KTS1 c2

Tập giá trị biến : -Mỗi biến logic chỉ có thể có hai giá trị, do vậy tập hợp n biến logic biểu diễn một tập giá trị biến N, N = 2n tổ hợp giá trị khác nhau... Nếu một hàm chỉ có giá trị

ChƯƠNG 2

ĐẠI SỐ LOGIC

Giản đồ xung (Waveform) của tín hiệu số:

Trạng thái logic của tín hiệu số (Digital Signal):

phân (Binary), hai trạng thái tơng ứng của các linh

kiện điện tử trong mạch điện đợc mã hóa tơng ứng là 0 hoặc 1.

1 Biến logic :

Một sự kiện có thể biểu diễn dới dạng một biến(ví

dụ X) Biến logic ( biến độc lập) là biến chỉ có thể

nhận một trong hai giá trị thực / giả.

Tổng quát : Xét một tập hợp B chỉ chứa hai phần

tử 0 và 1, B = { 0,1} Xi đợc gọi là biến logic nếu nh

Xi  B , tức là Xi chỉ có thể lấy giá trị hoặc là 1 hoặc 0

Trong kỹ thuật đợc thể hiện bằng nhiều cách, mạch điện thờng biểu diễn qua đại lợng điện thế :

Xi = 0 ứng với U = 0V Trong cách mã hóa này mức logic 1 có điện thế cao hơn mức logic 0.

X = 1 ứng với U = +5V đợc gọi là logic ( +).

2 Hàm logic :

- Hàm f (Xn-1 ,Xn-2, X1 ,X0): đợc gọi là hàm logic nếu

nh f là hàm của một tập biến logic và bản thân f cũng chỉ nhận một trong hai giá trị 0, hoặc 1 Hay f  B.

3 Tập giá trị biến :

-Mỗi biến logic chỉ có thể có hai giá trị, do vậy tập hợp n biến logic biểu diễn một tập giá trị biến N,

N = 2n tổ hợp giá trị khác nhau.

-Quan hệ số hàm logic (M) và số biến n: M = 2N.

M tăng rất nhanh khi n tăng.

4 So sánh hai hàm logic:

Chỉ so sánh hai hàm logic có cùng số biến

nh nhau.

giống nhau với mọi tập giá trị biến.

với một tập giá trị biến.

Nếu chúng có giá trị nh nhau đối với một số tập giá trị biến thì gọi là giống nhau từng phần.

5.H àm logic xác định đầy đủ và không đầy đủ

Một hàm logic có giá trị xác định ( 0 hoặc 1) với mọi N tập giá trị biến : chúng là các hàm logic xác định đầy đủ (hoàn toàn)

Nếu một hàm chỉ có giá trị xác định ( 0 hoặc 1) đối với một số tập tập giá trị biến, còn có giá trị không xác định ( bất định - x) với một số tập giá trị biến khác thì gọi là xác định không đầy đủ.

Những tập giá trị mà hàm bất định không đợc

để xuất hiện trong thực tế , hoặc trong thực tế

không xuất hiện hoặc phải có biện pháp loại trừ

(ngăn ngừa).

2 II Các hàm logic cơ bản

2.1 Định nghĩa :

Các hàm logic cơ bản là các hàm thông dụng và cơ sở dùng để xây dựng các hàm phức tạp hơn: Bao gồm các hàm 0, 1 và hàm hai biến

2.2 Hàm không biến :(n = 0)

N = 20 = 1; M = 21 = 2

Đó là hai hàm hằng logic :

B¶ng quan hÖ cña hµm hai biÕn

Nhận xét :

- Có tính chất đối xứng do vậy thực chất chỉ xét 8 hàm logic

- Mỗi hàm logic đều có tên và ký hiệu riêng.

Các hàm logic 2 biến quan trọng nhất :

ĐẠI SỐ BOOLE – CỔNG LOGIC

I Cấu trúc đại số Boole:

Là cấu trúc đại số được định nghĩa trên 1 tập phần tử nhị phân B = {0, 1} và các phép toán nhị phân: AND (.), OR (+), NOT (’).

x x’ (NOT x) 0

1

1 0

f Định lý 6: định lý De Morgan

(x + y)’ = x’ y’ (x y)’ = x’ + y’

Mở rộng: (x 1 + x 2 + + x n )’ = x 1 ’ x 2 ’ x n ’

(x 1 x 2 x n )’ = x 1 ’ + x 2 ’ + + x n ’

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

* Bảng giá trị:

0 1 0 0 0 0 1 1

16

2 Bù của 1 hàm:

- Sử dụng định lý De Morgan:

F = x y + x’ y’ z F’ = ( x y + x’ y’ z )’

= ( x y )’ ( x’ y’ z )’

F’ = ( x’ + y’ ) ( x + y + z’ )

- Lấy biểu thức đối ngẫu và lấy bù các biến:

* Tính đối ngẫu (Duality): Hai biểu thức được gọi là đối ngẫu của nhau khi ta thay phép toán AND bằng OR, phép toán OR bằng AND, 0 thành 1 và 1 thành 0.

F = x y + x’ y’ z

Lấy đối ngẫu: ( x + y ) ( x’ + y’ + z )

Bù các biến: F’ = ( x’ + y’ ) ( x + y + z’ )

III Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole:

1 Các tích chuẩn (minterm) và tổng chuẩn (Maxterm):

- Tích chuẩn (minterm): mi (0 ≤ i  2 n -1) là các số hạng tích (AND) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến đó có bù nếu nó là 0 và không bù nếu là 1.

- Tổng chuẩn (Maxterm): Mi (0 ≤ i  2 n -1) là các số hạng tổng (OR) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến đó có bù nếu nó là 1 và không bù nếu là 0.

F(x, y, z) = x’y’z + x’y z’ + x y’z + x y z’ + x y z

* Trường hợp hàm Boole tùy định (don’t care):

Hàm Boole n biến có thể không được định nghĩa hết tất cả 2 n tổ hợp của n biến phụ thuộc Khi đó tại các tổ hợp không sử dụng này, hàm Boole sẽ nhận giá trị tùy định (don’t care), nghĩa là hàm Boole có thể nhận giá tri 0 hoặc 1.

F (x, y, z) =  (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)

=  (3, 4) D (0, 7)

= M 3 M 1 M 7 M 6 M 2

=  (1, 2, 3, 6, 7)

Với cổng AND có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1 nếu tất cả các ngõ vào đều là 1

y z = x+y

x y

Với cổng OR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 0 nếu tất cả các ngõ vào đều là 0

x y

z Với cổng NAND có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 0 nếu tất cả các ngõ vào đều là 1

x y

Với cổng NOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1 nếu tất cả các ngõ vào đều là 0

x y

z Với cổng XOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là

1 nếu tổng số bit 1 ở các ngõ vào là số lẻ

z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)

x y

z Với cổng XNOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1

nếu tổng số bit 1 ở các ngõ vào là số chẵn

x

y z = xy

z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)

Switching Circuits

Binary Logic

• Logic gates

– Example of binary signals

0 1 2

Binary Logic

• Logic gates

– Graphic Symbols and Input-Output Signals for Logic gates:

Fig 1.4 Symbols for digital logic circuits

Fig 1.5 Input-Output signals for gates

V Rút gọn hàm Boole:

Rút gọn (tối thiểu hóa) hàm Boole nghĩa là đưa hàm Boole về dạng biểu diễn đơn giản nhất, sao cho:

- Biểu thức có chứa ít nhất các thừa số và mỗi thừa số

chứa ít nhất các biến.

- Mạch logic thực hiện có chứa ít nhất các vi mạch số.

1 Phương pháp đại số:

Dùng các định lý và tiên đề để rút gọn hàm.

F (A, B, C) =  (2, 3, 5, 6, 7)

= ABC + ABC + A B C + AB C + ABC

= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC

= B + AC

33

2 Phương pháp bìa KARNAUGH:

a Cách biểu diễn:

- Bìa K gồm các ô vuông, mỗi ô vuông biểu diễn cho tổ hợp n biến Như vậy bìa K cho n biến sẽ có 2 n ô.

- Hai ô được gọi là kề cận nhau khi tổ hợp biến mà chúng biểu diễn chỉ khác nhau 1 biến.

- Trong ô sẽ ghi giá trị tương ứng của hàm Boole tại tổ hợp đó Ởû dạng chính tắc 1 thì đưa các giá trị 1 và X lên các ô,

không đưa các giá trị 0 Ngược lại, dạng chính tắc 2 thì chỉ đưa giá trị 0 và X.

* Bìa 2 biến:

0

1

2 3

F (A, B) =  (0, 2) + d(3) =  (1) D(3)

A B

F

0 1 0

1

1 1

X

A B

F

0 1 0

* Bìa 3 bieán:

AB C

F

0 1

00 01 11 10

0 1

2 3

6 7

4 5

1

1

1

AB C

F

0 1

CD

F 00

00 01 11 10

01 11 10

0 1

4 5

8 9 3

2

7

6 14 10

15 13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30 31 29 28

BC DE

F

00

00 01 11 10

01 11 10

10 11 01 00

0 1

4 5

8 9 3

2

7

6 14 10

15 13

12

11

18 19 17 16

22 23 21 20

26 27 25 24

b Rút gọn bìa Karnaugh:

- Liên kết đôi: Khi liên kết (OR) hai ô có giá trị 1 (Ô_1) kề cận với nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tích mất đi 1 biến so với tích chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô) Hoặc khi liên kết (AND) hai ô có giá trị 0 (Ô_0) kề cận với

nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tổng mất đi 1 biến so với tổng chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô).

F

0 1

00 01 11 10

0 0

A +B

- Liên kết 4: Tương tự như liên kết đôi khi liên kết 4

Ô_1 hoặc 4 Ô_ 0 kề cận với nhau, ta sẽ loại đi được 2 biến (2 biến khác nhau giữa 4 ô)

1 1

B

AB C

F

0 1

00 01 11 10

0 0 0 0

C

- Liên kết 8: liên kết 8 ô kề cận với nhau, ta sẽ loại đi được 3 biến (3 biến khác nhau giữa 8 ô)

AB CD

F

00 01 11 10 00

F

00 01 11 10 00

01 11 10

0 0

0 0 0

* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng S.O.P:

- Biểu diễn các Ô_1 lên bìa Karnaugh

- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_1 được liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tích (Nếu Ô_1 không có kề cận với các Ô_1 khác thì ta có liên kết 1: số hạng tích chính bằng minterm của ô đó).

- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tổng (OR) của các số hạng tích liên kết trên.

F(A, B, C) =  (0, 1, 3, 5, 6)

AB C

F

0 1

* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng P.O.S:

- Biểu diễn các Ô_0 lên bìa Karnaugh

- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_0 được liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tổng.

- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tích (AND) của các số hạng tổng liên kết trên.

F(A, B, C, D) =  (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

AB CD

F

00 01 11 10 00

01 11 10

(A + B + D)

0 0

0 0 0 0

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

* Trường hợp rút gọn hàm Boole có giá trị không xác định: thì

ta có thể coi các Ô tùy định này là Ô_1 hoặc Ô_0 sao cho có lợi khi liên kết (nghĩa là có được liên kết nhiều Ô kề cận nhất)

F

00 01 11 10 00

01 11 10

C D

B D

= B D + C D

X

X 0

AB CD

F

00 01 11 10 00

01 11 10

= D (B + C)

- Ta coi các tùy định như là những ô đã liên kết rồi.

- Có thể có nhiều cách liên kết có kết quả tương đương nhau

Vd: Rút gọn các hàm

Câu hỏi ôn tập

Vẽ sơ đồ logic theo các yêu cầu sau:

1 4 công tắc điều khiển bóng đèn y, đèn chỉ

sáng khi bất kỳ 2 công tắc đóng.

2 4 công tắc điều khiển bóng đèn y, đèn chỉ

sáng khi bất kỳ 3 công tắc đóng.

Xây dựng mạch từ biểu thức hàm Boole

• Hàm được viết dưới dạng chuẩn nào

• Rút gọn hàm để đạt tối ưu theo yêu cầu

• Theo biểu thức đã có dùng cổng logic

cho các phép toán (AND cho nhân, OR cho cộng, NOT cho bù)

xz

xyz z

xy yz

x z

y x z

y x

F ( , , )   ( 1 , 3 , 6 , 7 )    

z x xy

F  

-Chuẩn 1 -Lấy bù F 2 lần Áp dụng

Bài tập :Cho mạch như hình vẽ:

- Xác định biểu thức của F

- X=0, Y=1, Z=1=>F=?

VI Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic:

1 Cấu trúc cổng AND _ OR:

Cấu trúc AND_OR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tổng các tích (S.O.P)

F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A B C D

2 Cấu trúc cổng OR _ AND :

Cấu trúc OR_AND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tích các tổng (P.O.S).

3 Cấu trúc toàn cổng NAND:

Cấu trúc NAND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có

biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tích.

- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tổng thành tích.

- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NAND

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= A B D C D

A B C D

F(A, B, C, D)

- Trong thực tế người ta chỉ sử dụng 1 loại cổng NAND 2 ngõ vào; khi đó ta phải biến đổi biểu thức sao cho chỉ có dạng bù trên 1 số hạng tích chỉ có 2 biến

4 Cấu trúc toàn cổng NOR:

Cấu trúc NOR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có

biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tổng.

- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tích thành tổng

- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NOR

Ví dụ

hàm bằng cấu trúc AND-OR và toàn NAND.

Bài giải: dùng bìa K rút gọn hàm ta được

hàm theo cấu trúc AND-OR



 ( 3 , 5 , 6 , 7 ) )

, , ( x y z F

xz yz

xy z

y

x

F y

z

• Cấu trúc toàn NAND: lấy phủ định F hai lần và biến đổi

xz yz

xy z

y x F

zx yz

xy z

y x

F

)

, ,

(

) , ,

trạng thái mô tả quy

luật của hàm logic:

Liệt kê toàn bộ tổ

hợp của biến đầu

vào và ép kết quả

hàm ra theo đúng

yêu cầu công nghệ

Bước 3: chuyểnkết quả từ bảngtrạng thái sangbảng các nô vàthực hiện tối giảnhàm trên bảngCác nô

Bước 4: Từ hàm tốigiản ta cố gắng biếnđổi hàm về dạng có

Các Bước

Tối thiểu hàm logic đã cho sau đây nằng bảng Karnaugh;

Vẽ sơ đồ mạch logic cho hàm tối thiểu trên

y1 = f(A,B,C,D)=  (0, 2, 3, 5, 7, 8)+ d(10,11,12,13,14,15) y2 = f(A,B,C,D) =  (8, 9, 10, 12, 14, 15).D(0, 1, 2, 3, 4, 5)

y2 = f(A,B,C,D) =  (0, 2, 3, 5, 7, 8) D=(10,11,12,13,14,15)

Tối thiểu hàm logic đợc cho sau đây bằng bảng Karnaugh: y1 = f(A,B,C,D) =  (8, 9, 10, 12, 14, 15)+ d(0, 1, 2, 3, 4, 5)

y2 = f(A,B,C,D) =  (8, 9, 10, 12, 14, 15).D(0, 1, 2, 3, 4, 5)

X2 Hãy thiết kế mạch logic¿

 Nhận xét: DS sáng hay tắt phụ thuộc vào quy luật đóng cắt của các công tắc

 DS là hàm

 Xi là biến

 Mạch điện dùng NAND

2 1

2 1

2 1

2

1 X X X X X X X X



2 1

 Mạch điện dùng NOR

2 1

2 1

2 1

2

1 X X X X X X X X

DS      



X1

X2X3

0 1 0 1

01

01

DS

3 2

3 2

1 1

3 2

3 2

1 3

2 3

2 1

3 2

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1

X X

X X

A

A X

A X D

) X X

X X

( X )

X X

X X

( X D

X X

X X

X X

X X

X X

X X

D

X X

X X

X X

X X

X X

X X

D

s s s s

X1  A

=

= X2  X3