kiến thức cần nắm vững 1.. Loại III: Chứng minh đẳng thức 4.. Loại IV: Chứng minh bất đẳng thức 5.
Trang 1Chuyên đề 4 : căn bậc hai
A kiến thức cần nắm vững
1 Định nghĩa CBHSH:
2
0
x
≥
2. A tồn tại ( xác định, có nghĩa) khi A ≥ 0
Chú ý: A≥ 0 với mọi A ≥ 0
0
A khi A
A khi A
≥
4 A B = A B. ( ĐK: A ≥ 0; B ≥ 0 )
B = B ( ĐK: A ≥ 0; B > 0 )
6. 2
.
A B = A B (ĐK: B ≥ 0 )
B = B = B (ĐK: AB ≥ 0; B ≠ 0 )
8 A A B
B
B = (ĐK: B > 0 )
A B
A B =
−
± m (ĐK: A ≥ 0; B ≥ 0 ; A≠B)
B Một số dạng bài tập 1/ Loại I: Tìm TXĐ của biểu thức
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) −2x+3 b)
2
2
x c)
3
4
+
x d)
6
5
2 +
−
x
2 Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
a) (x− 1 )(x− 3 ) b) x2 −4 c)
3
2
+
−
x
x d)
x
x
−
+
5 2
e) x2 −4+2 x−2 f) 3 x+3+ x2 −9
g) x+ x+1 h) x+4+ x−1
2/ Loại II: Thực hiện phép tính
1
3 Loại III: Chứng minh đẳng thức
4 Loại IV: Chứng minh bất đẳng thức
5 Loại V: Bài toán rút gọn tổng hợp
x x
x x
x
A
−
+
+
−
−
+
+
−
=
1
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
1
Rút gọn biểu thức A1 Tính giá trị của biểu thức A1 khi x=7+4 3
Bài 2: Cho biểu thức 1 2 2 2
) 2 ( ) 1 2 (
4 ) 1 (
+
− +
−
−
=
x x
x A
a) Hỏi rằng khi nào A2 xác định ? b) Rút gọn biểu thức A2
c) Tìm giá trị của x khi A2 = 5 d) Tìm giá trị của x để A2 > 0
+
+
−
−
−
+
−
−
−
+
=
1
1 1 1
2 : 1
1 1
1
2 3
x x
x x
x
x x
x A
a) Rút gọn biểu thức A3 b) Tính giá trị của A3 khi x = 3+ 8 d) Tìm giá trị của x khi A3 = 5
Bài 4: Cho biểu thức
2
2 : 1 1
+
+
+
−
−
−
=
a
a a a
a a a a
a a A
a) Với những giá trị nào của a thì A4 không xác định ? b) Rút gọn biểu thức A4
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị nguyên?
d) Tìm x để A4 > 1
Bài 5: Cho biểu thức
2
5 6
10 3
1
2
5 + + − − + −
+
=
x x x x
x A
a) Tìm điều kiện của x để A5 xác định ? b) Rút gọn biểu thức A5
c) Tìm giá trị của x để A5 > 0 d) Tìm giá trị nguyên của x để A5 có giá trị nguyên
Trang 2Bài 6: Cho biểu thức
x x
x x x
x B
−
−
−
−
1
1
a) Rút gọn biểu thức B1
b) Tính giá trị của biểu thức B1 khi x=3+ 8
c) Hỏi rằng với giá trị nào của x thì B1 > 0? B1 < 0? B1=0?
Bài 7: Cho biểu thức
6 2
3 6 2
3
2
+
−
−
−
+
=
a
a a
a B
a) Tìm điều kiện đối với a để B2 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B2
c) Hỏi rằng với giá trị nào của a thì B2 > 1? B2 < 1
d) Tìm các giá trị của a để B2 = 4
Bài 8: Cho biểu thức
−
− +
−
−
+ +
=
1
2 1
1 : 1
1
3
x x x x
x x
x
x B
a) Rút gọn biểu thức B3
b) Tính giá trị của biểu thức B3 khi x=4+2 3;x=19−8 3
c) Tìm giá trị của x sao cho B3 > 1? B3 > 3?
d) Tìm giá trị của x khi B3 = 7
Bài 9: Cho biểu thức = − − − + + − 1
2 1
1 :
1 1
4
x x
x x x
x B
a) Rút gọn biểu thức B4
b) Tính giá trị của biểu thức B4 khi x=3+2 2
c) Giải phơng trình B4 = 5
Bài 10: Cho biểu thức
1 1
1 1
5
−
− + +
−
+
−
−
=
x
x x x x
x x
B
a) Tìm điều kiện đối với x để B5 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B5
c) Tính giá trị của biểu thức B5 khi
7 2 9
53
−
=
x
d) Tìm giá trị của x khi B5 = 4? B5 = 16?
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của B5
f) Tìm các giá trị nguyên dơng của x để B5 có giá trị
nguyên
Bài 11: Cho biểu thức
−
+
−
+
− +
− +
−
1
4
4 2
2 2
2 3
2
a
a a
a a
a a
a a C
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C1 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C1 c) Tìm giá trị của a để C1 = 1 d) Khi nào C1 có giá trị dơng? giá trị âm?
+ +
− +
−
+ +
=
ab b
a
a a b
a
a a
b
a b a
a C
2
:
2
a) hỏi rằng khi nào thì biểu thức C2 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C2 c) Biết rằng khi
4
1
=
b
a thì C2 = 1 Hãy tìm các giá trị của
a và b
Bài 13: Cho biểu thức
a
a a
a a a
a a C
+
−
−
−
−
+ +
+
=
1
1 : 1 1
1 1
3
a) Rút gọn biểu thức C3 b) Tính giá trị của biểu thức C3 khi a=27+10 2
Bài 14: Cho biểu thức 4 33 22 22 33
b ab b a a
b ab b a a C
−
− +
+
−
−
=
a) Rút gọn biểu thức C4 b) Tính giá trị của biểu thức C4 khi a= 3;b= 2 c) Với giá trị nào của a và b thì C4 = 1
d) Tìm giá trị của tỉ số giữa a và b để sao cho
2
1
4 =
C
Bài 15: Cho biểu thức
x
x x
x x
x
1
1 1 : 1
1 3
5
+
−
−
−
− +
−
=
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C5 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C5 c) Tính giá trị của biểu thức C5 khi x= 6+ 20 d) Tìm các giá trị nguyên của x để C5 có giá trị nguyên
Trang 3Bài 16: Cho biểu thức
x x
x x
x B
−
+
− +
− +
+
=
2
1 6
5 3
2
2
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của biểu thức B biết
3 2
2
+
=
x
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
− +
+
+
−
− +
−
x
x x
x
x x
x x C
1
1 1
1 : 1
) 1
2
2 2
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị của biểu thức C khi x= 3+2 2
c) Tìm giá trị của x để 3C = 1
d) Tìm các số m thoả mãn: Có số x < 0 sao cho C = m
2
3 :
2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x D
−
−
+
−
−
−
−
−
+
=
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D khi |x -5| = 2
Bài 19: Cho biểu thức
4 9
) 1 )(
1 2 ( 1 4
2
2
−
− + +
−
=
x
x x x
E
a) Rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E > 0
Bài 20: Cho biểu thức
9 6
) 3 )(
2 4 ( 9
2
2
+
−
−
−
−
−
=
x x
x x x
F
a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số
nguyên
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
=
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
2
x x
x x
x
x x
x G
a) Rút gọn biểu thức G
b) Tính giá trị của biểu thức G khi x= 4+2 3
c) Tìm giá trị của x để G = -3
−
+
−
+
−
+
=
b
a b a
b a b
a b a
b a b
a
b a
2
2 2
2 2
a) Rút gọn biểu thức L b) Tính giá trị của biểu thức L khi = 2
b
a
+ +
− +
−
+ +
=
ab b
a
a b
a
a a
b
a b a
a M
2
3 2
2 2 2
a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị của biểu thức M khi a=1+ 2;b=1− 2 c) Tìm giá trị của a và b trong trờng hợp
2
1
=
b
a thì M = 1
Bài 24: Cho biểu thức
ab
b a a ab
b b
ab
a
−
+ +
=
a) Rút gọn biểu thức N b) Tính giá trị của biểu thức N khi
3 2 4
; 3 2
4 + = −
a
c) CMR: nếu
5
1
+
+
=
b
a b
a thì N có giá trị không đổi
Bài 25: Cho biểu thức
) 3 ( ) 1 (
) 3 2 ( 4 ) 1 )(
3 2 (
2
2
− +
−
−
−
−
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 3+2 2 c) Tìm giá trị của x để P > 1
+
−
−
−
+ +
−
−
−
=
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x
x Q
a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x=6+2 5 c) Tìm x khi
5
6
=
Q
Trang 4Bài 27: Cho biểu thức
6 3 2
6 6
3 2
3 2
+ + +
−
−
−
− +
+
=
b a ab
ab b
a ab
b a
R
a) Rút gọn biểu thức R
b) Cho
10
10
−
+
=
b
b
10
9
=
b a
c) CMR nếu
81
81
−
+
=
b
b
R thì khi đó
b
a là một số nguyên chia hết cho 3
−
−
−
− +
−
=
1
1 1 : 1
1 3
x
x x
x S
a) Rút gọn biểu thức S
b) Tìm giá trị của x để S > 5
c) Tính giá trị của biểu thức S khi 12+ 140
Bài 29: Cho biểu thức
−
+
− + +
+ +
−
+
=
1
1 1
1 1
2 :
1
x
x x
x
x x
x
x T
a) Rút gọn biểu thức
b) CMR: T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x ≠ 1
Bài 30: Cho biểu thức
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
+
+
−
−
− +
− +
−
=
x
x x
x x
x
x U
a) Rút gọn biểu thức U
b) Tìm giá trị của x khi
2
1
=
U
c) Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tơng ứng của x
+
−
+ +
−
+ +
−
+
+
−
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn biểu thức V
b) Tìm x để V < 0
Bài 32: Cho biểu thức
1
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
+ +
+
−
−
+
+
−
=
x x
x x
x
Y
a) Rút gọn biểu thức Y
b) Tính giá trị của biểu thức Y khi x=1+ 2 c) Tìm giá trị của x để
2
3
=
Y
Bài 33: Cho biểu thức
2
1 2 1
2 1
+ +
+
−
−
−
x x
x x
x M
a) Xác định x để M tồn tại b) Rút gọn biểu thức M c) CMR: Nếu 0 < x < 1 thì M > 0 d) Tìm giá trị lớn nhất của M e) Tìm x thuộc Z để M là số nguyên
y x
xy y
x x
y
y x y x
y x Q
+
+
−
−
− +
−
−
a) Xác định x, y để Q tồn tại b) Rút gọn biểu thức Q
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q d) So sánh Q với 1
e) So sánh Q và Q
Bài 35: Cho biểu thức
2
1 :
1
1 1 1
−
+ + +
+
−
+
x x
x
x x
x
x P
a) Rút gọn biểu thức P b) CMR: P > 0 với mọi x≥ 0 ;x≠ 1
Bài 36: Cho biểu thức + +
−
−
−
−
−
+
=
1
2 1
: 1
1 1
1 2
2
2 3
2
x x
x x
x
x A
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A, biết
3 5
8
+
=
x
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên
− +
−
− +
−
=
x x
x x
x A
1
2 3 : 3 2
5 3 5 2
2
2
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 0
Trang 5c) Tìm x để 2
6
1
x
A
−
=
+
−
+
− +
+
−
−
+ + +
+
1 1
1 :
1 1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P nếu
3 1
1 3
; 3 2
+
−
=
−
a
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a+ b =4
Bài 39: Cho biểu thức
−
− +
−
−
+ +
−
+
=
x x
x x
x
x x
x
x x
2 2
1
1 1 : 1 2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
+
− +
−
+
−
+ +
+
−
+
=
1
1 1
1 :
1 1 1
1
x
x x
x x
x x
x x
x
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P, khi
2
3
2 −
=
x
c) So sánh P với
2 1
Bài 41: Cho biểu thức
x
x x
x x
x
x P
−
+
−
−
+
− +
−
−
=
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
+
+
−
−
+ +
+
−
−
−
=
1
2 1
3 1 1
1
a
a a
a a
a a
a
a a a
a
a
a
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với giá trị nào của a thì P= a+7 c) CMR: với mọi giá trị của a (thoả mãn điều kiện thích hợp) ta đều có P > 6
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
=
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
x
x x
x P
a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P, khi
2
3 4
7 −
=
x
c) Tìm giá trị của x để
2
1
=
P
− +
+
+ +
−
−
+
a
a a
a
a a
a P
1
1 1 1
1
3
a) Rút gọn biểu thức P b) Xét dấu của biểu thức P. 1−a
− +
+
+
−
− +
−
x
x x x
x
x x x
x x P
1
1 1
1 : 1
) 1 ( 2
a) Rút gọn biểu thức P b) Xác định các giá trị của x để: (x+1)P = x-1
+
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
=
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x P
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P < 0
−
−
−
−
+
−
−
+ +
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x P
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để
2
1
−
<
P
Trang 6c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 48: Cho biểu thức
y x
y x y x
y x y
x
x y P
−
+ +
−
+ +
+
−
=
2 2 2
2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x, y thoả mãn P > 1
−
− + +
+
−
−
+
− +
1
1 2 2
1 2
3 9
3
x x
x x
x x
x
x
x
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
c) Tìm giá trị của x để P= x
Bài 50: Cho biểu thức 1 1 . 2 2 1
x K
−
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định
b) Rút gọn biểu thức K
c) Tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
2 2
.
K
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có
giá trị nguyên?
Bài 52: Cho biểu thức 2 2( 1) 103 3
M
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
a) Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất
Bài 53: Cho biểu thức A =
a
a a
a a a
a a
−
+
− +
+ +
− +
+
4
2 2
4 2
8
) 1 2 (
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên (dùng PP BĐT)
Bài 54: Cho biểu thức:
2 10 2 1
Q
− − − − Với x ≥ 0 và x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị của x để 1
3
Q=
Bài 55: Cho biểu thức
1
P
a
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để 1 1 1
8
a P
+