Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC LỜI NÓI ĐẦU: Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng ngh
Trang 1Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
LỜI NÓI ĐẦU:
Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc:
Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể
tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình.
Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm:
+Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến.
+Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục.
Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây:
A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài.
B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học (Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)
C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví
dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác.
D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh
có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com
hoặcsố điện thoại: 0984-003114.
E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D.
F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác.
Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này.
Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót Chào thân ái!
A ÔN LÝ THUYẾT:
• Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…
• Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
Trang 2B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.
↓
(ẩn phụ)
C.ƠN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.
I Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
• Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a≠0
• Cách giải : + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì t ≤1)
+ Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện + Giải phương trình f(x) = t
Ví d
ụ 1 ) Giải phương trình :2 cos 4 6 s2 1 3cos 2 0
cos
x
Ví d ụ 2 ) Giải phương trình : 1
cos 1
sin 2 ) 1 cos 2 ( cos
−
− +
−
x
x x
Ví d
ụ 3 ) Giải phương trình : 3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot2x (3)
Ví d
ụ 4 ) Giải phương trình : 6 6 2
sin x cos x+ =2cos x−1 (4)
PTLG cho trước
PT cịn một cung
Cịn 1 HSLG
PTĐẠI SỐ
Cịn 2 hàm sin và cơsin
PT cịn hai cung
Áp dụng:
(asinu + bcosu) PTcơ bản
Sinf(x)=sing(x) Hoặc
cosf(x)=cosg(x) P.T.Tích
Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức: a.sinx +b.cosx với: a,b =± 1 ; ± 3 ; ± 2
Trang 3Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví d
ụ 5 ) Tìm các nghiệm trên khoảng (0;π) của phương trình :
7 sin 3 cos3 4 cos 2
2sin 2 1
x
−
Ví d
ụ 6 ) Cho phương trình : cos 2x+(2m+1)sinx m− − =1 0 (*)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng (π π;2 )
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1) +Đk x≠π +mπ
(1) ⇔ 2(2 cos 2 2x− 1)+ 3 ( 1 + cos 2x+ 1 + 3 cos 2x= 0
+
±=
=
⇔
=
=
⇔
= +
−
⇔
π π
π
k x
k x x
x x
x
6
2 2
1 2 cos
1 2 cos 0 1 2 cos 3 2 cos
2 2
Họ k2π
x= thỏa ĐK khi k = 2h ⇒ x=hπ Vậy (1) cĩ 3 họ nghiệm là: x=h x= ± +k ; h,k∈Z
6
Ví dụ 2) + ĐK : cosx≠ 1 ⇔x≠m2 π
(2) ⇔ 1 − 2 cos 2 x− cosx− 2 sinx= 1 − cosx⇔ − 2 ( 1 − sin 2 x) − 2 sinx= 0
2 sin 2
2 sin
0 2 sin 2 sin
+
=
+
−=
⇔
−
=
−=
π π
π
π π
2 4 5
2 4 4
sin 2
2 sin
k x
k
x x
Ví dụ 3) +ĐK : x≠ mπ
x
x x
2
sin
cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos
−
−
−
=
−
x
x x
2
cos 1
cos ) cos 1 ( 3 2 2 cos 3
0 2 cos cos
6 cos 1
cos 3 2 cos
+
−
=
−
x
x x
+
−
±
=
+
±
=
⇔
−
=
=
⇔
π
π π
2 ) 3
2 arccos(
2 3 3
2 cos
2
1 cos
k x
k x
x
x
(Thỏa các ĐK)
Ví dụ 4) +Biến đổi:
4
1 2 cos 4 3
2 sin 4
3 1 ) cos (sin
cos sin 3 ) cos (sin
) (cos sin
cos sin
2
2 2
2 2 2 3
2 2
3 2 3
2 6
6
+
=
=
−
= +
− +
=
= +
= +
x
x x
x x x x
x
x x
x x
Trang 4(4) cos 2 3 cos 2 4 cos 2 1 0
4
1 2 cos 4
+
±
=
=
⇔
=
=
⇔
π
π
2 3
1 arccos 2
1 3
1 2 cos
1 2 cos
k x
k x x
x
Ví dụ 5) *Giải PT(5):
+ĐK : sinx
+
≠
+
≠
⇔
≠
π π
π π
2 12
2 12
5 2
1
m x
m x
+Ta có
) cos sin 1 )(
cos (sin
4 ) cos (sin
3 cos 3 cos 4 sin 4 sin 3 3
cos
3
) 1 2 sin 2 )(
cos (sin
) 1 cos sin 4 )(
cos
x x
x
x x
cos sin
1 2 sin 2
3 cos 3 sin
+
=
−
−
⇒
(5)⇔ 7 (sinx+ cosx− cosx) = 4 − cos 2x⇔ 7 sinx= 4 − ( 1 − 2 sin 2 x)
3 sin 2
1 sin 0 3 sin 7 sin
+
=
+
=
⇔
=
π π
π π
2 6 5
2 6 2
1 sin
k x
k
x x
*Chọn nghiệm trên khoảng (0 ; π) ta được hai nghiệm của phương trình là:
; 56
6
π
x
Ví dụ 6) (*)⇔ 1 − 2 sin 2x+ ( 2m+ 1 ) sinx−m− 1 = 0
0 sin
) 1 2 ( sin
; sin
; 0 )
1 2 ( 2 )
a)Khi m=2: 2
2
1 0
2 5 2 ) (t = t2 − t+ = ⇔t= ∨ t=
+
=
+
=
⇔
=
⇔
=
π π
π π
2 6 5
2 6 2
1 sin 2
1
k x
k
x x t
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng (π π;2 ):
Khi x∈(π ; 2 π)⇒ − 1 ≤t< 0
Trang 5Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Vậy ta phải cĩ :
<≤−
∅∈
⇔
=−
∨<−
<≤−
≥−
>
≥∆
⇔
<≤−
<
<<≤
−
<≤
≤−
0
1 0)1 (0 )1(
).0(
0 2 1
0)1 (;0 )0(;
0
0 1
0 1
0 1
2 1
2 1
2 1
m
m
f ff
S
af af
t t
t t
tt
[− 1 ; 0)
∈
⇔m
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1) Giải phương trình :4sin 22 6sin2 9 3cos 2 0
cos
x
2) Giải phương trình : ( ) 2
1
1 sin 2
x
= +
3) Giải phương trình : 5sinx− =2 3(1−sinx).tan2x
4) Giải phương trình : 8 8 17 2
16
x cos x+ = cos x
5 Tìm các nghiệm trên khoảng (0; 2π) của phương trình :
5 cos3 sin 3 3 cos 2
1 2sin 2
x
+
6) Cho phương trình : cos 2x−(2m+1) cosx m+ + =1 0 (*)
a) Giải phương trình khi m = 3/2
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng ;3
2 2
π π
II Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b ≠ 0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
+ Cách giải :
- Chia 2 vế phương trình cho a2+b2 ta được :
2 2 2 2 2 2
cos
- Đặt cos 2a 2 sin 2b 2
+ + và đặt sin 2c 2
β =
+ ta có phương trình:
sin(x+α) sin= β
Ví dụ 1: Giải phương trình : 4 cos 3 2x+ 3 sin 6x= 2 cos 4x+ 3 cos 2x (1)
Trang 6Ví dụ 2: Giải phương trình : 8sinx 3 1
cosx sinx
= + (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 2x− cos 2x− cosx− sinx= 0 (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình : 9 sinx+ 3 cosx− 3 sin 2x+ cos 2x= 8 (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2cos x3 +cos 2x sinx+ =0 (5)
Ví dụ 6: Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3 + 3 = − (6)
Ví dụ 7: Giải phương trình : 4 4 4 (sin x cos x+ )+ 3 sin 4x=2 (7)
Ví d ụ 8 : Giải phương trình : 3 (sin 3x− cosx) = cos 3x+ sinx (8)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) ⇔(4 cos 3 2x− 3 cos 2x)+ 3 sin 6x= 2 cos 4x
x x x x sin 6x cos 4x
2
3 6 cos 2
1 4 cos 2 6 sin 3 6
⇔
x cos 4x
3 6 cos =
Ví dụ 2: + ĐK : x x m ( ) m Z
x
x
∈
≠⇔
≠
⇔
≠
≠
2
0
2sin 0 cos
0
+ (2)⇔ 4 sin 2xsinx= 3 sinx+ cosx⇔ 2 (cosx− cos 3x) = 3 sinx+ cosx
x x
x x
3 cos 3
cos sin
2
3 cos 2
1
=
+
⇔
=
−
Ví dụ 3: (3) ⇔ ( 2 sinxcosx− sinx) −(2 cos 2 x+ cosx− 1)= 0
0 ) 1 cos )(sin
1 cos 2 (
0 ) 1 )(cos 1 cos 2 ( ) 1 cos 2 ( sin
=
−
−
−
⇔
= +
−
−
−
⇔
x x
x
x x
x x
1 ) 4 sin(
2 2
1
Ví dụ 4: (4) ⇔(9 sinx− 6 sinxcosx)+(3 cosx+ 2 cos 2x− 9)= 0
0 ) 3 )(cos 3 cos 2 ( ) cos 2 3 ( sin
0 3 sin 3 cos 0 ) 3 sin 3 )(cos 3 cos 2
α α
α cos sin sin sin cos
10
3 sin
10
3 cos 10
10
3 sin
; 10
1 cos
; 2
cos )
+
= +
Ví dụ 5: (5) ⇔ 2 cos 3x+ 2 cos 2x− 1 + sinx= 0 ⇔ 2 cos 2x(cosx+ 1 ) − ( 1 − sinx) = 0
0 ) sin 1 ( ) 1 )(cos sin 1 )(
sin 1 (
0 ) 1 2 sin cos 2 sin 2 )(
sin 1 (
0 1 ) cos 1 )(
sin 1 ( 2 ) sin 1 (
= + +
+
−
⇔
=
− +
+
−
⇔
x x
x x
x x
x
) sin 1
= +
=
−
⇔
= + + +
−
⇔
0 cos sin
0 sin 1 0 )2 cos )(sin cos )(sin sin 1(
x x
x x
x x x x
Trang 7Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
Ví dụ 6: (6) ⇔ (sinx+ cosx)( 1 − sinxcosx) = sinx− cosx
x x
x x
x x x
⇔
0 ) cos sin sin
2 ( cos 0 ) cos (sin
cos sin cos
0 ) 2 sin 2 cos 3 ( cos 0 ) 2 sin 2
1 2
2 cos 1 2 (
0 cos =
Ví dụ 7: + Biến đổi : x x x x cos 4x
4
1 4
3 ) 4 cos 1 ( 4
1 1 2 sin 2
1 1 cos sin 4 + 4 = − 2 = − − = +
+ (7)
2
1 4 sin 2
3 4 cos 2
1 2 4 sin 3 4 cos
3 4
x−
3 (sin 3x− cosx) = cos 3x+ sinx
2
3 sin 2
1 3 cos 2
1 3 sin 2
3 cos
3 sin 3 cos 3 sin
⇔
+
=
−
⇔
3
sin 6 3 sin x π x π
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1) Giải phương trình : 3 sin 3x− 3 cos 9x= 2 cos 3x+ 4 sin 3 3x
2) Giải phương trình : 8 3 1
sin
cosx
x cosx
3) Giải phương trình : sin 2x+2sinx− =1 4sin xcosx cos x2 + 2 −2sin cos 2x x
4) Giải phương trình : sinx+ 4cosx− sin 2x+ 2cos 2x= 1
5) Giải phương trình : 2sin3x−cos 2x cosx+ =0
6) Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3 − 3 = +
7) Giải phương trình : 8(sin 6 x+ cos 6 x)− 3 3 sin 4x= 2
8) Giải phương trình : 3 (cos 3x+ sinx) = sin 3x− cosx
III Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:
1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
• Phương trình có dạng : asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x + d = 0 (1)
• Cách giải 1 : (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng
cung)
(1) ⇔ 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 0
⇔bsin 2x+ −(c a) cos 2x= −(2d a c+ + )
• Cách giải 2 : (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Xét hai trường hợp :
+ Nếu x = ;
π + π ∈
có là nghiệm phương trình hay không
Trang 8+ Nếu x ;
≠ + ∈ , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
⇔ (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0
Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 4+ )cos2x = 4 (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 (4)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1) ⇔(cos 2x− sin 2x)− 3 sin 2x= 1 ⇔ cos 2x− 3 sin 2x= 1
3 2 cos 2
1 2 sin 2
3 2 cos 2
+
⇔
=
−
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì sin 2 x = 1 nghiệm đúng phương trình (2)
Vậy (2) cĩ nghiệm x=π +kπ
+Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay x
x
2
cos
1
+
= và đặt ăn phụ t = tanx :
Ta cĩ : t − t+ + = +t ⇔t= ⇔ x= π ⇔x=π +kπ
6 6
tan tan 3
3 )
1 ( 4 4 3 3
Vậy PT (2) cĩ hai họ nghiệm là : x=π +kπ
2 ; x= +k ; k∈Z
6 π π
Ví dụ 3: (3) ( 1 cos 2 ) 3
2
3 2 sin 2
5 ) 2 cos 1 (
7 2 sin 5 2 cos
Ví d
ụ 4: +Xét cosx = 0 thì sin 2 x = 1 nghiệm đúng phương trình (2)
Vậy (2) cĩ nghiệm x=π +kπ
+Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay x
x
2
cos
1
+
= và đặt ăn phụ t = tanx :
Ta cĩ : 1 +t+ 3t2 = 3 ( 1 +t2 ) ⇔t= 2 ⇔ tanx= 2 ⇔x= arctan 2 +kπ
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giải phương trình : sin2x +(1+ 3)sin cosx x+ 3cos x2 =0
3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
• Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
Trang 9Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x+ cos 2 x= 1.(k,n∈N)
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.(sin 2x+ cos 2x) = sin 3 x+ sinxcos 2 x (bậc 3)
Hoặc sinx = sinx 2x 2 x 2 5x 3x 2x x 4x
cos sin cos
sin 2 sin ) cos
+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc Một hằng số khác 0 có bậc là 0
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng
đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
• Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k∈N”
• Cách giải 1 : ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế PT cho cosn xvà thay k ( )k
x x
2
cos
1 = +
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x
• Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1 Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tanx= sinxcosx− cos 2 x (1)
Giải cách 1:
+ĐK: x≠π +mπ
+(1) ⇔ sinx= sinxcos 2x− cos 3x (*) (đẳng cấp bậc 3)
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT (vì ± 1 = 0 ; vô lý)
+cosx ≠ 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
x + x = x− ⇔t = − ⇔t= − ⇔ x= − ⇔x= −π +kπ
4 1
tan 1 1
1 tan ) tan 1
(
(t = tanx)
Gi
ải cách 2 :
(*) ⇔ sinx( 1 − cos 2 x) = − cos 3x⇔ sin 3x= − cos 3 x (**)
x= − ⇔ x= − ⇔x = −π +kπ
4 1
tan 1
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)⇔ sin 3x+ cos 3 x= 0 ⇔ (sinx+ cosx)( 1 − sinxcosx) = 0 ⇔ (sinx+ cosx)( 2 − sin 2x) = 0 ⇔ x+ x= ⇔ x= − ⇔ x= −π +kπ
4 1
tan 0 cos sin
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 3 x= sinx+ cosx (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx ≠ 0, chia hai vế (2) cho cos3x được :1 = tanx( 1 + tan 2 x) + ( 1 + tanx)
π
k x x
t t
t
t + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
⇔ ( 2 1 ) 0 0 tan 0 (với t = tanx )
Trang 10ải cách 2 :
(2) ⇔ cosx(cos 2 x− 1 ) = sinx⇔ cosxsin 2x+ sinx= 0 ⇔ sinx(sinxcosx+ 1 ) = 0
⇔ sinx(sin 2x+ 2 ) = 0 ⇔ sinx= 0 ⇔x=kπ
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 sin 3x− 2 cos 3x+ sin 2 xcosx+ 2 cosx= 0 (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (3)
+ cosx ≠ 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
0 ) 3 ( 3 0 3 3 ) tan 1 ( 2 tan 2 tan
+
−
=
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=
⇔
π π
π
k x
k x x
x t
t
3 3
tan
0 tan 3
0
Gi
ải cách 2 :
(3) ⇔( 3 sin 3 x+ sin 2 xcosx)+ 2 cosx( 1 − cos 2 x) = 0
⇔ sin 2x( 3 sinx+ cosx) + 2 cosxsin 2 x= 0 ⇔ sin 2x( 3 sinx+ 3 cosx)= 0
+
−
=
=
⇔
−
=
=
⇔
= +
=
⇔
π π
π π
k x
k x x
k x x
x
x
3 3
tan 0
cos 3 sin
0 sin
Ví dụ 4 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx = ±1 khơng nghiệm đúng ptrình Vậy cosx ≠ 0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t2 − 4t+ 3 = 0 ⇔ t= 1 ∨t= 3
Gi
ải cách 2 :
(4) ⇔ ( 3 cos 4 x− 3 sin 2xcos 2x) − (sin 2 xcos 2 x− sin 4x) = 0
0 ) sin (cos
sin ) sin (cos
cos
±
=
=
⇔
=
−
⇔
3 tan
0 2 cos 0 ) sin cos 3(
2
x
x x
x x
Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6x+ cos 6x= cos 2 2x− sinxcosx (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin6 x+cos6 x=(sin2 x+cos2 x)(sin4 x+cos4 x−sin2xcos2 x)=
= sin 4 x+ cos 4 x− sin 2xcos 2x
Và biến đổi : cos 2 2x= (cos 2x− sin 2 x) 2 = cos 4x+ sin 4x− 2 sin 2xcos 2x
Thì PT (5) ⇔ sin 2xcos 2 x+ sinxcosx= 0 (*)
Khi đĩ PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x+ cos 6x= (cos 2 x− sin 2x) 2 − sinxcosx (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
= + + + +
=
⇔
= + + +
+
)1.
5(
0 1 2
0 0
4
5
t t t t
t t t t t
t
Khi đĩ PT (5.1) 2 1 1 0 2 12 1 2 0
2
+ +
+
⇔
= + + + +
⇔
t
t t
t t
t t