10 câu vận DỤNG CAO OXYZ

Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhất là?. Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho.A. Biết khi S di động trên d

10 CÂU VẬN DỤNG CAO HÌNH GIẢI TÍCH

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có A B C , , lần lượt là

giao điểm của mặt phẳng ( ) : 1

P

m m + + m =

− + với các trục tọa độ

, , ;

Ox Oy Oz trong đó m ∉ { 0;1; 4 − } là tham số thực thay đổi Điểm O D , nằm khác phía với mặt phẳng ( ) P và BC AD CA BD = , = , AB CD = . Hỏi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính nhỏ nhất là?

A

7

14

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết, ta có A m ( ;0;0 , 0; ) ( B m − 1;0 , 0;0; ) ( C m + 4 ) và

BC CA AB DB DA DC lần lượt là đường chéo các mặt của một hình hộp chữ nhật OAD C BA DC ′ ′ ′như hình vẽ dưới

Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp

hình hộp chữ nhật đã cho Vì vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp là

I  − + 

Do đó

( )2

.

m

Dấu “=” xảy ra khi m = − 1.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho điểm A ( 1;0;2 , ) ( B − 2;0;5 , 0; 1;7 ) ( C − )

Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) tại Alấy một điểm .S

Gọi H K , lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB SC , Biết khi S di động trên d thì đường thẳng HK luôn đi qua D Tính độ dài đoạn thẳng AD

A AD = 3 3 B AD = 6 2 C AD = 3 6 D AD = 6 3.

Lời giải Chọn C

Dễ có ∆ ABCvuông tạiBvà AH SB AH ( SBC ) AH SC SC ( AHK )

AH BC

⊥

 ⊥



Gọi D = ( AHK ) ∩ BC ,ta có AD SC AD ( SAC ) AD AC

AD SA

⊥

 ⊥



Do đó HK luôn đi qua điểm cố định D BC AD AD AC = ∩ , ⊥

Hệ thức lượng cho tam giác vuông, ta có:

3 6.

AH = AD + AC ⇒ = AD + ⇒ = Chọn đáp án C.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( − 1;2;0 , 2; 3;2 ) ( B − ) Gọi

( ) S là mặt cầu đường kínhABvàAxlà tiếp tuyến của( ) S tạiA By ; là tiếp tuyến của( ) S tại Bvà Ax By ⊥ Hai điểm M N , lần lượt di động trên Ax By , sao cho

MN là tiếp tuyến của ( ) S Tính AM BN

Giả sử ( ) S tiếp xúc với MNtại O.Theo tính chất tiếp tuyến, ta có

,

AM MO BN NO = = và

AB AM

BN AM

⊥

 ⊥



Theo định lí Pitago, ta có 2 2 2 2 2 2

MN MO ON AM BN





Suy ra

2 3 5 22 2 2

AB

AM BN = = + + =

Chọn đáp án C

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A 4; 4;2 ( - )và mặt phẳng

( ) P : 2x 2y z 0 - + = Gọi M là một điểm nằm trong ( ) P , N là trung điểm OM,

H là hình chiếu vuông góc của O lên AM Biết rằng khi M thay đổi thì

đường thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định Tính bán kính R

của mặt cầu đó

A R = 2 3 B R = 3 C R = 3 2 D R = 6

Lời giải Chọn B

Dễ thấy O P Î ( ) và OA ^ ( ) P do đó gọi P là trung điểm AO, ta có

NOP = NHP

V V nên PHN PON 90 · = · = 0 Do đó HN tiếp xúc với mặt cầu tâm P

và bán kính

+ +

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

( 2;0;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 ) ( ) ( )

A − B − C − và điểm D thỏa mãn BC AD CA BD AB CD = , = , =

và điểm I a b c ( ; ; ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S a b c = + +

A S = − 4 B S = − 1 C S = − 2 D S = − 3

hoặc S = − 1

Lời giải

Chọn D

Ta có AB AC BC = = nên tam giác ABC đều Mà BC AD CA BD AB CD = , = , = nên

tứ diện ABCD là tứ diện đều Gọi M N , lần lượt là trung điểm BD AC , , và I là trung điểm MN Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,

2 2 2

; ;

3 3 3

G  − − − 

∆ là đường thẳng qua G và vuông góc với ( ABC ) , khi đó D ∈ ∆

Dễ dàng lập được phương trình của ∆ :

2 3

; ;

2 3

−

 = +







−

 = +



Mặt khác:

2

4 2 2 2

; ;

2; 2; 2 3



−

Với

D   ⇒ I  − − −  ⇒ + + = − a b c

Với D ( − − − ⇒ − − − ⇒ + + = − 2; 2; 2 ) ( I 1; 1; 1 ) a b c 3

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với

( ;0;0 , 0; ) ( 1;0 , 0;0; ) ( 4 )

A m B m − C m + thỏa mãn BC AD CA BD AB CD = , = , = điểm

( ; ; )

I a b c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A

7

14

2 C 7 D 14.

Lời giải

Chọn B

Có ∆ BCD = ∆ ACD BN AN MN AB ⇒ = ⇒ ⊥

Tương tự ta cũng có MN CD ⊥ Gọi I là trung điểm MN, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

2

=

m

+

=

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định có bán kính R R1, 2 Tính S R R = +1 2

A S = + 1 2 B S = 2 C S = 2 2 D S = − 2 1

Lời giải Chọn C

Ta có tâm mặt cầu ( ) S có tâm I ( sin ; osa;1 a c ), khi đó tâm I thuộc mặt cầu ( ') S

Mặt cầu ( ) S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định ( ), ( ) S S1 2

1

( ) S tâm O bán kính R OI R1 = − = 2 1 −

2

( ) S tâm O bán kính R OI R2 = + = 2 1 +

S R R = + =

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi α β γ ; ; là ba góc tạo bởi tia Ot

bất kì với 3 tia Ox ;Oy;Oz và mặt cầu

S x − α + − y β + − z γ = Biết ( ) S luôn tiếp xúc với hai

mặt cầu cố định có bán kính R R1; 2 Tính T R R = +1 2

Lời giải

Chọn B

Ta có tâm mặt cầu ( ) S có tâm I ( cos ; os ;cos α c β γ ) , khi đó tâm I thuộc mặt cầu ( ') S tâm O ( 0;0;0 , ) R = cos2α + c os2β + cos2γ = 1.

Mặt cầu ( ) S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định ( ), ( ) S S1 2

1

( ) S tâm O bán kính R OI R1 = − = − = 2 1 1

( ) S tâm O bán kính R OI R2 = + = + = 2 1 3

S R R = + =

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

( ) ( 1;1;1 , 1;2;0 , 1;2; 1 ; 2;3;1 ) ( ) ( )

A B − C − D Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD

A R = 15

2 B R = 11

2 C

13 2

2

R = .

Lời giải

Chọn B

( ; ; )

I a b c là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có:

; ;

IA IB IC ID







Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

S x − a + − y a + − z − a = a ∈ − ≤ ≤ ¡ a Biết ( ) S luôn tiếp

xúc với hai mặt cầu cố định ( ) S1 ,( ) S2 Tính tổng diện tích hai mặt cầu đó.

Lời giải Chọn C

Ta có tâm mặt cầu ( ) S có tâm I ( 3a;4a ;5 1 − a2), khi đó tâm I thuộc mặt cầu

( ') S tâm O ( 0;0;0 , ) R = 9 a2+ 16 a2+ 25 1 ( ) − a2 = 5.

Mặt cầu ( ) S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định ( ), ( ) S S1 2

1

( ) S tâm O bán kính R OI R1= − = − = 5 1 4

2

( ) S tâm O bán kính R OI R2 = + = + = 1 5 6

1 2 16 36 52

S = π R + π R = π + = π .