Nh÷ng bµito¸n sè häc hay vµ khã.
Trang 1Nh÷ng bµi
to¸n sè häc
hay vµ khã.
Trang 2Bµi 1:
Ph©n tÝch sè 8030028
thµnh tæng cña 2004 sè
tù nhiªn ch½n liªn tiÕp.
(TTT2-Sè 11-04)
Trang 3HD:
Tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ:
S = a + (a+2) + (a+4)+ + (a+ 4006)
(a+ 2003).2004 = 8030028
a = 2004
=> 8030028 = 2004 +2006+ + 6010
Trang 4Bµi 2:
ViÕt N thµnh tæng cña k sè tù
T×m sè d cña phÐp chia S cho 6.
(TTT2-Sè 12-04)
Trang 5HD:
V× a 3 - a = a(a 2 -1) = (a-1)a(a+1) chia hÕt cho 6.
XÐt S - N chia hÕt cho 6.
Mµ 2003 chia cho 6 d 5
2003 2 chia cho 6 d 1
N chia cho 6 d 1
S chia cho 6 d 1
Trang 6Bµi 3:
Cho n lµ sè nguyªn
Chøng minh r»ng
A= n4-14n3+71n2-154n+120
chia hÕt cho 24(TuyÓn sinh vµo líp 10- Tr ViÖt §øc- HN 1992)
Trang 7HD:
A=n3(n-2)-12n2 (n-2)
+47n(n-2)-60(n-2) =(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
Trang 8Bµi 4:
Cho A = 654.999 997 +1965
CMR: A chia hÕt cho 9
(TTT2-Sè 28)
100 ch÷ sè 9
Trang 9HD:
A = 654.999 997 +1965 = 654.(1000 00 - 3) + 1965 =65400 000 - 1962 +1965 = 65400 003
=> A chia hÕt cho 9
100 ch÷ sè 9
100 ch÷ sè 0
100 ch÷ sè 0
99 ch÷ sè 0
Trang 10Bài 5:
Tìm số tự nhiên n để
n2 + 2006
là số chính ph ơng.
Trang 11HD:
§Æt n 2 + 2006 = q 2
=> q 2 - n 2 = 2006
=>(q - n)(n + q) = 2006
§Ó ý n + q vµ q - n cïng tÝnh ch½n lÎ
Mµ 2006 chia hÕt cho 2.
Trang 12Bµi 6:
Gi¶ sö
a2 + b2 = c2 + d2 =1 CMR: ac + bd ≤ 1
Trang 13Gi¶i:
Ta cã: (a - c) 2 0 ≥ 0
a 2 + c 2 - 2ac 0 ≥ 0
a 2 + c 2 2ac (1) ≥ 0
T ¬ng tù b 2 + d 2 2bd (2) ≥ 0 Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã:
a 2 + c 2 + b 2 + d 2 2ac + 2bd ≥ 0
2ac + 2bd a ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 2(ac + bd) 2 => ac + bd ≤ a ≤ a
1 (®pcm)
Trang 14Bµi 7:
T×m sè nguyªn tè p mµ
p4 + 2 còng lµ sè nguyªn tè
(TS líp 10 Tr §HKHTN n¨m 2007-Vßng2)
HD:
Chó ý : p 4 chia cho 3 d 0 hoÆc 1
§¸p sè p = 3.
Trang 15Bµi 8:
Víi a, b lµ sè nguyªn d ¬ng sao cho
a + 1 vµ b + 2007 chia hÕt cho 6.
CMR: 4 a + a + b chia hÕt cho 6.
(TS líp 10 Tr §HKHTN n¨m 2007- Vßng1)
HD:
a = 6k + 5 ; b = 6q + 3
4 a + a + b = 4 a + 6k + 5 + 6q + 3
= 4 a - 4 + 6k + 6q + 12
Chó ý :4 a - 4 = 4(4 a-1 - 1) chia hÕt cho 2,3
Trang 16Bµi 9:
T×m c¸c cÆp sè nguyªn x , y tho¶ m·n
®iÒu kiÖn
(x - 2006) 2 = y(y + 1) ( y + 2)(y + 3)
(TS líp 10 Tr chuyªn Lam s¬n n¨m 2006- Vßng2)
HD:
-) x= 2006
-) x ≠ 2006 => y(y + 1) ( y + 2)(y + 3)
lµ sè chÝnh ph ¬ng kh¸c 0 (lo¹i)
( Xem phÇn sè chÝnh ph ¬ng)