On thi lop 10 toan rat hay.doc

Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK: - Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm.. Định nghĩa: Khi nói Ax = Bx là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía

Biến đổi đồng nhất

A Kiến thức cần nhớ:

I Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK:

- Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm

- Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0

(Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện)

- Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểuthức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu cóthể) rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng

- Lập luận tìm gía trị nguyên của biến để phân thức kèm theo có gía trị nguyên

V Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến:

Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến

VI Chứng minh đẳng thức:

- Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản

- Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức

- Biến đổi tơng đơng

B Bài tập

b) Chøng minh víi n ∈ Z th× A chia hÕt cho 120.

3 Cho a - b = 5 TÝnh M = b(b + 3) + a(a - 3) - 2ab

9 Cách 1: Trục các căn thức ở các mẫu của các biểu thức dới dấu căn.

Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức dới căn với 2 rồi sử dụng qui tắc khaiphơng một thơng ĐS: A = 4

10 Nhân cả tử và mẫu mỗi phân thức với ta có A = B ( =)

11 Nhân từ phải qua trái ta có A = 1.

12 Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta đợc A = - 2007− 2

13 Đặt x = a ta có A = 2(a 1)(a 2)(a 3) 2(a 1)(a 2)(a 3)−− −− −− =1

*************************

Phơng trình

A Kiến thức cần nhớ

I Ph ơng trình một ẩn.

1 Định nghĩa:

Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của x để gía trịcủa hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau x là ẩn, gía trị tìm đợc của x là nghiệm củaphơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình

2 Tập nghiệm của phơng trình:

Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình

3 Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó

4 Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô sốnghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm)

II Ph ơng trình ax + b = 0

1 Phơng trình bậc nhất một ẩn số

a Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0.Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0

b Số nghiệm của phơng trình bậc nhất một ẩn số: Một phơng trình bậc nhất một ẩn

số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = -

2 Cách giải phơng trình ax + b = 0.

+ Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình nghiệm dúng với mọi x

+ Nếu a = 0; b ≠ 0 thì phơng trình vô nghiệm

+ Nếu a ≠ 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x = -

III Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn.

1 Định nghĩa:

Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là ẩn,

a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0

2 Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

- Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơngtrình

- Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệmcủa phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là

đờng thẳng ax + by = c

+ Nếu a = 0; b ≠ 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành

+ Nếu a ≠ 0; b = 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung

+ Nếu a ≠ 0; b ≠ 0 thì đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ

IV Ph ơng trình bậc hai một ẩn.

1 Định nghĩa:

Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a; b; c làcác số đã cho, a ≠ 0

2 Cách giải phơng trình bậc hai một ẩn.

- Đối với phơng trình bậc hai khuyết b hoặc c ta thờng đa về phơng trình tíchhoặc sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế

- Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ:

Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; -

Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cóhai nghiệm x1; x2 thì

x1 + x2 = - ; x1 x2 = Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn: ∆' = b'2 - ac

x1; 2 = 2 4

2

b b ac a

VI Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.

Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩnvới khoảng đang xét)

Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT.

IX Ph ơng trình nghiệm nguyên.

Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên,

- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn (Chú ý về quan hệ giữa các đại ợng trong bài toán)

l Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình

- Trờng hợp a ≠ 0

Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm

Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆' < 0 hoặc ∆ < 0

Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi ∆' = 0 hoặc ∆ = 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' = 0 hoặc ∆ = 0

XII Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0.

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ∆' < 0 hoặc ∆

< 0

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

P < 0

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi ∆'

> 0 hoặc ∆ > 0 và P > 0 Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0;

2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi ∆'

= 0 hoặc ∆ = 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi ∆' = 0 hoặc

∆ = 0 và - < 0

XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.

Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Biểu diễn biểu thức chứa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét.Cách 2: Giải phơng trình, tìm x1; x2 rồi tính

XIV.Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Biểu diễn biểu thức chứa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét,tính gía trị của biểu thức theo tham số

+ Chứng minh biểu thức chứa x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoảmãn điều kiện cho trớc

XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số

XVI Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào tham số.

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x1+ x2; x1 x2 qua tham số

+ Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế

XVII Lập ph ơng trình bậc hai.

- Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 là (x - x1)(x - x2) Sau đó, đa về dạngchính tắc.

- Nếu x1+ x2 = S; x1 x2 = P thì x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai

x2 - Sx + P = 0

B Bài tập

I Dạng 1: Các bài toán về số nghiệm của phơng trình

B i toán 1 à : Chứng minh phơng trình x(x - m) + x(x - n) + (x - m)(x - n) = 0 (1) luôn

có nghiệm với mọi m, n

B i toán 2 à : Chứng minh phơng trình 2x2 - 3(m + n)x - m2 - 1 = 0 (1) luôn có nghiệmvới mọi m, n

B i toán à 3 Với gía trị nào của a thì các phơng trình sau có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt:

B i to¸n à 4: Kh«ng tÝnh ∆, chøng minh mçi ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

B i to¸n 1 à c: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh:

b) Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất

B i toán 7 à : Giải phơng trình x2 - (4a - 1)x - 3a2 - a - 2 = 0 (1)

B i toán 8 à : Tìm m để phơng trình x2 -3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoảmãn x1 < 2 < x2

b) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gÝa trÞ cña m.

B i to¸n 37 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x2 + 2x + 4)(y2 - 2y + 3) = - z2 + 4z + 2 (1)

B i to¸n 38 à : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2 - y2 + 2y = 1994 (1)

B i toán 47 à : (Thi vào 10 Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1995- 1996)

B i toán 55 à : (2a - Đề 40 - tuyển tập đề thi môn toán THCS)

B i toán 61 à (Thi vào 10 chuyên toán tin, ĐHSP Hà Nội 2002):

* Chứng minh số x0 = 2+ 2+ 3 − 6 3 2− + 3 là nghiệm của phơng trình

Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian nhất định Saukhi đi đợc 1 giờ, ô tô phải dừng lại 10 phút Vì vậy, để đi đến B đúng giờ thì ô tô phảităng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc dự định của ô tô.

B i toán 64 à (Thi vào 10 Bắc Giang 2003- 2004):

Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 24 km Cùng lúc đó , cũng từ A

về B, một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay

và gặp bè nứa tại điểm C cách A 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

B i toán 65 à : Để làm một chiếc hộp không nắp, ngời ta cắt đi 4 hình vuông bằngnhau ở 4 góc của một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 12 cm, và chiều rộng

10 cm Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu biết rằng tổng diện tích 4hình vuông đó bằng diện tích đáy hộp

III Dạng 3: Hệ thức Vi ét

B i toán 1 à : Cho x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình x2 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0.Chứng minh biểu thức M = x1(1 - x2) + x2 (1 - x1) không phụ thuộc vào m

B i toán 2 à : Cho x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0

Tính theo a; b; c gía trị của các biểu thức

b) Có 2 nghiệm trái dấu

B i toán 6 à : Tìm a để phơng trình (a - 1)x2 +2ax + a + 1 = 0 có 2 nghiệm cùng âm

B i toán 7 à : Tìm k để phơng trình k2x2 - (k + 1)x - 5 = 0

a) Có 2 nghiệm cùng dấu

b) Có 2 nghiệm trái dấu

B i toán 8a à (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 2004- 2005):

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 (1)

B i toán 10 à : Cho phơng trình x2 + ax + 1 = 0 Tìm gía trị của a để phơng trình cóhai nghiệm x1; x2 thoả mãn

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớnnhất của S = x1+ x2

B i toán 13 à : Giả sử x1; x2 là nghiệm của phơng trình x2 + 2mx + 4 = 0

b) TÝnh x1 + x23

B i to¸n 2 à : a) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1 = 2 + ; x2 = 2 -

b) TÝnh x13+ x23

C Híng dÉn

I D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

B i to¸n 1 à : '∆ = (m - )2+ ≥ 0 víi mäi m

B i to¸n 2 à : a vµ c tr¸i dÊu

B i to¸n à 3 a) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m ≤

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m >

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi m =

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi m <

b) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m + m2 ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m + m2 > 0 ⇔ m < - 1 hoÆc m > 0

Ph¬ng tr×nh cã hai nhiÖm ph©n biÖt khi m + m2< 0 ⇔ - 1 < m < 0.

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi m = 0 hoÆc m = - 1

c) ∆ = m2 + 960 > 0 víi mäi m nªn víi mäi m th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt

d) Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m = 0 hoÆc m ≠ 0 vµ ∆ < 0 ⇔ m ∈ R.

e) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m ≥

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m <

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi m =

Ph¬ng tr×nh cã hai nhiÖm ph©n biÖt khi m >

b) x2 + ax + a - 1 = 0 cã 1 nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh

x2 + ax + a - 1 = 0 cã ∆ = 0 vµ 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña nã hoÆc ∆ > 0 vµ 1 lµnghiÖm cña nã ⇔ a = 0 hoÆc a = 2.

B i to¸n 6 à : §Æt x2 + 3x = y ta cã y = ± m

Ph¬ng tr×nh (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - 1 cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh

x2 + 3x - m = 0 hoÆc ph¬ng tr×nh x2 + 3x + m = 0 cã nghiÖm ⇔ m ≤ 2,25 hoÆc m ≥

-2,25 ⇔ m ∈ R

VËy víi mäi m th× ph¬ng tr×nh (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - 1 cã nghiÖm

II D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

B i toán 1a à : a) áp dụng công thức nghiệm x1 = 3; x2 = 2

b) áp dụng công thức nghiệm x1 = 3; x2 = 1

c) áp dụng công thức nghiệm x1 = - 1; x2 = 5

d) x2 + 9 = 0 Phơng trình vô nghiệm

e) x = ± 5

B i toán 1b: à a) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 và y = 6 - x

b) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số y = 0,5x2 và y = 2x + 6

B i toán 1 à c: a) ∆ = 10m2 + 6m + 1 > 0 với mọi m

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1; 2 = 1 + 3m ±

b) - Nếu m = 0 thì x = -

- Nếu m ≠ 0 thì ∆ = 9 + 8m2 > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1; 2 = c) - Nếu m = 0 thì x = 0

- Nếu m ≠ 0 thì ∆ = 3m2 + 2m + 1 > 0 với mọi m

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

B i toán 2 à : (1) ⇔ x = - 1; x = - 2

Hai phơng trình x2 + 3x + 2 = 0 và x2 - 3x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung khi

và chỉ khi x = - 1 hoặc x = - 2 là nghiệm của phơng trình (2)

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = { 4a 1

2

− ± ∆ }

B i toán 8 à : a - b + c = 0 nên phơng trình có hai nghiệm - 1; m + 4

Để phơng trình x2 -3(m + 1)x - m - 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 < 2 < x2

thì m + 4 > 2 ⇔m > - 2.

B i toán 9 à :

a) - Nếu m = 0,5 thì (1) có nghiệm x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)

- Nếu m ≠ 0,5 thì (1) là phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 với mọi m

⇒ phơng trình có 2 nghiệm là 1 và

Ta thấy x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)

Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi

2

2

1

1 12m 1

(thoả mãn điều kiện 1 < x < 4)

Vậy, gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của phơng trình

x 1 3 x 4− + − =7 là x = 2

B i toán 14 à Xét khoảng

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; 0; 2}

B i toán 15 à : (1) ⇔ x 3 (1 x 3 ) 0− − − =

B i to¸n 21 à : y2 - 2y + 3 = (y - 1)2 + 2 ≥ 2 víi mäi y

DÊu ''=" x¶y ra khi vµ chØ khi y = 1

- NÕu m < th× ∆> 0; P < 0 ⇒ (2) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ⇒ (2) cã 2 nghiÖm.

- NÕu m = th× ∆> 0; P = 0; S > 0 ⇒ (2) cã 1 nghiÖm lµ 0; 1 nghiÖm d¬ng

⇒ (2) cã 3 nghiÖm.

- NÕu <m < 4 th× ∆> 0; P > 0; S > 0 ⇒ (2) cã hai nghiÖm d¬ng

⇒ (2) cã 4 nghiÖm.

- NÕu m = 4 th× ∆= 0; S > 0 ⇒ (2) cã 1 nghiÖm d¬ng ⇒ (2) cã 2 nghiÖm.

- NÕu 4 <m < 8 th× ∆< 0⇒ (2) v« nghiÖm ⇒ (2) v« nghiÖm.

- NÕu m = 8 th× ∆= 0; S > 0 ⇒ (2) cã 1 nghiÖm d¬ng ⇒ (2) cã 2 nghiÖm

- NÕu 8 < m th× ∆> 0; P > 0; S > 0 ⇒ (2) cã hai nghiÖm d¬ng

V× (3) lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 cã ac < 0 nªn (3) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m

⇒ ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gÝa trÞ cña m.

B i to¸n 25 à : (1) ⇔ (x + 1)( 2x2 - 3x + 6) = 0

B i toán 35 à : Chia cả hai vế cho x2 ≠ 0 và đặt x + 1

x = t Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 1;2 3

B i toán 36 à : Cách 1: Chia cả hai vế cho x2 ≠ 0 và đặt x + 2

x = t Cách 2: Nhân cả 2 vế với x ≠ 0 ta có (x - 1)5 - (x - 1) = 0

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {2; 1}

B i toán 37 à : (1) ⇔(x2 + 2x + 4)(y2 - 2y + 3) ≥ 6 với mọi x; y

Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi

−

⇔

0 1

) 1 ( 2

2

x

x x

dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = - 1.

4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 ≤ 5 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = - 1

6x - x2 - 5 = 4 - (x - 3)2 ≤ 4 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 3

Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {3}

B i toán 64: à Thời gian bè nứa trôi từ A đến C là 8 : 4 = 2 (h)

a) Phơng trình x2 - 3x + a - 1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

Kết hợp với điều kiện ta đợc m = 1 là giá trị cần tìm

B i toán 9 à : Phơng trình (1) có hai nghiệm x1; x2 nên

x1+ x2 = 2(m + 2)

x1 x2 = m + 1

Do đó, x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2 ⇔ x1+ x2 - 4 x1 x2 = m2

⇔ 2(m + 2) - 4(m + 1) = m2 ⇔m= 0 hoặc m = - 2 (thoả mãn điều kiện để phơng

∆ = + + > 0 với mọi a nên phơng trình luôn có hai nghiệm x1; x2

Khi đó x12+ x22 = (x1+ x2 )2 - 2 x1 x2 = (2a - 1)2 + 2 (4a + 3) = 4a2 + 4a + 7

= (2a + 1)2 + 6 ≥ 6 với mọi a

tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình x2 −(2a 1 x 4a 3− ) − − = 0

có gía trị nhỏ nhất là 6 khi và chỉ khi a = -

B i toán 12 à : a) a; c trái dấu

hay miền gía trị của y là - ≤ y ≤ 1

⇒ ≤ S ≤ 2

Gía trị nhỏ nhất của S là ; gía trị lớn nhất của S là 2

B i toán 13 à : Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi '∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 (1)

Ph¬ng tr×nh 2x - m 2x 1− + 2m - 4 = 0 (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

khi vµ chØ khi (2) cã hai nghiÖm kh«ng ©m ⇔ ∆> 0; P ≥ 0; S > 0 ⇔ m > 6 hoÆc 1,5

**************************

Hệ phơng trình

A kiến thức cần nhớ

I Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn.

1 Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c' Khi đó ta có hệ haiphơng trình bậc nhất hai ẩn (I) 



ax + by = ca'x + b'y = c'.

2 Định nghĩa nghiệm của hệ phơng trình.

Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đợc gọi là một nghiệmcủa hệ phơng trình (I) Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ ph-

ơng trình (I) vô nghiệm

3 Định nghĩa về giải hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó

4 Minh hoạ tập nghiệm của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi (d) là đờng thẳng ax + by = c và (d') là đờng thẳng a'x+ b'y = c' thì điểm chung (nếu có) của hai đờng thẳng ấy có toạ độ là nghiệm chungcủa hai phơng trình của (I) Vậy, tập nghiệm của hệ phơng trình (I) đợc biểu diễn bởitập hợp các điểm chung của (d) và (d')

5 Số nghiệm của hệ phơng trình (I).

- Nếu (d) cắt (d') thì hệ phơng trình (I) có một nghiệm duy nhất

- Nếu (d) // (d') thì hệ phơng trình (I) vô nghiệm

- Nếu (d) ≡ (d') thì hệ phơng trình (I) có vô số nghiệm.

Chú ý: Có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn (I) bằng cáchxét vị trí tơng đối của (d) và (d')

1) Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các

hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một

+ Lập hệ phơng trình.

- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn.(Có thể chọn bất kì 1 sốliệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơngiản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn)

- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn (Chú ý về quan hệ giữa các đại ợng trong bài toán)

l Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để hệ lập phơng trình

III Giải hệ ph ơng trình gồm hai ph ơng trình bậc hai hai ẩn.

Cách 1: Đặt x + y = S; xy = P (nếu là hệ phơng trình đối xứng kiểu 1)

Cách 2: Tìm cách khử hạng tử bậc hai, sau đó dùng phơng pháp thế

Cách 3: Đa về tuyển các hệ phơng trình dơn giản hơn

Cách 4: Sử dụng tính chất bất đẳng thức

Cách 5: Sử dụng phơng trình bậc hai (coi một phơng trình nh phơng trình bậc hai mộtẩn)

3 3 4x - y x + = 1

x + 2y - z = 6 (I)

B i toán 3 à : Tìm m sao cho hệ phơng trình:

( ) ( ) ( )

b) Có nghiệm duy nhất.

B i toán 6 à : Tìm m sao cho hệ phơng trình: 



mx + y = 34x + my = -1 (I) a) Vô nghiệm

b) Có nghiệm duy nhất

B i toán 7 à : (Ví dụ 31- phơng pháp giải toán 9 tập 2)

Cho hệ phơng trình: 



x + y = 2

mx - y = m (I) Tìm gía trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm nguyên duy nhất

B i toán 8 à :

Tìm a; b sao cho đa thức x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức x2 + x + 1

B i toán 9 à : Tìm a; b sao cho đa thức ax3 + (a + b)x2 + (2 + b)x + 2

chia hết cho đa thức x2 + x - 2

B i toán 10 à : Tìm a; b sao cho đa thức x2 + (2a - 5)x - 3b có hai nghiệm là - 2; - 3

Dạng 2 Giải hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai hai ẩn.

B i toán 11 à : Giải hệ phơng trình: 



 2 = 0

x - 2y + 2 = 02y - x (I)

Dạng 3 Giải hệ phơng trình gồm hai phơng trình bậc hai hai ẩn.

B i toán 13a à : Giải hệ phơng trình:

B i toán 14 à : Giải hệ phơng trình: ( ) ( )

( y2)



 +

x y 2 1

xy

x + y + = + xy (I)

B i toán 21 à : (Thi vào 10 chung ĐHQG Hà Nội 1998)

B i toán 22 à : (Thi vào 10 chuyên tin vòng 2 Lam Sơn 1995- 1996)

Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, diện tích 30cm2

**********************************