Đề tài về PT và HPT

ở đây tôi chỉ xin đề cập một phần nhỏ về một số dạng phơng trình từ bậc 2 trở lên và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải.. Song đối với một số học sinh khá giỏi ngoài một số phơng trình

Phßng gi¸o dôc ThÞ x Phó Thä ·

trêng THCS hµ th¹ch -   -

s¸ng kiÕn kinh nghiÖm

Lời nói đầu

Toán học có vị trí, vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và trong đời sống, nó giúp học sinh tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác

Trong bộ môn toán phần phơng trình và hệ phơng trình đợc coi là có vị trí và vai trò quan trọng trong suốt chơng trình Toán THCS

Việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đợc ứng dụng nhiều trong các bậc học cao hơn, cũng nh trong các môn khoa học giáo dục khác Kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình cũng đợc ứng dụng rất nhiều trong thực tế Tuy nhiên việc tìm ra cách dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình một cách

có hiệu quả nhất còn rất nhiều vấn đề còn nghiên cứu

ở đây tôi chỉ xin đề cập một phần nhỏ về một số dạng phơng trình (từ bậc 2 trở lên) và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải Vấn đề này đã đợc đa và giảng dạy

ở chơng trình toán học lớp 8, 9 một cách tờng minh Song đối với một số học sinh khá giỏi ngoài một số phơng trình và hệ phơng trình cơ bản nh trong SGK ta có thể

mở rộng cho học sinh nắm bắt đợc một số phơng trình khác, một số bài tập cho ở hình thức khác nhau nh: Các dạng toán về phơng trình bậc 2; Phơng trình đại số bậc cao; Phơng trình đối xứng; Phơng trình phân thức hữu tỷ; Phơng trình vô tỷ; và các dạng hệ phơng trình

Do thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm còn nhiều hạn chế vì vậy còn nhiều thiếu sót Kính mong các đồng nghiệp góp ý để cho sáng kiến đợc hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Phần mở đầu: Đặt vấn đề

A - Lý do chọn sáng kiến

- Phần phơng trình và hệ phơng trình có vị trí quan trọng trong Toán học nói chung đặc biệt trong phân môn Đại Số nói riêng Nó là công cụ nghiên cứu hiệu lực của Toán học, mở đờng cho Toán học thâm nhập và phục vụ đắc lực các ngành khoa học tự nhiên cũng nh khoa học xã hội

Nghiên cứu đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên nắm vững nội dung phần phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này ở THCS có cho phù hợp và đạt hiệu quả

Khi tìm hiểu về việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đặc biệt

là phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình và một số vấn đề nâng cao về

ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình ở học sinh còn nhiều hạn chế

Do phân bố chơng trình tiết học các em không thể nắm bắt hết sự đa dạng của các bài toán về phơng trình và hệ phơng trình Một nguyên nhân nữa là ta cha

đào sâu suy nghĩ, đông thời do tính đa dạng phong phú củacủa Toán học thật khó

có thể đúc kết đợc nguyên tắc từ đó tìm đợc"Chìa khoá"giải quyết các vấn đề Nếu

giáo viên trang bị cho các em kiến thức cơ bản của từng dạng Toán thì các em có thể nhận diện và giải quyết các dạng Toán về phơng trình và hệ phơng trình dễ dàng hơn

Vấn đề giải phơng trình và hệ phơng trình còn nhiều ứng dụng của các bậc học cao hơn cũng nh trong các bộ môn khoa học khác Vì vậy việc nắm chắc các dạng toán và phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình là cần thiết cho việc dạy và học

B Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

1- Mục đích nghiên cứu:

Nghiên đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó

có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả

Nghiên cứu về sáng kiến để nắm đợc thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xá định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn Toán

Nghiên cứu sáng kiến giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công

2- Nhiệm vụ nghiên cứu:

Xác định vai trò của phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Toán THCS và những yêu cầu khi giảng dạy phần này

Xác định một số dạng phơng trình và hệ phơng trình cần thiét và phơng pháp giải từng dạng phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xây dựng phơng pháp dạy cho học sinh đặc biẹt là học sinh khá giỏi

Nghiên cứu giảng dạy, tổng kết rút kinh nghiệm về một số dạng phơng trình

và hệ phơng trình

C Đối tợng nghiên cứu.

1- Nghiên cứu phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Toán THCS

2- Nghiên cứu các tài liệu liên quan

3- Giáo viên giảng dạy Toán THCS và học sinh đặc biệt là khối 8 và khối 9

D Các phơng pháp nghiên cứu.

1- Phơng pháp nghiên cứu lý luận

2- Phơng pháp phân tích tổng hợp kinh nghiệm giáo dục và bớc đầu thực nghiệm

Phần nội dung.

A cơ sở lý luận.

1- Phơng trình và hệ phơng trình có vai trò và tầm quan trọng to lớn trong chơng trình Toán THCS đặc biệt là phân môn Đại Số Mảng kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình chiếm nội dung tơng đối nhiều trong chơng trình toán THCS Nó không chỉ thể hiện trực tiếp trong nội dung về phơng trình và hệ phơng trình mà còn thể hiện trong các chuyên mục khácdới những cách trình bày thích hợp khác nhau

2- ở lớp 6, lớp 7 phơng trình và hệ phơng trình đợc cho dới dạng ẩn tàng thông qua dạng Toán tìm x; tìm các số a; b khi biết điều kiện; tìm giá trị của biến

để giá trị của hai biểu thức bằng nhau; tìm các giá trị của biến tơng ứng với các giá trị của hàm…

ở lớp 8, lớp 9 kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải đợc trình bày rõ ràng, học sinh đợc học từng dạng phơng trình từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy của giáo viên và việc học của học sinh cho thấy việc nắm kiến thức của học sinh cond nhiều hạn chế

Đối với các dạng toán về phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a ≠ 0), phơng trình tích A.B.C = 0 (A,B,C là các đa thức ẩn x), nhìn chung học sinh… …nắm đợc kiến thức khá tốt và giải quyết đợc hầu hết các dạng cho của phơng trình bậc nhất, phơng trình tích Riêng phàn phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, phơng trình bậc hai, hệ phơng trình học sinh nắm kiến thức còn máy móc thiếu linh hoạt chỉ quen những dạng bài tập ra nh SGK, do đó học sinh còn lúng túng trớc những bài tập về phơng trình và hệ phơng trình cho dới những hình thức khác với cách giải tổng hợp, vận dụng linh hoạt nhièu kiến thức Đồng thời việc giải phơng trình bậc lớn hơn 2 thờng gây không ít cho học sinh khá giỏi

3- Xuất phát từ vị trí vai trò, tầm quan trọng của phần phơng trình và hệ

ph-ơng trình trong chph-ơng trình Đại Số THCS Giáo viên cần phải xác định đợc yêu cầu của giảng dạy phần này cho học sinh THCS cũn nh việc bồi dỡng nâng cao cho học sinh khá giỏi

Trong quá trình giảng dạy về phơng trình và hệ phơng trình giáo viên cần phải đi từ cái cụ thể đến trừu tợng rồi lại đến cái cụ thể (Nguyên lý Trực quan - T duy - Thực tiễn ) Giáo viên cần phải phân chia cho học sinh từng dạng phơng

trình và hệ phơng trình cùng các phơng pháp giải và cần đợc trực tiếp củng cố

trong suốt quá trình dạy và học qua những dạng bài tập dới các hình thức khác nhau.

Trớc tiên cần phải cho học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản về các dạng phơng trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải nh SGK Đại Số 8, 9: Phơng trình bậc nhất một ẩn; Phơng trình tích; Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức; Phơng trình bậc hai một ẩn; Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Đồng thời giáo viên phải đào sâu, mở…rộng, cụ thể hoá, tổng quát hoá từng dạng phơng trình cho học sinh và các dạng bài tập cho dới các hình thức khác nhâu Từ đó phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nắm kiến thức chắc chắn và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải phơng trình và hệ phơng trình dới các dạng khác nhau

B Nội dung.

1- Phơng trình.

1.1 Ph ơng trình bậc hai một ẩn:

a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn có dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

b) Cách giải: Dùng biệt số ∆ hoặc ∆'

* Phơng trình bậc hai khuyết c (c = 0): Dạng ax2 + bx = 0 ta đa phơng trình

Ta lập biệt số ∆ = b2 - 4ac (hoặc ∆' = b'2 - ac với b = 2b' )

- Nếu ∆ < 0 ( hoặc ∆' < 0 ): Phơng trình vô nghiệm

- Nếu ∆ = 0 ( hoặc ∆' = 0 ): Phơng trình có nghiện kép x1= x2= ( ')

b a

a

b

− và x1.x2=

a c

ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

Nếu có: a + b + c = 0 thì x1= 1; x2 = a c

Điều kiện phơng trình có:

- Hai nghiệm trái dấu: P < 0

- Hai nghiệm cùng dấu: ∆ ≥ 0; P > 0

Dạng 1: Giải và biện luận ph ơng trình:

Ví dụ 1: cho phơng trình: (m2 - m - 2)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 (1) ( m là tham

số )

a) Giải phơng trình (1) với m = 1

b) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) chỉ có 1 nghiệm

Vậy điều kiện phải tìm là

c) Điều kiện để phơng trình (1) có 1 nghiệm là:

Vậy phơng trình (1) có một nghiệm ⇔ m = 2

Ví dụ 2: Xác dịnh m để phơng trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 (1) có hai nghiệm thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11

1

.

(*) 2

c) Vô nghiệm.

2- Giải và biện luận theo tham số m phơng trình: (m2 - m)x2 + 2mx + 1 = 0

Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm:

* Phơng pháp: Để chứng minh phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0( a ≠ 0) có nghiệm

Cách 1: Chứng tỏ rằng: ∆ ≥ 0

Cách 2: Chứng tỏ rằng tích a.c < 0 (Vì a.c < 0 thì ∆ = b2-4ac>0)

Ví dụ 3: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m -4) = 0 (1) với m là tham số

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Xác định m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 =3

d) Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì

m m m

m m

m

⇔ 0 < m < 4

Vậy với 0 < m < 4 thì phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Xác định m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 =3

§Ó hai nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n x1 + 4x2 =3 th×

1

)4 ( 3

4

)3 (

4

.

)2 ( )1 (2

m

m

3 3

) 8 5 )(

2 ( − + = − ⇔ 5m2 + 8m− 10m− 16 = 9m2 − 36m

b S

m

m S

4

2 2

m

S

4 1

2 2

2 2

S P

Vậy ∆' ≥ 0 với mọi a,b hay phơng trình (1) có nghiệm với mọi a,b

Ví dụ 5: Chúng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m:

- Nếu tích a.c ≤ 0 mà a ≠ 0 thì phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

- Nếu chỉ có tích a.c ≤ 0 thì cha đảm bảo phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm Chẳng hạn xét phơng trình m2x2 - mx - 2 = 0 có tích a.c = -2m2 ≤ 0 nhng khi m = 0 thì phơng trình trở thành 0x = 2 vô nghiệm

Dạng 3: Quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai:

Ví dụ 6: Tìm a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung.

8 1

8 2

= +

−

=

+

0 12 6

0 )

(2) ⇔ x2 + x - 6 = 0 có hai nghiệm là -3 và 2Kết luận: vậy với a = - 6 thì 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

+ So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số (Sử dụng Định lý Viét

và dấu của tam thức bậc hai)

+ Tìm hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 + bx + c = 0 với đờng thẳng y

= mx + n Ta đa về giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = mx + n

− +

(**) 0 2 8

(*) 0 2 4

2 2

x x

x x

Víi t = -3 ta cã: x2+5x+4 = -3 ⇔ x2+5x+7 = 0 ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm

x

y

3 2

= + +

(**) 3 120 32

2

(*) 120

32 2

2 2

x x

x

x x

3- Dạng phơng trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m Trong đó a+d = b+c; thì ta nhóm: [(x+a)(x+d)] [(x+b)(x+c)] = m từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ.

4- Dạng phơng trình:(x+a)4 + (x+b)4= c Ta thờng đặt ẩn phụ y = x+a2+b

Ví dụ 12: Giải phơng trình bằng phơng pháp đa về luỹ thừa cùng bậc.

+

= +

(**) 6 2 2

(*) 6 2 2

2 2

x x

x x

Dạng 3 Phơng trình hệ số đối xứng

a) Khái niệm: Phơng trình có hệ số đối xứng là phơng trình có dạng f(x) =0 trong

đó f(x) là đa thức với đầy đủ các số hạng xắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp (kể cả hệ

số bàng 0)sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau

Nghĩa là: anxn+an-1xn-1 + + a… 1x+a0 (1) với ai=an-i (i = 1,2, n) và a… n≠ 0

b) Một số tính chất của phơng trình hệ số đối xứng.

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là: x1,2=

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (3) vô nghiệm

+ Nếu (*) có nghiệm t thì ta có nghiệm x của phơng trình (3) qua cách đặt ẩn phụ

2) Trờng hợp phơng trình có bậc cao hơn 4 hệ số đối xứng ta dùng phép chia hạ bậc (chia cho xn/2) rồi đặt ẩn phụ t= x+x1

+ Nếu (5) có nghiệm t thì ta có nghiệm x của phơng trình (4) qua cách đặt ẩn phụ.

Thay t vầo cách đặt ẩn phụ ta có các phơng trình:

+ Nếu phơng trình (7') vô nghiệm thì phơng trình (7) vô nghiệm

+ Nếu (7') có nghiệm t thì ta có nghiệm x của phơng trình (7) qua cách đặt

ẩn phụ

Ví dụ 16: Giải phơng trình: 2x4-21x3+34x2 +105x +50 =0 (8)

Ta thấy k = −10521=-5 và k2 = 25 nên ta giải theo cách trên ta đợc:

Phơng pháp giải: Ta chia hai vế phơng trình cho x2 ≠ 0 rồi đặt ẩn phụ y = x+bx d

1 4

1 4 8

2

2 2

+ +

+ +

=

−

−

x x

x x x

x

- Xét hàm số: y =

1 2

1

2

2

+ +

+ +

x x

x x

) (

=

x Q

x P

(1) với Q(x) ≠ 0b) Phơng pháp giải:

Để giải phơng trình này ta đa phơng trình về dạng: (1) ⇔

0 )

(

x Q

x P

Ta dùng các phơng pháp đã nêu trong các dạng phơng trình trên: Đa về phơng trình tích; đặt ẩn phụ; dùng bất đẳng thức Ph… ơng pháp đặt ẩn phụ đặc biệt có hiệu quả

khi giải các phơng trình phân thức hữu tỷ Sau đây là một cách biến đổi thờng dùng qua các ví dụ sau:

1- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x:

2 5 3

7 2

− +

x x

x x

GiảiPhơng trình này không nhận x = 0 làm nghiệm nên ta chia cả hai vế của phơng

5 3

7 2

1 3

2

= + +

− +

−

x

x x x

Đặt 3x+2+ x2 = y khi đó phơng trình đã cho trở thành: 1

3

7 3

2

= +

−

− y

0 )

3 (

0 36 5

2

y y

5 3

x x

x x

Giải Phơng trình này không nhận x = 0 làm nghiệm nên ta chia cả hai vế của phơng

3 3 5

5 3

1

4

−

= +

−

+ + +

x

x x x

0 )

=

−

+

0 ) 53 )(

13 (

0 15 2

2

y y

+ +

nx d

bx ax mx

2 2

2

= + +

+ + + + +

+ +

c qx ax

c px ax c nx ax

c mx ax

2

= + +

+ + +

+ +

c qx ax

px c

nx ax

c mx ax

2- Thêm cùng 1 biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phơng đúng:

Ví dụ 21: Giải phơng trình 12

) 2 (

4 2

Giải

Ta thêm -2.x.(x2+.x2) vào hai vế của phơng trình ta đợc:

) 2 (

4 12 )

2

2

(

2 2

x

2

4 ) 2

(

2 2

2

− +

+

x x

- Với y = -6 ta có phơng trình x2=-6x-12 phơng trình này vô nghiệm

3- Đặt hai ẩn phụ rồi tìm mối liên hệ giữa chúng:

Ví dụ 22: Giải phơng trình :

) 1 ( 0 ) 1

4 ( 48 ) 1

2 ( 5

x x

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là: x1= 3; x2=32

Cách khác từ (2) ta có: 20y2-5z2 +48yz =0 (2) ⇔ (10y-z)(2y+5z)=0 giải phơng trình ta có z=10y hoặc 2y=-5z

Từ đó ta cũng có các nghiệm x1= 3; x2=32

Ví dụ 23: Giải phơng trình 4 0

5

3 5 2

2

= +

− + +

− +

x x

x x

x x

6 5

3

2 5

3

1

2 2

2 − x+ + x − x+ = x − x+

4

1 5 6

5 5 5

4

5 3

2

2 2

2

−

= +

−

+

−

− +

−

+

−

x x

x x x

x

x x

c)

9

40 2

1

4 2

5 1

2 1

2

2

2 2

+

x

x x

x x

4

=

+ +

x x

x

1.4 Phơng trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

a) Khái niệm: Phơng trình chứa có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối có dạng:

) (

+ Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa trong dấu giá trị tuyết đối, giải phơng trình trong từng khoảng.

+ Dùng điều kiện dấu "=" xẩy ra của bất đẳng thức không chặt

0 )

(

x g x f

0 )

(

x g x f

x f

Cách 3:

+ Với điều kiện g(x) ≥ 0 ta có: f(x)= ± g(x)

Ví dụ 24: Giải phơng trình: x− 2 =x+ 2 (A)

(

0 2

x x

= +

−

≥

4 4 4

02

01

x x x

+ Phơng pháp dùng điều kiện dấu "=" ở bất đẳng thức không chặt

c) Một số chú ý: Khi giải phơng trình vô tỷ cần tránh các sai lầm sau

+ Sai lầm thứ nhất là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của các căn thức.+ Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để bién đổi tơng đơng

d) Một số dạng phơng trình thờng gặp.

Dạng 1: f (x) =g(x) (1)

( [ ) (

)' 1(

0 )

(

2

x g x f

x

g

Giải phơng trình (1'') đối chiếu nghiệm với

(1') chọn nghiệm thích hợp là nghiệm của (1)

≥

−

2

)1 ( 1

0 1

x x

1

2 x x

1

x x

0 )(

0 )(

x g

- Với điều kiện (*) hai vế của phơng trình không âm nên ta bình phơng hai