Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Công nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là một khoa học về đo đạc. Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.
Trang 1PHẦN I MỞ ĐẦU
1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm Hàng ngàn nămtrước Công nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khithu hoạch, xây dựng những kim tự tháp khổng lồ Môn hình học lúc đầu ra đời
có ý nghĩa là một khoa học về đo đạc Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần
đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn Tuy nhiên, hình học chỉ trởthành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằngcon đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát cáchình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn nămqua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từviệc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máymóc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấutrúc của nguyên tử
Nhận thấy được tầm quan trọng của môn hình học, cho nên trong các đềthi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi bậc trung học thì phần hìnhhọc phẳng luôn chiếm một vị trí quan trọng Hơn nữa, phần này cũng là nhữngphần khó trong các đề thi Đặc biệt là trong các đề thi bậc trung học phổ thông,
đó là câu hình học giải tích trong mặt phẳng Để giải quyết được những câu này,học sinh cần phải nắm chắc các tính chất hình học phẳng rồi kết hợp với phươngpháp tọa độ trong mặt phẳng Ngay cả trong quá trình ra đề, sáng tạo những bàitoán mới thì giáo viên cũng cần phải nắm chắc những tính chất hình học phẳng
Chính vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này, với mong muốn rằng đây sẽ làmột công cụ giúp việc dạy và học phần hình học giải tích trong mặt phẳng củagiáo viên, học sinh được dễ dàng và thuận lợi hơn
Vì những lí do trên đây nên đề tài được chọn là: “Vận dụng và khai thác các tính chất hình học phẳng vào dạy học giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng”.
Trang 22.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra các tính chất hình học phẳng thông qua hệ thống các bài tập đồngthời chứng minh các tính chất đó (có thể theo nhiều cách khác nhau) Đưa ramột số bài tập về các tính chất hình học phẳng giúp học sinh và giáo viên làm cơ
sở để giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng, ra đề và sáng tạo các bài toánmới Vận dụng các tính chất hình học vào giải toán hình học giải tích trong mặtphẳng đồng thời sáng tạo bài toán mới nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc môn Toán lớp 10, luyện thi học sinh giỏi, ôn thi đại học và cao đẳng
3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện các mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu chúng tôi đã sử dụngcác phương pháp nghiên cứu sau:
4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận.
4.2 Phương pháp điều tra quan sát.
4.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
4 GIỚI HẠN VỀ KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 10, 11, 12; luyện thi học sinh giỏi lớp
10, 11, 12 và ôn thi đại học, cao đẳng ở trường trung học phổ thông Trần Phúthành phố Vĩnh Yên tỉnh Vĩnh Phúc
5 PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU
Trang 3Đề tài nghiên cứu trong vòng một năm học, từ tháng 8 năm 2015 đếntháng 5 năm 2016.
Trang 4PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 1.1.1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H,
tâm đường tròn nội tiếp I và J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB; D, E, F lần lượt là chân đườngcao kẻ từ A, B, C; A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng với A, B, C qua O;
d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
e) Chứng minh O là trực tâm tam giác MNP
f) Chứng minh các điểm M, N, P, D, E, F và trung điểm của các đoạn HA,
HB, HC cùng thuộc một đường tròn
g) Chứng minh K là trung điểm
cung BC, các tam giác KBI và KCI cân
h) K là trung điểm của IJ
M là trung điểm BC, suy ra M là trung
điểm của HA’
Trang 5và OH 3OGuuur= uuur⇒OH 3OG=
b) ·HBC HAC= · (cùng phụ với góc ·ACB )
1
DBA =HAC(cùng chắn cung A C ), suy ra ·1 HBC DBA= · 1⇒tam giác HBA1cân tại H, suy ra H, A đối xứng với nhau qua BC.1
Tương tự, B đối xứng với H qua AC và 1 C đối xứng với H qua AB.1
Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng vớiđường tròn (O) qua BC, CA, AB
c) Cách 1: Dựng tiếp tuyến At của đường tròn (O)
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ·FBC FEA=· ⇒FEA EAt· =· ⇒EF AtP ⇒EF OA⊥
EF là đường trung bình của tam giác B HC1 1⇒B C1 1⊥OA
Cách 2: Tứ giác BHCA’ là hình bình hành suy ra M là trung điểm HA’
Gọi Q là trung điểm AH, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Q Tứgiác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra QM⊥EF⇒OA⊥EF
1 1
OA B C
d) ·ABE ACF= · (cùng phụ với góc ·BAC )
Hai tứ giác BDHF và CDHE nội tiếp, suy
ra ·FDH FBH;EDH ECH=· · =·
FDH EDH
⇒ = hay DH là phân giác
trong góc ·EDF , tương tự suy ra H là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác DEF
e) OM⊥BC,OP AB⊥ suy ra O là trực
tâm của tam giác MNP
Trang 6f) Giả sử D nằm giữa B và M DM PN, DP MN 1AB,
g) Do AK là phân giác trong góc ·BAC , suy ra
K là trung điểm cung BC
Gọi S là giao điểm thứ hai của đường thẳng
BI với đường tròn (O)
Do S là trung điểm cung AC và K là trung
điểm cung BC, suy ra ·BIK KBI= · hay tam
giác BKI cân tại K Tương tự ta có tam giác
KIC cân tại K
h) Do IB JB,IC JC⊥ ⊥ suy ra tứ giác BICJ
nội tiếp đường tròn đường kính IJ, K là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, suy ra K
là trung điểm IJ
Bài 1.1.2 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm trên cạnh AB (khác A và
B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DM Chứng minh
AH CH⊥
Giải:
Do ·BHD 90= o ⇒H thuộc đường tròn đường
kính DB Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp
hình chữ nhật ABCD Suy ra H thuộc đường tròn
đường kính AC hay ·AHC 90= o ⇒AH CH⊥
Trang 7Bài 1.1.3 Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của BC Gọi H là hình
chiếu vuông góc của D trên AC, N là trung điểm đoạn AH Chứng minh
E là trực tâm của tam giác NDC, ta có CE⊥DN suy ra MN DN⊥
Cách 2: Ta có: 2MN BA CH,2DN DA DHuuuur uuur uuur uuur uuur uuur= + = +
Suy ra 4MN.DNuuuuruuur=(BA CH DA DHuuur uuur uuur uuur+ )( + ) =CH.DA CD.DHuuur uuur uuur uuur+
2
Bài 1.1.4 Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC Gọi H là hình
chiếu vuông góc của D trên cạnh AC, M là trung điểm của HD Chứng minh
Bài 1.1.5 Cho hình vuông ABCD có M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD
Trang 8AM BN
Bài 1.1.6 Cho hình vuông ABCD tâm I, M là điểm đối xứng với D qua C Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D trên AM Chứng minh IK / /BH
và D, K đối xứng qua đường
thẳng HI
Giải:
Do ·AHC 90= o suy ra năm
điểm A, B, H, C, D cùng
thuộc một đường tròn tâm I
nên ·AHB ADB 45=· = o và
Bài 1.1.7 Cho tam giác ABC nhọn, dựng ra
bên ngoài tam giác ABC các tam giác MAB
và NAC vuông cân tại A Gọi I là trung
điểm của BC Chứng minh AI MN⊥
suy ra ∆ΑCD= ∆NAM⇒MNA DAC· = ·
Gọi H là giao điểm của AI và MN
Do
HAN DAC 90+ = ⇒MNA HAN 90+ = ⇒AI MN⊥
Cách 2: Ta có: ·MAC NAB,2AI AB AC,MN AN AM= · uur uuur uuur uuuur uuur uuuur= + = −
2AI.MNuur uuuur= AB AC AN AMuuur uuur uuur uuuur+ − =AB.AN AC.AMuuur uuur uuur uuuur−
Trang 9· ·AB.AN.cos NAB AC.AM.cos MAC 0 AI MN
Bài 1.1.8 Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm bên ngoài (O) Dựng các
tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm), C là điểm đối xứng với Aqua O Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E Chứng minh
Bài 1.1.9 Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu vuông góc của B trên AC.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho
BE AC= Chứng minh ·ADE 45= o
Giải:
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của E
lên các đường thẳng AB, DC
Ta có: ·EBK ABH ACB=· = · ⇒BEK ABC· = · và
Trang 10· o · o
Bài 1.1.10 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh
BC) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trênđường thẳng AD Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh HM⊥AK
Giải:
Do tam giác ABD cân tại A và H là trung điểm
của BD, ta có ·KDC BDA ABD= · = ·
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp
Bài 1.2.2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa
đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻtiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại
E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K
a) Chứng minh rằng từ giá EFMK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AI2 =IM.IB
c) Chứng minh BAF là tam giác cân
Trang 11d) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thang cân.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn
Bài 1.2.3 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB AC> ), đường cao AH Trên nửamặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E.Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp được
b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh rằng AE.AB=AF.AC
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Bài 1.2.4 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng
đường tròn tâm O có hán kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn O tại D.Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại S
a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp được
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc ·SCB
c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn tâm O Chứng minh ằng cácđường thẳng BA, EM, CD đồng qui
d) Chưng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 1.2.5 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B.
Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lân lượt cắtđường tròn đường kính BD tại F, G Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC đồng dạng tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
c) AC FGP .
d) Các đường thẳng AC, DE, FB đồng qui
Bài 1.2.6 Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M
bất kì (M không trùng với B, C) Từ M kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với cáccạnh AB, AC
a) Chứng minh tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm Ocủa đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
Trang 12b) Chứng minh rằng MP MQ AH+ =
c) Chứng minh OH⊥PQ
Bài 1.2.7 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H
bất kì (H không trùng O); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy mộtđiểm M ở ngoài đường tròn Đường thẳng MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn(O) tại C và D Gọi I là giao điểm của AD và BC
a) Chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I
c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH
là tứ giác nội tiếp
Bài 1.2.8 Cho đường tròn ( )O đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm Btùy ý (B khác O và C) Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ dây cung
DE vuông góc với AB Nối CD, kẻ BI vuông góc với CD
a) Chứng minh rằng tứ giác BMDI là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ADBE là hình thoi
c) Chứng minh BI ADP .
d) Chứng minh I, E, B thẳng hàng
Bài 1.2.9 Cho tam giác ABC vuông ở A Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các
hình vuông ABHK, ACDE
d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 1.2.10 Cho tam giác ABC nhọn có ·ABC 45= o Vẽ đường tròn đường kính
AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E
a) Chứng minh AE EB=
Trang 13b) Gọi H là giao điểm của CD và AE Chứng minh rằng đường trung trựccủa đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE
Bài 1.2.11 Trong hình chữ nhật ABCD điểm M là trung điểm của cạnh AD, N là
trung điểm của đoạn thẳng BC Trên phần kéo dài của đoạn thẳng CD về phía Dlấy điểm P Giao điểm của các đường thẳng PM và AC là Q Chứng minh rằng
QNM MNP=
Bài 1.2.12 Trên các cạnh BC và CD của hình bình hành ABCD dựng về phía
ngoài các tam giác đều BCK và DCL Chứng minh rằng tam giác AKL đều
Bài 1.2.13 Trên các cạnh góc vuông CA và CB của tam giác vuông cân ABC
lấy các điểm D và E sao cho CD CE= Phần kéo dài của các đường thẳngvuông góc hạ từ các điểm D và C xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyền ABtương ứng tại các điểm K và L Chứng minh rằng KL LB=
Bài 1.2.14 Bên trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho ·PAC PBC=· Từ điểm Pxuống các BC và CA hạ các đường vuông góc PM và PK tương ứng Giả sử D làtrung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng DK AM.BN=
Bài 1.2.15 Cho hình bình hành ABCD với góc ở đỉnh A nhọn Trên các tia AB
và CB lấy các điểm H và K tương ứng sao cho CH BC= và AK AB= Chứngminh rằng:
a) DH DK=
b) ∆DKH∽ ∆ABK.
Bài 1.2.16 Qua một điểm P bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC kẻ các đường
thẳng song song với các trung tuyến AK và CL, cắt các cạnh BC và AB tại E và
F tương ứng Chứng minh rằng các trung tuyến AK và CL chia đoạn thẳng EFthành ba đoạn bằng nhau
Bài 1.2.17 Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và K Qua M và K kẻ các
đường thẳng AB và CD tương ứng, cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A và C,cắt đường tròn thứ hai tại các điểm B và D Chứng minh rằng AC BDP .
Trang 14Bài 1.2.18 Từ Một điểm M bất kì nằm trong góc đỉnh A cho trước hạ các đường
vuông góc MP và MQ xuống các cạnh của góc Từ điểm A hạ đường vuông góc
AK xuống đoạn thẳng PQ Chứng minh rằng ·PAK MAQ=·
Bài 1.2.19 Đường tròn nội tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC
tại các điểm M và N Giả sử P là giao điểm của đường thẳng MN và đường phângiác góc B (hay kéo dài của nó) Chứng minh rằng ·BPC vuông
Bài 1.2.20 Cho tam giác cân ABC tại B và góc ở đỉnh B là góc nhọn CD là
đường phân giác của góc C Qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với CD.Đường thẳng này cắt phân kéo dài của cạnh đáy AC tại điểm E Chứng minh
1
2
Bài 1.2.21 Cho tam giác vuông ABC kẻ đường cao Ck từ đỉnh của góc vuông C
và trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE Chứng minh rằng CB BE=
Bài 1.2.22 Trong tam giác vuông ABC kẻ đường cao CK từ đỉnh của góc vuông
C, còn trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE, D là trung điểm của đoạnthẳng AC, F là giao điểm của các đường thẳng DE và CK Chứng minh rằng
BF CEP .
Bài 1.2.23 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Lấy điểm D thuộc
cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của HA sao cho AD HE 1
AC = HA =3 Chứng minhrằng ·BED 90= o
Bài 1.2.24 Cho D thuộc trung tuyến AM của tamm giác ABC BD cắt AC tại H,
CD cắt AB tại K Chứng minh rằng HK BCP .
Bài 1.2.25 Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB, BC lần lượt láy các điểm
D, E sao cho BD BE= Gọi E là trọng tâm của tam giác DBE, K là trung điểmcủa đoạn thẳng AE Tính MG
MC .
Trang 15Bài 1.2.26 Cho hình vuông ABCD tâm E Gọi M là trung điểm của AB Trên
các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm G, H sao cho MG và AH song song vớinhau Tính góc ·GEH
Bài 1.2.27 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK Gọi D
và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên các đường thẳng HK Chứng minhrằng DK EH=
Bài 1.2.28 Cho hình thang ABCD Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh A
và D cắt nhau tại H Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở
K Chứng minh rằng HK DCP .
Bài 1.2.29 Cho hình thang ABCD ( AB CDP , AD khác BC) Gọi E, F lần lượt làtrung điểm của các đường chéo nhau BD, AC và G là giao điểm của đườngthẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC Chứngminh rằng GD GC=
Bài 1.2.30 Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ Độ dài dường cao BH
bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD Chứng minh rằng
BD AC⊥
Bài 1.2.31 Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB, AH là đường cao (H thuộc
DC), E là trung điểm của cạnh bên BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cácđoạn thẳng AE và DE, gọi I là giao điểm của Dm và AN Chứng minh rằng
2
3
Bài 1.2.32 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho DB CE= , BC cắt DE tại F Chứng minh rằng F làtrung điểm của đoạn thẳng DE
Bài 1.2.33 Cho hình bình hành ABCD, các phân giác góc µ µA,D cắt nhau tại M,các phân giác góc µ µB,C cắt nhau tại N Chứng minh rằng MN ABP .