b có tỷ số:
23
16 b
a
Vậy ta có:
Tử số (a) là: 21 : (23 – 16) x 16 = 48
Mẫu số (b) là: 21 : (23 – 16) x 23 = 69
Phân số phải tìm là:
69 48
Giải bài 3:
Theo đầu bài ta có sơ đồ:
Ba lần số phải tìm:
Số phải tìm:
1/4 số phải tìm 147,07
Nhìn vào sơ đồ ta thấy 147,07 chia làm số phần bằng nhau là:
4 x 3 – 1 = 11 (phần)
Số phải tìm là:
147,07 : 11 x 4 = 53,48
Giải bài 4:
Giải bài 4:
Giá bán ngày 1/6 so với ngày thờng chỉ bằng:
100 % - 10 % = 90 % (giá bán ngày thờng) Lãi xuất ngày 1/6 so với giá bán ngày thờng chỉ bằng:
8% x 90% = 7 , 2
10000
720
% (giá bán ngày thờng) Lãi xuất ngày thờng là:
10% + 7,2% = 17,2%
Đáp số: 17,2%
Cách 1: Theo đầu bài ta có hình 1 Nối CE
Ta có: StgACD = StgADB =
2
1
StgABC (1) (Vì CD = DB và chung đờng cao hạ từ A xuống CB) Lại có: StgAGB= StgGCB =
2 1
Trang 3G
C
D
(Vì AG = GC và chung đờng cao hạ từ B xuống AC)
Từ (1) và (2) suy ra StgAGB = StgADB =
2
1
StgABC (3)
Từ (3) suy ra StgAGE = StgDBE (4) (Vì hai tam giác AGB và ADB có diện tích bằng nhau và cùng bớt đi diện tích tam giác ABE)
Mà: StgDBE = StgDCE (5)
(vì CD = DB và chung đờng cao hạ từ E xuống CB)
Và StgAGE = StgGCE (6)
(vì AG = GC và chung đờng cao hạ từ E xuống AC)
Từ (4), (5), (6) suy ra StgGCE = StgAGE = StgDCE =
3
1
StgADC (7)
Từ (7) suy ra StgEDC =
2
1
StgAEC hai tam giác này có chung đờng cao hạ từ C
xuống AD nên suy ra ED =
2
1
AE hay AE gấp đôi ED
Cách 2: Theo đầu bài ta có hình 2 Nối GD
Ta có: StgACD = StgABD =
2
1
StgABC (1)
(vì CD = BD =
2
1
CB và chung đờng cao hạ từ A xuống CB)
Lại có:StgAGB=StgGCB=
2
1
StgABC(2)
(vì AG = GC =
2
1
AC và chung đờng cao hạ từ B xuống AC)
Từ (1) và (2) ta có StgAGB = StgADB (3)
StgAGD = StgGCD =
2
1
StgACD (4) (vì AG = GC =
2
1
AC và chung đờng cao hạ từ D xuống AC)
Từ (1) và (4) suy ra StgAGD =
2
1
StgABD (5) Tam giác AGD và ABD có chung đáy AD và theo (5) ta suy ra chiều cao hạ từ
G xuống AD bằng
2
1
chiều cao hạ từ B xuống AD (6)
Hình 2
Trang 4Từ (6) suy ra SAEG =
2
1
SAEB (7) (vì chung đáy AE và chiều cao tam giác
AEG bằng
2
1
chiều cao tam giác AEB) và StgEDG =
2
1
StgEDB (8) (vì
chung đáy ED và chiều cao tam giác EDG bằng
2
1
chiều cao tam giác EDB)
Từ (3) suy ra StgAEG = StgEDB (9) (vì hai tam giác có diện tích bằng nhau cùng bớt đi diện tích của tam giác AEB)
Từ (8) và (9) suy ra StgEDG =
2
1
StgAEG, hai tam giác EDG và AEG có chung chiều cao hạ từ G xuống AD ta suy ra đáy AE gấp đôi đáy ED
Sở giáo dục - đào tạo phú thọ
đề thi học sinh giỏi lớp 5 bậc tiểu học
Đề chính thức Năm học 2002 – 2003
Môn toán
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1:
1 Tổng của hai số chẵn có chia hết cho hiệu của hai số lẻ liên tiếp không? Tại sao?
2 Cho số ab là số có 2 chữ số
a So sánh số ab với số ababab?
b Số ababab có chia hết cho 3 không?
Bài 2:
Em hãy kiểm tra xem phép tính sau có đúng không?
8 2
? 8
?
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0
Bài 3:
Tổng của 3 số là 2003 Số thứ nhất nhiều hơn tổng hai số kia là 25 Nếu
số thứ ba thêm 22 đơn vị thì số thứ hai sẽ gấp đôi số thứ ba Tìm ba số đó
Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 27 cm, cạnh AD = 12 cm
1 Hãy chứng tỏ rằng nếu kẻ hai đờng thẳng cùng đi qua A để sao cho hai đờng thẳng đó chia hình chữ nhật thành ba phần có diện tích bằng nhau thì một đờng thẳng phải cắt cạnh BC tại một điểm (M chẳng hạn) và đ-ờng thẳng kia phải cắt CD tại một điểm (N chẳng hạn) Hãy xác định vị trí
điểm M trên cạnh BC và điểm N trên cạnh CD
2 Hãy chứng tỏ rằng tứ giác BMND là một hình thang
Trang 5Giải đề thi học sinh giỏi tỉnh phú thọ
Giải bài 1:
1 Tổng của hai số chẵn là một số chẵn và hiệu của hai số lẻ liên tiếp là
2, cho nên tổng của hai số chẵn sẽ chia hết cho hiệu của hai số lẻ liên tiếp
2 a So sánh số ab với số ababab
Tách cấu tạo thập phân của số ababab ta có:
ababab = ab0000 + ab00 + ab
= ab x 10000 + ab x 100 + ab x 1 = ab x (10000 + 100 + 1)
= ab x 10101
nh vậy ababab gấp ab là 10101 lần 2.b
ababab = ab0000 + ab00 + ab
= ab x 10000 + ab x 100 + ab
= ab x (9999 + 1) + ab x (99 + 1) + ab
= ab x(3333 x 3 + 1) + ab x (33 x 3 + 1) + ab
= ab x 3333 x 3 + ab + ab x 33 x 3 + ab + ab
= ab x 3333 x 3 + ab x 33 x 3 + ab x 3
= 3 x (ab x 3333 + ab x 33 + ab) vì 3 x (ab x 3333 + ab x 33 + ab) có thừa số 3 nên:
3 x (ab x 3333 + ab x 33 + ab) chia hết cho 3 hay ababab chia hết cho 3
Giải bài 2:
- Chữ số hàng đơn vị của tích chung là 0 nên suy ra chữ số hàng đơn vị của tích riêng thứ nhất là 0, chữ số hàng đơn vị của tích riêng thứ nhất là 0 nên suy ra chữ số hàng đơn vị của thừa số thứ nhất là 5 hoặc 0 Nh vậy sẽ có nhớ 4 hoặc không có nhớ sang hàng chục của tích riêng thứ nhất (1)
- Tích riêng thứ hai có 3 chữ số và chữ số hàng chục của thừa số thứ hai
là 2 nên suy ra hàng trăm của thừa số thứ nhất nhỏ hơn 5 (2)
- Tích của hàng đơn vị thừa số thứ hai với hàng chục của thừa số thứ nhất cộng với nhớ nhiều nhất là 4 chục (theo (1) ) thì kết quả cũng nhỏ hơn
700 nên có nhớ sang hàng trăm của tích riêng thứ nhất nhiều nhất là 600 (3)
- Hàng nghìn của tích riêng thứ nhất là 4 và theo (3) ta suy ra hàng trăm của thừa số thứ nhất là 5, điều này mâu thuẫn với (2) cho nên phép tính trên là sai
Giải bài 3:
Tổng của số thứ hai và số thứ ba là:
(2003 – 25) : 2 = 989
Số thứ ba là:
(989 + 22) : 3 - 22 = 315
Số thứ hai là:
989 – 315 = 674
Số thứ nhất là:
2003 – (315 + 674) = 1014
Giải bài 4:
Phần 1:
- Đờng thẳng AC chia hình chữ nhật thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, hay Stg ADC = Stg ABC =
2
1
diện tích hình chữ nhật Nh vậy để
kẻ 2 đờng thẳng đi qua A và 2 đờng thẳng đó chia hình chữ nhật làm 3 phần
có diện tích bằng nhau thì trên BC lấy 1 điểm M sao cho BM < BC và trên CD lấy điểm N sao cho CN < CD, vì nếu chỉ cần 1 điểm M không nằm trên BC hoặc N không nằm trên CD thì đờng thẳng đi qua A và đi qua 1 trong hai
điểm đó không thuộc hình chữ nhật, nếu điểm một trong hai điểm M hoặc N trùng với điểm D, C, B thì có những khả năng sau:
Trang 6*Điểm M trùng với điểm C thì diện tích tam giác AMB = 1/2 diện tích hình chữ nhật, điều này trái với đề bài
* Điểm M trùng với điểm B thì AMB cùng nằm trên một đờng thẳng và 3 điểm này không tạo thành hình gì, cho nên nó không có diện tích,
điều này cũng trái với đề bài
*Điểm N trùng với điểm C thì diện tích tam giác AND = 1/2 diện tích hình chữ nhật, điều này trái với đề bài
* Điểm N trùng với điểm D thì NCD cùng nằm trên một đờng thẳng và 3 điểm này không tạo thành hình gì, cho nên nó không có diện tích,
điều này cũng trái với đề bài
Vậy điểm N phải cắt cạnh BC và điểm M phải cắt cạnh CD
- Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 2/3 BC, trên CD lấy điểm N sao cho DN = 2/3 CD Ta có:
Stg ADC = Stg ABC = 1/2 diện tích hình chữ nhật (vì ABCD là hình chữ nhật) (1)
Stg ABM = 2/3 Stg ABC = 1/3 diện tích hình chữ nhật (vì BM = 2/3 BC
và chung đờng cao hạ từ A xuống BC và theo (1) ) (2)
Stg ADN = 2/3 Stg ADC = 1/3 diện tích hình chữ nhật (vì DN = 2/3
CD và chung đờng cao hạ từ A xuống DC và theo (1) ) (3)
Từ (2) và (3) suy ra diện tích tứ giác ANCM = 1 – (
3
1 3
1
3
1
diện tích hình chữ nhật Hay ta có:
Stg ADN = Stg ABM = S tứ giác ANCM = 1/3 diện tích hình chữ nhật Vậy đoạn BM là:
12 : 3 x 2 = 8 (cm)
Đoạn DN là:
27 : 3 x 2 = 18 (cm)
Phần 2:
- Nối BD, NM, BN và MD ta có:
Diện tích tam giác DNB là:
18 x 12 : 2 = 108 (cm2) Diện tích tam giác BMD là:
8 x 27 : 2 = 108 (cm2) Vậy diện tích tam giác DNB bằng diện tích tam giác BMD
Tam giác DNB và tam giác BMD chung đáy DB và có diện tích bằng nhau nên suy ra đờng cao hạ từ N xuống DB bằng đờng cao hạ từ M xuống DB Vậy tứ giác BMND là hình thang
