VAN DUNG CAO OXYZ

Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian ❖ Véc tơ trong không gian ❖ Véc tơ đồng phẳng ❖ Tọa độ của véc tơ ❖ Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng ❖ Một số kiến thức khác ❖ Bài tập

CHƯƠNG 06

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

………

Chủ đề 1 Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian

❖ Véc tơ trong không gian

❖ Véc tơ đồng phẳng

❖ Tọa độ của véc tơ

❖ Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng

❖ Một số kiến thức khác

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Mặt phẳng trong không gian

❖ Định nghĩa

❖ Các trường hợp riêng của mặt phẳng

❖ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

❖ Góc giữa hai mặt phẳng

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 3 Đường thẳng trong không gian

❖ Định nghĩa

❖ Vị trí tương đối của hai đường thẳng

❖ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

❖ Khoảng cách

❖ Góc giữa hai đường thẳng

❖ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 4 Mặt cầu

❖ Định nghĩa mặt cầu

❖ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu (S)

❖ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

❖ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

CHƯƠNG 06

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

Phương pháp tọa độ trong không gian hay còn gọi ngắn là hình học Oxyz là chuyên đề cuối cùng trong chương trình toán THPT Phần này là một phần được đánh giá là không khó, tuy nhiên việc tính toán lại rất dễ sai và ngoài ra số lượng câu hỏi vận dụng cao cũng không phải là ít Cùng đi ngay vào Chủ đề 1 sau đây:

CHỦ ĐỀ 1

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Véc tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

✓ Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

A Định nghĩa: Ba vecto a b c, , khác 0 gọi là đồng

phẳng khi giá của chúng cùng song song với một

mặt phẳng

✓ Chú ý:

✓

• n vecto khác 0 gọi là đồng phẳng khi giá

của chúng cùng song song với một mặt phẳng

• Các giá của các vecto đồng phẳng có thể

là các đường thẳng chéo nhau

B Điều kiện để 3 vecto khác 0đồng phẳng

Định lý 1:

, ,

a b c đồng phẳng  m n,  R:: a=mb nc+

C Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

✓ Định lý 2: Cho 3 vecto e e e1, ,2 3 không đồng phẳng Bất kì một vecto a nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực (x x x1, 2, 3) duy nhất

D3

D1

D2

a b c

Δ1

Δ2

Δ3

P

1 1 2 2 3 3

a=x e +x e +x e

✓ Chú ý: Cho vecto a b c, , khác 0:

1 a b c, , đồng phẳng nếu có ba số thực m n p, , không đồng thời bằng 0 sao cho:

0

ma+nb+ pc=

2 a b c, , không đồng phẳng nếu từ ma+nb+pc=  = = = 0 m n p 0

3 Tọa độ của vecto

Trong không gian xét hệ trục Ox ,yz có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O Các vecto đơn vị trên từng trục Ox,Oy Oz, lần lượt là

(1;0;0 ,) (0;1;0 ,) (0;0;1 )

i= j= k=

1 a=(a a a1; 2; 3) =a a i1 +a j2 +a k3

2 M x( M,y M,z M)OM =x i M +y j M +z k M

3 Cho A x y z( A, A, A) (,B x y z B, B, B) ta có:

( B A; B A; B A)

AB= x −x y −y z −z và ( ) (2 ) (2 )2

AB= x −x + y −y + z −z

4 M là trung điểm AB thì ; ;

5 Cho a=(a a a1; 2; 3) và b=(b b b1; ;2 3) ta có:

➢

a b

a b a b

a b

=





=  =

 =



➢ a b =(a1b a1; 2b a2; 3b3)

➢ k a =(ka ka ka1; 2; 3)

➢ a b = a b cos( )a b; =a b1 1+a b2 2+a b3 3

cos cos ;

.

a b

+ + + + (với a0,b0 )

➢ a và b vuông góc : a b = 0 a b1 1+a b2 2+a b3 3=0

➢ a và b cùng phương:

:

a kb

k R a kb a kb

a kb

=





 =



4 Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của a=(a a a1; 2; 3) và b=(b b b1; ;2 3) là:

1 Tính chất:

➢ a b, ⊥a a b, , ⊥b

➢ a b,  = a b sin( )a b,

➢ a và b cùng phương: a b,  = 0

➢ a b c, , đồng phẳng a b c,  =0

2 Các ứng dụng tích có hướng

➢ Diện tích tam giác: 1 ,

2

ABC

S =  AB AC 

➢ Thể tích tứ diện 1 ,

6

ABCD

➢ Thể tích khối hộp : V ABCD A B C D ' ' ' ' = AB AD, .AA'

5 Một số kiến thức khác

1 Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA( =k MB) thì ta có:

2 G là trọng tâm tam giác ; ;

3 G là trọng tâm tứ diện ABCDGA GB GC GD+ + + =0

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho 4 điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 )SABC là:

A Tứ diện B Hình chóp đều

C Tứ diện đều D Hình thang vuông

Lời giải

( 1;1;0 ;) (0; 1;1 ;) ( 1;0;1)

AB= − BC= − AC= −

2

AB BC CA ABC

(1;0;0 ;) (0;1;0 ;) (0;0;1) 1

SA= SB= SC= SA=SB=SC=

D SA SB SC = = 

Hay ta có thể tính SA SB SC;  0

, ,

SA SB SC

 không đồng phẳng

SABC

 là hình chóp đều , đỉnh S

Chọn B

Bài 2: Cho bốn điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 ) Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của

,

BC CA và AB.SMNP là:

A Hình chóp B Hình chóp đều

C Tứ diện đều D Tam diện vuông

Lời giải

Tam giác: ABC có AB=BC=CA= 2

2 2

(1;0;0 ;) (0;1;0 ;) (0;0;1)

SA SB SC

SA SB SA SB

Tương tự SA⊥SC SB, ⊥SC

Các tam giác vuông SAB SBC SCA, , vuông

tại S, có các trung tuyến:

2

AB

Ta có: SP(SAB SM); (SBC SN); (SCA)

SP SM SN

SMNP

 là tứ diện đều

Chọn C

Bài 3: Cho bốn điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 ) Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC

A (5,9,13) B 5, 3,13

7 9

1, ,

4 4

5 9 13 , ,

4 4 4

Lời giải

Ta có GS GA GB GC+ + + 4OG=OA OB OC OS+ + +

2 1 1 1

2 3 2 2

3 3 4 3

x

G y

z

 = + + + =











Chọn D

Bài 4: Cho 3 vectơ a=(1,1, 2 ;− ) b=(2, 1, 2 ;− ) c= −( 2,3, 2 − ) Xác định vec tơ d thỏa mãn

4; 5; 7.

M

N P A

B

C S

A (3, 6,5) B (−3, 6, 5− ) C 3, 6,5

5

3, 6, 2

 

Lời giải

( ) ( ) ( )

c d



( ) ( )1 + 2 : 3x=  =9 x 3 và ( ) ( )2 + 3 : 2y=12 =y 6

=  =  

Chọn D

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD Nếu AB=a AC; =b AD; =c. Gọi M là trung điểm của BC thì:

2

2

2

2

Lời giải

2

DM =DA+DM = − +c + = + −

Chọn C

Bài 6: Cho khối tứ diện ABCD Nếu AB=b AC; =c AD; =d. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD thì:

A

4

3

C

2

D AG= + +b d c

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD nên:

( ) ( ) ( )

1 2 3

3

AG= + + + = + + b d c b d c AG= + +

Chọn B

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của hình lập phương, khi đó:

3

4

C '

2

3

AD AB AA

AO + +

Lời giải

'

Chọn C

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi I là tâm của mặt (CDD' 'C ), khi đó:

2

2

2

2

Lời giải

Chọn A

Bài 9: Cho khối tứ diện ABCD Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AC BD, Tìm hệ thức đúng:

C AB+AD+CB+BD= 3PQ D AB+AD+CB+BD=PQ

Lời giải

2

2

AB AD AQ

CB BD CQ

AB AD CB BD AQ CQ AP PQ CP PQ PQ AP CP PQ

+

Chọn A

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.Tìm hệ thức sai:

A AC'+CA' 2 '+ C C=0 B AC'+A C' =2AC

C AC'+A C' =AA' D CA'+AC=CC'

Lời giải

O là tâm hình hộp

' 2

' 2

AC AO OC CA CO AC CA OC CO CC

AC A C C C CC C C

AC AO

AC A C AO O

A C OC





Vậy C sai

Chọn C

Bài 11: Cho tứ diện ABCD M N , lần lượt là trung điểm AC BD, Chọn hệ thức sai:

A MB MD+ =2MN B AB CD+ =2MN

C NC+NA=2MN D CB+AD=2MN

Lời giải

2

MB MD+ = MN (hệ thức trung điểm) Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AD BC, MNPQ là hình bình hành:

1

2

2

2

2





Chọn C

Bài 12: Cho hình hộp ABCD A B C D A C ' ' ' ', ' (A BD' )=E AC, '(CB D' ')=F Xác định hệ thức sai:

A EA'+EB ED+ =0 B FC+FD'+FB'=0

C AB+AD+AA'=2AC' D 1 '

2

Lời giải

Gọi , ' là các giao điểm của các đường chéo ở 2 mặt đáy AC' cắt các trung tuyến A I' của tam giác A BD' và trung tuyến CI' (của tam giác CB D' ' ) tại E và F

IF 1

,

EI

E F

A I = FC =  là trọng tâm của tam giác A BD CB D' ; ' '

Chọn A, B đúng

AB+AD+AA =AC+AA −AC C sai

AE=EF =FC = AC EF = AC D đúng

Chọn D

Bài 13: Cho khối tứ diện ABCD G, là trọng tâm của tứ diện, A' là trọng tâm tam giác BCD M là 1 điểm tùy ý trong không gian Chọn hệ thức đúng:

A GB GC GD+ + =3GA' B GA GB GC GD+ + + =0

C AA'=3AG D MA MB MC+ + +MD=4MG

Lời giải

Gọi B' là trọng tâm tam giác ACD, hai trung tuyến AA';BB' cắt nhau tại G, GA B' ' đồng dạng

GAB



' ' ' 1 1 4

3 '

A B A M

GA GA AA AG

AB BM

GB GC GD GA A B GA A C GA A D

GA A B A C A D GA GA

GA GA GA

GB GC GD

MA MB MC MD MG GA MG GB MG GC MG GD

MG GA GB GC GD MG

Chọn C

Bài 14: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.Chọn hệ thức sai:

A AA'+AB+AD=AC' B A B' '+A D' '+A A' =A C'

C C D' '+C B' '+C C' =C A' D BC+BA BB+ '=D B'

Lời giải

Chỉ có hệ thức D sai

Chọn D

B'

B A

D

C A'

CHỦ ĐỀ 2

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax+By+Cz+ =D 0 với 2 2 2

0

A +B +C  được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

➢ Phương trình mặt phẳng ( )P :Ax+By+Cz+D=0 với 2 2 2

0

A +B +C  có vec tơ pháp tuyến là

( ; ; )

n= A B C

➢ Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M0(x y z0; 0; 0) và nhận vecto n=(A B C n; ; ), 0 làm vecto pháp tuyến dạng ( ) (P :A x x− 0) (+B y−y0)+C z( −z0)=0

➢ Nếu ( )P có cặp vecto a=(a a a1; 2; 3);b=(b b b1; ;2 3) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên ( )P Thì vecto pháp tuyến của ( )P được xác định n=  a b, 

2 Các trường hợp riêng của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp ( ) :Ax+By+Cz+D=0, với 2 2 2

0.

A +B +C  Khi đó:

➢ D =0 khi và chỉ khi ( ) đi qua gốc tọa độ

➢ A= 0,B 0,C 0,D 0 khi và chỉ khi ( ) song song trục Ox

➢ A= 0,B= 0,C  0,D 0 khi và chỉ khi ( ) song song mặt phẳng (Ox y)

➢ A B C D , , , 0. Đặt a D,b D,c D.

= − = − = − Khi đó : ( ):x y c 1

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho ( ) :Ax+By+Cz+D=0 và ( )' :A'x+B'y+C'z+D'=0

➢ ( ) cắt ( ) '

' ' ' ' ' '

AB A B

BC B C

CB C B









➢ ( ) // ( ) '

' '

' '

AB A B

BC B C va AD A D

CB C B

=







➢ ( )  ( ) '

' ' ' ' ' ' ' '

AB A B

BC B C

CB C B

AD A D

=









Đặt biệt: ( ) ( ) ⊥ ' n n1 2 = 0 A A '+B B '+C C '=0

4 Góc giữa hai mặt phẳng

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( 0 0)

0   90 ( )P :Ax+By+Cz+D=0 và ( )Q :A'x+B'y+C'z+D'=0

( ) . 2 2 ' 2 ' 2 '2 2

cos = cos ,

P Q

P Q

P Q

n n

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có A(0;1; 1 ;− ) (B 1;1; 2 ;) (C 1; 1;0 ;− ) (D 0;0;1 ) Viết phương trình của mặt phẳng ( )P qua A B, và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3

A 15x− 4y− 5z− = 1 0 B 15x+ 4y− 5z− = 1 0

C 15x+ 4y− 5z+ = 1 0 D 15x− 4y+ 5z+ = 1 0

Lời giải

( )P cắt cạnh CD tại E E, chia đoạn CD theoo tỷ số −3

x

E y

z











F N

C B

A

D E

Vecto pháp tuyến của

( )P :n=AB AE, =(15; 4; 5− − ) ( ) (P : x−0 15) +(y−1)( ) (− + +4 z 1)( )− = 5 0 15x−4y−5z− =1 0

Chọn A

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có A(0;1; 1 ;− ) (B 1;1; 2 ;) (C 1; 1;0 ;− ) (D 0;0;1 ) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và

MNFBCD có tỉ số thể tích bằng 1 .

27

A 3x− − =3z 4 0 B y− − =z 1 0

C y+ − =z 4 0 D 4x+ + =3z 4 0

Lời giải

Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD:

3

1 27

AM AB

1

3

AM

M AB

 =  chia cạnh AB theo tỉ số − 2

( )

1 2.0 1

1 2.1

3

0 3

x

x

+





+







Vecto pháp tuyến của ( )Q :n =(0;1; 1− )

( )

1

3

Chọn B

Bài 3: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng ( ) (P , OH = p); gọi   , , lần lượt là các góc tạo bởi vec tơ pháp tuyến của ( )P với ba trục Ox,Oy Oz, Phương trình của ( )P là:

A xcos+ycos +zcos − =p 0 B xsin+ysin+zsin − =p 0

C xcos+ycos +zcos + =p 0 D xsin+ysin+zsin + =p 0

Lời giải

( cos , cos , cos ) ( cos , cos , cos )

H p  p  c  OH = p  p  c 

Gọi: M x y z( , , ) ( ) P HM =(x−pcos , y−pcos , z c− cos)

( )

OH HM

x p p y p p z c p

P x y z p

⊥

Chọn A

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P cắt hai trục y Oy' và z Oz' tại

(0, 1, 0 ,) (0, 0,1)

A − B và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 0

45

A 2x− + − =y z 1 0 B 2x+ − + =y z 1 0

C 2x+ − + =y z 1 0; 2x− + + =y z 1 0 D 2x+ − + =y z 1 0; 2x− + − =y z 1 0

Lời giải

Gọi C a( , 0, 0) là giao điểm của ( )P và trục x'Ox

(0, 1, 1 ;) ( , 0, 1)

BA BC a

Vec tơ pháp tuyến của ( )P là n=BA BC, =(1,−a a, )

Vec tơ pháp tuyến của (yOz) là: e =1 (1, 0, 0)

2

1 2

a

Vậy có hai mặt phẳng ( )P : 2x− + = y z 1 2x+ − + =y z 1 0; 2x− + − =y z 1 0

Chọn D

Bài 5: Cho mặt phẳng ( )P đi qua hai điểm A(3, 0, 4 ,) (B −3, 0, 4) và hợp với mặt phẳng (xOy) một góc 0

30 và cắt y Oy' tại C Tính khoảng cách từ O đến ( )P

Lời giải

Vẽ OH ⊥KC với K là giao điểm

của AB và trục z Oz'

C K OK

3

2

Chọn D

30

P

-3

3

B

y z

O

x

K

A

C x'

H

Bài 6: Cho mặt phẳng ( )P đi qua hai điểm A(3, 0, 4 ,) (B −3, 0, 4) và hợp với mặt phẳng (xOy) một góc 0

30 và cắt y Oy' tại C Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( )P

A y+ 3z+ 4 3 = 0 B y+ 3z− 4 3 = 0

C y 3z 4 3 = 0 D x− −y 3z− 4 3 = 0

Lời giải

(0, , 0 ;) ( 3, , 4 ;) ( 6, 0, 0)

C c AC= − c − AB= −

Vec tơ pháp tuyến của ( )P :n=AC AB, =6 0, 4,( c)

Vec tơ pháp tuyến của (xOz):e =3 (0, 0,1)

2

3

2 16

c

c

+

Chọn C

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x− + + =y z 1 0,A(8; 7; 4 ,− ) (B −1; 2; 2 − ) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( )P sao cho 2 2

2

MA + MB nhỏ nhất

A M(0;0; 1− ) B M(0;0;1) C M(1;0;1) D M(0;1;0)

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn IA+2IB= 0 I(2; 1;0− )

MA + MB = MI+IA + MI+IB = MI +IA + IB

min min

2

MA + MB MI M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( )P

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ( )P

2 2

= +





 =



Chọn A

Bài 8: Cho 2 điểm A(0, 0, 3 ,− ) (B 2, 0, 1− ) và mặt phẳng ( )P : 3x−8y+7z− =1 0 Tìm M( )P sao cho

2

MA + MB nhỏ nhất

A 283; 104; 214

183 183 183

283 104 214

183 183 183

283 14 14

183 183 183

283 14 14

183 183 183

Lời giải

Gọi I sao cho 2 0 4; 0;5

=   

( )

2 2

2 2

2

2

Suy ra ( 2 2)

min 2

MA + MB khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên ( )P

Tìm được tọa độ 283; 104; 214

183 183 183

Chọn A

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q :x+ + =y z 0 và hai điểm

(4, 3,1 ,) (2,1,1 )

A − B Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( )Q sao cho tam giác ABM vuông cân tại M

A

(1; 2;1)

17 9 8

; ;

M

M

−







(1; 2;1)

17 9 8

; ;

7 7 7

M M









C

( 1; 2;1)

13 5 9

; ;

M

M

−







(1;1;1)

; ;

M M







Lời giải

Gọi M a b c M( , , ) ( )Q  + + =a b c 0 1 ( )

Tam giác ABM cân tại M khi và chỉ khi :

Từ ( )1 và ( )2 ta có: 0 2 5 ( )*

a b c a b

a b c b



− + + =  = − −

Trung điểm AB là I(3; 1;1 − ) Tam giác ABM cân tại M, suy ra:

( ) (2 ) (2 )2 ( )

2

AB

Thay ( )* và ( )3 ta được: ( ) (2 ) (2 )2

2

7

b

b

= −





 = −



Chọn A

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho 2 điểm A(1;3; 2 ,) (B 3; 2;1) và mặt phẳng

( )P :x+2y+2x− =11 0 Tìm điểm M trên ( )P sao cho 0

2 2, 30

MB MBA



A ( )

1; 2;3

1; 4;1

M

M





1; 2;3 1; 4;1

M M

−





−

2;1;3 4;1;1

M M





1; 2;3 1; 4;1

M M

−





−

Lời giải

Nhận thấy A( )P B, ( )P ,AB= 6

Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có:

2 os30 2

Do đó tam giác MAB vuông tại A

1

2

x

u AB n AM y t M t t

z t

=





 = +



MA =  + =  = t t t

Với t= 1 M(1; 2;3 ;) t= − 1 M(1; 4;1)

Chọn A