Hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn : Ấn MODE MODE 1 3 để vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn... Máy hỏi X?. máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò nghiệm ấn 1 = SHIFT S
Trang 1Chuyên đề 7 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1) Hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn :
Ấn MODE MODE 1 3 để vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
Ta luôn luôn đưa hệ phương trình về dạng
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
rồi mới nhập hệ số lần lượt vào máy
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
y z
+ − + =
− + + =
Ta đưa về dạng :
y z
+ − = −
− + = −
rồi nhập hệ số
Giải :
Gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn như sau
Ấn MODE MODE 1 (EQN) 3
Ấn tiếp 1 = (−) 4 = 5 = 9 =
2 = 5 = (−) 3 = (−) 7 =
0 = (−) 2 = 6 = (−) 9 = Kết quả : x = 4.5192 ấn tiếp SHIFT a b c/
Kết quả
235 252
x=
, ấn = y = −5.1346 ấn tiếp SHIFT a b c/ Kết quả
267 52
y=−
ấn = z = − 3.215 ấn tiếp SHIFT a b c/ Kết quả
167 452
z=−
Để thoát khỏi chương trình giải hệ phương trình , ta ấn
SHIFT MODE 2 = =
Bài tập thực hành
Bài 1 :
Giải các hệ phương trình sau
a)
1
2
3
2
x y z
x y z
190 59 13 59 42 59
x y z
=
−
=
−
=
Trang 2
− − = − −
− = +
ĐS :
65 12 23 24 13 3
x y z
=
=
=
c)
1
3 3
5 3
5
x z
x y z
ĐS :
4.0551 2.5224 2.4978
x y z
= −
= −
= −
Bài 2 : Văn phòng bán vé xem vòng loại bóng đá World Cup có bán ba loại vé
hạng 1 , hạng 2 và hạng 3
Ngày thứ nhất bán được 1500 vé hạng 1 , 1890 vé hạng 2 , 2010 vé hạng
3 , tương ứng với số tiền bán được là 259200 bảng Anh
Ngày thứ hai bán được 1350 vé hạng 1 , 1983 vé hạng 2 , 2115 vé hạng 3 , tương ứng với số tiền bán được là 256440 bảng Anh
Ngày thứ hai bán được 1023 vé hạng 1 , 995 vé hạng 2 , 1879 vé hạng 3 , tương ứng với số tiền bán được là 173310 bảng Anh
Hỏi giá bán mỗi loại vé là bao nhiêu ?
ĐS : Hạng 1 : 70 bảng Anh / vé
Hạng 2 : 55 bảng Anh / vé Hạng 3 : 25 bảng Anh / vé
2).Phương trình có chứa căn bậc hai :
Một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai cũng có thể tìm được nghiệm (gần đúng ) bằng lệnh SOLVE
Ví dụ 1 : Giải phương trình 2x− 3 =x− 3
Ấn ( 2 ALPHA X − 3 ) − ALPHA X + 3
ấn tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi X ? ấn 2 = SHIFT SOLVE
Kết quả X = 6
Ví dụ 2 : Giải phương trình 2x2+ − = +3x 2 x 2
Ấn ( 2 ALPHA X x2 + 3 ALPHA X − 2 ) − ALPHA X + 2 , ấn tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi X ? ấn 1 = SHIFT SOLVE Kết quả X = 3
Ấn tiếp = Máy hỏi X ? ấn (−) 2 SHIFT SOLVE
Kết quả X = − 2
Trang 3Bài tập thực hành
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
b x+ = x− ĐS :
13 4
x=
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
2
a x − − = − +x x ĐS : x = 2.57143
2
b x − + = − +x x ĐS :
1 4
x= −
2
3) Phương trình bậc 3 :
Ví dụ 1 : Giải phương trình bậc 3 sau
2x3 + −x2 8x− = 4 0
Gọi chương trình giải phương trình bậc 3
Ấn MODE ba lần 1 (EQN) „ 3
Máy hỏi a ? ấn 2 = Máy hỏi b ? ấn 1 = Máy hỏi c ? ấn (−) 8 = Máy hỏi d ? ấn (−) 4 =
Kết quả:
1 2 3
2 2 0.5
x x x
=
= −
= −
Nếu ấn tiếp b c/
a thì 3
1 2
x = −
Ví dụ 2 : Giải phương trình bậc 3 sau
3 2 3 15
2 2
x − x + x− = Làm tương tự như trên , ta thấy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm thực là
x = 3.5355 ( hai nghiệm còn lại đều là số ảo ( có chữ i ), không nhận )
• Để thoát khỏi chương trình giải phương trình bậc 3, ta ấn
MODE 1
Ví dụ 3 : Giải phương trình bậc 3 sau
0 49 35
13 2
3 + x + x− =
x
Nhập vào các hệ số là a = 1 , b = 13 , c = 35 , d = ─ 49
Máy Casio fx -500MS và fx-570MS cho nghiệm : x1 = 1 , x2 = − 7( nghiệm kép )
Trang 4Bài tập thực hành
Giải các phương trình bậc 3 sau (chỉ tìm các nghiệm thực)
a) x3 + −x2 3x+ = 3 0 ĐS :
1 2 3
1.7320 1.7320 1
x x x
=
= −
= −
b)
x + −x x− =
ĐS :
1 2 3
0.7071 0.7071 0.5773
x x x
=
= −
= −
c) 3x 3 + 2x2 − + =x 14 0 ĐS : x = − 2
d)
3 15 2 27
x − x + x− =
ĐS :
1 2,3
1.5 3
x x
=
4) Phương trình trùng phương :
Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn dạng :
ax +bx + =c ( a≠ 0)
Ví dụ : 4 2
x − x + = (1)
Đặt 2
t =x > 0 :(1) • 2
t − t+ =
Vào chương trình giải phương trình bậc 2 :
Nhập a = 1 , b = −11, c = 28
Ta được hai nghiệm : t1 =7,t2 =4
Với t = 7
7 7
x x
=
⇒
= −
Với t = 4
2 2
x x
=
⇒ = −
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
Bài tập thực hành
Giải các phương trình sau :
a x − x + = ĐS : x = 2 ; x= −2 ;x = 6 ; x = −6
4 64 2 162
b x − x − =
ĐS :
9 7
x=
;
9 7
x= −
5).Hệ phương trình bậc 2 hai ẩn :
Máy không có chương trình để giải hệ phương trình này nhưng nếu đưa về một
ẩn được thì cũng có thể tìm nghiệm
Ví dụ : Giải hệ phương trình
2 3 2 2 3 16 0
x y
Trang 5Giải :
Từ phương trình thứ hai tính y theo x : y = 2x− 6 , thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn , ta được :7x2 − 50x+ 86 0 =
Ấn MODE ba lần 1 „ 2 ( để giải phương trình bậc 2 )
Nhập 7 = (−) 50 = 86 = Kết quả x1=4.2565
ấn tiếp = Kết quả x2 =2.8863
Ta được hai nghiệm : x1=4.2565,x2 =2.8863
Bài tập thực hành
Giải các hệ phương trình sau :
2 2
)
7
a
x y xy
3.1172 0.9430
x y
= −
= −
0.9430 3.1172
x y
= −
= −
2 2
2 2
)
x y xy
b
x y x y xy
0.7260 1.4014
x y
=
= −
1.4014 0.7260
x y
= −
=
1.1384
1.0513
x
y
=
= −
1.0513 1.1384
x y
= −
=
6.Giải phương trình bậc lớn hơn ba :
Máy Casio fx –570MS còn có chức năng giải phương trình bậc lớn hơn ba một ẩn để tìm nghiệm gần đúng bằng cách dùng lệnh SHIFT SOLVE (Phương trình bậc 2 hoặc 3 một ẩn như đã trình bày ở phần trên thì ta nên giải bằng cách ấn MODE ba lần 1 „ 2 hoặc 3 )
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
x − x + x − x+ =
Ấn ALPHA X ^ 4 − 3 ALPHA X ^ 3 + 2 ALPHA X x2 − 5 ALPHA X + 8 Ấn tiếp SHIFT SOLVE Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính toán giây lát ) Kết quả : x = 1.48917
Ta tìm thêm có nghiệm thực nào nữa hay không ?
Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE Máy hỏi X? ấn 3 = SHIFT
SOLVE ( đợi máy tính toán giây lát )
Kết quả : x = 2.48289
Ta có thể cho giá trị ban đầu lớn hơn hoặc nhỏ hơn nghiệm vừa tìm được để dò nghiệm ( đối với phương trình này có thể cho giá trị ban đầu là 100 hoặc −100 , các phương trình khác nếu cho giá trị ban đầu là số lớn thì máy tính sẽ lâu hơn hoặc sẽ báo ngoài khả năng tính toán)
Kết luận :ta tìm được 2 hai nghiệm thực như trên ,về mặt lý thuyết phương trình có thể có tối đa là 4 nghiệm thực phân biệt Tuy nhiên với 2 nghiệm vừa tìm được
ta có thể dùng Hoocne đưa phương trình trên về dạng tích rồi kiểm tra xem có thêm nghiệm thực nào nữa hay không Vì đã kiểm tra bằng Hoocne nên ta kết
Trang 6Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
x − 2x + +x 5x + − =x 12 0
Ấn ALPHA X ^ 9 − 2 ALPHA X ^ 7 + ALPHA X ^ 4 + 5 ALPHA X ^ 3 − 12 Ấn tiếp SHIFT SOLVE Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính toán giây lát ) Kết quả : x = 1.26857
Ta tìm thêm có nghiệm thực nào nữa hay không ?
Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE Máy hỏi X? ấn 10 = SHIFT SOLVE (đợi máy tính toán giây lát )
Kết quả : x = 1.26857
Đối với bài trên do bậc cao nên chỉ dò nghiệm bằng cách cho giá trị ban đầu khác nhau Ta cũng không biết phương trình có còn thêm nghiệm thực nào nữa hay không
Ta chỉ có thể kiểm tra bằng chương trình Maple hoặc Mathematica trên máy vi tính Tuy nhiên với máy tính bỏ túi fx-570MS có thể tìm ra hầu hết nghiệm thực nếu ta biết chọn giá trị ban đầu phù hợp
Ví dụ 3 : Giải phương trình sau :
60 20 12 9
x +x −x + 8x + 4x− = 15 0 Giải tương tự như trên , ta tìm được hai nghiệm là x = 1.011458 ,
x = − 1.05918
Bài tập thực hành
Giải các phương trình sau :
4 3 2
a)-5x + +x 5x +8x− =3 0 ĐS :x= 0.31517,x=1.45182
b)x −4x + −2x +8x − + =3x 4 0 ĐS :x=1.10352,x=1.65157
70 45 20 12
c)x −x +5x −10x +4x−25 0= ĐS : x =−1.04758 , x= 1.05221
BÀI TẬP
1
=
+
= + +
+
9,
0
y
x
1 )3, 0 y(
)2,
0
; 2
−=
=
+
8 y x
7 y
x
3 3
3 3
; 3.
= +
=
+
−
−
−
−
13 y x
5 y
x
2 2
1 1
4
=
+
=
+
5
y
x
6
13
x
y
y
x
; 5
=
−
=
−
7 y x
1 y
x
3
3 ; 6
=
−
−
= +
−
−
0 5 x y
x
1 1 y
1 1 y 1 2
Trang 77
=
−
−=
−
28 xy
x
12 xy
y
2
2
; 8
= +
= + +
20 y
x )y x(
9 y
x y x
= + +
=
+
5 y x xy
6 xy y
x2 2
10.
=
−
=
+
4 y x
y
x
12 y x
y
x
2 3
3
2
2 3
3
2
( x 2) 6
16 2
x
+
−
5
3 x 2 x
+
3 x x 5
3 x 3 x x 5 x
− +
−
−
− +
−
−
− +
−
−
−
1 x
1 x 1
x
1
x
3
3 2
3 2
3 4
= +
−
−
−
−
